第28届俄罗斯数学奥林匹克

9. 7 设 △ABC 的外心为 O . 在其边 AB 和 BC 上
2
九年级
9. 1 能否将自然数 1 至 2 002 填写到一个 2 002
分别 取 点 M 和 N , 使 得 2 ∠MON = ∠AOC. 证 明 : △MBN 的周长不小于边 AC 之长 . 9. 8 在区间 (22 n ,23 n ) 中任取 22 n - 1 + 1 个奇数 . 证明 : 在所取出的数中必有两个数 , 其中每一个数的 平方都不能被另一个数整除 .
9. 6 有一个红色卡片盒和 k 个 ( k > 1) 蓝色卡片 盒 ,还有一副卡片 ,共有 2 n 张 , 它们被分别编为 1 至 2 n 号 . 开始时 ,这副卡片被按任意顺序叠置在红色卡
片盒中 . 从任何一个卡片盒中都可以取出最上面的一 张卡片 ,或者把它放到空盒中 , 或者把它放到比它号 码大 1 的卡片的上方 . 对于怎样的最大的 n , 可以通
10. 6 同 9. 6. 10. 7 设 △ABC 的一个旁切圆与边 BC 相切于点
2002 年第 5 期
A′ ,过点 A′ 作 ∠A 平分线的平行直线 a , 再分别类似
2
31 2 002 ,从而对于位于该行与该列相交处的方格 ,题中
地作出直线 b 和 c . 证明 : 直线 a 、 b、 c 相交于同一点 .
第 28 届俄罗斯数学奥林匹克于 2002 年 4 月 21 日至 29 日在俄罗斯阿迪格共和国首府迈科普市举行 ,来自 俄罗斯全国各地的 199 名选手参加了比赛 . 考试分为两天 ,各个年级都是 8 道试题 ,每天 4 道题 ,5 个小时 ,每道 题满分都是 7 分 . 我国派出了东北育才学校的 6 名选手参加了此次竞赛 . 竞赛设一二三等奖 . 其中一等奖仅有 6 名选手获得 ,约占参赛人数的 3 % ,我国选手李晓东以总分第二名的优秀成绩荣列其中 ; 此外 ,还颁发了 45 个二 等奖和 57 个三等奖 ,我国选手获得 1 个二等奖和 4 个三等奖 . 以下各个年级的前 4 题为第一天的试题 ,后 4 题为第二天的试题 . 过这种操作把所有卡片移到其中一个蓝色卡片盒中 ?
11. 7 同 10. 8. 11. 8 证明 : 存在无限多个正整数 n , 使得和数 1 1 1+ + …+ 的既约分数表达式中的分子不是质 2 n
我们改用图论语言 ,以头作为顶点 ,颈子作为边 , 而把对由头 A 所连出的颈子所砍的一剑称为对顶点
A 所作的一次 “反转” . 易知 , 如果有某个顶点 X 的度
11. 5 试求出具有如下性质的最小的正整数 : 它
点 A、 B、 C 和 1 个非蓝色点 D . 易知
S △ABC ≤S △ABD + S △ACD + S △BCD .
对所有关于这类四点组的不等式求和 ,可知在和 值中 ,每个 “蓝色” 三角形都被计算了 12 次 , 而每个 “蓝 2蓝2非蓝” 三角形都被计算了 4 次 ,从而 ,所有 “蓝 色” 三角形的面积之和不超过所有 “蓝 2蓝2非蓝” 三角 形的面积之和的三分之一 ,亦即 “蓝色” 三角形的面积 之和不超过所有至少有两个顶点为蓝点的三角形面 积之和的四分之一 . 同理可得关于其他两种颜色三角 形的不等式 . 上述计算中没有重复 ,所以 ,同色三角形 的面积之和不超过所有三角形面积之和的四分之一 .
10. 8 在平面上给出了有限条红色直线和蓝色
的条件不能满足 .
9. 2 ∠AO1 O2 是 △OAO1 的外角 ,所以 ,
直线 ,其中任何两条不平行 , 并且其中任何两条同色 直线的交点处都有一条与它们异色的直线经过 . 证 明 : 所有的给定直线相交于同一个点 .
∠AO1 O2 = ∠AOO1 + ∠OAO1
数的正整数次方幂 .
参 考 解 答
9. 1 不可能 .
