广东省中山市第一中学高考数列的概念专题及答案

一、数列的概念选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1221,1n n a a S a +===-，则下列命题错误的是
A ．21n n n a a a ++=+
B ．13599100a a a a a ++++=
C ．2499a a a a ++
+=
D ．12398100100S S S S S +++
+=-
2．在数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，则下列结论正确的是（ ）
A ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤.
B ．存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≥.
C ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≤.
D ．对常数M ，一定存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a M ≥.
3．数列{}n a 的通项公式是2
76n a n n =-+，4a =（ ）
A ．2
B ．6-
C ．2-
D ．1
4．已知数列2233331131357135
1,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n
，则该数列第2019项是（ ） A ．
10
19892 B ．
10
2019
2
C ．
11
1989
2
D ．
1120192
5．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
1n S n n =++，则{}n a 的通项公式是（ ）
A ．2n a n =
B ．3,1
2,2
n n a n n =⎧=⎨
≥⎩ C ．21n a n =+
D ．3n a n =
6．
已知数列,21,
n -21是这个数列的（ ）
A ．第10项
B ．第11项
C ．第12项
D ．第21项
7．已知数列{}n a 满足11a =，()*11
n
n n a a n N a +=∈+，则2020a =（ ） A ．
1
2018
B ．
1
2019 C ．
1
2020
D ．
1
2021
8．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，()
*
21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ）
A ．4-
B ．5-
C ．4
D ．5
9
．
3
…
…，则 ） A ．第8项
B ．第9项
C ．第10项
D ．第11项
10．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（ ）
A ．()2
1n a n n =-- B ．2
1n a n =-
C ．()
12
n n n a +=
D ．()
12
n n n a -=
11．数列{}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...,n F 成为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和，记该数{}n F 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．201920212S F =+
B ．201920211S F =-
C ．201920202S F =+
D ．201920201S F =-
12．已知数列{}n a 的通项公式为2
n a n n λ=-（R λ∈），若{}n a 为单调递增数列，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(),3-∞
B ．(),2-∞
C ．(),1-∞
D ．(),0-∞
13．已知数列{}n a 的首项为1，第2项为3，前n 项和为n S ，当整数1n >时，
1
1
12()n
n
n S S S S 恒成立，则15S 等于（ ）
A ．210
B ．211
C ．224
D ．225
14．已知数列{a n }满足112,0,2
121, 1.
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
若a 1=35,则a 2019 = ( )
A ．
1
5
B ．
25
C ．
35
D ．
45
15．设n a 表示421167n n +的个位数字，则数列{}n a 的第38项至第69项之和
383969a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）
A ．180
B ．160
C ．150
D ．140
16．已知数列{}n a 满足：113a =，1(1)21n n n a na n ++-=+，*n N ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．1n n a a +≥ B ．1n n a a +≤
C ．数列{}n a 的最小项为3a 和4a
D ．数列{}n a 的最大项为3a 和4a
17．已知lg3≈0.477，[x ]表示不大于x 的最大整数.设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝2且S n +1＝3S n -2n +2，则[lg(a 100-1)]＝（ ） A ．45
B ．46
C ．47
D ．48
18．正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第j 列的数记为,i j a ，例如4,39a =，则
645a ，等于（ ）
123
456
78910
A ．2019
B ．2020
C ．2021
D ．2022
19．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），(
)*
3n n N
≥∈，，此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，
若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ） A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
20．在数列{}n a 中，()11
11,1(2)n
n n a a n a --==+
≥，则5a 等于
A ．
3
2
B ．
53 C ．85
D ．
23
二、多选题
21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 8＝34 B ．S 8＝54
C ．S 2020＝a 2022－1
D ．a 1＋a 3＋a 5＋…＋
a 2021＝a 2022
22．意大利人斐波那契于1202年从兔子繁殖问题中发现了这样的一列数：
1,1,2,3,5,8,13,….即从第三项开始，每一项都是它前两项的和.后人为了纪念他，就把这列
数称为斐波那契数列.下面关于斐波那契数列{}n a 说法正确的是（ ） A ．1055a = B ．2020a 是偶数
C ．202020182022
3a a a =+
D ．123a a a +++…20202022a a +=
23．设数列{}n a 满足11
02
a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ） A ．
21
12
a << B ．{}n a 是递增数列 C ．2020312
a <<
D ．
20203
14
a << 24．(多选)在数列{}n a 中，若2
2
1(2,,n n a a p n n N p *
--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ）
A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列
B ．
(){}1n
- 是等方差数列
C ．{}2
n
是等方差数列.
