高中高考数学3月模拟试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题

2015年某某省黄冈市浠水县实验高中高考数学模拟试卷（文科）（3
月）
一、选择题
015•浠水县校级模拟）已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值组成的集合为（）
A．ΦB． {0} C． {﹣1，0，1} D． {﹣1，1}
015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（）A．﹣2i B． 2i C．﹣i或i D． 2i或﹣2i
015•浠水县校级模拟）a＞1是函数y=log a（ax）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增的（）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
015•某某模拟）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）
A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值
C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值8
015•浠水县校级模拟）已知=﹣＜α＜0，则cosα=（）
A．B．C．D．
015•浠水县校级模拟）已知=，与不共线，任意点M关于点A的对称点S，点S关于点B的对称点为N，则=（）
A．B．C．
D．
015•浠水县校级模拟）曲线y=在处的切线斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣
008•某某）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）
A．B．C．D．
015•浠水县校级模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，再过A、B 分别作抛物线的切线l1，l2，设l1与l2的交点为P（x0，y0），则x0的值（）
A． 0 B．﹣p C．﹣D．不确定
1015•浠水县校级模拟）已知a∈R，若f（x）=﹣|x﹣2a|有三个或四个零点，则g（x）
=ax2+4x+1的零点个数为（）
A． 2 B． 1或2 C． 0或2 D． 0或1
二、填空题
1015•浠水县校级模拟）已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，那么样本数据落在[40，60）内的样本的频数为；估计总体的众数为．
1015•浠水县校级模拟）数据a1，a2，…，a n的方差为S2，平均数为μ，则数据ka1+b，ka2+b，…，ka n+b（k，b≠0）的标准差为；平均数为．
1015•某某模拟）执行如下程序框图，输出的i=．
1015•浠水县校级模拟）观察等式：=，=1，
=，照此规律，对于一般的角α，β，有等式．
1015•浠水县校级模拟）一条光线从A（﹣2，3）射出，经过x轴反射后与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射后光线所在直线方程的斜率为．
1015•某某模拟）某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为．
1015•浠水县校级模拟）设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把△ABC沿AC向ADC折叠，AB折过去后交DC于P，设AB=x，则△ADP的最大面积为；相应的x=．
三、解答题
1015•某某二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）当cosA+cosB取得最大值时，试判断△ABC的形状．
1015•浠水县校级模拟）已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），设b n=a n+1+a n，=a n+1﹣3a n．
（1）证明{b n}，{}为等比数列；
（2）求{a n}的通项公式．
2015•某某二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．
2015•某某模拟）已知函数f（x）=xlnx，
（1）求函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）若函数F（x）=在[1，e]上的最小值为，求a的值．
2015•某某模拟）已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AT，BT交于点T，且它们的斜率之积为常数﹣λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C．（1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1．设直线l：x=my+1交曲线C 于M，N，直线AM，BN交于点P．