数 1 至 2 001 至多分布在 2 001 行和 2 001 列中 , 则必可找到一行和一列 , 其中所填的数全都不小于 2 002. 于 是 该 行 ( 该 列 ) 的 任 何 二 数 的 乘 积 都 大 于
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中 等 数 学 △CLO ≌△BNO . 故 KO = OM , LO = ON , 且 ∠KOL = ∠AOC ∠MOB - ∠BON = ∠MON . 所以 , △KOL ≌△MON . 故 K L = MN . 图2 因此 , △BMN 的周长 为 BM + MN + NB = A K + K L + LC ≥AC . 9. 8 易知 ,在所选取的数中存在 a 和 b ,它们被 2n 2 除的余数相等 . 我们来证明 ,它们即为所求 . 假设 b| a2 ,于是 2 2 2 b| ( a - 2 ab + b ) = ( a - b) . 2n 2n 设 a = p・ 2 + r , b = q・ 2 + r. 2 2 4n 则 b| ( a - b) = ( p - q) ・ 2 . 由于 b 为奇数 ,所以 b| ( p - q) 2 . 由此得知 n | p - q| > 2 2n 3n 和 max{ a , b} = max{ p , q} ・ 2 + r>2 . 由题意知 ,这是不可能的 . 10. 1 由题意可知 , R 和 P 、 Q 之一为三次多项 式 . 假设 R 和 Q 为三次多项式 , P 为二次多项式 , 如 有必要 ,可以通过改变符号 ,使得 R 和 Q 的 x3 项的系 数为正 . 于是 , R + Q 为三次多项式 . 由 P2 = R2 - Q2 = ( R + Q) ( R - Q) 知 R - Q 为一次多项式 ,即 R - Q 2 4 = t ( x - x1 ) , t > 0 ( 因为 P 中的 x 项的系数为正 ) . 于是 , P2 可被 ( x - x1 ) 2 整除 . 因而 R + Q 可被 x - x1 整除 . 又由于 R - Q 可被
N ,使得对任何长有 100 个颈子的 “多头蛇” 神 , 至多 只要砍不多于 N 剑 ,就可以战胜它 .
圆ω 的切线交边 BC 的延长线于点 K ,且点 B 位于点 K 和点 C 之间 ; 而过 B 所作的圆ω 的切线交边 AD 的 延长线于点 M , 且点 A 位于点 M 和点 D 之间 . 已知 AM = AD , B K = BC . 证明 : 四边形 ABCD 为梯形 . 10. 3 证明 : 对于任何自然数 n > 10 000 ,都可以 找到自然数 m ,其中 m 可以表示为两个完全平方数 的和 ,并且满足条件 0 < m - n < 3
= 1 1 ∠AOB + ∠OAB 2 2 1 1 ∠ABO = ∠ABC. 2 2
十一年级
11. 1 同 10. 1. 11. 2 在平面上给出了有限个点 ,对于其中任何
= 90° -
如图 1 , 设 M 是 线 段 OA 延 长 线 上 的 一 点 , 则 ∠MAO2 是 △OAO2 的外角 ,于是 , ∠AO2 O1 = ∠MAO2 - ∠AOO2ຫໍສະໝຸດ 这样一来 , 由 O1 A
= O2 A 即得 ∠AO1 O2 =
一切 x ∈ 0 ,
n
π 2
∠AO2 O1 , 亦 即 ∠ABC
= ∠ACB . 于 是 AB =
AC ,从而 △ABC 为等腰
,都有
n m m
2| sin x - cos x| ≤ 3| sin x - cos x | . 11. 4 某城市有若干个广场 ,有些广场之间有单
对所有关于这类四点组的不等式求和可知在和值中每个蓝色三角形都被计算了12次而每个蓝2蓝2非蓝三角形都被计算了4次从而所有蓝色三角形的面积之和不超过所有蓝2蓝2非蓝三角形的面积之和的三分之一亦即蓝色三角形的面积之和不超过所有至少有两个顶点为蓝点的三角形面积之和的四分之一
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中 等 数 学
第 28 届俄罗斯数学奥林匹克
9. 4 10.
可以表示为 2 002 个各位数字之和相等的正整数之 和 ,又可以表示为 2 003 个各位数字之和相等的正整 数之和 .
11. 6 设 ABCD 为圆内接四边形 ,它的两条对角
线 AC 和 BD 相 交 于 点 O . 而 △ABO 的 外 接 圆 与 △COD的外接圆相交于点 K. 已知点 L 使得 △BLC 与 △A KD 对应相似 . 证明 : 如果 BLCK 为凸四边形 , 那 么 ,它必为圆外切四边形 .
