高中数学第一章空间向量与立体几何：空间向量运算的坐标表示pptx课件新人教A版选择性必修第一册
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2．特殊情况：点 P(x，y，z)到原点的距离公式是：OP＝|O→P|＝ ____x_2_＋__y_2＋__z_2____．
【预习自测】
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广．
() (2)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例. ( ) 【答案】(1)√ (2)√ 【解析】(1)空间中点的坐标比平面内点的坐标，多了竖坐标，此说 法正确． (2)平面中点的坐标比空间内点的坐标，少了竖坐标，此说法正确．
2．在空间直角坐标系中，已知点 A(2，3，5)，B(3，1，4)，则 A，B
两点间的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
D． 42
【答案】B 【解析】|AB|＝ (3－2)2＋(1－3)2＋(4－5)2＝ 6．
3．若点 A(1，2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6．
|课堂互动|
题型1 空间向量的坐标运算 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－
b)，(a＋b)·(a－b)． 解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)，2a·(－b)＝
2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝14，又∵a－b＝(2，－1，－2)－(0，－ 1，4)＝(2，0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝
2．空间向量的模及夹角的坐标计算公式： (1)模：|a|＝___a_21＋__a_22_＋__a_23_，|b|＝____b_21＋__b_22_＋__b_23__；
a1b1＋a2b2＋a3b3
(2)cos〈a，b〉＝___a_21_＋__a_22＋__a_23__b_12_＋__b_22_＋__b_32 __．
乘运算、数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一 竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．
空间向量的平行、垂直及模、夹角
1．空间向量平行和垂直的条件： (1)平行：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔___a_1_＝__λ_b_1_，__a_2＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_____； (2)垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔___a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0_____．
题型 2 利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 已知空间中三点 A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，
－4)，设 a＝A→B，b＝A→C． (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求向量 c； (2)已知向量 ka＋b 与 b 互相垂直，求 k 的值； (3)求△ABC 的面积．
解：(1)B→C＝(2，1，－2)，由于 c∥B→C， 故可设 c＝(2n，n，－2n)， 故|c|＝ 4n2＋n2＋4n2＝3|n|＝3，解得 n＝±1． 故 c 为(2，1，－2)或(－2，－1，2)．
(2)a＝A→B＝(－1，－1，0)， b＝A→C＝(1，0，－2)， ka＋b＝(1－k，－k，－2)， 由于 ka＋b 与 b 垂直， 则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5．
【答案】(4，10，－21) 【解析】设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y－3，z＋2)．因为A→P＝2A→B －3A→C，所以(x－2，y－3，z＋2)＝2(1，－1，4)－3(0，－3，9)＝(2，7， －19)．所以 x－2＝2，y－3＝7，z＋2＝－19，即 x＝4，y＝10，z＝－21．所 以点 P 的坐标为(4，10，－21)．
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
素养要求
1．理解空间向量的加法、减法、数乘运算以及数量积的 逻辑推理
坐标运算
2．掌握并能应用向量的夹角公式、距离公式的坐标表示，逻辑推理、
并能运用这些公式解决简单几何体中的问题
数学运算
3．会利用平行关系及垂直关系的坐标表示进行相应的判 逻辑推理、
－8．
关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算 公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出 其坐标．
1．已知 O 是坐标原点，点 A(2，3，－2)，B(3，2，2)，C(2，0，7)．若 点 P 的坐标满足A→P＝2A→B－3A→C，则点 P 的坐标为__________．
断和证明
数学运算
|自学导引|
空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则向量运Fra bibliotek 加法 减法 数乘
数量积
向量表示 a＋b a－b λa a·b
坐标表示 ___(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)__
(a1－b1，a2－b2，a3－b3) ___(_λ_a_1，__λ_a_2_，__λ_a_3)___ a1b1＋a2b2＋a3b3
【预习自测】
已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝ ( )
A．(－1，2，5)
B．(－1，4，5)
C．(1，2，5)
D．(1，4，5)
【答案】A
【解析】a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，
2)＝(－1，2，5)．故选A．
微思考 平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？ 【答案】提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算、数
【预习自测】
微思考
已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比
