2019年北京中考数学习题精选：二次函数概念、性质和图象(含答案)

一、选择题
1. （2018北京东城区一模）当函数()2
12y x =--的函数值y 随着x 的增大而减小时，x 的取值范围是
A ．x ＞0
B ．x ＜1
C ．1x ＞
D ．x 为任意实数 答案B
2、（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）将二次函数265y x x =-+用配方法化成2()y x h k =-+的形式，下列结果中正确的是 A ．2(6)5y x =-+
B ．2(3)5y x =-+
C ．2(3)4y x =--
D ．2(3)9y x =+- 答案：C
3、（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，一条抛物线与x 轴相交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），其顶点P 在线段AB 上移动．若点A 、B 的坐标分别为（﹣2，3）、 （1，3），点N 的横坐标的最大值为4，则点M 的横坐标的最小值为
(A) －1 (B) －3 (C) －5 (D) －7
答案：C
4、（20183的顶点坐标是 A.（-2,3） B.） 答案：B
5、（20182个单位，再向下平移3个单位，可以A.2(5
+=x y 3+ C.2(5
+=x y 3- 答案：D
6、（2018北京东城第一学期期末）3．若要得到函数()2
1+2y x =+的图象，只需将函数2
y x =的图象
A ．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B ．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C ．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D ．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 答案：B
x
y
N
M
B A O
P
7、（2018北京东城第一学期期末）已知函数2
-y x bx c =++，其中00b c ＞，＜，此函数的图象可以是
答案：D 8、
（2018北京房山区第一学期检测）已
知点（-1，2）在二次函数2
y ax =的图象上，那么a 的值是
A ．1
B ．2
C ．12
D ．1
2-
答案：B
9、（2018北京丰台区第一学期期末）将抛物线y = x 2向上平移2个单位后得到新的抛物线的表达式为 A ．22y x =+ B ．22y x =- C ．()2
2y x =+
D ．()
2
2y x =-
答案：A
10、（2018北京丰台区第一学期期末）已知抛物线2
y ax bx c =++上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如下表：
x … 1- 0 1 2 3 … y
…
3
1-
m
3
…
①抛物线2
y ax bx c =++的开口向下；
②抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-； ③方程20ax bx c ++=的根为0和2； ④当y ＞0时，x 的取值范围是x ＜0或x ＞2. 其中正确的是 A ．①④ B ．②④ C ．②③ D ．③④
答案：D
11、（2018年北京海淀区第一学期期末）1．抛物线()2
12y x =-+的对称轴是 A ．1x =-
B ．1x =
C ．2x =-
D ．2x =
答案：B
12.（2018北京怀柔区第一学期期末）2.若将抛物线y = －12
x 2
先向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是
A ．2)3(212-+-
=x y B ．2)3(2
1
2---=x y C ．2)3(2
-+=x y D. 2)3(2
12++-=x y
答案：A
13.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）2．将抛物线y = x 2的图象向上平移3个单位后得到新的图
象，那么新图象的表达式是 A ．()2
3y x =- B ．()2
3y x =+
C ．23y x =-
D ．23y x =+ 答案：D
14.（2018北京密云区初三（上）期末）2. 将抛物线2
y x =先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是
A. 2
(2)1y x =++ B. 2
(2)1y x =+- C. 2
(2)1y x =-+ D. 2
(2)1y x =-- 答案：B
15.（2018北京密云区初三（上）期末）8. 已知抛物线2
y ax bx c =++（x 为任意实数）经过下图中两点M （1，2）、N （m ，0），其中M 为抛物线的顶点，N 为定点.下列结论：
①若方程2
0ax bx c ++=的两根为12,x x （12x x <），则1210,23x x -<<<<；
②当x m <时，函数值y 随自变量x 的减小而减小.
③0a >，0b <，0c >.
④垂直于y 轴的直线与抛物线交于C 、D 两点，其C 、D 两点的横坐标分别为s 、，则s t +=2 . 其中正确的是
A. ①②
B. ①④
C. ②③
D. ②④
答案：B
16.（2018北京平谷区第一学期期末）3．下列各点在函数2
1y x =-+图象上的是 （A ）（0,0） （B ）（1,1） （C ）（0,﹣1） （D ）（1,0） 答案：D
17.（2018北京石景山区第一学期期末）5．如果在二次函数的表达式c bx ax y ++=2中，0>a ，0<b ，0<c ，那么这个二次 函数的图象可能是
x
y O
x y O
x
y O x
y
O
（A ） （B ） （C ） （D ）
答案：C
18.（2018北京石景山区第一学期期末）6．若二次函数m x x y ++=22的图象与坐标轴有3个交点，则m 的取值范围是
（A ）1>m
（B ）1<m
（C ）1>m 且0≠m （D ）1<m 且0≠m
答案：D
19.（2018北京石景山区第一学期期末）7．如图，将函数()123
1
2+-=x y 的图象沿y 轴向上平移得 到新函数图象，其中原函数图象上的两点),1(m A 、
),4(n B 平移后对应新函数图象上的点分别为点'A 、'B ．
若阴影部分的面积为6，则新函数的表达式为 （A ）()223
1
2+-=x y （B ）()323
1
2+-=x y （C ）()123
1
2--=
x y （D ）()323
1
2--=
x y
答案：B
20.（2018北京顺义区初三上学期期末）5．二次函数的部分图象如图所示，对称轴是1x =-， 则这个二次函数的表达式为
A. 2
23y x x =-++ B. 2
23y x x =++
C. 2
23y x x =-+- D. 2
23y x x =--+
答案：D
21.（2018北京通州区第一学期期末）5. 二次函数()02
≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，ac b 42
-=∆，
则下列四个选项正确的是（ ）
A ．0<b ，0<c ，0>∆
B ．0>b ，0<c ，0>∆
C ．0>b ，0<c ，0>∆
D ．0<b ，0>c ，0<∆ 答案：A
22.（2018北京西城区第一学期期末）3.抛物线2(4)5y x =--的顶点坐标和开口方向分别是（ ）. A .(4,5)-，开口向上 B .(4,5)-，开口向下 C .(4,5)--，开口向上 D .(4,5)--，开口向下 答案：A
23.（2018北京西城区第一学期期末）6.如果函数24y x x m =+-的图象与x 轴有公共点，那么m 的取值范围是（ ）.
