人教A版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第五章 一元函数的导数及其应用 本章总结提升

故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
(2)由
1 3
1 3
x
2
f(x)≥ x +1,得 e +ax -x≥ x +1,其中
2
2
x≥0,
①当 x=0 时,不等式为 1≥1,显然成立,符合题意;
1
2
e - 3 --1
1
2
x∈(0,+∞),都有 ln x>e − e成立.
【例5】 已知函数f(x)=(x-1)ln x-x2+ax(a∈R).
(1)若函数y=f'(x)有两个零点,求a的取值范围;
(2)设x1,x2是函数f(x)的两个极值点,证明:x1+x2>2.
(1)解 由 f(x)=(x-1)ln x-x +ax,得
D.3

+2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为

k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.
(2)设函数f(x),其中x∈(0,+∞),若f(ex)=x+e2x,则f'(x)的最小值为
.
答案 2 2
解析 ∵f(ex)=x+e2x,∴f(ex)=ln ex+(ex)2,∴f(x)=ln x+x2,x∈(0,+∞),
故h'(x)是增函数,h'(x)≥h'(0)=0,且不恒为0,
故函数h(x)是增函数,h(x)≥h(0)=0,
x 1 2
由 h(x)≥0 可得 e - x -x-1≥0 且不恒为 0,
2
故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
7-e 2
∴f(x)在[0,2]上的值域为[-1,2].
专题三
与导数有关的综合性问题
导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具,从近几年高考
题看,利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考
到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及
图象,解决该类问题的方法通常是构造一个函数,然后利用导数研究这个函
②当 x>0 时,分离参数 a,得 a≥1
2
e - 3 --1
记 g(x)=-
2
1
2
3
,
(-2)(e - 2 --1)
g'(x)=-
x 1 2
,
令 h(x)=e -2x -x-1(x≥0),
2
,
则h'(x)=ex-x-1,
令t(x)=h'(x),x≥0,则t'(x)=ex-1≥0,且不恒为0,
因此,g(x)max=g(2)= 4 .
综上可得,a
7-e 2
的取值范围是[ 4 ,+∞).
规律方法 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础,一般
按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌
握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的.
变式训练2已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1.
函数的求导法则,掌握导数的和、差、积、商的运算法则.复合函数求导的
关键是分清层次,逐层求导,求导时不要忘了对内层函数求导.
变式训练1(1)已知曲线f(x)=aln x+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,
则实数a的值为( A )
A.-3
B.1
解析 由f(x)=aln
C.2
x+x2,得f'(x)=
题,然后再研究最值问题.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数
学抽象等核心素养和转化化归的数学思想.
【例1】 (1)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=xln(2x-1),则
2
f'(1)=
.
解析 因为 f(x)=xln(2x-1),所以
f'(1)=2.

2
f'(x)=ln(2x-1)+2-1·(2x-1)'=ln(2x-1)+2-1,则
(2)函数
1
1
f(x)= 图象在点(2,2)处的切线与直线
为
4
解析
1
1
f'(x)=-2 ,∴f'(2)=-4.
.
∵切线与直线 ax+y+1=0 垂直,
1
∴(-4)×(-a)=-1,
解得 a=-4.
ax+y+1=0 垂直,则实数 a 的值
规律方法 导数的运算是解决一切导数问题的基础,要熟练掌握基本初等
(1)求a,b的值;
(2)求f(x)在[0,2]上的值域.
解 (1)∵函数f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,
∴f'(x)=3x2-6ax+2b,f'(1)=3-6a+2b=0,①
且f(1)=1-3a+2b=-1,②
联立①②,
解得
1
1
a= ,b=- .
3
2
(2)由(1)得f(x)=x3-x2-x,
当ln a>1,即a>e时,f(x)在[0,1]上单调递减,不符合题意.
所以当a∈(1,e-1]时,f(x)在[0,1]上有两个零点.
【例4】 已知函数f(x)=eln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=e时,求证:xf(x)≤ex-2ex.
解
e
f'(x)=-a(x>0),若
若 a>0,则当
a≤0,则 f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.
e
0<x<时,f'(x)>0;
当
e
x>时,f'(x)<0.
故
e
e
f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减.
(2)证明 因为 x>0,所以要证 xf(x)≤e -2ex,只需证
x
e
f(x)≤ -2e.
综上,当x>0时,f(x)≤g(x),
故不等式xf(x)≤ex-2ex得证.
变式训练4已知f(x)=xln x.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)求证:对一切 x∈(0,+∞),都有 ln
1
x>
e
2
− 成立.
e
(1)解 由 f(x)=xln x,x>0,得 f'(x)=ln x+1,令 f'(x)=0,得
2
1
f'(x)=1-+ln
x-2x+a,
1
x=e.
1
当 x∈(0,e)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
1
当 x∈(e,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
1
1
1
1
①当 0<t< <t+2,即 0<t< 时,f(x)min=f( )=- ;
e
e
e
e
1
1
②当 ≤t<t+2,即 t≥ 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tln
【例2】 已知函数f(x)=ex+ax2-x.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x≥0时,f(x)≥
1
2
x3+1,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1,令φ(x)=ex+2x-1,
由于φ'(x)=ex+2>0,
故f'(x)是增函数,注意到f'(0)=0,
1
∴f'(x)= +2x≥2

