课堂新坐标高中数学北师大版必修学案单位圆的对称性与诱导公式含解析

4.3单位圆与正弦函数、
余弦函数的基本性质
4.4单位圆的对称性与诱导公式
1．了解正弦函数、余弦函数的基本性质．
2．会借助单位圆推导正弦函数、余弦函数的诱导公式．(难点)
)
3．掌握诱导公式及其应用．(重点
[基础·初探]
教材整理1正弦函数、余弦函数的基本性质
阅读教材P18～P19“思考交流”以上部分，完成下列问题．
正弦函数、余弦函数的基本性质
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在[－π，π]上是增加的．( ) (2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－π6，π上的最大值为1.( )
(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，π2上的最小值为－1.( ) 【解析】 (1)y ＝sin x 在[－π，π]上不具有单调性，故(1)错误．
(2)y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π上是减少的，y max ＝sin π2＝1，
故(2)正确．
(3)y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减少的，故y min ＝cos π2＝0，故(3)错误． 【答案】 (1)× (2)√ (3)×
教材整理2 诱导公式(－α，π±α)的推导 阅读教材P 19～P 21，完成下列问题． 1．诱导公式(－α，π±α)的推导 (1)在直角坐标系中
α与－α角的终边关于x 轴对称； α与π＋α的终边关于原点对称； α与π－α的终边关于y 轴对称． (2)公式
sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α； sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α； sin(π－α)＝sin_α，cos(π－α)＝－cos_α. 2．诱导公式⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2±α的推导 (1)π
2－α的终边与α的终边关于直线y ＝x 对称． (2)公式
用－α代替α↓并用前面公式
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)cos(2π－α)＝cos α.( ) (2)sin(2π－α)＝sin α.( )
(3)诱导公式中的角α只能是锐角．( ) 【解析】 (1)正确．cos(2π－α)＝cos(－α)＝cos α. (2)错误．sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α.
(3)错误．诱导公式中角α不仅可以是锐角，还可以是任意角． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________
[小组合作型]
的自变量x 的值．
(1)y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π；
(1)y ＝cos x ，x ∈⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤－π，π3.
【精彩点拨】 画出单位圆，借助图形求解．
【自主解答】 (1)由图①可知，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上是增加的，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π2，π上
是减少的．且当x ＝π2时，y ＝sin x 取最大值1，当x ＝－π
6时，y ＝sin x 取最小值－12.
①
(2)由图②可知，y ＝cos x 在[－π，0]上是增加的，在⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π3上是减少的．且
当x ＝－π时取最小值－1，当x ＝0时，取最大值1.
②
利用单位圆研究三角函数性质的方法
第一步：在单位圆中画出角x 的取值范围；
第二步：作出角的终边与单位圆的交点P (cos x ，sin x )； 第三步：研究P 点横坐标及纵坐标随x 的变化而变化的规律； 第四步：得出结论．
[再练一题]
1．求下列函数的单调区间和值域，并说明取得最大值和最小值时的自变量x 的值.
【导学号：66470010】
(1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π3，π；(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]．
【解】 (1)y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π3，π2，单调递增区间
为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
π2，π. 当x ＝π
2时，y min ＝－1；当x ＝π时，y max ＝0，故函数y ＝－sin x 的值域为
[]－1，0.
(2)y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的单调递减区间为[0，π]，单调递增区间为[－π，0]．
当x ＝0时，y max ＝1；当x ＝－π或π时，y min ＝－1，故函数y ＝cos x ，x ∈[－π，π]的值域为[－1,1]．
(1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4； (2)sin ⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤(2n ＋1)π－2π3.
【精彩点拨】 利用诱导公式将所给的角化成锐角求解． 【自主解答】 (1)sin 4π3·cos 25π6·sin 5π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4
＝－sin π3·cos π6·⎝ ⎛
⎭⎪⎫－sin π4 ＝32·32·2
2 ＝34·22＝328.
(2)sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π－2π3＝sin ⎣⎢⎡
⎦⎥⎤2n π＋π－2π3
＝sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫π－2π3＝sin π3＝32.
利用诱导公式，把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤为：
可简记为：负化正，大化小，化成锐角再求值．
[再练一题]
2．求下列各式的值． (1)sin 495°·cos(－675°)；
(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋2π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π(n ∈Z )．
【解】 (1)sin 495°·cos(－675°) ＝sin(360°＋135°)·cos(360°＋315°) ＝sin 135°·cos 315°
＝sin(180°－45°)cos(360°－45°) ＝sin 45°·cos 45°＝22×22＝12. (2)当n 为奇数时，
原式＝sin 23π·⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos 43π＝sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π－π3·
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34； 当n 为偶数时，
原式＝sin 23πcos 43π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3·cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π＋π3
＝sin π3·
⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos π3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－3
4.
