人教A版选修2-3高二(下)数学(理)期中练习(3).docx

惠安一中2013-2014学年高二（下）数学（理）周末练习（8）
命题：王伟
一、填空题（本大题共12小题）
1．下面是关于复数i
z +-=12的四个命题：1:2p z =， 2
2:2p z i =，
3:p z 的共轭复数为1i +， 4p z ：的虚部为1-.
其中的真命题为_____
2.某几何体的三视图如图，则它的体积是________．
3．已知0144555)12(a x a x a x a x ++++=+Λ，则=+++145a a a Λ ．
4.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙两机
必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有 种. 5．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：
X 0 1 2 P
a
13
16
F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1,2)时，F (x )＝________.
6．二项式6
223()3,6
a ax x dx -+
-⎰的展开式第二项系数为则的值为_______ 7.某人射击一次击中的概率为3
5，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．
8.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A =“取到的2个数之和为偶数”,事件B =“取到的2个
数均为偶数”,则(|)P B A =_______
9. 如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连结成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概
率为________．
10．已知椭圆2
2x a
＋22y b ＝1(a >b >0)，A(2,0)为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且
0,||2||,AC BC OC OB BC BA =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
g 则其焦距为________
11.若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )=f (x ), f (2－x )=f (x ), 且当x ∈[0,1]时,其图象是四分之一圆(如图所示),则函数
H (x )= |x e x |－f (x )在区间[－3,1]上的零点个数为_______ 12. 在计算“1223(1)n n ⨯+⨯++-L ”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：
1
(1)[(1)(2)(1)(1)]3k k k k k k k k +=++--+，由此得
1
12(123012)3⨯=⨯⨯-⨯⨯，
1
23(234123)3⨯=⨯⨯-⨯⨯．
L
1
(1)[(1)(2)(1)(1)]3
n n n n n n n n -=++---
相加，得1
1223(1)(1)(2)3
n n n n n ⨯-⨯++-=++L ．
类比上述方法，请你计算“1324(2)n n ⨯+⨯+++L ”，其结果写成关于n 的一次因式的积的形式为 ．
二．解答题：
13. (13分) 甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2014年自主招生，高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核材料过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75． （I ）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料的概率；
（Ⅱ）求甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格的概率
14．（本小题满分13分）如图，多面体ABCDEF 中，,,BA BC BE 两两垂直，且AB EF P ，
CD BE P ，2AB BE ==，1BC CD EF ===.
（Ⅰ）若点G 在线段AB 上，且3BG GA =，求证：CG P 平面ADF ； （Ⅱ）求直线DE 与平面ADF 所成的角的正弦值.
O
y
x
1
1
15.（本小题满分13分）
某电视台组织部分记者，用“10分制”随机调查某社区居民的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数的得分(以小数点前的一位数字为 茎，小数点后的一位数字为叶)： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福指数不低于9.5分，则称该人的幸福指数为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记ξ表示抽到“极幸福”的人数，求ξ的分布列
16. 惠安一中为了重视国学的基础教育，开设了A ，B ，C ，D ，E 共5门选修课，每个学生必须且只能选修1门课程课，现有该校的甲、乙、丙、丁4名学生： （1）求恰有2门选修课没有被这4名学生选择的概率；
（2）设这4名学生选择A 选修课的人数为 ξ ，求 ξ 的概率分布列 17.（本小题满分13分）
已知抛物线C:y 2
=2px(p>0)的焦点F 和椭圆22
143
x y +
=的右焦点重合,直线l 过点F 交抛物线于A 、B 两点.
(I)求抛物线C 的方程；
(II)若直线l 交y 轴于点M,且,MA mAF MB nBF ==u u u r u u u r u u u r u u u r
,m 、n 是实数,对于直线l ,m+n 是否为定值?若是,
求出m+n 的值；否则,说明理由.
18.(13分) 已知函数2
()ln f x x x =+.
2
()22ln h x x ax a x =--
（1）若1x =是函数()h x 的极值点，求a 的值；
（2）若函数()()g x f x ax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，若1a >，3()3x
x h x e
ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；
惠安一中2013-2014学年高二（下）数学（理）周末练习（8）参考答案
一、填空题（本大题共12小题）
1．24,p p 2.82π- 3．242 4.24种 5．56 6．7
3 7. 81125
8．
14 9. 0.864 10
11. 4 12.1
(1)(27)6
n n ++
二．解答题：
13. 解: （I ）分别记甲，乙，丙通过审核材料为事件,,,321A A A 记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核材料为事件B 。

