湘教版数学七年级下册1.4 三元一次方程组 同步课件

三元一次方程组
注：三元一次方程特点：
含有三个未知数
含有未知数的项的次数均为1；
必须有三个方程，且是整式方程；
三元一次方程组中，只需三个方程共含有三个未知数就可以
新知探究
思考
解二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数，
使其转化为一元一次方程来求解，那么我们在解三元一次方程组时，
能不能同样利用代入法或加减法来消去一个或两个未知数，使其转
2 时，y = 3；当 x = 5 时，y = 60. 求 a，b，c 的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c = 0，
4a＋2b＋c = 3，
25a＋5b＋c = 60.
②－①， 得 a＋b = 1.
①
②
③
④
③－①， 得 4a＋b = 10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b = 1，
4a＋b = 10.
程
作业布置
习题1.4
第2、4、5题
课程结束
谢谢观看
x=8，
y=﹣5，
所以原方程组的解为
z=﹣2.
巩固练习
2. 解方程组
x＋y－z＝11， ①
y＋z－x＝5， ②
3
8
得 x＝____，
6
y＝____，
z＝____.
z＋x－y＝1， ③
【解析】通过观察未知数的系数，可将①+②求出 y，②+③求出 z，最
后再将 y 与 z 的值代入任何一个方程求出 x 即可.
加减消元法
①＋②，得
②＋③，得
解这个方程组，得
代入消元法
x＋y＋z=80,
x－y=6,
x＋y＝7z.
①
②
③
2x＋z＝86，
“二元”
2x－7z＝6，
x=38,
z=10.
把x=38，z＝10代入①式，得
38＋y＋10＝80，
x=38,
解得
y＝32.
y=32,
因此，三元一次方程组的解为
“三元”
z=10.
“一元”
方程联立在一起写成： x y 6,
x y 7 z.

新知探究
可以发现，这个方程组中含有三个未知数，每个方程中含未知数
的项的次数均为1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做
三元一次方程组.
在三元一次方程组中，适合每一个方程的一组未知数的值，叫做
这个方程组的一个解.
要点归纳

B. 2 x y 4 z 0，
3x 2 y z 3

x y 10，
C.
x z 2，
y z 15

x y z 1，
D.
x 3 y 4 z 7，

xyz 12

[注意] 组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个
个A型零件、1个B型零件、1个C型零件组成。如果每人每天能够
加工A型零件10个，或B型零件15个，或C型零件12个。如何安排
工人才能使每天加工出的产品正好完整？
答：负责A型零件，负责B型零件，负责C型零件的人数分别是
：120人，40人，50人．
巩固练习
解：解设x个人负责A型零件，y个人负责B型零件，z个人负责
一次方程都含有三个未知数．
典例精析
【例】解三元一次方程组：
5 x 4 y z 0,

3 x y 4 z 1,
x y z 2.

①
②
③
分析：通过观察发现，z或y的系数较为简单，可以先下去消去z或y
来求解.
典例精析
解：②×4-①，得
②-③，得
7x-17z=4.
小丽的年龄为y岁，则妈妈的年龄为（x-6）岁.根
据题意得： x y x 6 80,

1

y

x x 6 .

7
新知探究
解上述方程组得x=38，y=10.
因此爸爸的年龄为38岁，妈妈的年龄为32岁，小丽的年龄为10岁.
想一想，还有其他的方法列方程组求解吗？
新知探究
典例精析
a = 3，
解这个方程组，得 b = -2.
把
a = 3，
b = -2
a = 3，
因此 b = -2，
c = -5.
代入①，得 c = -5.
巩固练习
1.解下列三元一次方程组：
x＋y=7, ①
（1） 2y＋z=6； ②
x－z=7； ③
解：②＋③，得 x＋2y＝13.
x＋2y＝13.
由此得到
2x-5z=3.
7 x 17 z 4,
由此得到
2 x 5 3.
x 31,
解这个二元一次方程组得
z 13.
把x=-31，z=-13代入③式，得y=42.
所以原方程组的解为
x 31,

y 42,
z 13.

两次转化都必须是消
去同一个未知数.
消元法
2. 解二元一次方程组的基本思路是什么？
代入
二元一次方程组
消元
一元一次方程
加减
化二元为一元
化归转化思想
思考：若含有 3 个未知数的方程组如何求解？
新知探究
思考
小丽家三口人的年龄之和为80岁，小丽的爸爸比妈妈大6岁，小
1
丽的年龄是爸爸与妈妈年龄和的
.问这家人的年龄分别是多少岁?
7
可建立二元一次方程组来解决.设爸爸的年龄为x岁，
5.让学生感受把新知转化为已知、把不会的问题转化为学过的问题、
把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想，体会数学学
习的方法.
【教学重点】
三元一次方程组的解法及“消元”思想.
【教学难点】
根据方程组的特点，选择消哪个元，选择用什么方法消元.
复习回顾
1. 解二元一次方程组有哪几种方法？
代入消元法和加减消元法


答：原三位数是 368.
x 3，
解得 y 6，
z 8.

