数学北师大版高中选修2-1命题及其关系、充要条件

命题及其关系、充分条件与必要条件（二）
巩固新知：
用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”“既不充分也不必要”填空．
≠”是“q:a ≠ 0或b ≠0”的________条件；
(1) “ p:ab 0
(2)若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，
且B不是A的子集，则“p：x∈C ”是
“q：x∈A ”的________条件；
(3)“p：x>0”是“q：x≠0”的________条件．
经典例题
题型一：充要条件的证明
【例1】设f(x)为R上的增函数，a，b∈R，求证：f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)是
a＋b>0的充要条件．（教师用书P6例3）
证明
(1)必要性：若a＋b>0，则a>－b，b>－a，
由于f(x)为R上的增函数，
则f(a)>f(－b)，f(b)>f(－a)，
即f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．
(2)充分性：若f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)，
假设a＋b≤0，则a≤－b，b≤－a，
由于f(x)为R上的增函数，
则f(a)≤f(－b)，f(b)≤f(－a)，
得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)与已知矛盾，
故a＋b>0.
注：方法小结：充要条件的证明要证明两个命题（1）充分性（2）必要性
变式训练
1，设f(x)为R上的增函数，a，b∈R，求f(a)＋f(b) ≤f(－a)＋f(－b)的充要条件．
2求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.
题型二，充分条件与必要条件的应用
【例2】已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，（1）若┐p是┐q的必要不充分条件，（2）若p是q的必要不充分条件，分别求实数m的取值范围。

解（1）方法一：
先求出┐p：A＝{x|x＞10或x＜－2}，
┐q：B＝{x|x＞1＋m或x＜1－m}．
∵┐p是┐q的必要不充分条件，∴B A，
它等价于且两个等号不能同时取到，∴m≥9.
方法二：
∵“┐p是┐q必要不充分条件”的
等价命题是：p是q的充分不必要条件．
设p：A＝{x|－2≤x≤10}，
q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}．
∵p 是q 的充分不必要的条件，∴A B .
∴且两个等号不能同时取到，
∴m ≥9.
（2）略
注：直接利用充要条件，数形结合求解，特别注意端点等号的确定。

变式训练
1，已知p ：－2≤x ≤4，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，（1）若┐p 是┐ q 的必要不充分条件，
（2）若p 是 q 充要条件，分别求实数m 的取值范围。

2，已知p ：（x+a ）(x+2a) ＞0，q ：0)
1)(2(1>-+x x ，若p 是 q 充分不必要，求实数m 的取值范围。

课堂练习P8，10，12（教师用书）
题型三，等价命题转换
【例3】设f (x )为R 上的减函数，a ，b ∈R ，若 f (a )＋f (b ) ≤
f (－a )＋f (－b )，求证：a ＋b ≥0.
分析：本题不易直接证明，证等价命题：设f (x )为R 上的减函数，a ，b ∈R ，若a ＋b ＜0. 求证f (a )＋f (b ) ＞f (－a )＋f (－b )
注：等价命题证题一般针对类型：（1）原命题以否定形式给出（2）原命题不易直接证明 易错警示
【例】 若p ：0322>--x x ， q ：
06
12>--x x 则┐p 是┐q 的什么条件？
错解 ∵ ┐ p ：0322≤--x x ⇔3x 1-≤≤， ┐q ： 6
12--x x ≤0⇔－2＜x ＜3， ∴ ┐p 是┐q 的既不充分又不必要条件．
错解分析
上述错误解法在于对命题的否定的概念理解错误，
误认为： ┐q ：6
12--x x ≤0，事实上 x 2－x －6＝0也属于┐q 的一部分，
这样导致了不等价变换．
正解
p ：x 2－2x －3＞0⇔x ＜－1或x ＞3，
∴ ┐p ：－1≤x ≤3.
q ： 6
12--x x ＞0⇔x ＜－2或x ＞3， ∴ ┐q ：－2≤x ≤3，∴ ┐p ⇒ ┐q ，但┐q ⇒ ┐p ，
∴ ┐p 是┐q 成立的充分不必要条件．。