A. m ≤4 B .<4m C . m ≥4- D .>4m - 答案：C
24.（2018北京西城区第一学期期末）8.如图，抛物线32
++=bx ax y (a ≠0)的对称轴为直线1x =， 如果关于x 的方程082=-+bx ax (a ≠0)的一个根为4，那么 该方程的另一个根为（ ）． A ．4- B ．2- C ．1 D ． 3
答案：B
二、填空题
25、（2018北京东城区二模）抛物线2
21y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________.
答案：()1,1m --
26．（2018北京燕山地区一模）写出经过点（0，0），（-2，0）的一个二次函数的解析式 （写一个即可） 答案：x x y 22
+=
27.（2018北京市朝阳区一模）抛物线y=x2-6x+5的顶点坐标为 ． 答案（3，-4）
28.（2018北京市大兴区检测）请写出一个开口向下，并且对称轴为直线x=1的抛物线的表达式y= ．
答案答案不唯一，如2
21y x x =-+-；
29.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）抛物
线
2y x bx c =++经过点A （0，3），B （2，3），抛物线
的对称轴
为 ． 答案：直线x=1
30.（2018北京朝阳区第一学期期末检测）如图，双曲线x
k y =与抛物线c bx ax y ++=2
交于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），由图象可得不等式组c bx ax x
k
++<<20的解集为 .
答案： x 2<x < x 3
31.（2018北京大兴第一学期期末）请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________．
答案： 2
2y x =+.（答案不唯一）
32.（2018北京大兴第一学期期末）若函数2
31y ax x =++的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是
．
答案： a ＜
9
4
且a ≠0. 33.（2018北京东城第一学期期末）若抛物线2
2y x x c =++与x 轴没有交点，写出一个满足条件的c 的值： . 答案：答案不唯一，
1c ＞即可
34.（2018北京东城第一学期期末）已知函数2
-2-3y x x =，当-1x a ≤≤时，函数的最小值是-4，则实数a 的取值范围是 . 答案： 1a ≥
35.（2018北京房山区第一学期检测）请写出一个开口向下，并且与y 轴交于点（0， 1）的抛物线的表达式：
_______． 答案：
36.（2018北京房山区第一学期检测）如图，抛物线y ax =2
和直线y bx c =+的两个交点坐标分别为
()
2,4A -，
()
1,1B ，则关于x 的方程2
0ax bx c --=的根为 .
答案：
37、（2018北京房山区第一学期检测）已知二次函数
()
20y ax bx c a =++≠ 的图象与x 轴的两个交点的横
坐标分别为 2188423x -+-⨯⨯=，2288423
x ---⨯⨯=
. 则此二次函数图象的对称轴
为 .
答案：x=-2
38.（2018年北京海淀区第一学期期末）如图，抛物线2
y ax bx c =++的对称轴为1x =，点P ，点Q 是抛物
线与x 轴的两个交点，若点P 的坐标为（4，0），则点Q 的坐标为 ．
答案：（2-，0）
39.（2018北京怀柔区第一学期期末）抛物线y =2(x +1)2+3 的顶点坐标是 . 答案：(﹣1，3)
40.（2018北京怀柔区第一学期期末）把二次函数y =x 2-4x +5化成y=a (x -h )2+k 的形式为__________________． 答案：y =(x -2)2+1
41.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）二次函数2
351y x x =++－的图象开口方向__________. 答案：向下
42.（2018北京密云区初三（上）期末）抛物线2
23y x x =-+的对称轴方程是____________________. 答案：1x =
43.（2018北京平谷区第一学期期末）关于x 的二次函数2
21y ax ax a =-+-（a ＞0）的图象与x 轴的交点情况是 ．
答案：有两个不同交点
44.（2018北京平谷区第一学期期末）将二次函数223y x x =-+化为()2
y x h k =-+的形式，则
h = ，k = ．
答案：1；2
45.（2018北京顺义区初三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
122y x x =++可以看作是抛物
线2
221y x x =---经过若干次图形的变化（平移、翻折、旋转）得到的，写出一种由抛物线y 2得到抛
物线y 1的过程： ． 答案：略
46.（2018北京通州区第一学期期末）请你写出一个顶点在x 轴上的二次函数表达式 . 答案：y=x 2(答案不唯一)
47.（2018北京通州区第一学期期末）二次函数c bx x y ++-=2
的部分图象如图所示，由图象可知，不等式
02<++-c bx x 的解集为___________________.