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
25．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a = B ．911a a = C ．当9n =或10时，n S 取得最大值
D ．613S S =
26．记n S 为等差数列{}n a 前n 项和，若81535a a = 且10a >，则下列关于数列的描述正确的是（ ） A ．2490a a += B ．数列{}n S 中最大值的项是25S C ．公差0d >
D ．数列
{}n
a 也是等差数列
27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的
是（ ） A ．110S =
B ．10n n S S -=（110n ≤≤）
C ．当110S >时，5n S S ≥
D ．当110S <时，5n S S ≥ 28．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，且56678,S S S S S <=>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d < B ．70a =
C ．95S S >
D ．67n S S S 与均为的最大值
29．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =
D ．当8n ≥时，0n a <
30．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅<
B ．22
415
4
a a +≥
C ．15
11
1a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅
31．在数列{}n a 中，若22*
1(2,.n n a a p n n N p --=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数
列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列
B ．{(1)}n -是等方差数列
C ．若{}n a 是等方差数列，则{}(
)*
,kn a k N
k ∈为常数)也是等方差数列
D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 32．定义11222n n
n a a a H n
-++
+=
为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优
值”2n
n H =，前n 项和为n S ，则（ ）
A ．数列{}n a 为等差数列
B ．数列{}n a 为等比数列
C ．
20202023
20202
S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列
33．下列命题正确的是（ ）
A ．给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B ．若等差数列{}n a 的公差0d >，则{}n a 是递增数列
C ．若a ，b ，c 成等差数列，则111
,,a b c
可能成等差数列 D ．若数列{}n a 是等差数列，则数列{}12++n n a a 也是等差数列
34．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59S S =，则必有14S =0
B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项
C ．若67S S >，则必有78S S >
D ．若67S S >，则必有56S S >
35．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)
2
11n a =
-，则关于数列
{}n a 说法正确的是（ ）
A ．28a =
B ．数列{}n a 为递增数列
C ．数列{}n a 为周期数列
D ．2
2n a n n =+
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一、数列的概念选择题 1．C 解析：C
【分析】
21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到A 正确；由A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=进而得到B
正确；同理可得到C 错误；由21n n S a +=-得到
12398S S S S +++⋯+=123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-=100100.S -进
而D 正确. 【详解】
已知21n n S a +=-，则111n n S a -+=-，两式相减得到2121n n n n n n a a a a a a ++++=-⇒=+，故A 正确；根据A 选项得到
13599a a a a +++⋯+=1123459798a a a a a a a a ++++++⋯++=981001S a +=，故B 正
确；
24698a a a a +++⋯+=2234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=
1234569697a a a a a a a a ++++++⋯++=97991S a =-，故C 不正确；根据2123981n n S a S S S S +=-+++⋯+=
，123451002111......1a a a a a a +-+-+-+-++-= 100100.S -
故D 正确. 故答案为C. 【点睛】
这个题目考查了数列的应用，根据题干中所给的条件进行推广，属于中档题，这类题目不是常规的等差或者等比数列，要善于发现题干中所给的条件，应用选项中正确的结论进行其它条件的推广.
2．A
解析：A 【分析】
运用数列的单调性和不等式的知识可解决此问题. 【详解】
数列{}n a 中，11a =，20192019a =，且*n N ∈都有122n n n a a a ++≥+，
121n n n n a a a a +++∴≥--，
设1n n n d a a +=-，则1n n d d +≥，
∴数列{}n d 是递减数列.
