内蒙古巴彦淖尔市第一中学高三下学期第六次模拟考试数学(理)试题

第I 卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,4}A =，集合{2,4}B =，则()U C A B
为 A ．{2,4,5} B ．{1,3,4} C ．{1,2,4} D ．{2,3,4,5}
2．已知i 是虚数单位，则
i
i
+-221等于（ ） A ．i - B ．i -54 C ．i 5
3
54- D ．i
3. 已知{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 表示{}n a 的前n 项的和，若
13a =，24144a a =，则5S 的值是
A ．69
2
B ．69
C ．93
D ．189
4. 设αβγ、、为平面，l n m 、、为直线，以下四组条件，可以作为β⊥m 的一个充分条件的是 A ．,,l m
l α
βαβ⊥
=⊥ B ．,,m αγαγβγ=⊥⊥ C ．,,m αγβγα⊥⊥⊥
D ．,,n n m αβα⊥⊥⊥
5．在9
2)1(x
x -
的二项式展开式中，常数项是 （A ）504
（B ） 84 （C ）84-
（D ）504-
6．执行如图所示的程序框图，若输出的5k =，则输入的整数p 的最
大值为 A. 7 B. 15 C. 31 D. 63
7．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是菱形，则该几何体的侧面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
3x ＋1，x ＜1，
x 2＋ax ，x ≥1，
若f (f (0))＝6，则a 的值等于
( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．4
9．已知实数x 、y 满足约束条件22,
24,41x y x y x y +≥+≤-≥-⎧⎪
⎨⎪⎩
．若),(y x =，)1,3(-=，设
z 表
示向量a 在b 方向上的投影，则z 的取值范围是
A ．3
,62⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
B ．[]1,6- C
．[ D
．[
10. 从6名同学中选4人分别到A 、B 、C 、D 四个城市游览，要求每
个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有 A ．96种
B ．144种
C ．240种
D ．300种
11．已知直线)2(+=x k y （k ＞0）与抛物线2:8C y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若||2||FA FB =，则k 的值为
A ．13
B
．
3
C ．23
D
．
3
12. 设函数()1f x x
x
=-
+ )(R x ∈，集合{},),(M x x f y y N ∈==其中
[]b a M ,=
a (＜)
b ，则使N M =成立的实数对),(b a 有
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．无数多个
第II 卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.
已知
12
e e 、是两个单位向量，若向量
12122346a e e b e e a b =-=+⋅=-且，　，，则向量1e 与2e 的夹角是________. 14．若4sin()5
πθ-=，(0,)2
πθ∈，则2sin 2cos 2
θ
θ-的值等于________.
15．已知半径为l 的球，若以其一条半径为正方体的一条棱作正方体，
则此正方体内部的球面面积为________
16. 已知圆22:12,C x y +=直线:4325.l x y +=圆C 上的点A 到直线l 的距离小于2的概率为________.
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分)
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且
.c o s 3c o s )32(C a A c b =-
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若角BC B ,6
π
=边上的中线AM 的长为7，求△ABC 的面积．
18．（本小题满分12分）
学生的数学学习水平按成绩可分成8个等级，等级系数X 依次为1，2，…，8，其中5≥x 为标准A ，3≥x 为标准B .已知甲学校执行标准A 考评学生，学生平均用于数学的学习时间为3.5小时/天；乙学校执行标准B 考评学生，学生平均用于数学的学习时间为2.5小时/天.假定甲、乙两学校都符合相应的执行标准. （Ⅰ）已知甲学校学生的数学学习水平的等级系数X 1的概率分布列如下所示：
11（Ⅱ）为分析乙学校学生的数学学习水平的等级系数X 2，从该校随
机选取了30名学生，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4
7 5 3 4 8
5 3 8 3 4 3 4 4 7 5
6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等
级系数X 2的数学期望； （Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，哪个学校的数学学习效率更高？说明理由.
(注：=
数学学习水平的等级系数的数学期望
平均每天用于学习数学的时间
数学学习效率)
19．（本小题满分12分)
平行四边形ABCD 中，1AB =，AD =45BAD ∠=错误！未找到引用源。