答案：x ＜-1或x ＞5
48.（2018北京西城区第一学期期末）抛物线23y x =+与y 轴的交点坐标为 . 答案：（0，3）
49.（2018北京西城区第一学期期末）如图，直线1y kx n =+(k ≠0)与抛物22y ax bx c =++(a ≠0) 分别交于
(1,0)A -，(2,3)B -两点，那么当12y y >时，x 的取值范围是 .
答案：-1＜x ＜2
50.（2018北京西城区第一学期期末）如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论：①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .
答案：②④
51.（2018北京西城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线23(2)1y x =+-平移后得到抛物线232y x =+.
请你写出一种平移方法. 答： .
答案：答案不唯一，例如，将抛物线23(2)1y x =+-先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到抛物线232y x =+
52.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：
x … 4- 3- 2- 1- 0
1 2 … y
…
5
0 3-
4-
3-
5
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象． 解：（1）由题意可得二次函数的顶点坐标为（1-，4-）．………………………………… 1分
设二次函数的解析式为：2(1)4y a x =+-………………2分 把点（0，3）代入2(1)4y a x =+-得1a = ∴2(1)4y x =+-…………………………………3分
（2）如图所示 ……………………………………………………… 5分
53.（2018北京大兴第一学期期末）已知二次函数y = x 2 ＋4x +3.
（1）用配方法将y = x 2 ＋4x +3化成2()=-+y a x h k 的形式；
x
y –1–2–3–4123–1
–2–3–4123O
（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象.
解：（1）342++=x x y
1442-++=x x
2(2)1x =+-…………………………… 2分
（2
………………. 5分
54.（2018年北京昌平区第一学期期末质量抽测）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)
与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点． （1）求点A 和点B 的坐标；
（2）若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2），与直线AB 交于点N （x 3，y 3），若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象，直接写出x 1+x 2+x 3的取值范围为 .
y=x 2+4x+3
x=-2
y
-2
-154321-5
-4
-3
-2
-13
2
1
O
x
y –1–2–3–4–51234
5–1
–2
1
2345O
解：（1）∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为,3-（0）
；…………………… 1分 ∵抛物线y=mx 2－2mx －3 (m ≠0)的对称轴为直线1x =，
∴点B 的坐标为,0（1）．…………………… 2分 （2）∵∠ACB =45°，
∴点C 的坐标为,4-（1），…………………… 3分
把点C 代入抛物线y=mx 2－2mx －3 得出1m =，
∴抛物线的解析式为y=x 2－2x －3． …………………… 4分 （3）
1235
23
x x x <++< ……………………6分 55.（2018北京大兴第一学期期末）已知一次函数11
12
=
-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）
． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：
①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有 且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．
解：（1）∵224y x mx =-+，
∴二次函数图象的顶点坐标为
2
(,4)24m m -+………………………………………………2分 （2）①当5m =时，2254y x x =-+．
…………………………………………………………… 4分 如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得 2＜x ≤4． ……………………………………………… 5分 ②
13
3
≤m ＜5 …………………………………………………7分
56.（2018北京东城第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2﹣2mx+n （m ≠0）与x
轴交于点A, B ，点A 的坐标为（02-，）． （1）写出抛物线的对称轴； （2）直线n m x y -4-2
1
=
过点B ，且与抛物线的另一个交点为C ． ①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；
②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点P 的两条直线l 1: y=x+a 和l 2 : y=-x+ b 组成图形G .当图形G 与线段BC 有公共点时，直接写出点P 的
纵坐标t 的取值范围.
解：（1）抛物线的对称轴为直线1x =；………………2分 （2）根据抛物线的对称性，∵点A (-2，0) ， ∴ ()4,0B ．
①抛物线过点A ，直线n m x y -4-2
1
=
过点B ， 可得440,14402m m n m n ++=⎧⎪⎨⨯--=⎪⎩，解得1,24.
m n ⎧=-⎪
⎨⎪=⎩
∴直线的表达式是122y x =
-，抛物线的表达式21
42
y x x =-++．………………5分 ②15
32
t -
≤≤． ………………7分
57.（2018北京房山区第一学期检测）下表是二次函数
2
y ax bx c =++的部分x ，y 的对应值： x
… 1-
1
2-
12 1
32 2
52 3 … y
…
2
14
1-
74-
2-
74-
1-
14
2
…
（2）当抛物线
2
y ax bx c =++的顶点在直线y x n =+的下方时，n 的取值范围 是 ．
答案：
58.（2018北京丰台区第一学期期末）已知二次函数y = x 2 - 4x + 3． （1）用配方法将y = x 2 - 4x + 3化成y = a (x - h )2 + k 的形式； （2）在平面直角坐标系xOy 中画出该函数的图象； （3）当0≤x ≤3时，y 的取值范围是 .