对于A ，由11a =，20192019a =， 则201911220182019a a d d d =+++=，
所以1220182018d d d ++
+=，又1232018d d d d ≥≥≥
≥，
所以1122018201820182018d d d d d ≥++
+≥，
故120181d d ≥≥，2018n ∴≥时，1n d ≤，
02019N ∃=，2019n >时， 20192019202012019111n n a a d d d n -=+++
≤++++=
即存在正整数0N ，当0n N >时，都有n a n ≤，故A 正确；
结合A ，故B 不正确；
对于C ，当n →+∞，且0n d >时，数列{}n a 为递增数列， 则n a 无最大值，故C 不正确；
对于D ，由数列{}n d 是递减数列，当存在0n d <时，则n a 无最小值，故D 不正确； 故选：A 【点睛】
本题考查了数列的单调性以及不等式，属于基础题.
3．B
解析：B 【分析】 令4n = 代入即解 【详解】
令4n =，2
447466a =-⨯+=-
故选：B. 【点睛】
数列通项公式n a 是第n 项与序号n 之间的函数关系，求某项值代入求解.
4．C
解析：C 【分析】
由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号
里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，
故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11
21
2m -， 所以第12个括号里的第995项是11
1989
2. 故选：C.
【点睛】
本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.
5．B
解析：B 【分析】 根据11,1
,2
n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩计算可得；
【详解】
解：因为2
1n S n n =++①，
当1n =时，2
11113S =++=，即13a =
当2n ≥时，()()2
1111n S n n -=-+-+②，
①减②得，()()2211112n
n n n n n a ⎡⎤++--+-+=⎦
=⎣ 所以3,1
2,2n n a n n =⎧=⎨≥⎩
故选：B 【点睛】
本题考查利用定义法求数列的通项公式，属于基础题.
6．B
解析：B 【分析】
根据题中所给的通项公式，令2121n -=，求得n =11，得到结果. 【详解】
令2121n -=，解得n =11
是这个数列的第11项. 故选：B. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有判断数列的项，属于基础题目.
7．C
解析：C 【分析】
根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，结合等差数列的性质求出通项公式即可． 【详解】 解：11
n
n n a a a +=
+，
∴两边同时取倒数得
11111n n n n
a a a a ++==+， 即11
11n n
a a ，
即数列1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是公差1d =的等差数列，首项为
1
11a ．
则1
1(1)1n
n n a =+-⨯=， 得1n a n
=
， 则20201
2020
a =
， 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列通项公式的求解，结合数列递推关系，利用取倒数法以及构造法构造等差数列是解决本题的关键．考查学生的运算和转化能力，属于基础题．
8．B
解析：B 【分析】
根据已知递推条件(
)*
21n n n a a a n N ++=-∈即可求得5
a
【详解】
由(
)*
21n n n a a a n N
++=-∈知：
3214a a a 4321a a a 5
43
5a a a
故选：B 【点睛】
本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据根号下的数字规律,可知为等差数列.
利用等差数列性质求得通项公式,即可判断为第几项. 【详解】
根据数列中的项,
…
由前几项可知,根式下的数列是以5为首项, 4为公差的等差数列 则根式下的数字组成的等差数列通项公式为()51441n a n n =+-⨯=+
而=
所以4541n =+ 解得11n = 故选:D 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式的求法及简单应用,属于基础题.
10．C
解析：C 【分析】
首先根据已知条件得到410a =，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
由题知：410a =，
对选项A ，()2
444113a =--=，故A 错误；
对选项B ，2
44115a =-=，故B 错误；
对选项C ，()
4441102a ⨯+==，C 正确； 对选项D ，()
444162
a ⨯-==，故D 错误. 故选：C 【点睛】
本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.
11．B
解析：B 【分析】
利用迭代法可得21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=++++
+++，可得
21n n F S +=+，代入2019n =即可求解.
【详解】
由题意可得该数列从第三项开始，每项等于其前两相邻两项之和， 则211112n n n n n n n n n n F F F F F F F F F F ++----=+=++=+++
1211232n n n n n n n n n F F F F F F F F F -------=+++=++++=
123211n n n n F F F F F F ---=++++
+++，
所以21n n F S +=+，令2019n =，可得201920211S F =-，
故选：B
关键点点睛：本题的关键点是理解数列新定义的含义得出21n n n F F F ++=+，利用迭代法得出
21123211n n n n n n n F F F F F F F F F ++---=+=+++++++，进而得出21n n F S +=+.
