广东省高州市第一中学高二数学下学第一次月考试题 理(

广东省高州市第一中学2015-2016学年高二数学下学第一次月考试题
理（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1．“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】
试题分析：由 0)1ln(<+x ,解得：10
,1011x x x +>⎧-<<⎨
+<⎩
，则；010x x <-<<推不出
而反之可推出。

即“0<x ”是“0)1ln(<+x ”的为必要而不充分条件。

考点：充要条件的判定.
2．已知集合{}
{}22|,032|2
<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B A （ ）
A ．]1,2[--
B ． )2,1[- C. ]1,1[- D ．)2,1[ 【答案】A 【解析】
试题分析：由题可解得；{}
1,3A x x x =≤-≥或，求它们的交集，则可得：[]2,1A B =--
考点：集合的交集运算。

3．等差数列{}n a 中的14025,a a 是函数()321
4613
f x x x x =-+-的极值点，则22013lo
g a 等于（ ）
A. 3
B. 5
C. 8
D. 2 【答案】D 【解析】
试题分析：由题已知()3
214613
f x x x x =
-+-，求导()286f x x x '=-+；令 ()0f x '=，得140258a a +=，1402520132a a a +=，所以； 220132log log 42a ==
考点：导数与数列。

4. 在区间3[0,
]2
π
上的余弦曲线y= cos x 与坐标轴围成的面积为 （ ） A.4 B.5 C.9 D.3
【答案】D 【解析】
试题分析：由题可运用定积分求面积即：
2
3cos 3cos 3sin 3(10)32200
x dx xdx x ===-=⎰⎰πππ
考点：运用定积分求面积.
5. 双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的离心率为2，
，则C 的焦
距等于（ ）
A ．2 B
． C ．4 D
． 【答案】C 【解析】
试题分析：由题：离心率为2 ,则2,2c
c a a
==， 渐近线方程为：ay bx =± ，可得；
22222
)3,,3, 4.
4c d bc c b a c ====-==3,又c=2得；2c
【考点】双曲线的方程及几何性质。

6．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A ．若//,//,m n αα则//m n
B ．若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
C ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α
D ．若//m α，m n ⊥，则n α⊥ 【答案】B 【解析】
试题分析：由题A.为平行与同一平面的两直线平行。

错误。

C.可构造长方体模型，反例为线可能在平面内。

D.由长方体模型，反例为线与
面可能垂直。

B.为线与面垂直的性质；即；线与面垂直，则线与平面内所有的直线垂直。

考点：线与面的位置关系.
7．已知函数f (x )＝(x －a )e x
，若f (x )在－1,1]上是单调减函数，则a 的取值范围是( )
A. (0,2]
B. (,2)-∞
C.[2,)+∞
D. (2,)+∞
【答案】C 【解析】
试题分析：由题：f (x )＝(x －a )e x
，求导得；()(1)x
f x e x a '=-+，在－1,1]上是单调减函
数，则：
()1,(1)110,2g x x a g a a =-+=-+≤≥。

考点：导数与函数的单调性及求参数的取值范围. 8．已知复数i z 2
321+-
=，则 =+||z z （ ） A. i 2321--
B. i 2321+-
C. i 2
321+ D.
i 23
21-
【答案】D 【解析】
试题分析：由题；i z 2
3
21+-
=，则1,12Z Z =--==，所以；
12Z Z +=
- 考点：复数的运算及其概念.
9．,2,1==b 且a b a ⊥+)(，则与的夹角为（ ）
A. 30
B. 60
C. 120
D.
150 【答案】C 【解析】
试题分析：由题⊥+)(，则；2
()0,a b a a a b +=+⋅=2,1==b 可得：2
112cos 0,cos ,1202
a a
b θθθ+⋅=+==-= 考点：向量乘法运算.
10. 钝角三角形ABC 的面积是12
，AB=1，，则AC=( )
C. 2
D. 1 【答案】B 【解析】
试题分析：由钝角三角形ABC 的面积是12
，AB=1，
011
1sin ,13522
S B B =⨯== ，已知两边及其夹角，求对边。