解：（1）2
444+3y x x =-+-
()2
21x =--. ……2分
（2）如图： ….3分 （3）13y -≤≤ ….5分
59.（2018北京丰台区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++经过点（2，3），对称轴为直线x =1.
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），其中01<x ，02>x ，与y 轴
交于点C ，求BC -AC 的值；
（3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，
如果OP =OQ ，直接写出点Q 的坐标.
解：（1）1,
242 3.
b
b c ⎧=⎪⎨⎪-++=⎩ ……1分
解得2,3.b c =⎧⎨=⎩
. ……2分
∴322
++-=x x y . ……3分
（2）如图，设l 与对称轴交于点M ，由抛物线的对称性可得，BM = AM. …… 3分
∴BC -AC = BM+MC -AC = AM+MC -AC= AC+CM+MC -AC =2 CM =2. ……5分 其他方法相应给分.
5
54
4
4
41231
233
212
13x
O
y
x =2y =x 2-4x +3
54411
231
213x
O y
（3）点Q 的坐标为（12,2-）或（12,2-）．……7分
60.（2018年北京海淀区第一学期期末）已知二次函数2
43y ax ax a =-+．
（1）该二次函数图象的对称轴是x = ；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当14x ≤≤时，y 的最大值是2，求当14x ≤≤时，y 的最小值； （3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ，22() Q x y ，，当1+1t x t ≤≤，25x ≥时，均满足12y y ≥，
请结合图象，直接写出t 的最大值．
解：
（1）2． ………………1分 （2）∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线2x =， ∴ 当2x =时，y 取到在14x ≤≤上的最大值为2. ∴ 4832a a a -+=.
∴ 2a =-，2286y x x =-+-. ………………3分 ∵ 当12x ≤≤时，y 随x 的增大而增大， ∴ 当1x =时，y 取到在12x ≤≤上的最小值0. ∵ 当24x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， ∴ 当4x =时，y 取到在24x ≤≤上的最小值6-.
∴ 当14x ≤≤时，y 的最小值为6-. ………………4分 （3）4. ………………6分
61.（2018北京怀柔区第一学期期末）一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x … -4
-3 -2
-1 0
1 2 3 4
… y
…
25- 0
23 2
2
3 0
m
-6
2
21-
…
x
y
1
1
O (1)求这个二次函数的表达式； (2)求m 的值；
(3)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； (4)根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围.
解：(1)设这个二次函数的表达式为
2()y a x h k =-+.
依题意可知，顶点为（-1，2），………………………1分 ∴ ()212
++=x a y .
∵图象过点（1，0）， ∴()21102
++=a .
∴1
2
a =-
. ∴这个二次函数的表达式为()212
1
2++-=x y ………2分 (2)2
5
-
=m .………………………………………………3分 (3)如图…………………………………………………………………………………………5分 (4)x <-3或x >1..…………………………………………………………………………………6分 62.（2018北京怀柔区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线l :
n x y +-=2与抛物线
3242---=m mx mx y 相交于点A （2-,7）.
(1)求m 、n 的值；
(2)过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点B ，设抛物线 与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧)，求△BCD 的面积；
(3)点E （t ,0）为x 轴上一个动点，过点E 作平行于y 轴的直线与直线l 和抛物线分别交于点P 、Q .当点P 在点Q 上方时，求
线段PQ 的最大值.
解：(1)m =1………………………………………………………………………1分
n =3………………………………………………………………………………………………2分 (2)由(1)知抛物线表达式为y =x 2-4x -5 令y =0得，x 2-4x -5=0.
解得x 1=-1，x 2=5，……………………………………………………………………………3分
∴抛物线y =x 2-4x -5与x 轴得两个交点C 、D 的坐标分别为C (-1，0)，D (5，0) ∴CD =6.
∵A (2-,7)，AB ∥x 轴交抛物线于点B ，根据抛物线的轴对称性，可知B (6，7)………4分
∴S △BCD =21.……………………………………………………………………………………5分
(3) 据题意，可知P (t ，-2 t +3)，Q ( t ，t 2-4 t -5),
由x 2-4x -5=-2x +3得直线y =-2x +3与抛物线y = x 2-4x -5的两个交点坐标分别为(-2,7)和(4,-5) ……………………………………………………………………………………………6分 ∵点P 在点Q 上方
∴-2＜t ＜5, ∴PQ = -t 2+2 t +8=-( t -2) 2+9 ∵a =-1
∴PQ 的最大值为9.……………………………………………………………………………7分
63.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）已知二次函数2
(1)1(0)y kx k x k =+++≠． （1）求证：无论k 取任何实数时，该函数图象与x 轴总有交点；
（2）如果该函数的图象与x 轴交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 值. 答案：（1）证明：令y =0，可得2
(1)10kx k x +++=
∵11a k b k c ==+=，， ∴
△
=
221
k k -+……………………………1分
=2
(1)k - ………………………………………………2分 ∵2
(1)0k -≥
∴此二次函数的图象与x 轴总有交点．………………………………3分
（2）解：令y =0，得2(1)10kx k x +++=
解得 x 1=
1(1)12k k k k --+-=-，x 2=1(1)
12k k k
----=-………………4分
∵k 为整数，解为整数
∴1k =±. ……………………………………5分
64.（2018北京门头沟区第一学期期末调研试卷）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象如图所示．
（1）求二次函数的表达式；
（2）函数图象上有两点1(,)P x y ，2(,)Q x y ，且满足12x x <，结合函数图象回答问题； ①当3y =时，直接写出21x x -的值； ②当213x x -2≤≤，求y 的取值范围.
