高考数学压轴专题新备战高考《三角函数与解三角形》全集汇编及答案解析

【最新】数学《三角函数与解三角形》期末复习知识要点
一、选择题
1．在ABC ∆中，若2
sin sin cos 2
C
A B =，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形
C ．不等边三角形
D ．直角三角形
【答案】B 【解析】
试题分析：因为2
sin sin cos
2C
A B =，所以，1cos sin sin 2
C A B +=，即
2sin sin 1cos[()],cos()1A B A B A B π=+-+-=,故A=B ，三角形为等腰三角形，选B 。

考点：本题主要考查和差倍半的三角函数，三角形内角和定理，诱导公式。

点评：简单题，判断三角形的形状，一般有两种思路，一种是从角入手，一种是从边入手。

2．在ABC ∆中，若sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等腰直角三角形
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意利用正弦定理，推出a ，b ，c 的关系，然后利用余弦定理求出cosC 的值，即可得解． 【详解】
∵sinA ：sinB ：sinC=2：3：4
∴由正弦定理可得：a ：b ：c=2：3：4， ∴不妨令a=2x ，b=3x ，c=4x ，
∴由余弦定理：c 2
=a 2
+b 2
﹣2abcosC ，所以cosC=
2222a b c ab
+-=222
4916223x x x x x +-⨯⨯=﹣14， ∵0＜C ＜π， ∴C 为钝角． 故选B ． 【点睛】
本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．
3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至
BC ，在旋转的过程中，记([0,])2
ABP x x π
∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区
域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】
当0,4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦时，()112y f x tanx ==⨯⨯; 当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
时，()11112y f x tanx ==-⨯⨯
; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】
本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题.
4．已知函数()sin 26f x x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭，若方程()2
3
f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）
A ．
2
3
B ．
49
C ．
53
D ．
5
9
【答案】C 【解析】
【分析】 由已知可得2123
x x π
=
-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-
=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭求解即可． 【详解】
因为0＜x π＜，∴112666x π
ππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭
，， 又因为方程()2
3
f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴
1223x x π+=，∴2123
x x π
=-， ∴()12112223
6sin x x sin x cos x ππ⎛
⎫⎛
⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭， 因为122123
x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π
＜，
∴12662x π
ππ⎛⎫
-
∈- ⎪⎝⎭
，，
∴由()112263f x sin x π⎛⎫
=-= ⎪⎝
⎭，得1263cos x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，
∴()12sin x x -=，故()21sin x x -故选C ． 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．
5．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当
π0,2x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()sin f x x =，则
5π3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的值为( )
A ．12
-
B C ． D ．
12
【答案】B 【解析】 分析：要求53
f π⎛⎫
⎪⎝⎭
，则必须用()sin f x x =来求解，通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，上，再应用其解析式求解
详解：()f x Q 的最小正周期是π
552333f f f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()f x Q 是偶函数
33f f ππ⎛⎫⎛⎫
∴-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
53
3f f π
π⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 当02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()sin f x x =，
则5 sin 333f f πππ⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
故选B
点睛：本题是一道关于正弦函数的题目，掌握正弦函数的周期性是解题的关键，考查了函数的周期性和函数单调性的性质．
6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形
【答案】C 【解析】 【分析】
根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案． 【详解】
根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=， 变形可得：
sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，
即有sin sin a A c C =，
又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．
7．设函数())cos(2)f x x x ϕϕ=+++(||)2
π
ϕ<，且其图像关于直线0x =对
称，则（ ）
A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为增函数
B ．()y f x =的最小正周期为
2π，且在(0,)4
π
上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2
π
上为减函数
D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4
π
上为减函数
【答案】C 【解析】
试题分析：())cos(2)f x x x ϕϕ=+++2sin(2)6
x π
ϕ=++，∵函数图像关于直
线0x =对称，
∴函数()f x 为偶函数，∴3
π
ϕ=，∴()2cos 2f x x =，∴22
T π
π=
=， ∵02
x π
<<
，∴02x π<<，∴函数()f x 在(0,
)2
π
上为减函数.
考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.