12．A
解析：A 【分析】
由已知得121n n a a n λ+-=+-，根据{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，建立关于
λ的不等式，解之可得λ的取值范围. 【详解】
由已知得22
1(1)(1)21n n a a n n n n n λλλ+-=+-+-+=+-，
因为{}n a 为递增数列，所以有10n n a a +->，即210n λ+->恒成立， 所以21n λ<+，所以只需()min 21n λ<+，即2113λ<⨯+=， 所以3λ<， 故选：A. 【点睛】
本题考查数列的函数性质：递增性，根据已知得出10n n a a +->是解决此类问题的关键，属于基础题.
13．D
解析：D 【分析】
利用已知条件转化推出1122n n a a a +-==，说明数列是等差数列，然后求解数列的和即可． 【详解】 解：结合1
1
12()n
n
n S S S S 可知，11122n n n S S S a +-+-=，
得到1122n n a a a +-==，故数列{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列，则12(1)21n a n n =+-=-，所以1529a =，
所以11515()15(291)15
22522
a a S ++=
==， 故选：D ． 【点睛】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查数列求和，是基本知识的考查．
14．B
解析：B 【分析】
根据数列的递推公式，得到数列的取值具备周期性，即可得到结论．
∵112,02
121,1
2n n n n n a a a a a +⎧
≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩
，又∵a 135=，∴a 2＝2a 1﹣1＝235⨯-115=，
a 3＝2a 225
=
， a 4＝2a 3＝22455
⨯
=， a 5＝2a 4﹣1＝245⨯
-135
=， 故数列的取值具备周期性，周期数是4， 则2019a ＝50443a ⨯+＝32
5
a =， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查数列项的计算，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据递推关系求出数列的取值具备周期性是解决本题的突破口．
15．B
解析：B 【分析】
根据题意可得n a 为421167n n +的个位数为27n n +的个位数，而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，即可求和. 【详解】
由n a 为421167n n +的个位数， 可得n a 为27n n +的个位数， 而2n 的个位是以2,4,8,6为周期，
7n 的个位数是以7,9,3,1为周期，
所以27n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 即421167n n +的个位数是以9,3,1,7为周期， 第38项至第69项共32项，共8个周期， 所以383969a a a ++⋅⋅⋅+=8(9317)160⨯+++=. 故选：B
16．C
解析：C 【分析】
令n n b na =，由已知得121n n b b n +-=+运用累加法得2
+12n b n =，从而可得
12
+n a n n
=，作差得()()()+13+4+1n n a n n a n n -=-，从而可得12345>>n a a a a a a =<<
<，
由此可得选项. 【详解】
令n n b na =，则121n n b b n +-=+，又113a =，所以113b =，213b b -=，325b b -=， ，121n n b b n --=-， 所以累加得()()213+2113+
+122
n
n n b n --==，所以2+1212+n n
b n a
n n n n
===， 所以()()()()+13+41212+1+
++1+1n n n n a a n n n n n n -⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，
所以当3n <时，+1n n a a <，当3n =时，+1n n a a =，即34a a =，当>3n 时，+1>n n a a ， 即12345>>n a a a a a a =<<<，所以数列{}n a 的最小项为3a 和4a ，
故选：C. 【点睛】
本题考查构造新数列，运用累加法求数列的通项，以及运用作差法判断差的正负得出数列的增减性，属于中档题.
17．C
解析：C 【分析】
利用数列的递推式，得到a n +1＝3a n -2，进而得到a n ＝3n -1+1，然后代入[lg(a 100-1)]可求解 【详解】
当n ≥2时，S n ＝3S n -1-2n +4，则a n +1＝3a n -2，于是a n +1-1＝3(a n -1)，当n ＝1时，S 2＝3S 1-2+2＝6，所以a 2＝S 2-S 1＝4.此时a 2-1＝3(a 1-1)，则数列{a n -1}是首项为1，公比为3的等比数列.所以a n -1＝3n -1，即a n ＝3n -1+1，则a 100＝399+1，则lg(a 100-1)＝99lg3≈99×0.477＝47.223，故[lg(a 100-1)]＝47. 故选C
18．C
解析：C 【分析】
根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果. 【详解】
根据题意，第1行第1列的数为1，此时111(11)
112
a ⨯-=+=，， 第2行第1列的数为2，此时212(21)
122
a ⨯-=+=，， 第3行第1列的数为4 ,此时313(31)
142
a ⨯-=
+=，，
据此分析可得:第64行第1列的数为64164(641)
120172
a ⨯-=+=，，则6452021a =，， 故选：C.