答案：
（1）选择坐标代入正确 ………………………………………………1分 得出表达式243
y x x =-+
………………………………………………3分
（2）找到位置画出示意图 ① 214
x x -= ………………………………………………4分
②由图象易得当y=0时212x x -=
由于该函数图象的对称轴为2x =， 1(,)P x y ，2(,)Q x y ，
在对称轴左右两侧对称分布，所以两点到对称轴的距离相等 所以，当213x x -=时即PQ =3 ∴MP = MN －PN =31
222
-=………………………………………………5分 ∴112
x =
代入243y x x =-+，解得5
4
y =………………………………………6分 综上所述：5
04y ≤≤
………………………………………7分
y 1
2
3
4
5
–112345–1
O y
1
2
3
4
5
–112345–1
O
65.（2018北京密云区初三（上）期末）已知二次函数2
y x bx c =++图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表:
（1）求二次函数的表达式.
（2）画出二次函数的示意图，结合函数图象，直接写出y<0 时自变量x 的取值范围.
解:（1）由已知可知，二次函数经过（0，3），（1，0）则有
2
2
003
110
b c b c ⎧+⨯+=⎪⎨+⨯+=⎪⎩ …………………………………………..2分 解得：3
4c b =⎧⎨
=-⎩
……………………………………………3分
（2） 13x << …………………………………………………………………………5分
（其中画出二次函数示意图给1分）
66.（2018北京密云区初三（上）期末）已知抛物线:2
21(0)y mx mx m m =-++≠. （1）求抛物线的顶点坐标.
（2）若直线1l 经过（2，0）点且与x 轴垂直，直线2l 经过抛物线的顶点与坐标原点，且1l 与2l 的交点P
在抛物线上.求抛物线的表达式. （3）已知点A （0，2），点A 关于x 轴的对称点为点B.抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象写出m 的取值范围.
x … 0 1 2 3 … y … 3 0 -1 0 … y
x
-5
-4
-3
-1
5
43
2
1
-5-4-3-2-15432-2
O 1y x
-1
54321
-5-4-3-2-15
4
3
2
O
1
答案： （1）解：将2
21y mx mx m =-++ 配方得 2
(1)1y m x =-+
∴ 抛物线的顶点坐标为（1，1）. ………………..3分 （2）由已知，2l 的表达式为y x =，1l 的表达式为2x = ∴交点(2,2)P
代入221y mx mx m =-++，解得1m = . …………….5分 （3）当抛物线过（0，2）时，解得1m =
结合图象可知，当抛物线开口向上且和线段AB 恰有一个公共点，则 01m <≤
当抛物线过（0，-2），解得3m =-
结合图象可知，当抛物线开口向下且和线段AB 恰有一个公共点，则 30m -≤<
综上所述，m 的取值范围是 01m <≤ 或30m -≤< ………….7分
67.（2018北京平谷区第一学期期末）如图，函数2
y x bx c =-++的图象经过点A ，B ，C ． （1）求b ，c 的值；
（2）画出这个函数的图象．
解：（1）∵抛物线经过点A （﹣1,0），B （0,3），
∴
10,
3 .b c c --+=⎧⎨
=⎩ ． (2)
解得2
3b c =⎧⎨=⎩
． (4)
（2）图略． (5)
68.（2018北京平谷区第一学期期末）已知函数2
2y x mx =-的顶点为点D ． （1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求函数2
2y x mx =-的图象与x 轴的交点坐标；
（3）若函数2
2y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围． 解：（1）2
2y x mx =-
()2
2x m m =-- ............................................................................................. 1 ∴D （m ,2m -）． ................................................................................................ 2 （2）令y =0，得220x mx -=． 解得1202x ,x m ==．
∴函数的图象与x 轴的交点坐标（0,0）,（2m ,0）． (4)
（3）方法一：∵函数2
2y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，
∴顶点D 在直线y=m 的上方． ......................................................................... 5 ∴2m -＞m ． ........................................................................................................ 6 即2m m +＜0．
由y =2m m -的图象可知，m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． ...................... 7 方法二：∵函数2
2y x mx =-的图象在直线y=m 的上方，
∴22x mx -＞m ． ............................................................................................... 5 ∴当22x mx -=m 时，抛物线和直线有唯一交点．
∴()()2
=24m m ∆---=2
440m m += ．
解得120,1m m ==-． ................................................................................... 6 ∴m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． .. (7)
69.（2018北京石景山区第一学期期末）用配方法求二次函数3102+-=x x y 的顶点坐标．
答案： 解：3102
+-=x x y
325-52102
++-=x x
22-）5（2
-=
x ………………………………………………… 4分
∴顶点坐标是)22,5(-．.…………………………………………… 5分
70.（2018北京石景山区第一学期期末）次函数m mx x y 522+-=的图象经过点)2,1(-． （1）求二次函数图象的对称轴； （2）当14≤≤-x 时，求y 的取值范围．
解：（1）∵二次函数m mx x y 522
+-=的图象经过点(1,-2). ∴m m 5212+-=-
解得1-=m .………………………………………………………1分 ∴二次函数的表达式522
-+=x x y
∴二次函数的对称轴为：直线-1=x ． (2)
分
（2）二次函数的表达式6-）1（522
2+=
-+=x x x y . 当-1=x 时，-6最小=y ， …………………………………………3分
当1=x 时，2-=y ， 当-4=x 时，3=y ，
∴14≤≤-x 时，y 的取值范围是36≤≤-y . (5)
分
71.（2018北京石景山区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和
)3,0(B .