1
·2=2

2,当且仅当
2
x= 时取等号,∴f'(x)的最小值为
2
2 2.
专题二
函数的单调性与导数
利用导数研究函数的性质,主要以指数函数、对数函数、三次函数为载体,
研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题;通过求函数的单调
性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;
当a>0时,f(x)在(ln a,+∞)上单调递增,在(-∞,ln a)上单调递减.
(2)由(1)知当a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;
当a>0时,当ln a≤0,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,不符合题意;
1 1
由(1)知 f(x)在(0,e )上单调递减,在(e ,+∞)上单调递增,f(x)min=f(e )=e ln e =-e ,又当
1
0<x<e 时,f(x)<0,当
x>1
1
时,f(x)>0,故当-e <b<0
时,满足 y=b 的图象和 y=f(x)的
图象在(0,+∞)上有两个不同的交点,即若关于 x 的方程 f(x)=b 恰有两个不相等
1
的实数根,则-e <b<0,即
1
b∈(-e ,0).
规律方法 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数
学思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏、数形结合时是否掌
握了函数图象的变化趋势、构造函数时是否合理等.
变式训练3已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性;
∴f'(x)=3x2-2x-1=(x-1)(3x+1),x∈[0,2].
令f'(x)=3x2-2x-1>0,得1<x≤2;
令f'(x)=3x2-2x-1<0,得0≤x<1,
∴函数f(x)在区间[0,1)上单调递减,在区间(1,2]上单调递增.
又f(0)=0,f(1)=-1,f(2)=8-4-2=2,
e
e
1
1
- e ,0 < < e ,
所以 f(x)min=
1
ln, ≥ e .
t.

x>e
2
(2)证明问题等价于证明 xln
− e(x∈(0,+∞)).
1
由(1)可知 f(x)=xln x(x∈(0,+∞))的最小值是-e,当且仅当

2
1-
设 m(x)=e − e(x∈(0,+∞)),则 m'(x)= e ,
1
x=e时取到.
令 m'(x)<0,得 x>1,此时 m(x)单调递减;令 m'(x)>0,得 0<x<1 时,此时 m(x)
1
单调递增,易知 m(x)max=m(1)=-e,当且仅当 x=1 时取到.
1

2
从而对一切 x∈(0,+∞),xln x≥-e ≥ e − e,两个等号不同时取到,即对一切
数的单调性,再结合给定区间和函数在该区间端点处的函数值,使问题得以
求解.
通过利用导数解决实际问题,培养数学建模能力.通过利用导数解决函数
方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.
【例3】 已知函数f(x)=xln x.
(1)求f(x)的最小值;
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;
目录索引
知识网络·整合构建
专题突破·素养提升
知识网络·整合构建
重难探究·能力素养全提升
专题突破·素养提升
专题一
导数的计算及几何意义
本部分内容有导数的几何意义,基本初等函数求导法则、导数的运算法则、
复合函数求导,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,处理此
类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离、平行线间的距离问
当0<ln a≤1,即1<a≤e时,f(x)在[0,ln a]上单调递减,在[ln a,1]上单调递增,且
f(0)=0,f(1)=e-a-1,要使f(x)在[0,1]上有两个零点,
1 < ≤ e,
0 < ln ≤ 1,
只需
即
(1) = e--1 ≥ 0, ≤ e-1,
即1<a≤e-1,
-1
,
2
∴当x≥1时,g'(x)≥0,且不恒为0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,
∴g(x)min=g(1)=1,
∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].
(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,则y=b的图象和y=f(x)的
图象在(0,+∞)上有两个不同的交点.
1
1
1 1
f(x)min=f(e )=e ln e =-e .
f(x)的最小值
(2)当 x≥1 时,f(x)≥ax-1 恒成立,等价于 xln x≥ax-1(x≥1)恒成立,等价于
a≤ln
1
x+ (x≥1)恒成立.
令 g(x)=ln
1
∵g'(x)=
1
x+ ,则
−
1
2
=
a≤g(x)min 当 x≥1 时恒成立.

当a=e时,由(1)知,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)max=f(1)=-e.
设
e
g(x)= -2e(x>0),则

(-1)e
g'(x)= 2 ,

所以当0<x<1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,当x>1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)min=g(1)=-e.
(2)若f(x)在[0,1]上有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0在R上恒成立,所以
f(x)在R上单调递增;当a>0时,由f'(x)=0,得x=ln a,所以当x∈(-∞,ln a)
时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
解 (1)f(x)的定义域是(0,+∞),f'(x)=1+ln x,
令 f'(x)>0,解得
1
x>e ;
令 f'(x)<0,解得
1
0<x< ,
e
故
1Hale Waihona Puke 1f(x)在(0,e )上单调递减,在(e ,+∞)上单调递增,故