专题 三角恒等变换与解三角形(课件)2023届高考数学二轮专题复习
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（2）若 ,且 ,求 .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案] 由（1）知， .由 及正弦定理得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 , .由余弦定理得 ,得 ,得 ，解得 或 ，
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当 时， ,经验证，符合题意，所以 .当 时， ,又 ,所以 ，由（1）及三角形内角和定理得 , .所以有 ,代入 , , 不成立，所以此种情况不符合题意.综上所述， .
（答案不唯一， , 中任意一个值均可）
解析：由 ，得 ，所以 ，所以 , ,即 , 时，等式可成立.令 ,得 ,符合题意.
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考点二 正弦定理、余弦定理的应用
角度1 利用正、余弦定理求边或角
例2 （1）（2022·春季高考上海卷）在 <m></m> 中， <m></m> , <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 外接圆的半径为_ ___.
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研考点 破重难
02
考点一 三角恒等变换
例1 （1）已知 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> 的值为( )
A. B. C. D.
解析：因为 ,所以 ,由 得 .所以 .故选B.
√
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（2）（2022·贵州贵阳监测考试）若 <m></m> ,则 <m></m> ( )
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（1）求 的面积；
【解】由 ，得 ，即 ，又 ，所以 .由 ，得 或 （舍去），所以 ，则 的面积 .
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（2）若 ，求 ．
【解】由 ， 及正弦定理知 ，即 ，所以 （负值舍去）.
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例3 （2022·新高考卷Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 , , .已知 , ．
（2）在判断三角形的形状时，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.
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角度2 利用正、余弦定理计算面积
例3 （2022·新高考卷Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 , , .已知 , ．
解析：由已知得 ，解得 ，由 （ 为 外接圆的半径），得 .
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（2）（2022·安徽合肥第一次质量检测）锐角三角形 <m></m> 的内角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，若 <m></m> ，则 <m></m> ___.
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（2）若 , ，求 的周长.
[答案] 由（1）及 得， ,所以 .因为 ,所以 ,得 ,所以 的周长 .
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4.（2022·高考全国卷乙）记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 .
【考情分析】 高考对此部分内容考查多集中于利用正、余弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换，求解边、角及三角形面积和周长，还考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.高考对解三角形的考查，三种题型均可出现，难度中等偏下.
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 ,整理，得 ，即 ，所以 ，故选C.
√
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3.（2021·高考全国卷乙）记 <m></m> 的内角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，面积为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> _____.
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考点三 解三角形中的最值或范围问题
例5 （2022·广东佛山教学质量检测（一））在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ,且满足 .
（1）求 ;
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【解】 由 ,结合余弦定理，得 ,即 ,所以 ,又 ，所以 .
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（2）若 ,求 的取值范围.
解析：由题意得 ，则 ，所以 ,所以 ，则 .
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4.（2022·高考全国卷乙）记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 .
（1）证明： ；
证明：方法一：由 可得， ，结合正弦定理 可得 ,
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即 .利用三角形的射影定理，得 ,又 ,所以 ,所以 .方法二：因为 ,所以 ,同理有 ，所以 ,由正弦定理可得 .
A. B. C. D.
解析：方法一：由 ,解得 ，所以 ，所以 .故选A.方法二：令 ,则 , ,所以 .故选A.
√
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三角恒等变换的“四大策略”（1）常值代换：特别是“1”的代换, 等. （2）项的分拆与角的配凑：如 , .（3）降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.（4）弦、切互化：一般是切化弦.
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1.（2022·山东潍坊高三上学期考试）已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B. ,故选B.
√
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2.（2022·福建福州质量检测）使等式 <m></m> 成立的 <m></m> 的一个值为_ __________________________________________________.
2023届高考数学复习专题★★ 三角恒等变换与解三角形
1.（2021·高考全国卷甲）在 中，已知 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.由余弦定理 ，得 ，解得 或 （舍去）.故选D.
√
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2.（2022·新高考卷Ⅱ）若 ，则( )
（1）求证： .
解：若选择①,证明过程如下：由 ,得 ,
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因为 ，所以 ,所以 ,所以 .因为 , ,所以 ,所以 或 ,即 或 （舍去）.若选择②,证明过程如下：由 及 ，得 ，得 ，由正弦定理得 ， 所以 ，即 ,
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所以 .因为 , ,所以 ,所以 或 ,即 或 （舍去）.
三角形面积公式的应用原则
（1）对于面积公式 ,一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.
（2）与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.[注意] 求面积的最值时，若利用基本不等式应注意其使用条件.
