高考数学第四次适应性考试12月试题 文 试题

卜人入州八九几市潮王学校宁夏第三2021届高考数学第四次适应性考试〔12月〕试题
文
一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分．〕 1．复数34i z =+，那么
5
z
的虚部是 A ．45
-
B ．
45
C ．4-
D ．4
2．设集合A ={x |y =lg(x -3)}，B ={y |y =2x
，x ∈R }，那么A ∪B 等于 A ．φ
B ．R
C ．
{}1>x x
D ．
{}0>x x
3．某为理解1000名新生的近视情况，将这些学生编号为000，001，002，…，999，从这些新生中用系统抽样的方法抽取100名学生进展检查，假设036号学生被抽到，那么下面4名学生中被抽到的是 A ．008号学生
B ．200号学生
C ．616号学生
D ．815号学生
4．为了测试小班教学的理论效果，王教师对A 、B 两班的学生进展了阶段测试，并将所得成绩统计如下列图；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2
A s ，2
B s ，那么观察茎叶图
A ．A x ＜
B x ，2
A s ＜2
B s B ．A x ＞B x ，2
A s ＜2
B s
C ．A x ＜B x ，2
A s ＞2
B s D ．A x ＞B x ，2
A s ＞2
B s
5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的
y 倍，需经过x 年，那么函数
()y f x =的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
6．椭圆22
2
21x y a b
+=()0a b >>分别过点()2,0A 和()0,1B -，那么该椭圆的焦距为
A
．
B
C
．D
．7．假设22
4sin 2cos -
=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
-παα，那么cosα+sinα的值是
A. 2
2-
B.2
1-
C.
2
1 D.
2
2 8．方程22
123
x y m m +=-+表示双曲线的一个充分不必要条件是
A.－3<m<0
B.－3<m<2
C.－3<m<4
D.－1<m<3
9．过双曲线()22
2
210,0x y a b a b
-=>>的左焦点作倾斜角为30的直线l ，假设l 与
y 轴的交点坐标为
()0,b ，那么该双曲线的离心率为
A
．
B
C
．
2 D
．
2
10.奇函数
()f x 在R 上是增函数．
假设21log 5
a f ⎛⎫ ⎪⎝
-⎭
=，()2log 4.1b f =，()0.8
2c f =，那么a 、b 、c 的大小关系为
A ．a b c >>
B ．b a c >>
C ．c b a >>
D ．c a b >>
11.过抛物线C ：x 2
＝2py(p>0)的焦点F 的直线交该抛物线于A 、B 两点，假设4|AF|＝|BF|，O 为坐标原点，
那么
AF
OF = A.
43B.4
5 12．函数
()ln ,01,0
x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，假设12x x ≠且()()12f x f x =，那么12
x x -的最大值为
A
．B ．2
C
D ．1
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分.
13．非零向量b a
,满足b
a b a -=+，那么向量b a ,的夹角>=<b a
,________．
14．正项等比数列{a n }中，2
34a a a ⋅=，假设S 3
＝31，那么a n
＝_____．
15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：““幂势既同〞.假设圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，由此推算三棱锥的体积为________．
16. 1,0R x ∈∃02
031x x >+〞的否认是“∀x ∈R ，x 2+1＜3x 〞；
〔2〕在回归分析中，相关指数R 2为的模型比R 2
为的模型拟合效果好； 〔3〕a ，b ∈R ，
:p b a <，q ：011<<a
b ，那么p 是q 的充分不必要条件；
〔4〕幂函数f 〔x 〕=〔m 2
-3m +3〕x m
为偶函数，那么f 〔-2〕=4． 其中正确的序号为______
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分，
17、(本小题总分值是10分)〔12分〕在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，
且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+．
〔1〕求()sin
A C -的大小；
〔2〕假设ABC △的面积为3
3，求ABC △的周长．
18．〔12分〕对某校高三年级学生参加社区效劳次数进展统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区效劳的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下列图.