用余弦定
理；
2
122(5,2
AC AC =+--
== 考点：运用余弦定理解三角形. 11. 若数列{a n }的通项公式是1
(2)
n a n n =
+，则{a n }的前n 项和S n =( )
A.
n ＋1n ＋ B. 3
4
－
n ＋1n ＋
C. 34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2
D. 32－1n ＋1＋1n ＋2 【答案】C 【解析】
试题分析：由题1
(2)
n a n n =
+，看运用裂项求和法：
1111111111113111(1...)(1)()
232435222124212
n S n n n n n n =-+-+-+-=+--=-++++++
考点：数列求和（裂项求和法）.
12. 已知x y 、满足约束条件1
1,22x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，
则
34
a b
+的最小值为( ) A ．2 B ．3
C ．4
D 7
【答案】D 【解析】
试题分析：由题可运用线性规划知识，目标函数()
0,0z ax by a b =+>>，
直线
交点(3,4)时取得最大值，即347a b +=，则；
34134112121()(34)(25)497777
b a a b a b a b a b +=++=++≥⨯= ,当且仅当
时等号成立，最小值为7
考点：线性规划问题与均值不等式。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分
13．已知函数()1x
f x ax e =+-(a R ∈,e 为自然对数的底数)，若函数()f x 在点(1,(1))f 处
的切线平行于x 轴，则a = ． 【答案】 a e = 【解析】
试题分析：由题：()1x
f x ax e =+-，求导：()x
f x a e '=-， 点(1,(1))f 处的切线平行于x
轴则；
0,.a e a e -== 考点：导数的几何意义.
14．已知偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减，(2)0f =．若(1)0f x ->，则x 的取值范围
是 ． 【答案】 (1,3)- 【解析】
试题分析：由题：偶函数()f x 在[0,)+∞单调递减， 由偶函数关于y 轴对称，又，(2)0
f =可知
22,()0x f x -<<>，则：(1)0,212,13f x x x ->-<-<-<<
考点：函数性质的运用. 15. 计算
.
【答案】 2
e 【解析】
试题分析：由题；222
11(2)(ln )(110)1e e x dx x x e e x
+=+=+--=⎰。

考点：定积分的运算.
16.
322
()13
f x x x ax =-+-己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于
零， 则实数a 的取值范围为
【答案】 7(3,)2
【解析】
试题分析：由题，求导得；2
()22f x x x a '=-+，存在两条斜率为3的切线，即；
2223x x a -+=的方程有两个根，且为正。

得；720
7,33
202
a a a ∆=->⎧⎪
<<⎨->⎪⎩ 考点：导数的几何意义及二次方程根与系数的关系.
三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17. （本小题满分10分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，已知3
,2π
=
=C c .
（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；
（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)sin(sin =-+，求ABC ∆的面积. 【答案】(1) 2,2==b a (2) 见解析 【解析】
当A B A sin 2sin ,0cos =≠得时，由正弦定理得a b 2=，
联立方程⎩
⎨⎧==-+a b ab b a 2422 解得33
4,332==b a 所以ABC ∆的面积3
32sin 21==
C ab S ，综上，ABC ∆的面积为33
2 .
考点：（1）利用正余定理解三角形及方程思想。

（2）两角和差公式及正余弦定理和分类思想。

18．（本小题满分12分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为1
2，满足S 3＝
15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6.
（1）求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ； （2）求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .
【答案】（1）131,()2n n n a n b =-= （2）1(35)52n
n T n ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭
【解析】
试题分析：（1）由已知S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6，且两数列分别为等差和等比，可运
用等差和等比数列的定义，建立关于11,,a d b 的方程组，求出数列{a n }，{b n }的通项公式。