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角度3 正、余弦定理的实际应用
例4 （2022·辽宁沈阳一模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的
A. B. C. D.
√
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解析：选C.因为 ,所以由正弦定理化边为角，得 ，即 ,即 ,由正弦定理化角为边，得 .由余弦定理得 ，结合 式消去 ,得 ,当且仅当 ，即 时等号成立.故选C.
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解三角形实际应Biblioteka 题的步骤返回导航1.（2022·高三名校联考信息卷（三））在 <m></m> 中， <m></m> , <m></m> , <m></m> 分别是角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边，已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的面积为 <m></m> ，则 <m></m> ( )
解析：因为 ，所以 ，即 ,所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 .
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正、余弦定理的适用条件（1）“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.（2）“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.
[注意] （1）已知两边和其中一边的对角，利用余弦定理.求第三边时，应注意检验，否则易产生增根.
A. B. C. D.
√
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解析：选B.在 中，因为 , ,所以 ，可得 .又 , 的面积为 ，所以 ,解得 ,由余弦定理 ,得 ,所以 ,由正弦定理，得 .故选B.
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2.（2022·湖南长沙一中考前预测）在“① ,② ”这两个条件中任取一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , , 为 的面积，已知 .
三点 <m></m> , <m></m> , <m></m> 处测得其顶点 <m></m> 的仰角分别为 <m></m> , <m></m> ， <m></m> ,且 <m></m> ，则滕王阁的高度 <m></m> _______ <m></m> .
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解析：设 ,由题意知 , , ,所以 , , .在 中，由余弦定理 ,得 ①.在 中，由余弦定理 ,得 ②.因为 ,所以①+②，得 ，解得 （负值舍去）,所以 .
【解】 由正弦定理可得 ,得 , ,则 ， 由 ,得 ,则 , .故 的取值范围为 .
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例5 （2022·广东佛山教学质量检测（一））在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ,且满足 .
求解三角形中的最值或范围问题的方法
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（2022·四川成都第二次诊断性检测）已知 中，角 , , 的对边分别为 , , .若 ，则 的最小值为( )
（2）若 ,且 ,求 .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
[答案] 由（1）知， .由 及正弦定理得 ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 , .由余弦定理得 ,得 ,得 ，解得 或 ，
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当 时， ,经验证，符合题意，所以 .当 时， ,又 ,所以 ，由（1）及三角形内角和定理得 , .所以有 ,代入 , , 不成立，所以此种情况不符合题意.综上所述， .
（答案不唯一， , 中任意一个值均可）
解析：由 ，得 ，所以 ，所以 , ,即 , 时，等式可成立.令 ,得 ,符合题意.
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考点二 正弦定理、余弦定理的应用
角度1 利用正、余弦定理求边或角
例2 （1）（2022·春季高考上海卷）在 <m></m> 中， <m></m> , <m></m> , <m></m> ，则 <m></m> 外接圆的半径为_ ___.
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研考点 破重难
02
考点一 三角恒等变换
例1 （1）已知 <m></m> , <m></m> ,则 <m></m> 的值为( )
A. B. C. D.
解析：因为 ,所以 ,由 得 .所以 .故选B.
√
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（2）（2022·贵州贵阳监测考试）若 <m></m> ,则 <m></m> ( )
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（1）求 的面积；
【解】由 ，得 ，即 ，又 ，所以 .由 ，得 或 （舍去），所以 ，则 的面积 .
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（2）若 ，求 ．
【解】由 ， 及正弦定理知 ，即 ，所以 （负值舍去）.
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例3 （2022·新高考卷Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 , , .已知 , ．
（2）在判断三角形的形状时，注意等式两边的公因式不要约掉，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.
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角度2 利用正、余弦定理计算面积
例3 （2022·新高考卷Ⅱ）记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，分别以 ， ， 为边长的三个正三角形的面积依次为 , , .已知 , ．
解析：由已知得 ，解得 ，由 （ 为 外接圆的半径），得 .
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（2）（2022·安徽合肥第一次质量检测）锐角三角形 <m></m> 的内角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，若 <m></m> ，则 <m></m> ___.
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（2）若 , ，求 的周长.
[答案] 由（1）及 得， ,所以 .因为 ,所以 ,得 ,所以 的周长 .
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4.（2022·高考全国卷乙）记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 .
【考情分析】 高考对此部分内容考查多集中于利用正、余弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换，求解边、角及三角形面积和周长，还考查利用解三角形知识解决实际问题以及某些平面图形的计算问题.高考对解三角形的考查，三种题型均可出现，难度中等偏下.
A. B. C. D.
解析：选C.由题意得 ,整理，得 ，即 ，所以 ，故选C.