19．A
解析：A 【分析】
根据条件得出数列{}n b 的周期即可. 【详解】
由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……
则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3， 故选：A
20．D
解析：D 【解析】
分析：已知1a 逐一求解2345122323a a a a ====，，，． 详解：已知1a 逐一求解234512
2323
a a a a ==
==，，，．故选D 点睛：对于含有()1n
-的数列，我们看作摆动数列，往往逐一列举出来观察前面有限项的规律．
二、多选题 21．BCD 【分析】
由题意可得数列满足递推关系，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误； 对于B ，，故B 正确； 对于C ，可
解析：BCD 【分析】
由题意可得数列{}n a 满足递推关系()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，依次判断四个选项，即可得正确答案. 【详解】
对于A ，可知数列的前8项为1，1，2，3，5，8，13，21，故A 错误；
对于B ，81+1+2+3+5+8+13+2154S ==，故B 正确； 对于C ，可得()112n n n a a a n +-=-≥， 则()()()()1234131425311++++
++++++n n n a a a a a a a a a a a a a a +-=----
即212++1n n n n S a a a a ++=-=-，∴202020221S a =-，故C 正确； 对于D ，由()112n n n a a a n +-=-≥可得，
()()()135202124264202220202022+++
+++++a a a a a a a a a a a a =---=，故D 正确.
故选：BCD. 【点睛】
本题以“斐波那契数列”为背景，考查数列的递推关系及性质，解题的关键是得出数列的递推关系，()12211,1,+3n n n a a a a a n --===≥，能根据数列性质利用累加法求解.
22．AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，，，，故A 正确；
对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误； 对于C ，，故C 正确； 对于D ，，，， ， 各式相加
解析：AC 【分析】
由该数列的性质，逐项判断即可得解. 【详解】
对于A ，821a =，9211334a =+=，10213455a =+=，故A 正确； 对于B ，由该数列的性质可得只有3的倍数项是偶数，故B 错误；
对于C ，20182022201820212020201820192020202020203a a a a a a a a a a +=++=+++=，故C 正确； 对于D ，202220212020a a a =+，202120202019a a a =+，202020192018a a a =+，
32121,a a a a a ⋅⋅⋅=+=，
各式相加得()2022202120202021202020192012182a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++， 所以202220202019201811a a a a a a =++⋅⋅⋅+++，故D 错误. 故选：AC. 【点睛】
关键点点睛：解决本题的关键是合理利用该数列的性质去证明选项.
23．ABD 【分析】
构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】 由， 设， 则，
所以当时，，
即在上为单调递增函数， 所以函数在为单调递增函数， 即， 即， 所以 ，
解析：ABD 【分析】
构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解. 【详解】
由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102
a << 设()()ln 2f x x x =+-， 则()11122x
f x x x
-'=-
=--， 所以当01x <<时，0f x
，
即()f x 在0,1上为单调递增函数，
所以函数在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
为单调递增函数，
即()()102f f x f ⎛⎫<<
⎪⎝⎭
，
即()131
ln 2ln ln 1222
f x <<<+<+=， 所以()1
12
f x << ， 即
1
1(2)2
n a n <<≥， 所以
2112a <<，20201
12
a <<，故A 正确；C 不正确；
由()f x 在0,1上为单调递增函数，
1
12
n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确； 2112a <<,所以 231
32131113ln(2)ln ln 222234
a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333
144
a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD 【点睛】
本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.
24．BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列中，是常数，是等方差数列，故
解析：BD 【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222
(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故
{}n
a 不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列
(){}1n
-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方
差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2
n
中，()(
)
2
2
221
112
234n n n n n a
a ----=-=⨯不是常数，{}
2n
∴不是等方差
数列，故C 错误； 对于D ，
{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数
列，()()2
2
2
112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，
故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，22
10n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.
