中南大学自动化专业离散数学实验报告2

“离散数学”实验报告
(实验二AC)
专业：自动化
班级：
学号：
姓名：
2010年12月20日
一、实验目的：
掌握关系的概念与性质，基本的关系运算，关系的各种闭包的求法。

理解等价类的概念，掌握等价类的求解方法。

二、实验内容：
1. 求有限集上给定关系的自反、对称和传递闭包。

（有两种求解方法，只做一种为A，两种都做为B）
2. 求有限集上等价关系的数目。

（有两种求解方法，只做一种为A，两种都做为B）
3. 求解商集，输入集合和等价关系，求相应的商集。

（C）
三、实验环境:
工具：Mcrosoft Visual Studio 2005；
程序设计语言：C语言。

四、实验原理和实现过程（算法描述）:
实验A 求有限集上等价关系的数目。

集合上的等价关系与该集合的划分之间存在一一对应关系。

一个等价关系对应一个划分，一个划分也对应一个等价关系。

我们把n 个元素的集合划分成k块的方法数叫第二类Stirling数，表示为S(n,k)。

给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系：
S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
集合上所有等价类的个数即为k从1到n，所有S(n,k)之和。

这个问题的算法比较简单，仅需两步就可完成，首先根据上式，定义一个递归函数S（n,k），然后对k从1到n，求取sum=∑S（n，
k），sum的值就是给定n元集合上的等价关系数目，最后将其输出即可。

实验A的流程图如下所示：
实验C 求解商集，输入集合和等价关系，求相应的商集商集即等价类构成的集合，要求商集，首先需要判断输入的关系是否为等价关系，否则没有商集。

判断输入的关系是否为等价关系的算法如下：
(1)将输入的关系转换为关系矩阵，这里定义了一个函数translate()，转换的方法为：依次查找输入的关系中的二元组的两个元素在集合中的位置，例如<a，b>，若a在集合A中的位置为i，b
在集合A中的位置为j，就令存放关系矩阵的二维数组M[i][j]=1,这样就将输入的关系R转换为关系矩阵的形式。

(2)定义三个函数zifan(),duichen()和chuandi()，分别的作用是判断输入的关系是否自反、对称和传递。

由等价关系的定义知，若三个函数的返回值均为1，则输入的关系是等价关系。

判断的方法是：若关系矩阵M中所有的M[i][i]=1，则是自反关系；若M中所有的M[i][j]=M[j][i]，则是对称关系；若M[i][j]=1并且M[j][k]=1，那么一定有M[i][k]=1，则是传递关系。

判断了所输入的关系为等价关系后就可以求其商集了，由于商集即等价类构成的集合，所以要求其等价类。

确定集合A={a1,a2,a3,…,a n}关于R的等价类的算法如下：
(1) 令A中每一个元素自成一个子集，A1={a1},A2={a2},…,A n={a n}
(2) 对R中每个二元组< x,y >，判定x和y所属子集。

假设x属于A i，y属于A j，若A i<>A j，则将A i并入A j，并置A i为空；或将A j并入A i，并置A j为空。

一般将元素少的集合合并到元素多的集合。

(3) A1 ,A2,…,A n中所有非空子集构成的集合即为所求商集。

集合的并运算采用并查集(union-find sets)的方法。

并查集是一种树型的数据结构，多棵树构成一个森林，每棵树构成一个集合，树中的每个节点就是该集合的元素，找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。

并查集支持以下三种操作：
(1) Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。

(2) Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合，只要找到这个元素所在集合的祖先即可。

判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

(3) Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单：首先设置一个数组Father[x]，表示x的"父亲"的编号。

那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合的祖先，将另外一个集合的祖先指向它。

实验C的流程图如下所示：
五、实验数据及结果分析:
以下是实验过程中的实验数据截图：实验A
以上三图显示了集合元素数为3、4、5的等价关系数目分别为
5、15、52，根据原递归式计算也是此值。

说明程序正确。

上图显示的是当输入错误的情况，当输入错误时提示错误，再次输入后正确计算出其结果。

由以上图示数据可以看出程序完整地实现了实验A的要求。

实验C
(1)运行程序开始提示输入集合A：
(2)输入集合并回车，频幕上显示要计算的集合A，并提示下一步输入集合上的等价关系R：
(3)输入集合A上的一个等价关系R并回车，显示关系R和它的关系矩阵，以及计算出的商集：
(4)再次运行程序，此次输入的关系不是等价关系，则会出现提示：您输入的不是等价关系，没有商集，请重新输入！
(5)重新输入一个等价关系，输出其正确的计算结果：
由以上实验数据可以看出，程序完整地实现了题目要求。