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3.（2021·高考全国卷乙）记 <m></m> 的内角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边分别为 <m></m> , <m></m> , <m></m> ，面积为 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ，则 <m></m> _____.
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考点三 解三角形中的最值或范围问题
例5 （2022·广东佛山教学质量检测（一））在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ,且满足 .
（1）求 ;
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【解】 由 ,结合余弦定理，得 ,即 ,所以 ,又 ，所以 .
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（2）若 ,求 的取值范围.
解析：由题意得 ，则 ，所以 ,所以 ，则 .
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4.（2022·高考全国卷乙）记 的内角 , , 的对边分别为 , , ，已知 .
（1）证明： ；
证明：方法一：由 可得， ，结合正弦定理 可得 ,
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即 .利用三角形的射影定理，得 ,又 ,所以 ,所以 .方法二：因为 ,所以 ,同理有 ，所以 ,由正弦定理可得 .
A. B. C. D.
解析：方法一：由 ,解得 ，所以 ，所以 .故选A.方法二：令 ,则 , ,所以 .故选A.
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三角恒等变换的“四大策略”（1）常值代换：特别是“1”的代换, 等. （2）项的分拆与角的配凑：如 , .（3）降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次.（4）弦、切互化：一般是切化弦.
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1.（2022·山东潍坊高三上学期考试）已知 ,则 ( )
A. B. C. D.
解析：选B. ,故选B.
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2.（2022·福建福州质量检测）使等式 <m></m> 成立的 <m></m> 的一个值为_ __________________________________________________.
2023届高考数学复习专题★★ 三角恒等变换与解三角形
1.（2021·高考全国卷甲）在 中，已知 ， ， ，则 ( )
A. B. C. D.
解析：选D.由余弦定理 ，得 ，解得 或 （舍去）.故选D.
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2.（2022·新高考卷Ⅱ）若 ，则( )
（1）求证： .
解：若选择①,证明过程如下：由 ,得 ,
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因为 ，所以 ,所以 ,所以 .因为 , ,所以 ,所以 或 ,即 或 （舍去）.若选择②,证明过程如下：由 及 ，得 ，得 ，由正弦定理得 ， 所以 ，即 ,
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所以 .因为 , ,所以 ,所以 或 ,即 或 （舍去）.
三角形面积公式的应用原则
（1）对于面积公式 ,一般是已知哪一个角就使用含该角的公式.
（2）与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化.[注意] 求面积的最值时，若利用基本不等式应注意其使用条件.
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角度3 正、余弦定理的实际应用
例4 （2022·辽宁沈阳一模）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而名传千古.如图，在滕王阁旁水平地面上共线的
A. B. C. D.
√
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解析：选C.因为 ,所以由正弦定理化边为角，得 ，即 ,即 ,由正弦定理化角为边，得 .由余弦定理得 ，结合 式消去 ,得 ,当且仅当 ，即 时等号成立.故选C.
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解三角形实际应Biblioteka 题的步骤返回导航1.（2022·高三名校联考信息卷（三））在 <m></m> 中， <m></m> , <m></m> , <m></m> 分别是角 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的对边，已知 <m></m> , <m></m> , <m></m> 的面积为 <m></m> ，则 <m></m> ( )
解析：因为 ，所以 ，即 ,所以 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 .
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正、余弦定理的适用条件（1）“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理.（2）“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理.
[注意] （1）已知两边和其中一边的对角，利用余弦定理.求第三边时，应注意检验，否则易产生增根.
A. B. C. D.
√
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解析：选B.在 中，因为 , ,所以 ，可得 .又 , 的面积为 ，所以 ,解得 ,由余弦定理 ,得 ,所以 ,由正弦定理，得 .故选B.
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2.（2022·湖南长沙一中考前预测）在“① ,② ”这两个条件中任取一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , , 为 的面积，已知 .
三点 <m></m> , <m></m> , <m></m> 处测得其顶点 <m></m> 的仰角分别为 <m></m> , <m></m> ， <m></m> ,且 <m></m> ，则滕王阁的高度 <m></m> _______ <m></m> .
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解析：设 ,由题意知 , , ,所以 , , .在 中，由余弦定理 ,得 ①.在 中，由余弦定理 ,得 ②.因为 ,所以①+②，得 ，解得 （负值舍去）,所以 .
【解】 由正弦定理可得 ,得 , ,则 ， 由 ,得 ,则 , .故 的取值范围为 .
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例5 （2022·广东佛山教学质量检测（一））在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ,且满足 .
求解三角形中的最值或范围问题的方法
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（2022·四川成都第二次诊断性检测）已知 中，角 , , 的对边分别为 , , .若 ，则 的最小值为( )