（2）由（1）已知等比数列的通项公式，可由{a n ·b n }，观察可得为等差与等比数
列的乘积构成的新数列，可运用错位相减法求和。

试题解析：(1)设{a n }的公差为d ，所以；⎩⎪⎨⎪
⎧
3a 1＋3d ＝15，a 1＋2b 1＝3，
a 1＋d ＋2
b 1＝6，
解得；a 1＝2，d ＝3，b 1＝1
2
， 所以；1
31,()2
n n
n a n b =-=。

(2)由(1)知T n ＝2×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(3n －4)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(3n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n
，①
①×12得12T n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(3n －4)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(3n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1
，②
①－②得12T n ＝2×12＋3×⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭
⎪
⎫123
⎦⎥⎤＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(3n －1)⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＋1
＝1＋3×14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12
－(3n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1
，∴1(35)52n
n
T n ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
【考点】（1）等差和等比数列的定义及方程思想。

（2）错位相减法求数列的和。

19. （本小题满分12分）如图，
在四棱柱
ABCD －A1B1C1D1
中，侧棱
AA1⊥底面
ABCD ，AB∥DC ，
11AA =，3AB k =，456(0)AD k BC k DC k k ===>，，．
（Ⅰ）求证：CD ⊥平面ADD 1A 1；
（Ⅱ）若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为6
7
，求k 的值. 【答案】（1）见解析 （2）1k = 【解析】
试题分析：（1）本题为证线与面垂直，通常运用线与面垂直的判定，转化为证明线与平面内
的两条相交直线垂直。

结合题目条件AA 1⊥底面ABCD ，再可找出CD⊥AD，而得证.
（2）由题为已知线面角的正弦值，求参数k 的值，可考虑建立空间坐标系，然后
利用线面角的关系建立关于k 的方程，可求.
试题解析：（Ⅰ）取CD 的中点E ，连结
BE.
∵AB∥DE，AB =DE =3k ，∴四边形ABED 为平行四边形， ∴BE∥AD 且BE =AD =4k.
在△BCE 中，∵BE =4k ，CE =3k ，BC =5k ，∴BE 2
＋CE 2
=BC 2
， ∴∠BEC =90°，即BE⊥CD，
又∵BE∥AD，∴CD⊥AD． ∵AA 1⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴AA 1⊥CD．又AA 1∩AD =A ，
平面⊥∴CD ADD 1A 1.
（Ⅱ）以D 为原点，DA uu u r ，DC uuu
r ，1DD uuu u r 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间
直角坐标系，
则()()()11400(060)431401A k C k B k k A k ，
，，，，，，，，，，， 所以AC uuu r
(460)k k =-，，，1AB uuu r ()031k =，，
，1AA uuu r ()001=，，． 设平面AB 1C 的法向量n =(x ，y ，z )，
则由100AC AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r
，，n n 得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩，取y =2，得(326)(0)k k =->，，n ． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则
sin θ=|cos 〈1AA uuu r ，n 〉|= 11||||
AA AA ⋅⋅uuu r
uuu r
n
n
=6
7
=
， 解得k =1，故所求k 的值为1.
【考点】（1）空间中线与面的垂直证明。

（2）线面角及空间向量的运算及方程思想。

20．(本小题满分12分)函数f (x )＝ax 3
－6ax 2
＋3bx ＋b ，其图象在x ＝2处的切线方程为3x ＋
y －11＝0.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）若函数y ＝f (x )的图象与y ＝1
3
f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同的交点，求实数m 的
取值范围；
【答案】(1) 1,3a b == (2) －16<m <68
27
【解析】
试题分析：（1）由题已知点x ＝2处的切线方程3x ＋y －11＝0，可获得两个条件；即：点(2, 5) 再函数的图像上，再由该点处的导数为切线斜率。

可得两个方程，求出,a b 的
值
（2）由（1）已知函数的解析式，由条件y ＝f (x )的图象与y ＝1
3
f ′(x )＋5x ＋m 的
图象有三个不同的交点，可建立函数g (x )＝x 3
－7x 2
＋8x －m ，化为该函数与x 轴由三个交点，进而化为它的极值问题，即只需，极大值大于零，极小值小于零，可解出实数m 的取值范围。