则)()()()(321321321A A A P A A A P A A A P B P ++=
=
525221535321535221⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=50
19
……6分 （Ⅱ）甲，乙，丙三人获得自主招生入选资格概率均为10
3
……9分
记甲，乙，丙三人中至少两人获得自主招生入选资格为事件C 。

则P(C)=125
27
)103(107)103(
322
3=
+C ……13分 14．解：（Ⅰ）分别取,AB AF 的中点,M H ，连结,,MF GH DH ，则有,AG GM MF BE =P . ∵AH HF =∴ 1
2
GH MF P
………………2分 又∵1
,2
CD BE BE MF P
P ,∴CD GH P , ∴四边形CDHG 是平行四边形∴CG DH P ……4分
又∵,CG ADF DH ADF ⊄⊂平面平面,∴CG P 平面ADF …6分 （Ⅱ）如图，以B 为原点，分别以,,BC BE BA 所在直线为x 轴，y 轴，
z
轴建立空间直角坐标系
O xyz
-.
则
(0,0,2),(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,2,1)A C D E F
(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)DE DA FA =-=--=-u u u r u u u r u u u r
………7分 设平面ADF 的一个法向量(,,)n x y z =r
，则有
20
20
n DA x y z n FA y z ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u r r u u u r ，化简，得32x y z y =⎧⎨
=⎩ 令1y =，得(3,1,2)n =r
…………………10分
设直线CG 与平面ADF 所成的角为θ
，则有sin n DE n DE
θ⋅==
⋅r u u u r r u u u r . ……13分 15.解：（Ⅰ）众数：8.6；中位数：8.75 ； ………………………………………2分
（Ⅱ）设i A 表示所取3人中有i 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件A ，
则140121)()()(3
16
2
121431631210=+=+=C C C C C A P A P A P ； ………………………………6分
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3. ………………………………………7分
6427)43()0(3=
==ξP ；6427)43(41)1(2
13===C P ξ； …………………9分
64943)41()2(223===C P ξ；641)41()3(3=
==ξP . …………………11分
ξ的分布列为：
13分
16.解：（1）恰有2门选修课这4名学生都没选择的概率：P2=2235434
5C C A =72
125
（2）设A 选修课被这4名学生选择的人数为ξ，则ξ=0，1，2，3 ，4
P （ξ=0）=4445=256
625， P （ξ=1）=134445C =256625 ， P （ξ=2）=224445C =96625，
P （ξ=3
）=314445C =16625， P （ξ=4）=4
445C =1
625
17.解:(Ⅰ)∵椭圆的右焦点(1,0)F ，∴
12
=，得2p =， ∴抛物线C 的方程为2
4y x =． …………………3分
(II)由已知得直线l 的斜率一定存在，所以设l ：(1)y k x =-，l 与y 轴交于0,)M k -（，
设直线l 交抛物线于1122(,),(,)A x y B x y ， …………………4分
由22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x
=-⎧⇒-++=⎨=⎩ ……………………5分 ∴2242
4(2)416(1)0k k k ∆=+-=+f ，212122
24,1k x x x x k ++=
⋅= ………………7分 又由111111,(,)(1,),(1),MA mAF x y k m x y x m x =∴+=--∴=-u u u r u u u r
即m=111x x -,同理22
1x
n x =-, ………10分
∴121
212
121212
21111()x x x x x x m n x x x x x x +-⋅+=+==----++⋅ …………12分 所以,对任意的直线l ，m+ n 为定值－1 ……………13分 18. 解：(1)由2
()22ln h x x ax a x =--，
得22222'()22(0)a x
ax a h x x a x --=--=>，……………………………1分 2分
3分 （Ⅰ）2
()()ln ,()
2.g x f x ax x x ax g x x
a x
'=-=+-=
+- 由题意，知()0,(0,
)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1
(2)
a x x
≤+.…… 5分
又1
0,2x x x
>+
≥x =时等号成立
.
故min 1(2)x x +=a ≤……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a <≤令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-
2()333(H t t a t t '=-=-+……9分
由()0H t '=，得t =t =（舍去），3
4
(1,[1,2]a ∈Q ，
①若1t <≤
()0,()H t H t '<单调递减；()h x 在(0,ln 也单调递减；
2t <≤，则()0,()H t H t '>单调递增. ()h x 在2]也单调递增；
故()h x 的极小值为2h =-……13分。