8．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，则sin 2α的值为（ ） A ．78-
B ．
78
C ．18
-
D ．
18
【答案】A 【解析】 【分析】
利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】
解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
所以(
)
22
2cos sin sin
cos cos
sin 4
4
π
π
αααα-=-
所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=
- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭
Q ，
所以cos sin 4
αα+=
所以()2
1cos sin 8αα+=，即22
1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28
α+= 所以7sin 28
α=- 故选：A 【点睛】
本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；
9．已知()0,απ∈，3sin 35πα⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，则cos 26πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
24
25
B ．2425
-
C ．
725
D ．725
-
【答案】B 【解析】 【分析】
根据余弦的二倍角公式先利用sin 3πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
求得2cos 23
πα⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
.再由诱导公式求出sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝
⎭,再利用同角三角函数关系中的平方关系求得cos 26πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭.根据角的取值范
围,舍去不合要求的解即可. 【详解】
因为3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭
由余弦二倍角公式可得2
2237cos 212sin 1233525
ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+
=-+=-⨯= ⎪ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 而2cos 2cos 2sin 23
626ππππααα⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+
=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭
所以27sin 2cos 26325ππαα⎛
⎫
⎛
⎫
+
=-+=- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝
⎭
由同角三角函数关系式可得24cos 2625πα⎛
⎫
+==± ⎪⎝
⎭ 因为()0,απ∈ 则4,333π
ππ
α⎛⎫+
∈ ⎪
⎝⎭,而3sin 035πα⎛
⎫+=> ⎪⎝
⎭
所以,33π
παπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
则,33π
παπ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
所以22,233ππαπ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
32,
3262ππππα⎛
⎫⎛⎫
+-∈ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
,即32,662πππα⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
又因为7sin 20625
πα⎛⎫
+=-< ⎪⎝
⎭,所以32,62ππ
απ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
故cos 206πα⎛
⎫
+
< ⎪⎝
⎭
所以24cos 2625
πα⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭ 故选:B 【点睛】
本题考查了同角三角函数关系式及诱导公式的化简应用,三角函数恒等变形及角的范围确定,综合性较强,属于中档题.
10．在OAB ∆
中，已知OB =u u u v 1AB u u u v
=，45AOB ∠=︒，点P 满足(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u v u u u v u u u v ，其中λ，μ满足23λμ+=，则OP u u u v
的最小值为（ ）
A
．
5
B
C
．
3
D
．
2
【答案】A 【解析】 【分析】
根据OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒,由正弦定理可得OAB ∆为等腰直角三角形,进而求得
点A 坐标.结合平面向量的数乘运算与坐标加法运算,用λ,μ表示出OP u u u r
.再由23λμ+=,
将OP u u u r 化为关于λ的二次表达式,由二次函数性质即可求得OP u u u r
的最小值.
【详解】
在OAB ∆中,
已知OB =u u u r
,1AB =uu u r ,45AOB ∠=︒
由正弦定理可得sin sin AB OB
AOB OAB
=
∠∠u u u r u u u r
代入2
2=
,解得sin 1OAB ∠=
即2
OAB π∠=
所以OAB ∆为等腰直角三角形
以O 为原点,OB 所在直线为x 轴,以OB 的垂线为y 轴建立平面直角坐标系如下图所示:
则点A 坐标为22,22⎛ ⎝⎭
所以22OA =⎝⎭u u u r ,)
2,0OB =u u u r
因为(),OP OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r
则)
222,022OP λμ
⎛ =+ ⎝⎭
u u u r 222,22λμλ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
= 则2
2
22222OP λμλ⎛⎫=++⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
u u u r
2222λλμμ=++
因为23λμ+=,则32μλ=- 代入上式可得
()()2
2322232λλλλ+-+-218518λλ-=+2
99555λ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭所以当95
λ=时, min
935
5OP =
=
u u u r
故选:A 【点睛】
本题考查了平面向量基本定理的应用,正弦定理判断三角形形状,平面向量的坐标运算,属于中档题.