，以BD 为折线，把△ABD 错误！未找到引用源。

折起，ABD BCD ⊥使平面
平面，连接AC .
（Ⅰ）求证：错误！未找到引用源。

；
（Ⅱ）求二面角B-AC-D 的大小.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆222
2
:1x y E a
b
+
=（a ＞b ＞0）的离心率为
2
，且过点
1
2）．
B
C
A
D
B
A
C
D
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线l:y=kx+t 与圆222:C x y R +=（1＜R ＜2）相切于点A ，
且l 与椭圆E 只有一个公共点B .
①求证：2
2
2
14R k R
-=
-；
②当R 为何值时，AB 取得最大值？并求出最大值．
21. （本小题满分12分）
已知2
1(),()2
f x lnx
g x ax bx ==
+　(0),()()().a h x f x g x ≠=-　
（Ⅰ）当42a b ==，时，求()h x 的极大值点；
（Ⅱ）设函数()f x 的图象1C 与函数()g x 的图象2C 交于P 、Q 两点，过
线段PQ 的中点做x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，证明：1C 在点M 处的切线与2C 在点N 处的切线不平行.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

22．（本小题满分10分）
如图：AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，
CE ⊥AB ，垂足为E ， BD 交CE 于点F .
（Ⅰ）求证：CF =BF ;
（Ⅱ）若AD =4，⊙O 的半径为6，求BC 的长.
23．（本小题满分10分）
已知曲线1C 的参数方程是cos 2sin x y θ
θ
=⎧⎨
=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2cos ρθ=-.
（Ⅰ）写出1C 的极坐标方程和2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点1M 、2M 的极坐标分别是),1(π、)2
,2(π
，直线12M M 与曲
线2C 相交于P 、Q 两点，射线OP 与曲线1C 相交于点A ，射线
OQ 与曲线1C 相交于点B ，求22
11
||||
OA OB +的值．
24．（本小题满分10分）
已知()2()f x x a a a R =--∈　，不等式()2f x ≤的解集为{|13}x x -≤≤. （Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若|()(2)|f x f x m -+≤对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.
巴彦淖尔市一中高考模拟考试参考答案
选择题（每题5分，共60分）
填空题（每题5分，共20分） 13．3
π 14．425 15． 2
π
16. 16
解答题（共70分）
18．解：
（Ⅰ）50.46780.160.3
0.50.2
4a b a a b b ⨯+++⨯==+==⎧⎧⎨
⎨⎩⎩由 解得分.
（Ⅱ）
X 2 3 4 5 6 7 8 频数 9 6 6 3 3 3
P
0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.
1
x
…………………………………………………………
……7分
230.340.250.260.170.180.1 4.8.EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴……………9分
（Ⅲ）甲学校学生的数学学习效率1
12;3.5
7
=
EX
=
乙学校学生的数学学习效率2 1.922.5
12=
.7
EX =>
∴.乙学校学生的数学学习效率更高………………………………………
12分
19． 证明：
（Ⅰ）在错误！未找到引用源。

中，
2222cos 4511
o BD AB AD AB AD BD =+-⋅=⇒=,错误！未找到引用源。

易得错误！未找到引用源。

． 错
误！未找到引用源。

面错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

面错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

面错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

…………………………4分
（Ⅱ）法一：在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为错误！未找到
引用源。