课堂小结
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进
行 消元
，把 “三元”
转化为 “二元”
，使解三
二元一次方程组
元一次方程组转化为解
再转化为解 一元一次方程
.
三元一次方程
组
消元
二元一次方
程组
消元
，进而
一元一次方
和为16岁，丙、甲的年龄之和为17岁，则甲、乙、两三人的年龄分别
为多少岁?
解：设甲、乙、丙三人的年龄分别为x岁，y岁，z岁，则
x＋y=15,
y＋z=16,
x＋z＝17.
解得
x=8,
y=7,
z＝9.
答：甲、乙、丙三人的年龄分别为8岁，7岁，9岁.
巩固练习
5.某加工厂专门安排210名工人进行手工加工部分，每个产品由2
1.4
三元一次方程组的解法
湘 教 版 数 学 七 年 级 下 册
教学目标
1.了解三元一次方程组的概念.
2.会用“代入”、“加减”把三元一次方程组化为“二元”、进而
化为“一元”方程来解决.
3.能根据三元一次方程组的具体形式选择适当的解法.
4.让学生认识三元一次方程组的求解关键在于“消元”，进一步熟
练掌握“代入”、“加减”消元的方法.
新知探究
请你用其他方法来解例题的方程组.
5x＋4y＋z=0,
3x＋y－4z=1,
①
②
“三元”
x＋y＋z＝﹣2. ③
分析 通过观察发现，z的系数较为简单，可以先消去z来求解.
解：①×4－②，得
23x＋17y＝1.
①－③，得
解这个二元一次方程组得
4x＋3y＝2.
“二元”
x=﹣31，
y=42.
把x=﹣31，y＝42代入③式，得 z＝﹣13.
解得
y＝32.
因此，三元一次方程组的解为
x=38,
y=32,
z=10.
新知探究
1、同学们，你还记得解二元一次方程组的基本思想是什么吗？
消元，把二元一次方程组转化为一元一次方程来求解。
2、类比解二元一次方程组的基本思想，我们如何解三元一
次方程组？（同学之间相互讨论讨论）
新知探究
同桌讨论，解三元一次方程组的基本想法是什么？
x＋y＝7.
x=1，
解得
y=6.
z＝﹣6.
把x=1代入③式，得
x=1，
y=6，
所以原方程组的解为
z=﹣6.
2x＋2y＋z=4, ①
（2）
2x＋y＋2z＝7； ②
x＋2y＋2z＝﹣6；③
解：②－③，得
x－y＝13.
①×2－②，得
2x＋3y＝1.
x=8，
解这个二元一次方程组得
y=﹣5.
把x=8，y＝﹣5代入③式，得 z＝﹣2.
分析 本问题涉及的等量关系有:
小丽+爸爸＋妈妈＝80，
爸爸－妈妈＝6，
1
小丽＝（爸爸＋妈妈）×
.
7
因为要求三个人的年龄，所
三人的年龄必须同时
以可设爸爸的年龄为x岁，妈
满足上述三个方程，
妈的年龄为y岁，小丽的年龄
所以，我们把这三个
为z岁.根据题意得：
x+y+z=80， x-y=6，x+y=7z.
x y z 80,
x=﹣31，
所以原方程组的解为
y=42，
z=﹣13.
“一元”
要点归纳
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进
行 消元
，把 “三元”
转化为 “二元”
，使解三
二元一次方程组
元一次方程组转化为解
再转化为解 一元一次方程
.
三元一次方程
组
消元
二元一次方
程组
消元
，进而
一元一次方
程
典例精析
【例】在等式 y = ax2＋bx＋c 中，当 x = －1 时，y = 0；当 x =
C型零件．
x + y + = 210
根据题意得 10x = 2 × 15
10 = 2 × 12
x = 120
解方程组，得
y = 40
= 50
答：负责A型零件，负责B型零件，负责C型零件的人数分别是
：120人，40人，50人．
巩固练习
3
6、一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的
，百位上的数
化为二元一次方程组或一元一次方程呢？
新知探究
解：因为要求三个人的年龄，设爸爸的年龄为x岁，妈妈的年龄为y
岁，小丽的年龄为z岁，根据题意得:
x＋y＋z=80,
x－y=6,
x＋y＝7z.
①＋②，得
2x＋z＝86，
②＋③，得
2x－7z＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
解这个方程组，得
①
②
③
x=38,
z=10.
把x=38，z＝10代入①式，得 38＋y＋10＝80，
4
字与十位上的数字之和比个位上的数字大 1.将百位与个位上的数字对
调后得到的新三位数比原三位数大 495，求原三位数．
解：设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为 x、y、z. 则有
3

y

z，

4

x y z 1，
100 z 10 y x 100 x 10 y z 495.
巩固练习
3. 若 x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则 x＋y＋z 的值为（ D
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
解析：通过观察未知数的系数，可将两个方程相加，得 5x + 5y + 5z
= 25，所以 x + y + z = 5.
）
巩固练习
4、有甲、乙、丙三人，若甲、乙的年龄之和为15岁，乙、丙的年龄之
要点归纳
解三元一次方程组的基本想法是：消去一个未知数，将解三元一次方程
组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程.
消元的基本方法仍然是：代入法和加减法.
课堂练习
1、下列方程组不是三元一次方程组的是 (
D
)
x 1，
A.
x y 2，
x z 10

x 3 y 2 z 1，