11．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则ABC ∆
的面积
S =根据此公式，若()cos 3cos 0a B b c A ++=，且2222a b c --=，则ABC ∆的面积为（ ）
A
B
．
C
D
．【答案】A 【解析】 【分析】
根据()cos 3cos 0a B b c A ++=，利用正弦定理边化为角得
sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=，整理为()sin 13cos 0C A +=，根据
sin 0C ≠，得1
cos 3
A =-
，再由余弦定理得3bc =，又2222a b c --=
，代入公式=S . 【详解】
由()cos 3cos 0a B b c A ++=得sin cos cos sin 3sin cos 0A B A B C A ++=， 即()sin 3sin cos 0A B C A ++=，即()sin 13cos 0C A +=， 因为sin 0C ≠，所以1cos 3
A =-
， 由余弦定理2
2
2
2
2cos 23
a b c bc A bc --=-=
=，所以3bc =， 由ABC ∆
的面积公式得
S ===故选：A 【点睛】
本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
12．
已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()(){}
0,1x f x π∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ）
A ．35,
22⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．35,22⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．725,
26⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．725,26⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
化简f （x ）的解析式，作出f （x ）的函数图象，利用三角函数的性质求出直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上的交点坐标，则π介于第4和第5个交点横坐标之间． 【详解】 f （x ）=2sin （ωx ﹣
3
π
）， 作出f （x ）的函数图象如图所示：
令2sin （ωx ﹣
3π）=﹣1得ωx ﹣3π=﹣6π+2kπ，或ωx ﹣3π=
76
π
+2kπ， ∴x=6πω+2k πω，或x=32πω+2k πω
，k ∈Z ， 设直线y=﹣1与y=f （x ）在（0，+∞）上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ， 则x A =
322ππωω+，x B =46ππ
ωω
+， ∵方程f （x ）=﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根， ∴x A ＜π≤x B ，
即
322ππωω+＜π≤46ππωω+，解得72526ω≤＜． 故选B ． 【点睛】
本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的图象与性质，属于中档题．
13．已知函数()()sin x f x x R ωφ+=∈，，其中0ωπφπ>-<，≤.若函数()f x 的最
小正周期为4π，且当23
x π
=
时，()f x 取最大值，是（ ） A ．()f x 在区间[]2ππ--，上是减函数 B ．()f x 在区间[]0π-，
上是增函数 C ．()f x 在区间[]0π，
上是减函数 D ．()f x 在区间[]02π，
上是增函数 【答案】B 【解析】 【分析】
先根据题目所给已知条件求得()f x 的解析式，然后求函数的单调区间，由此得出正确选项. 【详解】
由于函数()f x 的最小正周期为4π，故2π14π2ω=
=，即()1sin 2f x x φ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，2ππsin 1,33π6f φφ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭=⎭⎝.所以()1
πsin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.由
π1ππ2π2π2262k x k -
≤+≤+，解得4π2π
4π4π33
k x k -≤≤+，故函数的递增区间是4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，令0k =，则递增区间为4π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
，故B 选项正确.所以本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查三角函数解析式的求法，考查三角函数单调区间的求法，属于基础题.
14．函数()sin())f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A ．[－2＋12k ，4＋12k]（k ∈Z ） B ．[－5＋12k ，1＋12k]（k ∈Z ） C ．[1＋12k ，7＋12k]（k ∈Z ） D ．[－2＋6k ，1＋6k]（k ∈Z ）
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意得()23f x sin x πωϕ⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为
12T =，于是可得6
π
=
ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间． 【详解】
由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫
=++=++
⎪⎝
⎭
，
∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6
π=
ω， ∴()26
3f x sin x π
πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫
++=+==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()26
3f x sin x π
π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
由22,2632
k x k k Z π
π
π
π
ππ-
+≤
+
≤
+∈，
得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，
∴()f x 的单调增区间为[]
()512,112k k k Z -++∈． 故选B ． 【点睛】
解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．
15．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ-
<ϕ<，1
(3A ，0)为()f x 图象的对称中
心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是(
)
A ．2(23k -，4
2)3k +，k Z ∈ B ．2(23k ππ-，4
2)3k ππ+，k Z ∈
C ．2(43k -
，4
4)3
k +，k Z ∈ D ．2(43k ππ-，4
4)3
k ππ+，k Z ∈
【答案】C 【解析】 【分析】
由三角函数图像的性质可求得：2
π
ω=
，6
π
ϕ=-
，即()sin(
)26
f x x π
π
=-，再令
222262
k x k ππππ
ππ--+剟，求出函数的单调增区间即可.