已知cos ⎝ ⎛⎭⎪π6－α＝13，求cos ⎝ ⎛⎭⎪5π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭
⎪2π3－α.
【精彩点拨】 解答本题要注意到⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π，2π3－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋α，
⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π
2
等角之间的关系，恰当运用诱导公式求值． 【自主解答】 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π
2， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π6－α＝1
3.
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α
＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13.
∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝π， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6－α＝－13，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋αsin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
2π3－α＝－13×13＝－19.
1．观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角，是解决问题的关键．
2．对于有条件的三角函数求值题，求解的一般基本方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式而完成求值．
[再练一题]
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝33，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
10π3－α的值．
【解】 ∵103π－α＝3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3－α，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π3－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
3π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－α.
又∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝π
2，
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
10π3－α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝－sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6＋α＝－33.
[探究共研型]
探究1 【提示】 总体思路是利用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数．
探究2 怎样处理含有k π±α的角？
【提示】 含有k π±α形式的角的三角函数化简时，需对k 分是奇数还是偶数讨论确认选用的公式．
化简下列各式．
(1)cos (2π－α)sin (3π＋α)cos ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2＋αcos (α－3π)sin (－π－α)；
(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
4n －14π－x
(n ∈Z )． 【精彩点拨】 (1)直接利用诱导公式化简． (2)对n 是奇数或偶数进行讨论．
【自主解答】 (1)原式＝
cos α·(－sin α)·(－sin α)
sin α·(－cos α)sin α
＝－1.
(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4n －14π－x
＝2n π， ∴原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤
2n π－⎝ ⎛⎭⎪⎫4n ＋14π＋x ＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4n ＋14π＋x
＝2cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫n π＋π4＋x . ①当n 为奇数时，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，原式 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π＋π4＋x ＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋x ； ②当n 为偶数时，即n ＝2k (k ∈Z )时， 原式＝2 cos ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2k π＋π4＋x
＝2 cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋x .
故原式＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－2 cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4＋x ，n 为奇数，2 cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π4＋x ，n 为偶数.
三角函数的化简，尽量化为2k π±α的形式，否则： (1)形如k π±α时，应对k 进行奇数和偶数两种情形讨论；
(2)形如k
3π±α时，应分k ＝3n ，k ＝3n ＋1，k ＝3n ＋2(n ∈Z )三种情形讨论．
[再练一题]
4．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
3k －13π－α
，其中k ∈Z . 【解】 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋13π＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3k －13π－α
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
k π－π3－α. ①当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，
原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n ＋1)π＋π3＋α＋cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
(2n ＋1)π－π3－α
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π－π3－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α
＝－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π3＋α；
②当k ＝2n ，n ∈Z 时，
原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
2n π－π3－α
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π3－α
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α
＝2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α.
综上可知，原式＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π3＋α，k 为偶数，－2cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3＋α，k 为奇数.
[构建·体系]
1．当α∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋α＝－cos α
B ．sin(π－α)＝－sin α
C ．cos(π＋α)＝cos α
D ．cos(－α)＝cos α
【解析】 由诱导公式知D 正确．
【答案】 D
2．cos 2π3的值是( )
【导学号：66470011】
A ．－32
B ．32 C.12 D ．－12
【解析】 cos 2π3＝－cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12. 【答案】 D
3．y ＝sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π，π6的单调增区间为________，单调减区间为_______． 【解析】 在单位圆中，当x 由－π到π6时，sin x 由0减小到－1，再由－1增大到12.所以它的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6，单调减区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π，－π2. 【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π6 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π，－π2 4．已知cos(π＋α)＝－12，则sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝________. 【解析】 cos(π＋α)＝－cos α＝－12，∴cos α＝12.
又sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2－α＝cos α＝12. 【答案】 12
5．计算：sin π4·cos 19π6·sin 21π4.
【解】 原式＝sin π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π＋π6·sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4π＋54π
＝sin π
4·cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π＋
π
6·sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π＋
π
4
＝sin π
4·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－cos
π
6·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－sin
π
4
＝
2
2·⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
3
2
·
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
－
2
2
＝
3 4.
我还有这些不足：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________。