25．ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一
判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列的前项和为，， ∴，解得， 故，故A 正确；
∵，，故有，故B 正确； 该数
解析：ABD 【分析】
由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论． 【详解】
∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=， ∴()11187
5282
a a d a d ⨯++=+
，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确；
∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119
2
22
n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，
故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，1311312
13392
S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确， 故选：ABD. 【点睛】
思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.
26．AB 【分析】
根据已知条件求得的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列中，即， .
对于A 选项，，所以A 选项正确. 对于C 选项，，，所以，
解析：AB
【分析】
根据已知条件求得1,a d 的关系式，然后结合等差数列的有关知识对选项逐一分析，从而确定正确选项. 【详解】
依题意，等差数列{}n a 中81535a a =，即()()1137514a d a d +=+，
1149249,2
a d a d =-=-
. 对于A 选项，24912490a a a d +=+=，所以A 选项正确. 对于C 选项，149
2
a d =-
，10a >，所以0d <，所以C 选项错误. 对于B 选项，()()149511122n a a n d d n d n d ⎛
⎫=+-=-
+-=- ⎪⎝
⎭，令0n a ≥得5151
0,22n n -
≤≤，由于n 是正整数，所以25n ≤，所以数列{}n S 中最大值的项是25S ，所以B 选项正确. 对于D 选项，由上述分析可知，125n ≤≤时，0n a ≥，当26n ≥时，0n a <，且0d <.所以数列
{}n
a 的前25项递减，第26项后面递增，不是等差数列，所以D 选项错误.
故选：AB 【点睛】
等差数列有关知识的题目，主要把握住基本元的思想.要求等差数列前n 项和的最值，可以令0n a ≥或0n a ≤来求解.
27．BC 【分析】
设公差d 不为零,由，解得，然后逐项判断. 【详解】 设公差d 不为零, 因为， 所以， 即， 解得， ，故A 错误； ，故B 正确；
若，解得，，故C 正确；D 错误； 故选：BC
解析：BC 【分析】
设公差d 不为零,由38a a =，解得192
a d =-，然后逐项判断.
【详解】 设公差d 不为零, 因为
38a a =，
所以1127a d a d +=+， 即1127a d a d +=--， 解得192
a d =-，
11191111551155022S a d d d d ⎛⎫
=+=⨯-+=≠ ⎪⎝⎭
，故A 错误；
()()()()()()221101110910,10102222
n n n n n n d
d na d n n n a n n S S d ----=+
=-=-+=-，故B 正确； 若11191111551155022S a d d d d ⎛⎫
=+=⨯-
+=> ⎪⎝⎭
，解得0d >，
()()2
2510525222
n d d d n n S n S =
-=--≥，故C 正确；D 错误； 故选：BC 28．ABD 【分析】
由，判断，再依次判断选项. 【详解】 因为，，
，所以数列是递减数列，故，AB 正确； ，所以，故C 不正确；
由以上可知数列是单调递减数列，因为可知，的最大值，故D 正确. 故选：AB
解析：ABD 【分析】
由1n n n S S a --=()2n ≥，判断6780,0,0a a a >=<，再依次判断选项. 【详解】
因为5665600S S S S a <⇒->⇒>，677670S S S S a =⇒-==，
788780S S S S a >⇒-=<，所以数列{}n a 是递减数列，故0d <，AB 正确；
()9567897820S S a a a a a a -=+++=+<，所以95S S <，故C 不正确；
由以上可知数列{}n a 是单调递减数列，因为6780,0,0a a a >=<可知，67n S S S 与均为的
最大值，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和的最值，重点考查等差数列的性质，属于基础题型.
29．AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求，，即可求公差，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为，所以 ，
因为，所以，
所以等差数列公差，
所以是递减数列，
故最大，选项A
解析：AD
【分析】
利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确.
【详解】
因为67S S <，所以7670S S a -=> ，
因为78S S >，所以8780S S a -=<，
所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<，
所以{}n a 是递减数列，
故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；
10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，
所以310S S ≠，故选项C 不正确；
当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确；
故选：AD
【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题.
