山东枣庄中考数学解析

2019年山东省枣庄市初中学业水平考试
数学
(满分120分,考试时间120分钟)
一、选择题：本大题共12小题,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选
对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个均计零分
1．(2019山东枣庄,1题,3分) 下列运算,正确的是
A.2x+3y＝5xy
B.(x－3)2＝x2－9
C.(xy2)2＝x2y46÷x3=x2
【答案】C
【解析】A.不是同类项,不能合并;B.(x－3)2＝x2－6x+9,故B错误;C.正确6÷x3=x3,故D错误;故选C.
【知识点】合并同类项,完全平方公式,积的乘方,幂的乘方,整式除法
2．(2019山东枣庄,2题,3分)下列图形,可以看做中心对称图形的是
【答案】B
【解析】中心对称图形是该图形绕某点旋转180°后,可以和原图形重合,则该图形称为中心对称图形,A,C选项旋转120°或240°可重合,但是旋转180°不能重合,故错误;D选项旋转72°的整数倍均可与圆图形重合,但是旋转180°不能重合,故错误;B选项正确.故选B.
【知识点】中心对称图形
3．(2019山东枣庄,3题,3分)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是
°°°°
第3题图
【答案】C
【解析】在直角三角形中,可得∠1+∠A＝90°,∵∠A＝45°,∴∠1＝45°,∴∠2＝∠1＝45°,∵∠B＝30°,∴∠α＝∠2+∠B＝75°,故选C.
第3题答图
【知识点】直角三角形两锐角互余,对顶角相等,三角形的外角
4．(2019山东枣庄,4题,3分)如图,一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A,B两点,P是线段AB上任意一点(不包括端点),过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8,则该直线的函数表达式是
＝－x+4＝x+4＝x+8＝－x+8
第4题图
【答案】A
【解析】由题可知,矩形ONPM中,ON+NP+PM+MO＝8,∴OM+ON＝4,设P(x,y),则x+y＝4,即y＝－x+4,故选A.
第4题答图
【知识点】一次函数,矩形
5．(2019山东枣庄,5题,3分) 从－1,2,3,－6这四个数中任取两个数,分别记作m,n,那么点(m,n) 在函数
6
y
x
图象
上的概率是
A.1
2
B.
1
3
C.
1
4
D.
1
8
【答案】B
【解析】从－1,2,3,－6这四个数中任取两个数,所有可能的结果有12种,每种结果的可能性相同,其中,两数乘积为
6的结果有4种,当两数乘积为6时,点(m,n)必定在函数
6
y
x
=的图象上,因此P＝
41
=
123
.故选B
【知识点】概率,反比例函数
6．(2019山东枣庄,6题,3分)在平面直角坐标系中,将点A(1,－2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A',则点A'的坐标是
A.(－1,1)
B.(－1,－2)
C.(－1,2)
D.(1,2)
【答案】A
【解析】根据平面直角坐标系中点的平移与坐标的关系,向上平移3个单位长度,则点A的纵坐标加3,向左平移2个单位长度,则点A的横坐标减2,则A'(1－2,－2+3),即A'(－1,1),故选A.
【知识点】平面直角坐标系中点的平移与坐标的关系
7．(2019山东枣庄,7题,3分)如图,点E是正方形ABCD的边DC上一点,把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABE的位置,若四边形AECF的面积为20,DE＝2,则AE的长为
B. D.
第7题图
【答案】D
【解析】由旋转可得,S正方形ABCD＝S四边形AECF＝20,即AD2＝20,∴AD＝,∵DE＝2,∴在Rt△ADE中,AE＝
故选D.