平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？ 【答案】提示：a∥b⇔ab11＝ab22＝ab33．
向量的坐标及两点间的距离公式
1．一般情况：已知点 P1(x1，y1，z1)与点 P2(x2，y2，z2)，则P→1P2＝(x2 －x1，y2－y1，z2－z1)，|P→1P2|＝___(_x_2_－__x_1)_2_＋_(_y_2_－__y_1)_2_＋__(z_2_－__z1_)_2____．
【预习自测】
1．思维辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广．
() (2)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例. ( ) 【答案】(1)√ (2)√ 【解析】(1)空间中点的坐标比平面内点的坐标，多了竖坐标，此说 法正确． (2)平面中点的坐标比空间内点的坐标，少了竖坐标，此说法正确．
2．在空间直角坐标系中，已知点 A(2，3，5)，B(3，1，4)，则 A，B
两点间的距离为
()
A．6
B． 6
C． 30
D． 42
【答案】B 【解析】|AB|＝ (3－2)2＋(1－3)2＋(4－5)2＝ 6．
3．若点 A(1，2，a)到原点的距离为 11，则 a 的值为________． 【答案】± 6 【解析】由已知得 12＋22＋a2＝ 11，所以 a2＝6，解得 a＝± 6．
|课堂互动|
题型1 空间向量的坐标运算 已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1，4)，求a＋b，2a·(－
b)，(a＋b)·(a－b)． 解：a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1，4)＝(2，－2，2)，2a·(－b)＝
2(2，－1，－2)·(0，1，－4)＝14，又∵a－b＝(2，－1，－2)－(0，－ 1，4)＝(2，0，－6)，∴(a＋b)·(a－b)＝(2，－2，2)·(2，0，－6)＝
2．空间向量的模及夹角的坐标计算公式： (1)模：|a|＝___a_21＋__a_22_＋__a_23_，|b|＝____b_21＋__b_22_＋__b_23__；
a1b1＋a2b2＋a3b3
(2)cos〈a，b〉＝___a_21_＋__a_22＋__a_23__b_12_＋__b_22_＋__b_32 __．
乘运算、数量积运算，其算法是相同的．但空间向量要比平面向量多一 竖坐标，竖坐标的处理方式与横、纵坐标是一样的．
空间向量的平行、垂直及模、夹角
1．空间向量平行和垂直的条件： (1)平行：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔___a_1_＝__λ_b_1_，__a_2＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_____； (2)垂直：a⊥b⇔a·b＝0⇔___a_1_b_1_＋__a_2b_2_＋__a_3_b_3＝__0_____．
题型 2 利用向量的坐标运算解决空间中的平行、垂直问题 已知空间中三点 A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，
－4)，设 a＝A→B，b＝A→C． (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求向量 c； (2)已知向量 ka＋b 与 b 互相垂直，求 k 的值； (3)求△ABC 的面积．
解：(1)B→C＝(2，1，－2)，由于 c∥B→C， 故可设 c＝(2n，n，－2n)， 故|c|＝ 4n2＋n2＋4n2＝3|n|＝3，解得 n＝±1． 故 c 为(2，1，－2)或(－2，－1，2)．
(2)a＝A→B＝(－1，－1，0)， b＝A→C＝(1，0，－2)， ka＋b＝(1－k，－k，－2)， 由于 ka＋b 与 b 垂直， 则(1－k，－k，－2)·(1，0，－2)＝1－k＋4＝0，k＝5．
【答案】(4，10，－21) 【解析】设 P(x，y，z)，则A→P＝(x－2，y－3，z＋2)．因为A→P＝2A→B －3A→C，所以(x－2，y－3，z＋2)＝2(1，－1，4)－3(0，－3，9)＝(2，7， －19)．所以 x－2＝2，y－3＝7，z＋2＝－19，即 x＝4，y＝10，z＝－21．所 以点 P 的坐标为(4，10，－21)．
第一章 空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示
学习目标
素养要求
1．理解空间向量的加法、减法、数乘运算以及数量积的 逻辑推理
坐标运算
2．掌握并能应用向量的夹角公式、距离公式的坐标表示，逻辑推理、
并能运用这些公式解决简单几何体中的问题
数学运算
3．会利用平行关系及垂直关系的坐标表示进行相应的判 逻辑推理、
－8．
关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题 首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算 公式计算． (2)由条件求向量或点的坐标 首先把向量用坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出 其坐标．
1．已知 O 是坐标原点，点 A(2，3，－2)，B(3，2，2)，C(2，0，7)．若 点 P 的坐标满足A→P＝2A→B－3A→C，则点 P 的坐标为__________．
断和证明
数学运算
|自学导引|
空间向量的坐标运算 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则向量运Fra bibliotek 加法 减法 数乘
数量积
向量表示 a＋b a－b λa a·b
坐标表示 ___(_a_1_＋__b_1，__a_2_＋__b_2_，__a_3＋__b_3_)__
(a1－b1，a2－b2，a3－b3) ___(_λ_a_1，__λ_a_2_，__λ_a_3)___ a1b1＋a2b2＋a3b3
【预习自测】
已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－1，0，1)，则a＋2b＝ ( )
A．(－1，2，5)
B．(－1，4，5)
C．(1，2，5)
D．(1，4，5)
【答案】A
【解析】a＋2b＝(1，2，3)＋2(－1，0，1)＝(1，2，3)＋(－2，0，
2)＝(－1，2，5)．故选A．
微思考 平面向量的坐标运算与空间向量的坐标运算有什么联系与区别？ 【答案】提示：平面向量与空间向量的坐标运算均有加减运算、数
【预习自测】
微思考
已知a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，a∥b，且b1b2b3≠0，类比
平面向量平行的坐标表示，可得到什么结论？ 【答案】提示：a∥b⇔ab11＝ab22＝ab33．
向量的坐标及两点间的距离公式
1．一般情况：已知点 P1(x1，y1，z1)与点 P2(x2，y2，z2)，则P→1P2＝(x2 －x1，y2－y1，z2－z1)，|P→1P2|＝___(_x_2_－__x_1)_2_＋_(_y_2_－__y_1)_2_＋__(z_2_－__z1_)_2____．