（ⅰ）当m=0时，求点P的坐标；（ⅱ）求证：当m变化时，P总在直线x=4上．
2015年某某省黄冈市浠水县实验高中高考数学模拟试卷（文科）（3）
参考答案与试题解析
一、选择题
015•浠水县校级模拟）已知集合A={x|x2=1}，B={x|ax=1}，若B⊆A，则a的取值组成的集合为（）
A．ΦB． {0} C． {﹣1，0，1} D． {﹣1，1}
考点：集合的包含关系判断及应用．
专题：集合．
分析：先求出集合A={﹣1，1}，讨论a：a=0，显然满足B⊆A；a≠0时，便有B={x|x=}，
从而由B⊆A便可求出a=1，或﹣1，最后即可得到a的取值组成的集合．
解答：解：A={﹣1，1}；
①若a=0，则B=∅，满足B⊆A；
②若a≠0，则B={x|x=}；
∵B⊆A；
∴，或；
∴a=﹣1，或1；
综上得a的取值组成的集合为{﹣1，0，1}．
故选C．
点评：考查描述法表示集合，列举法表示集合，以及空集和其它集合的关系，子集的概念，不要漏了a=0的情况．
015•浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（）A．﹣2i B． 2i C．﹣i或i D． 2i或﹣2i
考点：复数的基本概念．
专题：数系的扩充和复数．
分析：由两个复数都是纯虚数，可设z=ai，（a∈R，a≠0），化简（z+2）2﹣8i，可求出z．解答：解：设z=ai，（a∈R，a≠0），
则（z+2）2﹣8i=（ai+2）2﹣8i=4+4ai﹣a2﹣8i=（4﹣a2）+（4a﹣8）i，
∵复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，
∴4﹣a2=0，4a﹣8≠0．
解得：a=﹣2．
∴z=﹣2i．
故选：A．
点评：本题考查了复数的分类以及复数的运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
015•浠水县校级模拟）a＞1是函数y=log a（ax）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增的（）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据对数函数以及复合函数的单调性求出a的X围，结合充分必要条件的定义判断即可．
解答：解：若函数y=log a（ax）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，
则f（x）=ax是增函数，y=log a[f（x）]是增函数，
∴a＞1，
故a＞1是函数y=log a（ax）（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增的充分必要条件，
故选：A．
点评：本题考查了充分必要条件，考查对数函数的性质，是一道基础题．
015•某某模拟）已知变量x，y满足条件，则目标函数z=2x+y（）
A．有最小值3，最大值9 B．有最小值9，无最大值
C．有最小值8，无最大值D．有最小值3，最大值8
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最值．
解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．无最大值．
由，解得，
即A（2，4）．
此时z的最小值为z=2×2+4=8，
故选：C
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．
015•浠水县校级模拟）已知=﹣＜α＜0，则cosα=（）
A．B．C．D．
考点：两角和与差的余弦函数．
专题：三角函数的求值．
分析：由已知式子化简可得sin（α+）=﹣，进而由同角三角函数基本关系可得cos （α+）=，代入cosα=cos（α+）+sin（α+）计算可得．
解答：解：∵=﹣＜α＜0，
∴sinα+cosα+sinα=﹣，
∴sinα+cosα=﹣，
∴sinα+cosα=﹣，
∴sin（α+）=﹣，
∴cos（α+）=，
∴cosα=cos[（α+）﹣]
=cos（α+）+sin（α+）
=+=
故选：B
点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系，属基础题．015•浠水县校级模拟）已知=，与不共线，任意点M关于点A的对称点S，点S关于点B的对称点为N，则=（）
A．B．C．
D．
考点：平行向量与共线向量．
专题：平面向量及应用．
分析：根据点的对称关系，结合向量中点公式进行化简即可得到结论．
解答：解：∵M关于点A的对称点S，点S关于点B的对称点为N，
∴，．
即+=2=2，
+=2=2，
两式相减得﹣=2﹣2
即=﹣=2﹣2
=，
故选：A．
点评：本题考查了向量的运算和三角形法则，根据对称关系得到向量的中点公式是解决本题的关键．
015•浠水县校级模拟）曲线y=在处的切线斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用．
分析：求出曲线方程的导函数，把切点的横坐标代入导函数求出的函数值即为切线方程的斜率．
解答：解：由y=，得到y′=，
把x=代入得：y′|x===﹣，