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接BC ．设抛物线的顶点P 关于直线t y =
的对称点为点Q ，若点Q 落在△OBC 的内部，求t 的取值范围．
解：（1）∵抛物线n mx x y ++-=2
过点)01(，-A 和)30(，
B . ∴⎩
⎨⎧==+--30
1n n m
解得：2=m
∴抛物线的表达式为：322++-=x x y …………………………3分
（2）∵抛物线322++-=x x y
∴抛物线的顶点)41(，P ，对称轴为直线1=x 令0=y 得：0322=++-x x ， 解得：3,121=-=x x ∴ 点C 的坐标为)03(，
∵直线BC 经过点)30(，B 和C )03(， ∴3+-=x y BC
x
y
A
C B
t 2=3t 1=2
M 2M 1P
O
∴直线1=x 与直线BC 的交点为)21(1，M 、与x 轴的交点)01(2，M 如图所示
∴2<t <3 ……………………………………………………………7分
72.（2018北京顺义区初三上学期期末）已知二次函数2
43y x x =-+．
（1）在网格中，画出该函数的图象． （2）（1）中图象与x 轴的交点记为A ，B ，若该图象上存在
一点C ，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标．
答案：（1）
…………………………….……….,…….2分
（2）令y =0，代入243y x x =-+，则x =1，3，
∴A （0，1），B （0，3），∴AB =2，……….……….,.………………..…….….3分
∵△ABC 的面积为3，∴AB 为底的高为3，
令y =3，代入2
43y x x =-+，则x =0，4，
∴C （0，3）或（4，3）．…………….……….,…………………….….……….5分（各1分） 73.（2018北京顺义区初三上学期期末）28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
19
y x bx =+经过点A （-3，4）．
（1）求b 的值；
（2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，在直线AB 上任取一点P ，作点A 关于直线OP 的对称点C ；
①当点C 恰巧落在x 轴时，求直线OP 的表达式； ②连结BC ，求BC 的最小值． 答案：28． （1）∵抛物线2
19
y x bx =
+经过点A （-3，4） 令x =-3，代入219y x bx =+，则()1
4939
b =⨯+⨯-，
∴b =-3．………………………………………………………………………....2分
（2）①
…………………………………….....3分
由对称性可知OA =OC ，AP =CP ， ∵AP ∥OC ，∴∠1=∠2，
又∵∠AOP =∠2，∴∠AOP =∠1， ∴AP =AO ， ∵A （-3，4），
∴AO =5，∴AP =5， ∴P 1（2，4），
同理可得P 2（-8，4），
∴O P 的表达式为2y x =或1
2
y x =-
． ………………………………….5分（各1分）
…………………………………….....6分
②以O 为圆心，OA 长为半径作⊙O ，连接BO ，交⊙O 于点C ∵B （12，4），
∴OB =410， ∴BC 的最小值为4105-． ………………………….7分
74.（2018北京通州区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
()0122>+-=a ax ax y 的对称轴为b x =．点
()m A ,2-在直线3+-=x y 上.