30．ABC
【分析】
由已知求得公差的范围：，把各选项中的项全部用表示，并根据判断各选项．
【详解】
由题知，只需，
，A 正确；
，B 正确；
，C 正确；
，所以，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性
解析：ABC
【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项．
【详解】
由题知，只需1220010
a d d d =->⎧⇒<<⎨>⎩， ()()2242244a a d d d ⋅=-⋅+=-<，A 正确；
()()2222415223644
a a d d d d +=-++=-+>≥，B 正确； 21511111122221a a d d d
+=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ⋅-⋅=-⋅+--⋅+=-<，所以1524a a a a ⋅<⋅，D 错误.
【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断．
31．BCD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A ，若是等差数列，如，
则不是常数，故不是等方差数列，故A 错误；
对于B ，数列中，是常数，
是等方差数
解析：BCD
【分析】
根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.
【详解】
对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，
则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}
n a 不是等方差数列，故A 错误； 对于B ，数列(){}1n -中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，
{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}n a 中的项列举出来是，1a ，2a ，，k a ，
，2k a ， 数列{}kn a 中的项列举出来是，k a ，2k a ，3k a ，，
()()()()2222222212132221k k k k k k k k a a a a a a a a p +++++--=-=-==-=，将这k 个式子累加
得()()()()
2
222222212132221k k k k k k k k a a a a a a a a kp +++++--+-+-++-=，222k k a a kp ∴-=，()
221kn k n a a kp +∴-=，{}*(,kn a k N ∴∈k 为常数)是等方差数列，故C 正确； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+
{}n a 是等方差数列，
()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故
220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.
故选：BCD.
【点睛】
本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，属于中档题.
32．AC
【分析】
由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出，判断C ，D 的正误.
【详解】
解：由，
得，
所以时，，
得时，，
即时，，
当时，由
解析：AC
【分析】 由题意可知112222n n n n a a a H n -+++=
=，即112222n n n a a a n -+++=⋅，则2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，可求解出1n a n =+，易知{}n a 是等差数列，则A 正确，然后利用等差数列的前n 项和公式求出n S ，判断C ，D 的正误.
【详解】
解：由112222n n n n a a a H n -+++=
=， 得112222n n n a a a n -+++=⋅，①
所以2n ≥时，()211212212n n n a a a n ---++
+=-⋅，② 得2n ≥时，()()111221212n n n n n a n n n ---=⋅--⋅=+⋅，
即2n ≥时，1n a n =+，
当1n =时，由①知12a =，满足1n a n =+．
所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 错，
所以()32
n n n S +=，所以2020202320202S =，故C 正确． 25S =，414S =，627S =，故D 错，
故选：AC ．
【点睛】
本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n 项和的求解，难度一般.
33．BCD
【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】
A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B 选项：由等差数列性质知，必是递增数列；
C 选项：时，是等差数列，而a = 1，
解析：BCD
【分析】
根据等差数列的性质即可判断选项的正误.
【详解】
A 选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；
B 选项：由等差数列性质知0d >，{}n a 必是递增数列；
C 选项：1a b c ===时，1111a b c
===是等差数列，而a = 1，b = 2，c = 3时不成立； D 选项：数列{}n a 是等差数列公差为d ，所以
11112(1)223(31)n n a a a n d a nd a n d ++=+-++=+-也是等差数列；
故选：BCD
【点睛】
本题考查了等差数列，利用等差数列的性质判断选项的正误，属于基础题.
34．ABC
【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案.
【详解】
解：对于A.，若，则，所以，所以，故A 选项正确；
对于B 选项，若，则，由于，公差，故，故，所以是中最大的项；故B 选项正确；
C. 若
解析：ABC
【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案.
【详解】
解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以()114141402
a a S +==，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；
C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误．
故选：ABC ．
【点睛】
本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题．
35．ABD
【分析】
由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
得，
∴，
即数列是首项为，公差为1的等差数列，
∴，
∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，
解析：ABD
【分析】
由已知递推式可得数列
2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.
【详解】
)2
11n a =-得)2
11n a +=，
1=
，
即数列2=，公差为1的等差数列，
2(1)11n n =+-⨯=+，
∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，
所以易知ABD 正确，
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.。