则曲线在处的切线斜率为﹣．
故选D．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道基础题．
008•某某）电子钟一天显示的时间是从00：00到23：59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）
A．B．C．D．
考点：等可能事件的概率．
专题：计算题；压轴题．
分析：本题是一个古典概型，解题时要看清试验发生时的总事件数和一天中任一时刻的四个数字之和为23事件数，前者可以根据生活经验推出，后者需要列举得到事件数．
解答：解：一天显示的时间总共有24×60=1440种，
和为23有09：59，19：58，18：59，19：49总共有4种，
故所求概率为P==．
故选C
点评：本题考查的是古典概型，如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是解题的关键．
015•浠水县校级模拟）过抛物线y2=2px的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，再过A、B 分别作抛物线的切线l1，l2，设l1与l2的交点为P（x0，y0），则x0的值（）
A． 0 B．﹣p C．﹣D．不确定
考点：抛物线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算
可求得两切线的交点的横坐标为定值﹣．
解答：解：由抛物线y2=2px得其焦点坐标为F（，0）．
设A（y12，y1），B（y22，y2），
直线l：x=my+，
联立，得：y2﹣2pmy﹣p2=0．
∴y1y2=﹣p2…①．
又抛物线方程为：y2=2px，即x=y2，
求导得x′=，
∴抛物线过点A切线方程为x﹣y12=（y﹣y1）…②
抛物线过点B的切线方程为x﹣y22=（y﹣y2）…③
由①②③得：x=﹣．
∴l1与l2的交点P的横坐标x0=﹣，
故选：C
点评：本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题
1015•浠水县校级模拟）已知a∈R，若f（x）=﹣|x﹣2a|有三个或四个零点，则g（x）
=ax2+4x+1的零点个数为（）
A． 2 B． 1或2 C． 0或2 D． 0或1
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点可化为函数m（x）=x2与函数h（x）
=|x﹣2a|有三个或者四个不同的交点，作图象确定a的取值X围，从而确定函数g（x）
=ax2+4x+1的零点个数．
解答：解：∵函数f（x）=x2﹣|x﹣2a|有三个或者四个零点，
∴函数m（x）=x2与函数h（x）=|x﹣2a|有三个或者四个不同的交点，
作函数m（x）=x2与函数h（x）=|x﹣2a|的图象如下，
，
结合图象可知，﹣0.5≤2a≤0.5，
故﹣≤a≤，
当a=0时，函数g（x）=ax2+4x+1有一个零点，
当a≠0时，△=16﹣4a＞0，
故函数g（x）=ax2+4x+1有两个零点，
故g（x）=ax2+4x+1的零点个数为1或2，
故选：B
点评：本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于基础题．
二、填空题
1015•浠水县校级模拟）已知一个样本容量为100的样本数据的频率分布直方图如图所示，那么样本数据落在[40，60）内的样本的频数为15 ；估计总体的众数为75 ．
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：频率分布直方图中，频率=矩形的高×组距，先求出[40，60）内的样本频率，再乘以样本容量就可求出频数．再由众数为频率最高一组的组中得到众数．
解答：解：[40，60）内的样本频数：100×（0.005+0.01）×10=15；
总体的众数为频率最高一组的组中，
即[70，80）的组中75，
故答案为：15，75
点评：本题考查频数，频率及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识．
1015•浠水县校级模拟）数据a1，a2，…，a n的方差为S2，平均数为μ，则数据ka1+b，ka2+b，…，ka n+b（k，b≠0）的标准差为kS ；平均数为kμ+b．
考点：极差、方差与标准差．
专题：计算题；概率与统计．
分析：根据数据的平均数与方差、标准差的公式，进行计算即可．
解答：解：根据题意，得；=（a1+a2+…+a n）=μ，
∴a1+a2+…+a n=nμ，
∴ka1+b，ka2+b，ka3+b，…，ka n+b的平均数为
=[（ka1+b）+（ka2+b）+（ka3+b）+…+（ka n+b）]
=k•[a1+a2+…+a n]+b=kμ+b；
∵数据a1，a2，a3，…，a n的标准差为S2，
∴S2=[（a1﹣μ）2+（a2﹣μ）2+…+（a n﹣μ）2]，
∴数据ka1+b，ka2+b，ka3+b，…，ka n+b方差为
S′2=[（ka1+b﹣kμ﹣b）2+（ka2+b﹣kμ﹣b）2+…+（ka n+b﹣kμ﹣b）2]
=k2•[（a1﹣μ）2+（a2﹣μ）2+…+（a n﹣μ）2]=k2•S2，