【知识点】图形的旋转,正方形的面积,勾股定理
8．(2019山东枣庄,8题,3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,以点B为圆心,AB为半径画弧,交对角线BD与点E,则图中阴影部分的面积是(结果保留π)
－π－2π－2π－1 2π
第8题图【答案】C
【解析】在边长为4的正方形ABCD 中,BD 是对角线,∴AD ＝AB ＝4,∠BAD ＝90°,∠ABE ＝45°,∴S △ABD ＝
1
2
AD AB ⋅⋅＝8,S 扇形ABE ＝
2454360π⋅⋅＝8－2π,故选C. 【知识点】扇形的面积,不规则图形的面积
9．(2019山东枣庄,9题,3分) 如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC 的顶点A,B 分别在x 轴,y 轴的正半轴上,∠ABC ＝90°,CA ⊥x 轴,点C 在函数k
y x =
(x>0)的图象上,若AB ＝1,则k 的值为
第9题图 【答案】A
【解析】在等腰直角三角形ABC 中,AB ＝1,∴AC ,∵CA ⊥x 轴,∴y C ,Rt △ABC 中,∠BAC ＝45°,CA ⊥
x 轴,∴∠BAO ＝45°,∴∠ABO ＝45°,∴△ABO 是等腰直角三角形,∴OA ＝
2,∴x C ＝2
,k ＝x C `y C ＝1,故选A 【知识点】等腰直角三角形,反比例函数
10．(2019山东枣庄,10题,3分)如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面四个选项中的图片,适合填补图中空白处
的是
【答案】D
【解析】根据图中规律可发现,每行的点数和均为10,故选D 【知识点】找规律
11．(2019山东枣庄,11题,3分)点O,A,B,C 在数轴上的位置如图所示,O 为原点,AC ＝1,OA ＝OB,若点C 所表示的数为a,则点B 所表示的数为
A.－(a+1)
B.－(a －1) +1 －1
第11题图 【答案】B 【解析】∵点C 所表示的数为a,AC ＝1,点A 在点C 的左边,∴点A 所表示的数为(a －1),∵OA ＝OB,∴点A 和点B 所表示的数互为相反数,故点B 所表示的数为－(a －1),故选B 【知识点】数轴表示数,相反数 12．(2019山东枣庄,12题,3分)如图,将△ABC 沿BC 边上的中线AD 平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC 的面积为
16,阴影部分三角形的面积为9,若AA'＝1,则A'D 等于
D.
32
第12题图 【答案】B
【思路分析】根据平移得到相似,由相似三角形面积比等于相似比的平方,得到相似比,进而得到两中线的比,求出
A'D 的长
【解题过程】由平移可得,△ABC ∽△A'MN,设相似比为k,∵S △ABC ＝16,S △A'MN ＝9,∴k 2＝16:9,∴k ＝4:3,因为AD
和A'D 分别为两个三角形的中线,∴AD:A'D ＝k ＝4:3,∵AD ＝AA'+A'D,∴AA':A'D ＝1:3,∵AA'＝1,则A'D ＝3,故选B
第12题答图
【知识点】图形的平移,相似三角形的性质
二、填空题：本大题共6小题,满分24分,只填写最后结果,每小题填对得4分. 13．(2019山东枣庄,13题,4分)若m －1m ＝3，则m 2+21
m
＝________. 【答案】11
【解析】m 2+
21m ＝(m －1m
)2
+2＝32+2＝11 【知识点】完全平方公式
14．(2019山东枣庄,14题,4分)已知关于x 的方程ax 2+2x －3＝0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是
________.
【答案】a>
1
3
-且a≠0
【解析】因为关于x的方程ax2+2x－3＝0有两个不相等的实数根,∴a≠0,且22－4a(－3)>0,解之得,a>
1
3
-且a≠0.
【知识点】一元二次方程根的判别式
15．(2019山东枣庄,15题,4分)如图,小明为了测量校园里旗杆AB的高度,将测角仪CD竖直放在距旗杆底部B点6m的位置,在D处测得旗杆顶端A的仰角为53°,若测角仪的高度是1.5m,则旗杆AB的高度约为________m(精确到0.1m).
(参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
第15题图
【答案】
【解析】由题可知BC＝6m,CD＝1.5m,过D作DE∥BC交AB于点E,易知四边形BCDE是矩形,∴DE＝BC＝6m,在Rt△ADE中,AE＝DE·tan53°＝7.98m,EB＝CD＝1.5m,∴AB＝AE+EB＝≈
第15题答图
【知识点】利用三角函数测高
16．(2019山东枣庄,16题,4分)用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结(如图1所示),然后轻轻拉紧,压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE.图中,∠BAC＝________.
【答案】36°
【解析】正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°,∴∠ABC＝540°÷5＝108°,∵BA＝BC,∴∠BAC＝∠BCA ＝36°
【知识点】正多边形,等边对等角
17．(2019山东枣庄,17题,4分)把两个同样大小含45°的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶
点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点B,C,D 在同一直线上,若AB ＝2,则CD ＝________.
