2019届毕业班四省联考第二次诊断性考试(理科)数学试题含答案

【考试时间：2018年12月7日星期五15:00~17:00】 适用地区：云贵川渝名校
高中2016级毕业班四省联考(原衡水大联考）第二次诊断性考试
理数试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
06-2
＜-=x x x A ，{}
01＞-=x x B ，则=⋂B A （ ）
A ．(-2,3)
B ．(1,3)
C ．(-2,1)
D ．∅
2．已知复数z 满足i z -=+1)1(i (i 为虚数单位)，则复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
3．若向量)2,1(=a ，),1(m b =，且b a -与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(-∞ ，2) C ．(-2,2) D ．(-∞,0)∪(2,+∞) 4．已知等差数列{a n }的前n 项和Sn ，若S 6=30，S 10=10，则S 16=（ ） A ．-160 B ．-80 C ．20 D ．40
5．已知锐角θ满足sin θ,cos θ,8
3成等比数列，则tan θ的值为（ ）
A ．427
B ．24
C ． 2
D ．2
3
6．2018年国际山地旅游大会于10月14日在贵州召开，据统计有来自全世界的4000名女性和6000名男性 徒步爱好者参与徒步运动，其中抵达终点的女性与男性徒步爱好者分别为1000名和2000名，抵达终点 的徒步爱好者可获得纪念品一份。

若记者随机电话采访参与本次徒步运动的1名女性和1名男性徒步爱 好者，其中恰好有1名徒步爱好者获得纪念品的概率是（ ） A ．112 B ．14 C ．512 D ．712
7．若x,y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-+≥≤+-031022y x y y x ，则1234-+=y x z 的最小值为（ ）
A ．53
B ．1
C ．2
D ．3
5
8．球体是建筑、装修等常用的造型，现有一块三棱柱石材的三视图如下，若 工匠师傅将其加工为球体，则得到的球体的最大体积为（ ） A ．43π27 B ．4π3 C ．2π3 D ．4π
9
9．设点P 在曲线y =lnx -1
x +1上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
65 D ．255
10．已知曲线y =-x 2-4x -3+1与直线y =x +b 有两个不同的交点，则b 的取值范围为（ ）
A ．[4,3+2)
B ．(5-2,5+2)
C ．(3-2,4]
D ．(3-2,4)
11．如图所示，四边形ABCD 为边长为2的菱形，∠B =60°，点E,F 分别在边BC,AB 上运动(不含端点)，
且EF//AC ，沿EF 把平面BEF 折起，使平面BEF ⊥底面ECDAF ，当五棱锥B-ECDAF 的体积最大时， EF 的长为 （ ）
A ．1
B ．26
3
C ． 3
D ． 2
12．已知正方形ABCD 的边长为7，点M 在AB 上，点N 在BC 上，点N 在BC 上，且AM =BN =3，现有一
束光线从点M 射向点N ，光线每次碰到正方形的边时反射，则这束光线从第一次回到原点M 时所走过 的路程为（ ）
A ．40 5
B ．60
C ．60
5 D ．70
第II 卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，满分20分。

13．4)
412(x
x 展开式中的常数项是_______。

14．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1=2，且4a 2,2a 3,a 8成等差数列，设bn =log 2a n ,Sn 为数列{bn }的前n
项和，则S 9=_____。

15．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，对任意x1＞x2≥0恒有f (x 1)-f (x 2)
x 32-x 2
2＞1成立，则不等式f (x +2)-f (2)
＞x 2+4x 的解集为______。

16．在平面上给定相异两点A,B ，设P 点在同一平面上且满足
|P A |
|PB |
=λ，当λ＞0且λ≠1时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗斯圆，现有椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1
(a ＞b ＞0),A,B 为椭圆的长轴端点，C,D 为椭圆的短轴端点，动点P 满足|P A ||PB |=2，△P AB 面积最大值为16
3
,△PCD 面积最小值为2
3，则椭圆离心率为______。

三、解答题（70分+10分二选一）
17．在△ABC 中，a,b,c 分别是内角A,B,C 的对边，已知(sin A +sin B )(a +b )=c ·(sin C +sin B ). （1）求角A ；
（2） 若a =23，求△ABC 周长的取值范围。