∴数据ka1+b，ka2+b，…，ka n+b（k，b≠0）的标准差为kS．
故答案为：kS，kμ+b．
点评：本题考查了数据的平均数与方差、标准差的计算问题，是基础题目．
1015•某某模拟）执行如下程序框图，输出的i= 6 ．
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，i的值，当s=57时，不满足条件s ＜30，退出循环，输出i的值为6．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
s=0，i=1，s=1，i=2
满足条件s＜30，s=4，i=3
满足条件s＜30，s=11，i=4
满足条件s＜30，s=26，i=5
满足条件s＜30，s=57，i=6
不满足条件s＜30，退出循环，输出i的值为6．
故答案为：6．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s，i的值是解题的关键，属于基础题．
1015•浠水县校级模拟）观察等式：=，=1，
=，照此规律，对于一般的角α，β，有等式
．．
考点：归纳推理．
专题：推理和证明．
分析：观察等式：==tan60°=tan（），
=1=tan45°=tan（），==tan30°=tan （），据此，判断出对于一般的角α，β，有什么规律即可．
解答：解：∵==tan60°=tan（），
=1=tan45°=tan（），
==tan30°=tan（），
…
∴对于一般的角α，β，有等式：．
故答案为：．
点评：本题主要考查了归纳推理的灵活运用，解答此题的关键是仔细观察已给等式，并从中找出规律．
1015•浠水县校级模拟）一条光线从A（﹣2，3）射出，经过x轴反射后与圆C：（x﹣3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射后光线所在直线方程的斜率为或．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程．
专题：直线与圆．
分析：由题意可得，A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′（﹣2，﹣3）在反射后光线所在直线上，设反射后光线所在直线的斜率为k，用点斜式求得反射后光线所在直线方程．再根据圆心（3，2）到反射光线所在直线的距离等于半径求得k的值，可得结论．
解答：解：由题意可得，A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′（﹣2，﹣3）在反射后光线所在直线上，
设反射后光线所在直线的斜率为k，则反射后光线所在直线方程为y+3=k（x+2），即 kx﹣y+2k ﹣3=0．
再根据圆心（3，2）到反射光线所在直线的距离等于半径1，即=1，求得k=，或k=，
故答案为：或．
点评：本题主要考查反射定理，直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
1015•某某模拟）某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：根据三视图的性质得到俯视图中椭圆的短轴长和长周长，再根据椭圆的性质a2﹣
b2=c2，和离心率公式，计算即可．
解答：解：设正视图正方形的边长为m，根据正视图与俯视图的长相等，得到俯视图中椭圆的短轴长2b=m，
俯视图的宽就是圆锥底面圆的直径m，得到俯视图中椭圆的长轴长2a=m，
则椭圆的焦距=m，
根据离心率公式得，e==
故答案为：．
点评：本题主要考查了椭圆的离心率公式，以及三视图的问题，属于基础题．
1015•浠水县校级模拟）设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把△ABC沿AC向ADC折叠，AB折过去后交DC于P，设AB=x，则△ADP的最大面积为108﹣72；相应的x= 6．
考点：解三角形．
专题：解三角形．
分析：设AB=x，则AD=12﹣x，利用勾股定理得打PD，再根据三角形的面积公式个基本不等式的性质，即可求出
解答：解∵设AB=x，则AD=12﹣x，又DP=PB′，AP=AB′﹣PB′=AB﹣DP，即AP=x﹣DP，∴（12﹣x）2+PD2=（x﹣PD）2，得PD=12﹣，
∵AB＞AD，
∴6＜x＜12，
∴△ADP的面积S=AD•DP=（12﹣x）（12﹣）=108﹣6（x+）≤108﹣6•2=108﹣
72，当且仅当x=即x=6时取等号，
∴△ADP面积的最大值为108﹣72，此时x=6；
故答案为：、．
点评：本题主要考查了三角形面积公式和基本不等式的性质的运用．
三、解答题
1015•某某二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC．（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）当cosA+cosB取得最大值时，试判断△ABC的形状．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
专题：解三角形．