试题解析：(1)由题意得f ′(x )＝3ax 2
－12ax ＋3b ，∵f ′(2)＝－3且f (2)＝5，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
12a －24a ＋3b ＝－3，8a －24a ＋6b ＋b ＝5，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
4a －b ＝1，
－16a ＋7b ＝5，解得a ＝1，b ＝3，
∴f (x )＝x 3
－6x 2
＋9x ＋3
(2)由f (x )＝x 3
－6x 2
＋9x ＋3可得，f ′(x )＝3x 2
－12x ＋9，
f ′(x )＋5x ＋m ＝1
3
(3x 2－12x ＋9)＋5x ＋m ＝x 2＋x ＋3＋m ，
则由题意可得x 3
－6x 2
＋9x ＋3＝x 2
＋x ＋3＋m 有三个不相等的实根， 即g (x )＝x 3
－7x 2＋8x －m 的图象与x 轴有三个不同的交点，
g ′(x )＝3x 2－14x ＋8＝(3x －2)(x －4)，则g (x )，g ′(x )的变化情况如下表.
则函数f (x )的极大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝68
27
－m ，极小值为g (4)＝－16－m
y ＝f (x )的图象与y ＝13
f ′(x )＋5x ＋m 的图象有三个不同交点，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫23＝6827－m >0，
g
＝－16－m <0，解得－16<m <68
27
考点：（1）导数的几何意义及方程思想。

（2）函数的零点与极值问题。

21．（本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>
个端点与两个焦点构成的三角形的面积为3
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，点7
(,0)3
M -
， 求证：MA MB ⋅为定值.
【答案】(1)
221553x y += （2）49 【解析】
试题分析：（1）由题已知椭圆方程；)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C
，利用条件离心率为3及焦
点三角形的面积为
3
，容易求出,,a b c 的值，得出方程. (2)由题可先让直线l 方程与（1）中的椭圆方程联立，再设出B A ,两点坐标并表示
出k ，
结合问题MA MB ⋅uuu r uuu r
，
可表示出向量的坐标，再运用方程联立中根与系数的关系
进行化简，可求出MA MB ⋅uuu r uuu r
的定值。

试题解析： （1）因为22221(0)x y a b a b
+=>>满足222
a b c =+，
c a =
122b c ⨯⨯=22
55,3
a b ==， 则椭圆方程为
221553
x y += （2）将(1)y k x =+代入
22
155
3
x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-=
4
2
2
2
364(31)(35)48200k k k k ∆=-+-=+>，2
122631
k x x k +=-+
所以112212127777
(,)(,)()()3333
MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++uuu r uuu r
2121277
()()(1)(1)
33x x k x x =+++++2221212749
(1)()()39
k x x k x x k =++++++
222
2
2
22357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++
422
2316549319k k k k ---=+++49=
考点：（1）椭圆的定义及性质。

（2）直线与椭圆的位置关系及定值问题中的运算能力； 22. （本小题满分12分）设函数()1
ln f x x a x x
=-
-. （Ⅰ）若函数()f x 在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）当2a ≤时，设函数()1
ln g x x x e
=--
，若在[]1,e 上存在12,x x 使()()12f x g x ≥成立，求实数a 的取值范围．
【答案】 (1) (,2)-∞ （2） (],1e -∞- 【解析】
(ⅱ)当a <－2时，Δ>0，f ′(x )＝0的两根为x 1＝
a －a 2－4
2
，x 2＝
a ＋a 2－4
2
，
此时x 1<0，x 2<0.故函数f (x )在区间1，e]上是单调递增的函数． 由(ⅰ)知，a ≤e－1，又a <－2，故a <－2. 综上所述，a 的取值范围为(－∞，e －1].
考点：1.运用导数求单调性与均值不等式。

（2）存在性问题与最值思想及分类思想.。