（1）求m ，b 的值； （2）若点()23，D
在二次函数()0122>+-=a ax ax y 上，求a 的值；
（3）当二次函数
()0122>+-=a ax ax y 与直线3+-=x y 相交于两点时，设左侧的交点为()11,y x P ，若
131-<<-x ，求a 的取值范围．
答案：
75.（2018北京西城区第一学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1C ：2
2y x x =-+．
（1）补全表格：
抛物线
顶点坐标 与x 轴交点坐标 与y 轴交点坐标
22y x x =-+
(1,1)
(0,0)
（2）将抛物线1C 向上平移3个单位得到抛物线2C ，请画出抛物线1C ，2C ，并直接
回答：抛物线2C 与x 轴的两交点之间的距离是抛物线1C 与x 轴的两交点之间 距离的多少倍．
答案：
76.（2018北京西城区第一学期期末）已知抛物线G ：221y x ax a =-+-（a 为常数）． （1）当3a =时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标； （2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q ．
①分别用含a 的代数式表示p ，q ；
②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；
③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在 的图象上． A ．一次函数 B ．反比例函数 C ．二次函数
（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物 线H ：22y x ax N =-+（a 为常数），其中N 为含a 的代数式，从而使这个
新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．
请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H 的函数表达式： （用含a 的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）中，k= ，b= ． 答案：
x
… － 2 － 1
0 1 2 … y
…
－ 4 － 4
8
…
77.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）抛物线 y=ax 2
+bx+c 上部分点的横坐标 x ，纵坐标 y 的对应值如下表：
（1）根据上表填空：
①抛物线与 x 轴的交点坐标是 和
；
②抛物线经过点 ( － 3，
)；
（2）试确定抛物线 y=ax 2+bx+c 的解析式． 答案：
x … －2 －1 0 1 2 … y
…
－4
－4
8
…
① (－2，0) 和 (1，0) ……………………..…………….2′ ； ②抛物线经过点 (－3，8)； ……………………..…………….3′ （2）试确定抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式．
设抛物线y=a （x+2）（x-1）将（0，-4）带入得 a=2 ……………………..…………….4′ 抛物线y =ax 2+bx +c 的解析式是y=2（x+2）（x-1）=2x 2+2x -4 ……………………..…………….5′
78.（2018北京燕山地区第一学期初四年级期末）在平面直 角坐标系 xOy 中，反比例函数k y x
=的图象经过
点 A(1，4)，B(m ，n)．
（1）求反比例函数k y x
=的解析式；
（2）若二次函数 y ＝ (x － 1)2 的图象经过点 B ，求代数式的值； （3）若反比例函数k
y x
=
的图象与二次函数 y ＝ a(x － 1)2 的图象只有一个交点，且该交 点在直线 y ＝ x 的下方，结合函数图象，求 a 的取值范围．
解：(1)将A(1，4)代入函数y ＝k
x
．k=4
反比例函数y ＝k
x 的解析式是x
y 4= ……………………..…………….1′
(2)二次函数y ＝(x －1)2的图象经过点 B(m ，n)， ∴n
m =-2
)1( 即
1
22-=-n m m
又B(m ，n)在反比例函数y ＝k
x 上，
∴mn=4,
4
5
4)1(4)32(143222-=+---=+---mn n m m mn mn n m m ……………………..…………….4′
(3)由反比例函数的解析式为y ＝4x .令y ＝x ，可得x 2＝4，解得x ＝±2.∴反比例函数y ＝4x 的图象与直线y
＝x 交于点(2，2)，(－2，－2)．如图，当二次函数y ＝a(x －1)2的图象经过点(2，2)时，可得a ＝2；当二次函数y ＝a(x －1)2的图象经过点(－2，－2)时，可得a ＝－2
9
.
∵二次函数y ＝a(x －1)2图象的顶点为(1，0)，∴由图象可知，符合题意的a 的取值范围是0<a<2或a<－2
9.
……………………..…………….7′
79.（2018北京昌平区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2
23(0)y ax ax a a =--≠，
与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)． （1）求点A 和点B 的坐标；
（2）若点P （m ，n ）是抛物线上的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点D ．
①在0a >的条件下，当22m -≤≤时，n 的取值范围是45n -≤≤，求抛物线的表达式；
②若D 点坐标（4，0），当PD AD >时，求a 的取值范围. 答案.解：（1）把0y = 代入二次函数得：2(23)0a x x --=即(3)(1)0a x x -+= ∴123,1x x ==- ∵点A 在点B 的左侧，
∴(1,0)A -，(3,0)B ………………………………2分 （2）①抛物线的对称轴为直线：21a
x a
-=-
=； 由题意二次函数的顶点为(1,4)-，…………………………………3分 代入解析式，可得1a =
抛物线的解析式为223y x x =--……………………………………………………4分 ②∵D 点坐标（4，0），PD x ⊥轴
∴点P 的横坐标为4，代入2
23y ax ax a =--得5y a =……………………………………………5分 ∵D 点坐标（4，0），A 点坐标（1-，0） ∴5AD = ∵PD AD >
∴1a >……………………………………6分
80.（2018北京朝阳区二模）已知二次函数)0(222≠--=a ax ax y ．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 ；
（2）若该二次函数的图象开口向上，当-1≤x ≤5时，函数图象的最高点为M ，最低点为N ，点M 的纵坐标
为2
11，求点M 和点N 的坐标；
（3）对于该二次函数图象上的两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设t ≤ x 1 ≤ t +1，当x 2≥3时，均有y 1 ≥ y 2，
请结合图象，直接写出t 的取值范围．
答案：（1）x =1 …………………………………………………………………………1分
（2）解：∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x =1，-1≤x ≤5，
∴当x =5时，y 的值最大，即M （5，211）. ……………………………3分
把M （5，211）代入y =ax 2－2ax －2，解得a =21. …………………………4分
∴该二次函数的表达式为y =2212--x x .