分析：（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式可得，结合角C的X围即可得解．
（Ⅱ）由（1）知，则化简可得，结合A的X围可求取得最大值1时A，B，C的值，从而得解．
解答：解：（Ⅰ）由结合正弦定理变形得：（3分）
从而，，…（6分）
∵0＜C＜π，∴；…（7分）
（Ⅱ）由（1）知…（8分）
则
===
=（11分）
∵，∴…（12分）
当时，取得最大值1，…（13分）
此时，，…（14分）
故此时△ABC为等腰三角形．…（15分）
点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数中的恒等变换应用，解题时注意分析角的X 围，属于基本知识的考查．
1015•浠水县校级模拟）已知数列{a n}中，a1=5，a2=2，a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），设b n=a n+1+a n，=a n+1﹣3a n．
（1）证明{b n}，{}为等比数列；
（2）求{a n}的通项公式．
考点：数列递推式；等比关系的确定．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）通过对a n+2=2a n+1+3a n（n≥1）变形可知a n+2+a n+1=3（a n+1+a n），进而b n+1=3b n；同理通过a n+2=2a n+1+3a n可知a n+2﹣3a n+1=﹣（a n+1﹣3a n），进而+1=﹣；
（2）通过b n=a n+1+a n与=a n+1﹣3a n作差可知a n=（b n﹣），进而计算可得结论．
解答：（1）证明：∵a n=2a n﹣1+3a n﹣2（n≥3），
∴a n+2=2a n+1+3a n（n≥1），
∴a n+2+a n+1=3（a n+1+a n），
又∵b n=a n+1+a n，
∴b n+1=3b n，
又∵b1=a2+a1=7，
∴数列{b n}是以7为首项、3为比的等比数列；
∵a n+2=2a n+1+3a n，
∴a n+2﹣3a n+1=﹣（a n+1﹣3a n），
又∵=a n+1﹣3a n，
∴+1=﹣；
又∵C1=a2﹣3a1=﹣13，
∴{}是以﹣13为首项、﹣1为公比的等比数列；
（2）解：∵b n=a n+1+a n，=a n+1﹣3a n，
∴a n=（b n﹣），
由（1）知…①
…②
①﹣②得．
点评：本题考查数列的递推式，考查等比数列的判定，考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．
2015•某某二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且PA=AD=2，AB=1，AC=．
（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求直线MN与平面PAD所成角的正切值．
考点：直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．
专题：证明题；空间位置关系与距离．
分析：（Ⅰ）取PD中点E，连结NE，CE，可证MNEC为平行四边形，由MN∥CE即可判定MN∥平面PCD．（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：可证平面PAD⊥平面ABCD，过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，解三角形可得解；
方法二：PA⊥AB，PA⊥AC，又可证AB⊥AC，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设平面PAD的一个法向量为，则设MN与平面PAD 所成的角为θ，则由夹角公式即可求得MN与平面PAD所成角的正切值．
解答：解：（Ⅰ）证明：取PD中点E，连结NE，CE．∵N为PA中点，∴NE，
又M为BC中点，底面ABCD为平行四边形，∴MC．
∴NE MC，即MNEC为平行四边形，…（4分）
∴MN∥CE∵EC⊂平面PCD，且MN⊄平面PCD，∴MN∥平面PCD．…（7分）
（其它证法酌情给分）
（Ⅱ）方法一：∵PA⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
过M作MF⊥AD，则MF⊥平面PAD，连结NF．
则∠MNF为直线MN与平面PAD所成的角，…（10分）
由AB=1，，AD=2，得AC⊥CD，
由AC•CD=AD•MF，得，
在Rt△AMN中，AM=AN=1，得．
在Rt△MNF中，，∴，
直线MN与平面PAD所成角的正切值为．…（15分）
方法二：∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AB，PA⊥AC，
又∵AB=1，，BC=AD=2，∴AB2+AC2=BC2，AB⊥AC．…（9分）
如图，分别以AB，AC，AP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系A﹣xyz，
则，N（0，0，1），P（0，0，2），，∴
，，，…（11分）设平面PAD的一个法向量为，则