【详解】
解：函数()3sin()(0f x x ωϕω=+>，)22
ππ
-
<ϕ<， 因为1
(3
A ，0)为()f x 图象的对称中心，
B ，
C 是该图象上相邻的最高点和最低点，
又4BC =，∴2
22
(23)()42T +=，即221216πω
+=，求得2πω=．
再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6
πϕ=-，()3sin()26f x x ππ
∴=-，
令222262k x k ππππππ--
+剟，求得24
4433
k x k -+剟， 故()f x 的单调递增区间为2(43k -，4
4)3
k +，k Z ∈， 故选：C ． 【点睛】
本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.
16．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则
ABD △的面积是（ ）
A ．15
B ．315
C ．1
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论． 【详解】 如图：
()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，
在ABD △中，由正弦定理得
sin sin BD AB
BAD ADB
=∠∠，同理可得
sin sin CD AC
CAD ADC
=∠∠，
因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得
BD AB
CD AC
=， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，82
44
AC BD CD AB ⋅⨯∴=
==，6BC ∴=.
2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，sin B ==
1
sin 2
ABD S AB BD B ∴=
⋅⋅=V 故选：A ． 【点睛】
本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.
17．在ABC △中，若a ＝3，c ＝7，∠C ＝60°，则边长b 为 A ．5 B ．8 C ．5或－8 D ．－5或8
【答案】B 【解析】
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得24993b b =+-，即()()850b b -+=， 因为b ＞0，所以b ＝8.故选B ．
18．将函数sin(2)4
y x π
=-
的图象向左平移
4
π
个单位，所得图象对应的函数在区间(,)m m -上无极值点，则m 的最大值为（ ）
A ．
8
π B ．
4
π C ．38
π D ．
2
π 【答案】A 【解析】 【分析】
由三角函数的图象变换，求得函数sin 24y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，求得增区间3,,88k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，进而根据函数sin 24y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭在区间(),m m -上无极值点，即可求解. 【详解】
由题意，将函数sin 24y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭的图象向左平移4
π
个单位，
可得函数sin 2sin 2444y x x πππ⎡⎤
⎛⎫⎛
⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 令222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+∈，解得3,88
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈ 即函数sin 24y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的单调递增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤
-
++∈⎢⎥⎣⎦
，
令0k =，可得函数的单调递增区间为3,88ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
， 又由函数sin 24y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
在区间(),m m -上无极值点，则m 的最大值为
8
π
，故选A. 【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象变换得到函数的解析式，再根据三角函数的性质，求得其单调递增区间是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题.
19．在函数：①cos |2|y x =；②|cos |y x =；③cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
；④tan 24y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
中，最小正周期为π的所有函数为（ ） A ．①②③ B ．①③④
C ．②④
D ．①③
【答案】A 【解析】
逐一考查所给的函数：
cos 2cos2y x x == ，该函数为偶函数，周期22
T π
π=
= ； 将函数cos y x = 图象x 轴下方的图象向上翻折即可得到cos y x = 的图象，该函数的周期为
1
22
ππ⨯= ； 函数cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期为22T π
π== ； 函数tan 24y x π⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
的最小正周期为2
2
T π
π
=
=
；
综上可得最小正周期为π的所有函数为①②③. 本题选择A 选项.
点睛：求三角函数式的最小正周期时，要尽可能地化为只含一个三角函数的式子，否则很容易出现错误．一般地，经过恒等变形成“y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)”的形式，再利用周期公式即可．
20．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π
个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4
x π
=
B ．3
x π
=
C ．56
x π=
D ．1912
x π
=
【答案】D 【解析】 【分析】
由三角函数的周期可得23
π
ω=
，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为2
44sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，再求其对称轴方程即可. 【详解】
解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期是3π，则函数2
()4sin 3
3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为
22
44sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+
∈Z ，当1k =时，1912x π
=. 故选D. 【点睛】
本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.。