第17题图
【解析】在等腰直角△ABC 中,∵AB ＝2,∴BC ＝过点A 作AM ⊥BD 于点M,则AM ＝MC ＝1
2BC 在
Rt △AMD 中,AD ＝BC ＝∴MD ,∴CD ＝MD －MC
第17题答图
【知识点】勾股定理
18．(2019山东枣庄,18题,4分) 观察下列各式：
11111122⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭
111112323⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭
111113434⎛⎫=+=+- ⎪⨯⎝⎭
……
请利用你发现的规律，计算：
+12018+
其结果为________.
【答案】2018
20182019
【思路分析】根据题中所给的三个等式,发现规律,然后按照规律化简要求的式子 【解题过程】原式＝1111
1+
+1++1+++1+
122334
20182019
⨯⨯⨯⨯
＝1111111
2018122334
20182019
+-+-+-++
-
＝1
20192019
- ＝2018
2018
2019
【知识点】找规律,有理数的运算
三、解答题：本大题共7小题,满分60分,要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．(2019山东枣庄,19题,8分)先化简,再求值:221111x x x ⎛⎫
÷+ ⎪--⎝⎭,其中,x 为整数且满足不等式组11522x x ->⎧⎨
-≥-⎩
. 【思路分析】先进行分式化简,然后解不等式组,在解集中找到一个合适的值,代入化简结果,进行计算
【解题过程】原式＝()()()()22111111111
x x x x x x x x x x x x +--÷=⋅=
+--+-+,解不等式组,得7
22x <≤,取x ＝3,代入原式可得原式＝
1x x +＝331+＝3
4
【知识点】分式化简求值,解不等式组
20．(2019山东枣庄,20题,8分)如图,BD 是菱形ABCD 的对角线,∠CBD ＝75°.
(1)请用尺规作图法,作AB 的垂直平分线EF,垂足为E,交AD 与F(不要求写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)条件下,连接BF,求∠DBF 的度数.
第20题图 【思路分析】(1)作AB 的垂直平分线;(2)连接BF,设∠A ＝x,通过等腰三角形等边对等角,得到∠BFD,通过菱形的性质,得到∠FBD,进而在△BFD 中利用三角形内角和得到方程,求出x 的值,则∠DBF 的度数可求. 【解题过程】(1)如图所示,即为所求的图形
(2)连接BF,∵EF 垂直平分AB,∴FA ＝FB,∴设∠A ＝∠ABF ＝x,则∠DFB ＝∠A+∠ABF ＝2x,在菱形ABCD 中,AD
∥BC ,AD ＝AB ,∵∠CBD ＝75°,∴∠ADB ＝∠CBD ＝75°,在△ABD 中,∵AD ＝AB ,∴∠ABD ＝∠ADB ＝75°,∴∠DBF ＝75°－x,在△BDF 中,∠DFB ＝2x,∠ADB ＝75°,∠DBF ＝75°－x,∠DFB+∠ADB+∠DBF ＝180°,∴x ＝30°,∴∠DBF ＝45°
第20题答图
【知识点】菱形,线段垂直平分线,等边对等角,三角形的外角,三角形的内角和,一元一次方程
21．(2019山东枣庄,21题,8分)对于实数a、b，定义关于的一种运算：a⊗b＝2a+b.例如3⊗4＝2×3+4＝10.
(1)求4⊗(－3)的值；
(2)若x⊗(－y)＝2，(2y)⊗x＝－1，求x+y的值.
【思路分析】(1)根据题目给出的运算法则，进行运算即可;(2)根据法则可得关于x和y的二元一次方程组,解之可得x和y的值,进而求得x+y的值.
【解题过程】(1)根据题意得：4⊗(－3)＝2×4+(－3)＝5;
(2)∵x⊗(－y)＝2，(2y)⊗x＝－1,∴2x+(－y)＝2,2×2y+x＝－1,解这个二元一次方程组,得,x＝7
9
,y＝
4
9
-,∴x+y＝
1
3
【知识点】新定义运算,二元一次方程组
22．(2019山东枣庄,22题,8分)4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”某校相应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读.该校文学社为了解学生课外阅读情况，抽样调查了部分学生每周用于课外阅读的时间，过程如下：
一、数据收集，从全校随机抽取20名学生，进行每周用于课外阅读时间的调查，数据如下(单位：min)：
(1)表格中的数据：a＝________,b＝________,c＝________；
(2)用样本中的统计量估计该校学生每周用于课外阅读时间的等级为________；
(3)如果该校现有学生400人，估计等级为“B”的学生有________人；
(4)假设平均阅读一本课外书的时间为320分钟，请你用样本平均数估计该校学生每人一年(按52周计算)平均阅读________本课外书.