18、某果园基地培育出一种特色水果，要在某一季节内采摘一批这种水果销往A市，每售出1吨这种水果获利800元，未售出的水果每吨亏损400元，根据去年市场调研数据统计，该季节A市对这种水果的市场需求量t(单位：吨，100≤t≤150)的频率分布直方图如图所示.现该果园计划采摘140吨这种水果运往A市，经销这种水果的利润Q(单位：元)
（1）求Q关t的函数表达式；
（2）视频率为概率，求利润Q的分布列及数学期望.（每组数据以区间的中点值为代表）
19．如图所示，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是梯形，
AB//CD，DA⊥AB，BC⊥SC，
SA=AD=3，AB=6，点E在棱SD上，且V S-ACE=2V E-ACD。

（1）求证：BC⊥平面SAC；
（2）求二面角S-AE-C的余弦值。

20．（本小题满分12分）已知抛物线x y C 4:21=，F 为其焦点，抛物线的准线交x 轴于点T ，直线l 交抛物线于A,B 两点。

（1）若O 为坐标原点，直线l 过抛物线焦点，且|AF ||BF |=1
2
，求△AOB 的面积；
（2）当直线l 与坐标轴不垂直时，若点B 关于x 轴的对称点在直线AT 上，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标。

21．（1）设函数1ln 2)(2
--=x x x x f ，若m x f =)(在区间),2
1(+∞上有解，求实数m 的取值范围；
（2）当1＞x 时，若不等式0ln 22
≥--k x x kx 恒成立，求实数k 的取值范围。

选考题：二选一10分。

22．【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧==ϕ
ϕsin cos 2y x (ϕ为参数)，
以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，射线)0(4
≥=
ρπ
θ与曲线C 交
于点A 。

（1）求曲线C 的普通方程与点A 的极坐标；（2）如下图所示，点B 在曲线C 上(B 在A 的上方)，
α=∠B A 0,)2,0(πα∈,且2
1
tan =α,求△AOB 的面积。

22．【选修4-5：不等式选讲】已知函数3)(++-=x a x x f 。

（1）若)(x f 的最小值为4，求实数a 的值；
（2）当]4,2[∈x 时，x x f ＜)(恒成立，求实数a 的取值范围。

2019届四省名校高三第二次大联考（原衡水大联考）
理数参考答案
选择题：1—5：BCDBD 6—10：CAADA 11—12：BD
填空题：13、-20； 14、45； 15、x ＞0或x ＜-4； 16、32
. 解答题：70分。

17、解：（1）由已知)sin (sin ))(sin (sin B C c b a B A +⨯=-+及正弦定理，得：
)())((b c c b a b a +=-+，整理，得bc a c b -=-+222（2分）
由余弦定理得，A bc bc cos 2=-，（4分） ∵),0(π∈A ，∴3
2π
=
A .（6分） （3）∵32=a ,bc c b c b 2)(222-+=+,∴bc c b =-+12)(2
又∵2
)2
(
c b c b +≤⨯（8分） ∴22
)(4
1
12)(c b c b +≤
-+，解得4≤+c b ，当且仅当c b =时取等号。

∵32=+a c b ＞，∴32434+≤++c b a ＜（12分）
18、解：（1）当140100＜t ≤时，56000-1200t t)-400(140-t 800==Q （2分）
当150140≤≤t 时，112000140800=⨯=Q （4分）
∴⎩
⎨⎧≤≤≤-=150140,112000140100,560001200
t t t Q ＜（5分）
（2）由题意得t 的取值可以有105、115、125、135及145.（6分）
利润Q 为：70000560001051200=-⨯，概率为0.1；
82000560001151200=-⨯，概率为0.2；94000560001251200=-⨯，概率为0.3； 106000560001351200=-⨯，概率为0.25； 112000=Q ，概率为0.15.（9分）
∴利润Q 分布列为
∴9490015.01120025.01060003.0940002.0820001.070000)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=Q E （12分）。