= 1 1 1 ∠MAC ∠AOC = ∠ACO . 2 2 2
三点都存在一个直角坐标系 ( 即两条坐标轴相互垂 直 ,并且两条坐标轴上的长度单位相同) ,使得它们在 该坐标系中的两个坐标都是整数 . 证明 : 存在一个直 角坐标系 ,使得所有的给定点的两个坐标都是整数 .
11. 3 设 n、 m 都是正整数 ,并且 n > m . 证明 : 对
× 2 002 的方格表中 ,使得对任何一个方格 ,都或者可 以从它所在的行中 ,或者可以从它所在的列中找出三 个数 ,其中两个数的乘积等于第三个数 .
9. 2 在以 O 为顶点的角的一条边上取一点 A ,
在另一条边上取两点 B 、 C , 其中点 B 位于点 O 与点
C 之间 . 作 出 △OAB 的 内 切 圆 , 圆 心 为 O1 ; 再 作 出
三角形 .
9. 3 考察 3 个蓝
图1
向行车线路相连 ,并且自每个广场都刚好有两条往外 驶出的线路 . 证明 : 可以把该城市分成 1 014 个小区 , 使得每条线路所连接的两个广场都分属两个不同的 小区 ,并且对于任何两个小区 , 所有连接它们的线路 都是同一个方向的 ( 即都是由小区甲驶往小区乙的单 向行车线 ,或者都是反过来的) .
10. 2 设四边形 ABCD 内接于圆ω. 过 A 所作的
9. 3 在平面上给定了 6 个红点 、 6 个蓝点 、 6个
绿点 ,其中任何三点不共线 . 证明 : 以同色点为顶点的 所有三角形的面积之和不超过这些给定点所形成的 所有三角形的面积之和的四分之一 . 9. 4 希腊神话中的 “多头蛇” 神由一些头和颈子 组成 ,每一条颈子连接两个头 . 每砍下一剑 ,可以斩断 由某一个头 A 所连出的所有的颈子 , 但是由头 A 立 即长出一些新的颈子联向所有原来不与它相连的头 (每个头只连一条颈子) . 只有把 “多头蛇” 斩为两个互 不连通的部分 ,才算战胜了它 . 试找出最小的自然数
数不大于 10 ,那么 ,就只需对 X 的所有相邻顶点都作 一次 “反转” ,即可使得顶点 X “游离” . 而如果有某个 顶点 X 至多与 n ( n ≤ 9) 个顶点不相邻 ,那么 , 就只需 首先对 X 作一次 “反转” , 再对这 n 个顶点各作一次 “反转” ,即可使得顶点 X “游离” . 如果每个顶点都至少有 11 个相邻顶点 , 且都至 少有 10 个不相邻顶点 , 则至少一共有 22 个顶点 . 于 是 ,边的条数 ( 颈子的数目) 不少于 22 × 11 > 100 ,不在 考虑范围之内 .
4
n.
10. 4 某国原有 2 002 个城市 , 其中有些城市之 间有道路相连 . 今知 , 如果禁止途经其中任何一个城
市 ,都仍然可以由其余任何一个城市到达其他任何城 市 . 每一年 ,管理部门都选择一个不自交的道路圈 ,下 令建设一个新的城市 ,并修筑道路使新城与圈上的每 一个城市相连 ( 各修一条路连向圈上的每一个城市 ) , 同时关闭掉圈上的所有道路 . 经过若干年后 , 该国已 经没有任何不自交的道路圈 . 证明 : 此时该国恰有一 条道路通向外界的城市不少于 2 002 个 .
10. 5 设 a、 b、 c 为正数 ,有 a + b + c = 3. 证明 :
a+ b + c ≥ab + bc + ca .
9. 5 在国际象棋棋盘上放有 8 枚棋子 “车” ,它
们不能相互搏杀 . 证明 : 其中必有某两对棋子之间的 距离相等 ( 两枚棋子之间的距离是指它们所在的方格 的中心之间的距离) .
十年级
10. 1 设 P、 Q、 R 都是实系数多项式 , 它们之中
△OAC的一个旁切圆 ,圆心为 O2 ,使之与边 AC 相切 , 且与边 OA 和 OC 的延长线相切 . 证明 : 如果 O1 A =
O2 A ,则 △ABC 为等腰三角形 .
既有二次多项式 ,也有三次多项式 , 并且满足关系式 2 2 2 P + Q = R . 证明 : 其中必有一个三次多项式的根全 是实根 .