【思路分析】(1)根据数据整理方法和中位数的概念进行计算;(2)根据题目中的要求进行判断;(3)计算样本百分数,
用样本估计总体;(4)利用样本平均数进行计算.
【解题过程】(1)整理数据可知:40≤x<80范围内有5个数据,120≤x<160范围内有4个数据,因为数据总数为20个,位于中间位置的两个数为80 和81 ,故中位数为80.5,答案为:a＝5,b＝4,c＝80.5;
(2)因为80≤x<120范围内的人数为8人,为最多,故等级为B;
(3)400×8
20
＝160(人);
(4)52×80÷320＝13(本)
【知识点】数据的整理,中位数,样本估计总体,平均数
23．(2019山东枣庄,23题,8分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作O，点D为O上一点，且CD＝DB，连接DO并延长交CB的延长线于点E.
(1)判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；
(2)若BE＝2，DE＝4，求圆的半径及AC的长.
第23题图
【思路分析】(1)由过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线可知，点D在圆上，只要证明∠D是直角即可，通过证明全等得到；(2)分别在Rt△OBE,Rt△CDE和Rt△ABC中,利用圆的半径相等(OB＝OD),勾股定理,切线长定理(CB＝CD),依次求出OB,OD,AB,BC,最后求出AC的长.
【解题过程】(1)连接CO∵点D在圆上,∴OD＝OB,∵CD＝CB,CO＝CO,∴△COD≌COB(SSS),∵∠ABC＝90°,∴∠D＝∠ABC＝90°,∴OD⊥DC,∴直线CD与O相切;
(2)设OD＝OB＝x,∵DE＝4,∴OE＝4－x,在Rt△OBE中,BE2+BO2＝OE2,即22+x2＝(4－x)2,解之,得,x＝1.5,∴OD＝OB＝1.5,AB＝2OB＝3,∵CB,CD是圆的切线,∴设CB＝CD＝y,在Rt△CDE中,CD2+DE2＝CE2,即y2+42＝(y+2)2,
解之,得,y＝3,∴BC＝3,在Rt△ABC中,AC 5.
第23题答图
【知识点】切线的判定,切线长定理,勾股定理
24．(2019山东枣庄,24题,10分)在△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC,AD⊥BC于点D.
(1)如图1,点M,N分别在AD,AB上，且∠BMN＝90°,当∠AMN＝30°,AB＝2时,求线段AM的长;
(2)如图2,点E,F 分别在AB,AC 上,且∠EDF ＝90°,求证:BE ＝AF;
(3)如图3,点M 在AD 的延长线上,点N 在AC 上,且∠BMN ＝90°,求证:AB+AN
【思路分析】(1)在△ABD 中得到BD 和AD,在△BDM 中求出MD,进而得到AM 的长度;(2)通过证明△BED ≌△AFD 得到BE ＝AF;(3)过点M 作AB,AC 的垂线,构造全等三角形,将AB+AN 转化为正方形的两条边长的和,进而利用正方形的性质得到结论.
【解题过程】(1)在△ABC 中,AB ＝AC,AD ⊥BC 于点D,∴BD ＝DC,∠BAD ＝12
∠BAC,∵∠BAC ＝90°,∴∠BAD
＝45°,在Rt △ABD 中,∠BAD+∠ABD ＝90°,∴∠ABD ＝∠BAD ＝45°,∴AD ＝BD,∵AB ＝2,∴AD ＝BD
AB ,∵∠BMN ＝90°,∠AMN ＝30°,∴∠BMD ＝60°,在Rt △BMD 中,MD ＝
tan BD BMD ∠∴AM ＝AD
－MD ; (2)∵AD ⊥BC,∴∠BDE+∠EDA ＝90°,∵∠EDF ＝90°,∴∠EDA+∠ADF ＝90°,∴∠BDE ＝∠ADF,在△ABC 中,∠BAC ＝90°,∴∠B+∠C ＝90°,∵AD ⊥BC,∴∠DAC+∠C ＝90°,∴∠B ＝∠DAF,∵AD ＝BD,∴△BED ≌△AFD(ASA),∴BE ＝AF;
(3)过点M 作ME ⊥AB 于点E,作MF ⊥AC 于点F,∴∠MEB ＝∠MFN ＝90°,∵AM 平分∠BAC,∴ME ＝MF,在四边形AEMF 中,∵∠BAC ＝∠MEB ＝∠MFN ＝90°,∴四边形AEMF 是矩形,∠EMF ＝90°,∴∠EMN+∠NMF ＝90°,∵∠BMN ＝90°,∴∠BME+∠EMN ＝90°,∴∠BME ＝∠NMF,∴△BME ≌△NMF(ASA),∴BE ＝NF,在矩形
AEMF 中,ME ＝MF,∴矩形AEMF 是正方形,∴AE ＝AF AM,∴AB+AN ＝AE+AF ＝2AM
第24题答图(3)
【知识点】等腰直角三角形,三线合一,等角对等边,三角函数,全等三角形的判定,同角的余角相等,角平分线的性质,矩形的判定,正方形的判定
25．(2019山东枣庄,25题,10分)已知抛物线y ＝ax 2+
32
x+4的对称轴是直线x ＝3，与x 轴相交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，与y 轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；
(2)如图1，若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点(不与B 、C 重合)，是否存在点P ，使四边形PBOC 的面积最大？若存在，求点P 的坐标及四边形PBOC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.