当然程序编写及调试过程中还遇到很多错误，都一一解决了，但没有截取数
据。

六、源程序清单:
实验A
#include<stdio.h>
int S(int x,int y) /*定义递归函数*/
{
int t;
if(y==1||y==x)
{t=1;}
else {t=S(x-1,y-1)+y*S(x-1,y);}
return t;
}
main()
{
int k,n,sum=0;
printf("请输入有限集合的元素个数：\n");
scanf("%d",&n);getchar();
if(n<=0||n>100)
{
printf("输入错误，请重新输入！\n");
scanf("%d",&n);getchar();
}
for(k=1;k<=n;k++)
{
sum=sum+S(n,k); /*调用递归函数*/
}
printf("给定%d元有限集上等价关系的数目为:\n%d",n,sum); getchar();
}
实验C
# include"stdio.h"
# include"ctype.h"
# include"string.h"
# include"stdlib.h"
# include"math.h"
#define MAX 20
#define STU struct stu
int M[MAX][MAX]; /*存放关系矩阵*/
char A[MAX]; /*存放有限集合*/
char B[MAX]; /*存放等价关系*/
int i,j,p,q,n,l,k,t,y;
STU
{
int m;
char tree[20];
};
STU equ[20];
void make_set(STU equ[],char A[],int n) /*使集合A中的元素自成一个子集*/ {
int i;
for(i=0;i<n;i++)
{
equ[i].m=1;
equ[i].tree[0]=A[i];
equ[i].tree[1]='\0';
}
}
find_set(int j) /*查找二元组中元素所属集合*/
{
int i;
for(i=0;i<j;i++)
{
if(M[j][i])
{
break;
}
}
if(i==j)
{
return -1;
}
else
return i;
}
void unionit(STU equ[],int j,int i) /*合并二元组中元素所属集合*/ {
equ[j].tree[equ[j].m] = equ[i].tree[0];
equ[i].tree[0]= '\0';
equ[i].m = 0;
equ[j].m = equ[j].m+1;
equ[j].tree[equ[j].m] = '\0';
}
void disp(STU equ[],int n) /*输出商集*/ {
int i;
printf("A/R={ ");
for(i=0;i<n;i++)
{
if(equ[i].m!=0)
{
printf("{%s} ",equ[i].tree);
}
}
printf(" }");
}
void caculate(STU equ[],char A[],int n) /*计算商集*/ {
int p;
make_set(equ,A,n);
for(i=0;i<n;i++)
{
p = find_set(i);
if(p!=-1){
unionit(equ,p,i);
}
}
disp(equ,n); /*调用输出商集函数*/
}
void getguanxi() /*获得关系R并输出显示*/ {
gets(B);
l=strlen(B);
printf("您输入的关系为：\n");
printf("R={ ");
for(j=0;j<l;j=j+2)
{
printf("<");
printf("%c,",B[j]);
printf("%c",B[j+1]);
printf("> ");
}
printf(" }\n");
}
void translate() /*转换为关系矩阵的函数*/ {
int p,q,i=0,j;
while(B[i]!='\0')
{
if((B[i]>='A')&&(B[i]<='Z'||B[i]>='a')&&(B[i]<='z'))
{
for(j=0;j<n;j++)
{
if (B[i]==A[j])
{
p=j;
break;
}
}
i++;
while(B[i]!='\0')
{
for(j=0;j<n;j++)
if (B[i]==A[j])
{
q=j;
M[p][q]=1;
break;
}
if(j==n)
i++;
else
{
i++;
break;
}
}
}
else
i++;
}
}
void display() /*输出关系矩阵函数*/
{
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%2d",M[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
int zifan() /*判断输入的关系是否自反函数*/ {
int count = 0;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(M[i][i]==1)
{
count++;
}
}
if(count == n)
return 1;
else
return 0;
}
int duichen() /*判断输入的关系是否对称函数*/ {
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=i+1;j<n;j++)
{
if(M[i][j]!=M[j][i])
{
return 0;
}
}
printf("\n");
}
return 1;
}
int chuandi() /*判断输入的关系是否传递函数*/ {
int flag=1;
for(i=0;i<n;i++)
{
if(flag==0)break;
for(j=0;j<n;j++)
{
if(flag==0)break;
for(k=0;k<n;k++)
{
if((M[i][j]==1&&M[j][k]==1&&M[i][k]!=1))
{
flag=0;
break;
}
}
}
}
return flag;
}
void clearM() /*第一次输入不是等价关系,重新输入前矩阵清零*/ {
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
M[j][i] = 0;
}
void main()
{
printf("请输入一个有限集合(a-z/A-Z):\n");
gets(A);
n=strlen(A);
printf("您输入的集合为：\n");
printf("A={");
for(i=0;i<n;i++) /*输出集合*/
{
printf("%2c",A[i]);
}
printf(" }\n");
printf("请输入这个集合上的一个等价关系R:\n");
getguanxi(); /*调用获得关系R并输出显示函数*/
translate(); /*调用转换为关系矩阵函数*/
printf("R的关系矩阵为：\n");
display(); /*调用输出关系矩阵函数*/
t=zifan()&&duichen()&&chuandi(); /*判断关系是否等价*/
while(t!=1)
{
printf("您输入的不是等价关系，没有商集，请重新输入！\n");
getguanxi(); /*调用获得关系R并输出显示函数*/
clearM();/*矩阵清零*/
translate(); /*调用转换为关系矩阵函数*/
printf("R的关系矩阵为：\n");
display(); /*调用输出关系矩阵函数*/
t=zifan()&&duichen()&&chuandi(); /*判断关系是否等价*/ }
printf("您所输入的集合和等价关系相应的商集为：\n");
caculate(equ,A,n); /*调用计算商集函数*/
getchar();
}
七、其他收获和体会: 。