(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；
(2)假设该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区效劳的次数在区间[10,15)内的人数；
(3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数、中位数以及平均数． 19.〔12分〕如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，
点E 是边
AD 上的一点，且2AE ED =，点H 是BE 的中
点，将ABE △沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且有SC SD =．
分组 频数 频率 [10,15) 10
[15,20) 24
n [20,25) m
p
[25,30] 2
合计
M
1
〔1〕证明：SH BCDE ⊥平面；
〔2〕求四棱锥S BCDE -的体积．
20..(此题总分值是12分)数列
{}{}n n b a ,满足11=a ，n
n a a 4111-
=+，1
22-=
n n
a b ,其中．
(1).求证：数列
{}n b 是等差数列,并求出数列{}n a 的通项公式；
(2).设1
4+=
n a c n
n
,求数列{}2+n n c c 的前n 项和．
21.(此题总分值是12分)椭圆E ：)
0(12
2
22>>=+b a b y a x 的离心率为21，以椭圆的短轴为直径的圆与直线x －y ＋
6＝0相切。

(1)求椭圆E 的方程；
(2)设椭圆过右焦点F 的弦为AB ，过原点的弦为CD ，假设AB//CD ，求证：
2
AB
CD 为定值。

22.(12分)设a>0，函数.
(1).当a=1时，求函数
()x f 的单调区间；
(2).假设函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有唯一零点，试求a 的值．
答案解析： 一、选择题： 1.【答案】A
【解析】由34i z
=+，得()()()534i 5534i 34i 34i 34i 5z --=
==++-，所以虚部为4
5
-． 应选A ． 2.【答案】D 3.【答案】C
【解析】由题意得抽样间隔为
1000
10100
=， 因为036号学生被抽到，所以被抽中的初始编号为006号， 之后被抽到的编号均是10的整数倍与6的和，应选C ． 4.【答案】B 【解析】
A 班学生的分数多集中在[]70,80之间，
B 班学生的分数集中在[]50,70之间，故>A B x x ；
相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，故2
2
A B
s s <，应选B 5.【答案】B
【解析】根据题意，函数解析式为()1.1040,x y x =>函数为指数函数，底数1.1041>，递增，应选B ．
6.【答案】C 【解析】由题意可得2a =，1b =，所以24a =，21b =，
所以c
==2c =C ．
7.【答案】C 8.【答案】A 9.【答案】D
【解析】由题意设直线l 的方程为
)y x c =
+，
令0x
=，得3
y c =
，
b =，所以22222232a
c b b b b =-=-=，
所以2
e ==，应选D
10.【答案】A
【解析】函数
()y f x =在R 上是奇函数，()22211log log log 555a f f f ⎛
⎫⎛
⎫∴=-=
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
又函数
()y f x =在R 上是增函数，且0.8222log 5log 4.1log 422>>=>，
()()()0.822log 5log 4.12f f f ∴>>，a b c ∴>>，应选A ．
11.【答案】B 12.【答案】B
【解析】如以下列图所示： 设点
A 的横坐标为1x ，过点A 作y 轴的垂线交函数()y f x =于另一点
B ，
设点B 的横坐标为2x ，并过点B 作直线1y x =+的平行线l ，
设点
A 到直线l 的间隔为d ，122x x d -=，
由图形可知，当直线l 与曲线ln y x x =相切时，d 取最大值，
当0x
>时，()ln f x x x =，令()ln 11f x x '=+=，得1x =，切点坐标为()1,0，
此时，101
22
d
-+==，12max 222x x ∴-=⨯=，应选B ．
二、填空题 13.【答案】
2
π 14、【答案】15n -
【解析】由234·
a a a =，得123111·a q a q a q =，所以11a =．
又因为12331a a a ++=，即2131q q ++=，
所以5q
=或者6q =-(舍去)，所以15n n a -=．
15.【答案】
3
3π 16.【【答案】〔2〕〔4〕
【解析】解：〔1〞的否认是“∀x ∈R ，x 2
+1≤3x 〞，故错误；
〔2〕在回归分析中，由定义可知，相关指数绝对值越接近1，相关性越强，相关指数R 2为的模型比R 2
为的模
型拟合效果好，故正确；
〔3〕a ，b ∈R ，，那么p 是q 的必要不充分条件，故错误；
〔4〕幂函数f 〔x 〕=〔m 2-3m +3〕x m
为偶函数，
∴m 2
-3m +3=1，∴m =2，或者m =1〔舍去〕那么f 〔-2〕=4．故正确． 故答案为〔2〕，〔4〕． 三、解答题：
17.〔10分〕【答案】〔1〕1；〔2〕36．
【解析】〔1〕因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，
由正弦定理可得()()2
222a
b b
c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-，
∴2221
cos 22
b c a A bc +-==-，解得120A =︒．
又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒，
∴()()sin
sin 120301A C -=︒-︒=．
〔2〕由〔1〕知b c =，
120A =︒，∴21
sin120332
b ︒=3b
c ==
由余弦定理，得2
2212cos 1212212362a
b c bc A ⎛⎫
=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭
，即6a =．
∴
ABC 的周长为36．
18.[解析]〔12分〕(1)由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25，知＝0.25，所以M ＝40.