(3)如图2，若点M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN ＝3时，求点M 的坐标.
【思路分析】(1)根据对称轴公式得到a 的值,再通过解一元二次方程求得A,B 的坐标;(2)将四边形ABPC 分为两个三角形分别求面积,其中△BPC 的面积与点P 的位置有关,将面积用点P 的坐标表示,通过求二次函数的最值求得四边形面积的最值;(3)M,N 的横坐标相同,由此可得表示MN 长度的代数式,由题中MN ＝3得到方程,进而求解,得到点M 的坐标.
【解题过程】(1)抛物线y ＝ax 2+32x+4的对称轴为:x ＝3
32224b a a a -=-=-＝3,∴a ＝14
-,∴抛物线的解析式为:y ＝14-x 2+32x+4,令y ＝0,得14-x 2+32
x+4＝0,解之,得,x 1＝－2,x 2＝8,∵点B 在点A 的右侧,∴A(－2,0),B(8,0); (2)连接BC,在抛物线y ＝14-x 2+32
x+4中,令x ＝0,得y ＝4,∴C(0,4),∴OC ＝4,OB ＝8,∴S △OBC ＝16,∵B(8,0),C(0,4),设l BC ：y ＝kx+b ，得0＝8k+b ，4＝b ，∴k ＝12-,b ＝4,l BC ：y ＝12
-x+4,∴过点P 作PD ∥y 轴交BC 于点D,过点C 作CE 垂直PD 于点E,过点B 作BF ⊥PD 于点F,则S △PBC ＝S △PCD +S △PBD ＝
12PD ×CE+12PD ×BF ＝12PD ×(CE+BF)＝12PD ×(x B －x C )＝12PD ×8＝4PD,∵点P 在抛物线上,设点P(x,14-x 2+32
x+4),∵PD ∥y 轴,点D 在直线BC 上,∴D(x,12-x+4),∵点P 在B,C 间的抛物线上运动,∴PD ＝y P －y D ＝14-x 2+32x+4－(12-x+4)＝14
-x 2+2x,S △PBC ＝4PD ＝4(14
-x 2+2x)＝－x 2+8x ＝－(x －4)2+16，∴当x ＝4时，S △PBC 取最大值16，∴此时S 四边形OBPC ＝S △OBC +S △PBC ＝32;
第25题答图
(3)∵MN∥y轴,∴设M,N的横坐标为m,∵点M在抛物线上,设点M(m,n),其中n＝
1
4
-m2+
3
2
m+4,点N在直线BC
上,∴N(m,
1
2
-m+4),∵点M是抛物线上任意一点,∴点M和点N的上下位置关系不确定,∴MN＝|
1
4
-m2+
3
2
m+4
－(
1
2
-m+4)|＝|
1
4
-x2+2x|,∵MN＝3,∴|
1
4
-x2+2x|＝3,即
1
4
-x2+2x＝3或
1
4
-x2+2x＝－3,解这两个方程,得m1＝2,
m2＝6, m3＝4+4＝4－∴n1＝6, n2＝4, n31, n4－1,∴M1(2,6), M2(6,4), M3(4+
－1), M4(4－－1).
【知识点】二次函数解析式,交点坐标,三角形面积,二次函数最值,一元二次方程。