轴，DC 为错误！未找到引用源。

轴，过D 垂直于平面BDC 的直线为错误！未找到引用源。

轴，建立如图空间直角
坐标系. 则D （0，0，0），B （1，0，0），C （0，1，0），A （1，0，1）.……………………………………………………………6分
22AD DC DE DF DE DFE AC DF ⋅=
==∠==
, ∴60o DFE ∠=. ...... . ...... ................ ...... .............. ...... ................... .12分 法三：补成正方体． 20
．
解
:
(Ⅰ)
椭
圆
E
的
方
程
为
2
214
x y +=. ...... ...................... ...... .............4分
（Ⅱ） ①因为直线l 与圆C : 222(12)x y R R +=<<相切于A ,
得
R =
,
即
2(1
t R =
+
① ..... ..... ...... .............. ..... ...... .... ............5分
21．（I ）2()ln 22,h x x x x =--
21421
'()42x x h x x x x
--+=--=……………………………………
……2分
令h ’(x )=0，则4x 2+2x -1=0，
解出x 1
, x 2
=
1
4- ………………………………………………3分
11
0,'()0,()044
x h x h x -∴<<
>当时则在（，）上为增函数；………4分
11,'()0,()44
x h x h x -∴>
<∞当时则在（,+）上为减函数．……… 5分
所
以
()
h x 的极大值点
为
1
4
-…………………………………………………6分 （II ）设P 、Q 的坐标分别是112212(,),(,),0x y x y x x <<且.
则M 、N 的横坐标12
2
x x x +=
. ∴C 1在点M 处的切线斜率为112
2
k x x =+ ， C 2
在点N 处的切线斜率为
122()
2
a x x k
b +=
+.………………………………7分 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则12k k =， 即
12122().2
a x x
b x x +=++……………………………………………………8分
则2222
2121212121122121
2()()()()()
222ln ln x x a x x ax ax b x x bx bx x x y y x x --=+-=+-++=-=-
2
21
2
1
1
2(
-1)
.1+x x x ln x x x ∴=…………………………………………………
…………10分
设t=
21x x , 则211+-t t lnt t
=>（）(1)…………① 令2-1()1+t r t lnt t t
=->（）
(1) 则222
14(1)'()(1+)(1+)t r t t t t t -=-= 1,'()0t r t >>
∴r (t )在[1,+∞）上单调递增，故r (t )> r (1)=0. ∴2-11+t lnt t
>
（）
，这与①矛盾，假设不成立， 故C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平
行. ……………………12分
()()2
2
12222
2
223. 1 (14)
sin :cos 1 (34)
1y C x C x ρθρθI +=+=++曲线的普通方程:分
化为极坐标方程分
曲线的直角坐标方程:()()()
()2122
202
1......................................................51,0,0,211=90......................................................6 y M M PQ x y POQ OP OQ OA OB A B x =II -++=∴∠⊥⊥分
在直角坐标系下， 线段是圆的一条直径，
， 由，有分，是椭圆()2
2222
1214
sin cos 124y A B πρθρθρθρθ+=⎛⎫++= ⎪⎝⎭
上的两点，在极坐标系下，
设，，，分别代入中，
222222
2
2
2
11
2sin sin 2cos 1cos 1 (84)
24
πρθρθ
πρθρθ⎛
⎫
+
⎪⎛
⎫⎝⎭
+
=++
= ⎪⎝
⎭ 有，分
2222
22121sin 1cos cos sin 44θθθθρρ=+=+ 解得：，．
222
2
2
2
1222
1
1
sin cos 15cos sin 1 (94444)
1
1
5
...........................................................................................104OA OB
θθθθρρ+
=+++=+=+= 则
分
即分
24．解法一：（Ⅰ）由不等式｜2x －a ｜－a ≤ 2，得｜2x －a ｜≤ 2＋a ，
∵解集不空，∴2＋a ≥ 0.
解不等式可得{x ∣－1≤ x
≤
1＋
a }.………………………………………3分
∵－1≤ x ≤ 3， ∴1＋a ﹦3，即a =2.………………………………5分
（Ⅱ）记g (x )= f (x ) －f (x ＋2)=｜2x －2｜－｜2x ＋2｜，…………………6分 4,（x ≤ －1）
则
(x )=
－
4x ,
（
-1
﹤
x
﹤
1）.………………………………………8分
-4,（x ≥ 1）
所以-4 ≤ g (x ) ≤ 4，∴｜g (x )｜≤ 4, 因此m ≥ 4.……………10分
解法二：∵f (x ) －f (x ＋2)=｜2x －2｜－｜2x ＋2｜，
∵｜2x －2｜－｜2x ＋2｜≤｜(2x －2)－(2x ＋2)｜=
4.……………7分
｜2x－2｜－｜2x＋2｜≥｜2x｜－2－（｜2x｜＋2）=－4.……9分
∴－4 ≤｜2x－2｜－｜2x＋2｜≤ 4.
∴｜f(x) －f(x＋2)｜≤ 4.
∴m ≥ 4. …………………………………………………10分。