因为频数之和为40，所以10＋24＋m ＋2＝40，m ＝4，p ＝＝＝0.10. 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a ＝＝0.12. (2)因为该校高三学生有240人，分组在[10,15)内的频率是0.25， 所以估计该校高三学生参加社区效劳的次数在此区间内的人数为60. (3)估计这次学生参加社区效劳人数的众数是n ＝＝0.6， 所以样本中位数是15＋≈1，
估计这次学生参加社区效劳人数的中位数是1，
样本平均人数是1×0.25＋1×0.6＋2×0.1＋2×0.05＝15， 估计这次学生参加社区效劳人数的平均数是15.
19.【答案】〔1〕见解析；〔2〕
423
．
【解析】〔1〕取CD 的中点M ，连接HM ，SM ， 由得
2AE AB ==，∴2SE SB ==，
又点H 是BE 的中点，∴SH BE ⊥．
因为SC
SD =，点M 是线段CD 的中点，∴SM CD ⊥．
又因为HM BC ∥，∴HM CD ⊥，从而CD ⊥平面SHM ，∴CD SH ⊥， 又CD ，BE 不平行，∴SH ⊥平面BCDE ．
〔2〕由〔1〕知2sin452SH
AH ==⨯︒=
，1
13
DE
BC ==， 底面BCDE 的面积为()1
31242
S
=⨯+⨯=， ∴四棱锥S BCDE -的体积142
4233
V
=⨯⨯=
． 20【答案】〔I 〕证明：∵
=
=，
∴数列{b n }是公差为2的等差数列，又，∴b n =2+〔n -1〕×2=2n ，∴，解得，
．
〔II 〕解：由〔I 〕可得，
∴，∴数列{c n c n +2}的前n 项和为
=
，．
21.
22.【答案】解：〔1〕函数f〔x〕=x2-2ax-2a ln x，当a=1时，f〔x〕=x2-2x-2ln x，〔其中x＞0〕；∴f′〔x〕=2x-2-=，
令f′〔x〕=0，即x2-x-1=0，
解得x=或者x=〔小于0，应舍去〕；
∴x∈〔0，〕时，f′〔x〕＜0，
x∈〔，+∞〕时，f′〔x〕＞0；
∴f〔x〕的单调减区间是〔0，〕，
单调增区间是〔，+∞〕；
〔2〕f〔x〕=x2-2ax-2a ln x，
那么f′〔x〕=2x-2a-=，
令f′〔x〕=0，得x2-ax-a=0，∵a＞0，∴=a2+4a＞0，∴方程的解为x1=＜0〔舍〕，
x2=＞0；
∴函数f〔x〕在〔0，x2〕上单调递减，在〔x2，+∞〕上单调递增，
∴f〔x〕的大致图象如下列图，
那么f〔x〕min=f〔x2〕，假设函数y=f〔x〕在区间〔0，+∞〕上有唯一零点，
那么f〔x2〕=0，
而x2满足x22=ax2+a，
∴f〔x2〕=ax2+a-2ax2-2a ln x2=a〔x2+1-2x2-2ln x2〕=0，
得1-x2-2ln x2=0，
∵g〔x〕=2ln x+x-1在是单调递增的，∴g〔x〕至多只有一个零点，
而g〔1〕=0，
∴用x2=1代入x22-ax2-a=0，
得1-a-a=0，
解得a=．。