2018年高考理科数学通用版三维二轮复习专题检测：(一)集合与常用逻辑用语有解析

专题检测（一） 集合与常用逻辑用语
一、选择题
1．(2016·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)·(x －2)<0，x ∈Z}，则A ∪B ＝( ) A ．{1} B ．{1,2} C ．{0,1,2,3}
D ．{－1,0,1,2,3}
解析：选C 因为B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z}＝{x |－1<x <2，x ∈Z}＝{0,1}，A ＝{1,2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}．
2．(2017·成都一诊)命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b
D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c
解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．
3．(2017·广西三市第一次联考)设集合A ＝{x |8＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1,3} C ．{1,3}
D ．{3,1，－1}
解析：选C ∵A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{1,3,5，…}， ∴A ∩B ＝{1,3}．
4．(2017·郑州第二次质量预测)已知集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1x
>1，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－∞，2] B ．(0,1] C ．[1,2]
D ．(2，＋∞)
解析：选C 因为A ＝{x |0<x ≤2}，B ＝{x |0<x <1}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}∩{x |x ≤0或x ≥1}＝{x |1≤x ≤2}． 5．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.
反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝⎛⎦⎤
π2，π， 当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，m ，n 不共线．
故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．
6．(2018届高三·湘中名校联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )
A ．{2}
B ．{2,8}
C ．{4,10}
D ．{2,4,8,10}
解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合
A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩
B ＝{2,8}．
7．(2017·石家庄调研)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，B ＝{x |(x ＋2)(x －1)<0}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝U C ．∁U B ⊆A
D ．∁U A ⊆B
解析：选A 由(x ＋2)(x －1)<0，解得－2<x <1，所以B ＝{x |－2<x <1}，则A ∩B ＝∅，A ∪B ＝{x |x >－2}，∁U B ＝{x |x ≥1或x ≤－2}，A ⊆∁U B ，∁U A ＝{x |x <1}，B ⊆∁U A ，故选A.
8．若x ∈A ，则1x ∈A ，就称A 是伙伴关系集合，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫
－1，0，13，12，1，2，3，4的所有非空子集中，
具有伙伴关系的集合的个数为( )
A ．15
B ．16
C ．28
D ．25
解析：选A 本题关键看清－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和1
2这“四大”
元素所能组成的集合．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.
9．(2017·郑州第一次质量预测)已知命题p ：1a >1
4，命题q ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则p 成立是q 成立的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 命题p 等价于0<a <4.命题q ，对∀x ∈R ，ax 2
＋ax ＋1>0，必有a ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧
a >0，
a 2－4a <0，则0≤a <4，
所以命题p 是命题q 的充分不必要条件．
10．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x )≥0 B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，f (x )>0 解析：选C 因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝⎛⎫0，π
2 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，π
2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．而p 的否定为∃x 0∈⎝⎛⎭
⎫0，π
2，f (x 0)≥0，故选C. 11．已知命题p ：函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0,1)内恰有一个零点；命题q ：函数y ＝x 2
－a
在(0，＋∞)上是减函
数．若p 且綈q 为真命题，则实数a 的取值范围是( )
A ．(1，＋∞)
B ．(－∞，2]
C ．(1,2]
D ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
解析：选C 由题意可得，对命题p ，令f (0)·f (1)<0，即－1·(2a －2)<0，得a >1；对命题q ，令2－a <0，即a >2，则綈q 对应的a 的范围是(－∞，2]．因为p 且綈q 为真命题，所以实数a 的取值范围是(1,2]．
12．在下列结论中，正确的个数是( )
①命题p ：“∃x 0∈R ，x 20－2≥0”的否定形式为綈p ：“∀x ∈R ，x 2－2<0”；
②O 是△ABC 所在平面上一点，若OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→，则O 是△ABC 的垂心； ③“M >N ”是“⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N ”的充分不必要条件；
④命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”． A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C 由特称(存在性)命题与全称命题的关系可知①正确． ∵OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→，
∴OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝0，即OB ―→·CA ―→＝0， ∴OB ―→⊥CA ―→.
同理可知OA ―→⊥BC ―→，OC ―→⊥BA ―→
，故点O 是△ABC 的垂心，∴②正确． ∵y ＝⎝⎛⎭⎫23x
是减函数，
∴当M >N 时，⎝⎛⎭⎫23M <⎝⎛⎭⎫23N
，当⎝⎛⎭⎫23M >⎝⎛⎭
⎫23N 时，M <N . ∴“M >N ”是“⎝⎛⎫23M >⎝⎛⎭⎫23N
”的既不充分也不必要条件，∴③错误． 由逆否命题的写法可知，④正确． ∴正确的结论有3个． 二、填空题
13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x －x －a 有零点，则綈p ：________________________. 解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点． 答案：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x 0－x －a 0没有零点
14．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合M ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫(x ，y )⎪⎪
⎪
y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________. 解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}， 所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}． 则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}． 答案：{(2,3)}
15．已知命题p ：不等式x
x －1＜0的解集为{x |0＜x ＜1}；命题q ：在△ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”
成立的必要不充分条件．有下列四个结论：①p 真q 假；②“p ∧q ”为真；③“p ∨q ”为真；④p 假q 真，其中正确结论的序号是________．
解析：解不等式知，命题p是真命题，在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，所以命题q 是假命题，所以①③正确．
答案：①③
16．a，b，c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c不是年龄最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a，b，c的年龄由小到大依次是________．
解析：显然命题A和B的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．
由命题A可知，当b不是最大时，则a是最小，所以c最大，即c>b>a；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b的年龄是最大”为真，即b>a>c.
同理，由命题B为真可得a>c>b或b>a>c.
故由A与B均为真可知b>a>c，所以a，b，c三人的年龄大小顺序是：b最大，a次之，c最小．
答案：c，a，b。