由，令y=1得，…（13分）
设MN与平面PAD所成的角为θ，则，∴MN与平面PAD所成角的正切值为．…（15分）
点评：本题主要考查了线与平面平行的判定，求直线MN与平面PAD所成角的正切值，关键在于熟练掌握平面垂直的性质与直线与平面平行的判定定理及其应用，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题．
2015•某某模拟）已知函数f（x）=xlnx，
（1）求函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）若函数F（x）=在[1，e]上的最小值为，求a的值．
考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1（x＞0），由此利用导数性质能求出函数f（x）的单调区间和最小值．
（2）F′（x）=，由此根据实数a的取值X围进行分类讨论，结合导数性质能求出a的
值．
解答：解（本小题满分12分）
（1）∵f′（x）=lnx+1（x＞0），
令f′（x）≥0，即lnx≥﹣1=lne﹣1．
∴x≥e﹣1=，∴x∈[，+∞）．
同理，令f′（x）≤0，可得x∈（0，]．
∴f（x）单调递增区间为[，+∞），单调递减区间为（0，]，
由此可知y=f（x）min=f（）=﹣．
（2）F′（x）=，
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x）min=F（1）=﹣a=，
∴a=﹣∉[0，+∞），舍去．
当a＜0时，F（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，
若a∈（﹣1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，
F（x）min=F（1）=﹣a=，
∴a=﹣∉（﹣1，0），舍去；
若a∈[﹣e，﹣1]，F（x）在[1，﹣a]上单调递减，在[﹣a，e]上单调递增，
∴F（x）min=F（﹣a）=ln（﹣a）+1=，
a=﹣∈[﹣e，﹣1]；
若a∈（﹣∞，﹣e），F（x）在[1，e]上单调递减，
F（x）min=F（e）=1﹣，
∴a=﹣∉（﹣∞，﹣e），舍去．
综上所述：a=﹣．
点评：本题考查函数的单调区间的最小值的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和分类讨论思想的合理运用．
2015•某某模拟）已知点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0）．直线AT，BT交于点T，且它们的斜率之积为常数﹣λ（λ＞0，λ≠1），点T的轨迹以及A，B两点构成曲线C．（1）求曲线C的方程，并求其焦点坐标；
（2）若0＜λ＜1，且曲线C上的点到其焦点的最小距离为1．设直线l：x=my+1交曲线C 于M，N，直线AM，BN交于点P．
（ⅰ）当m=0时，求点P的坐标；（ⅱ）求证：当m变化时，P总在直线x=4上．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（1）设T（x，y），由直线的斜率公式，化简整理讨论即可得到曲线方程；
（2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求得焦点和a﹣c为最小值，解得λ，进而得到椭圆方程，
（ⅰ）当m=0时，由x=1代入椭圆方程，即可得到P的坐标；（ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），联立及x=my+1，运用韦达定理和恒成立思想，即可得到定直线x=4．
解答：解：（1）设T（x，y），则，
化简得，又A，B的坐标（﹣2，0），（2，0）也符合上式，
故曲线C：；
当0＜λ＜1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，焦点为
，
当λ＞1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆，焦点为
；
（2）由于0＜λ＜1，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，其焦点为
，
椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离，是椭圆上的点到焦点的最小距离，
故，∴，曲线C的方程为；
（ⅰ）联立解得或
，
当时，，解得P（4，3），
当时，由对称性知，P（4，﹣3），
所以点P坐标为（4，3）或（4，﹣3）；
（ⅱ）以下证明当m变化时，点P总在直线x=4上．
设M（x1，y1），N（x2，y2），联立及x=my+1，
消去x得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，，
直线，
消去y得，
以下只需证明（※）对于m∈R恒
成立．
而
所以（※）式恒成立，即点P横坐标总是4，点P总在直线x=4上，
故存在直线l'：x=4，使P总在直线l'上．
点评：本题考查曲线方程的求法，主要考查椭圆的性质和方程的运用．联立直线方程运用韦达定理以及恒成立思想的运用，属于中档题．。