高中数学人教B版五学案：第三单元 §3.4 不等式的实际应用 含答案

学习目标 1.掌握建立一元二次不等式模型解决实际问题.2。

掌握建立均值不等式模型解决实际问题．
知识点一不等式模型
思考一般情况下,建筑民用住宅时，民用住宅商户的总面积应小于该住宅的占地面积，而窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光条件越好，同时增加相等的窗户面积和占地面积，如何研究住宅的采光条件是变好了还是变差了？
梳理建立不等式模型解决实际问题的过程：
（1)理解题意，设出变量(必要时可画出示意图帮助理解）；
(2）建立相应的等量或不等量关系，把实际问题抽象为数学问题；（3)解决数学问题;
（4)回归实际问题,写出准确答案．
知识点二常见的不等式模型
1．一元二次不等式模型
根据题意抽象出的模型是一元二次不等式或一元二次函数，需要求变量的范围或者最值,解决办法是解一元二次不等式或配方法求最值,注意实际含义对变量取值范围的影响．
2．均值不等式模型
根据题意抽象出的模型是（1）y＝x＋错误!(a＞0),（2)a＋b，ab中有一个是定值，求另一个的最值，解决办法是应用均值不等式，注意均值不等式成立的条件a＞0，b＞0，以及等号成立的条件是否具备．
类型一一元二次不等式的实际应用
命题角度1范围问题
例1国家为了加强对烟酒生产的宏观调控,实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加收附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(叫作税率R%），则每年的产销量将减少10R万瓶，要使每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元，则R应怎样确定？
反思与感悟解有关不等式应用题的步骤
（1)选用合适的字母表示题中的未知数．
(2）由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组）．(3）解所列出的不等式（组）．
（4）结合问题的实际意义写出答案．
跟踪训练1某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向,与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40 km/h的速度向正北方向移动,影响范围的半径是350 km。

问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响,大约受影响多长时间？
命题角度2最值问题
例2甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)，g（x）,当甲公司投入x万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f （x）万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g（x）万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则，没有失败的风险．
（1)若f（0）＝10,g（0)＝20，试解释它们的实际意义；
（2)设f(x)＝错误!＋10，g（x）＝错误!＋20，甲、乙两公司为了避免恶性竞争,经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费?
反思与感悟与最值相关的二次函数问题的解题方法
(1）此类问题一般涉及最大值、最小值的确定,实质是求一元二次函数的最值，一般是根据题意列出相应的一元二次函数,再通过配方求最值．
（2)需要注意一元二次函数的对称轴与实际问题中自变量范围的关系，若对称轴在取值范围内，则最值在对称轴处取，若不在取值范围内，则根据函数的单调性确定在哪一个端点处取最值．(3)对于列出的函数是分段函数的，则在每一段上求最值,再比较每个最值的大小．
跟踪训练2已知不等式sin2x－2a sin x＋a2－2a＋2>0对一切x∈R 恒成立，求实数a的取值范围．
类型二均值不等式的实际应用
例3某单位决定投资3 200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧用砖墙，每米造价45元，顶部每平方米造价20元．
(1）仓库底面积S（m2)的最大允许值是多少？
(2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
反思与感悟(1)求最值或者求取值范围问题，首先考虑建立函数关系，通过函数的方法来求．均值不等式也是求最值的重要方法,
尤其是出现和与积的形式，把所求的量放在不等式中去考查．(2）建立函数时一定要注意函数的定义域，定义域是函数的三要素之一，不能忽视．在利用均值不等式解题时，要注意“一正、二定、三相等"，若取等号时的自变量的值取不到，此时应考虑用函数的单调性．
跟踪训练3把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为（）
A．4 B．8 C．16 D．32
1．某工厂第一年产量为A,第二年增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（)
A．x＝错误!B．x≤错误!C．x>错误!D．x≥错误!
2.某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且
在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路(如图所示)，
则占地面积的最小值为________m2。

3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比,如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________公里处．
4．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与单价P元之间的关系为P＝160－2x,生产x件所需成本为C＝500＋30x元,该厂日产量多大时，每天获利不少于1 300元？
1.解不等式实际应用题的解题思路
错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!
2．建立一元二次不等式模型求解实际问题
操作步骤为：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系;
(2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；（3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．
答案精析
问题导学
知识点一
思考设a和b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积，m表示增加的面积，则只需比较错误!与错误!的大小即可．
题型探究
类型一
命题角度1
例1解设产销量每年为x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的金额为70x·R％万元，其中x＝100－10R.
由题意，得70(100－10R）·R％≥112，
整理，得R2－10R＋16≤0.
因为Δ＝36＞0，
所以方程R2－10R＋16＝0的两个实数根分别为R1＝2，R2＝8.
由二次函数y＝R2－10R＋16的图象，得不等式的解集为{R|2≤R≤8｝．
所以当2≤R≤8时,每年在此项经营中所收取附加税金额不少于112万元．
跟踪训练1解如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系,因为AB＝400,∠BAx＝30°，所以热带风暴中心B的坐标为
(200错误!，－200），x h后热带风暴中心B到达点
P（200错误!,40x－200）处，
由已知，A市受热带风暴影响时，有｜AP｜≤350,
即（200错误!)2＋（40x－200）2≤3502，
整理得16x2－160x＋375≤0,
解不等式，得3.75≤x≤6.25，
A市受热带风暴影响的时间为
6．25－3。

75＝2.5,
故在3.75 h后，A市会受到热带风暴的影响,时间长达2.5 h.
命题角度2
例2解(1）f（0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风险,至少要投入10万元宣传费；g（0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入20万元宣传费．
(2）设甲公司投入宣传费x万元，乙公司投入宣传费y万元，若双方均无失败的风险，依题意,当且仅当
错误!成立．
故y≥错误!(错误!＋20）＋10，
则4y－错误!－60≥0，
所以(y－4)（4y＋15）≥0，
得错误!≥4，故y≥16，x≥错误!＋20≥24，
即在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，甲公司应投入24万元宣传费，乙公司应投入16万元宣传费．
跟踪训练2解设f（x）＝sin2x－
2a sin x＋a2－2a＋2,
则f(x）＝（sin x－a）2＋2－2a。

当a<－1时，f(x)在sin x＝－1时取到最小值，且f（x)min＝a2＋3，a2＋3〉0显然成立，∴a<－1。

当－1≤a≤1时,f(x）在sin x＝a时取到最小值,且f(x)min＝2－2a，
由2－2a>0，解得a〈1,
∴－1≤a<1。

当a>1时，f(x)在sin x＝1时取到最小值，且f(x）min＝a2－4a＋3，由a2－4a＋3〉0，解得a<1或a〉3，
∴a〉3.综上所述，a的取值范围为
a〈1或a〉3。

类型二
例3解(1）设铁栅长为x m,一侧砖墙长为y m,
则有S＝xy.
由题意得40x＋2×45y＋20xy＝3 200。

由均值不等式，得
3 200≥2错误!＋20xy
＝120xy＋20xy
＝120错误!＋20S，
∴S＋6错误!≤160,
即（错误!＋16）（错误!－10）≤0。

∵S＋16〉0，∴S－10≤0,∴S≤100.
∴S的最大允许值是100 m2.
(2)由(1）知取得最大值的条件是40x＝90y,而xy＝100,由此求得x ＝15,即铁栅的长应是15 m。

跟踪训练3B
当堂训练
1．B 2.6483。

5
4．解由题意得(160－2x)x－（500＋30x)≥1 300，
化简得x2－65x＋900≤0，
解得20≤x≤45。

所以该厂每天产量在20件至45件之间时，每天获利不少于1 300元。

攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。