当x =1时，y ＝2
5-，
∴N （1，2
5-）. ……………………………………………………5分
（3）－1≤t ≤2. ………………………………………………………………7分
81.（2018北京东城区二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()230y ax bx a =+-≠经过点()1,0A -和点
()45B ，．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式；
（3）点P 是x 轴上的动点，过点P 作垂直于x 轴的直线l ，直线l 与该抛物线交于点M ，与直线AB 交
于点N ．当PM PN ＜时，求点P 的横坐标P x 的取值范围．
解：（1）把点(10)-，和(45)，分别代入
23(0)y ax bx a =+-≠，
得 0--35164-3a b a b =⎧⎨=+⎩
，，
解得1
2a b ==-，． ∴抛物线的表达式为2
23y x x =--． -------------------------------------------------------------2分
（2）设点()45B ，关于x 轴的对称点为B '，
则点B '的坐标为()45，-.
∴直线AB 关于x 轴的对称直线为直线AB '. 设直线AB '的表达式为y mx n =+， 把点(10)-，和(45)-，分别代入y mx n =+，
得054m n m n =-+⎧⎨
-=+⎩，
，
解得11m n =-=-，．
∴直线AB '的表达式为1y x =--．
即直线AB 关于x 轴的对称直线的表达式为1y x =--. --------------------------------------4分
（3）如图，直线AB '与抛物线2
23y x x =--交于点C .
设直线l 与直线AB '的交点为N '， 则 'PN PN =． ∵PM PN <， ∴'PM PN <.
∴点M 在线段'NN 上（不含端点）．
∴点M 在抛物线2
23y x x =--夹在点C 与点B 之间
的部分上．
联立2
23y x x =--与1y x =--，
可求得点C 的横坐标为2． 又点B 的横坐标为4，
∴点P 的横坐标P x 的取值范围为24P x <<． --------------------------------------------------7分
82.（2018北京房山区二模）在平面直角坐标系x O y 中，二次函数2
y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过A
（0，4），B （2，0），C （－2，0）三点. （1）求二次函数的表达式；
（2）在x 轴上有一点D （－4，0），将二次函数的图象沿射
线
DA 方向平移，使图象再次经过点B .
①求平移后图象顶点E 的坐标；
②直接写出此二次函数的图象在A ，B 两点之间（含A ，
B 两
点）的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.
解:（1）∵A （0，4），B （2，0），C （－2，0） ∴二次函数的图象的顶点为A （0，4） ∴设二次函数表达式为2
4y ax =+ 将B （2，0）代入，得44=0a + 解得，1a =-
∴二次函数表达式2
4y x =-+ ……………………………………2′ （2）①设直线DA ：()0y kx b k =+≠ 将A （0，4），D （－4，0）代入，得
y
x
O
4
40
b k b =⎧⎨
-+=⎩
解得，1
4k b =⎧⎨
=⎩
∴直线D A : 4y x =+……………………………………………………3分 由题意可知，平移后的抛物线的顶点E 在直线DA 上 ∴设顶点E （m ，m +4）
∴平移后的抛物线表达式为()2
4y x m m =--++ 又∵平移后的抛物线过点B （2，0） ∴将其代入得，()2
24=0m m --++
解得，15m =，20m =（不合题意，舍去）
∴顶点E （5，9）…………………………………………………………5分 ② 30.………………………………………………………………………………7分
83.（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y = x 2 - 4x + 2m - 1与x 轴交于点A ，B .（点A 在点B 的左
侧）
（1）求m 的取值范围；
（2）当m 取最大整数时，求点A 、点B 的坐标．
解：（1）∵抛物线y =x 2-4x +2m -1与x 轴有两个交点，令y =0.
∴x 2-4x +2m -1=0. ∵ 与x 轴有两个交点， ∴方程有两个不等的实数根. ∴Δ>0.
即Δ=(-4)2-4•(2m -1)>0
∴m <2.5. ………………………2分 （2） ∵m <2.5，且m 取最大整数，
∴m =2. ………………………3分 当m =2时，抛物线y =x 2-4x +2m -1= x 2-4x +3. 令y =0，得x 2-4x +3=0，解得x 1 = 1，x 2=3.
∴抛物线与x 轴两个交点的坐标为A （1，0），B （3，0）. ……………5分
84.（2018北京丰台区二模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数
22y x hx h =-+的图象的顶点为点D ．
（1）当1h =-时，求点D 的坐标； （2）当≤≤11x -≤≤≤时，求函数的最小值m ．
（用含h 的代数式表示m ）
解：（1）∵抛物线2
2y x hx h =-+=（x -h ）2+h -h 2，
∴顶点D 的坐标为（h ，h -h 2），
∴当h =-1时，点D 的坐标是（-1，-2）． …………3分
（2）当x =-1时，y = 3h+1，
当x =1时，y =-h+1． …………4分
4411
23121
3x
O
y
4
3243
2
① 当h <-1时，函数的最小值m = 3h+1 …………5分 ② 当-1≤h ≤1时，，函数的最小值m = h -h 2 …………6分 ③ 当h >1时，，函数的最小值m =-h+1 …………7分
85.（2018北京西城区二模） 抛物线M ：241y ax ax a =-+- (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），抛物线的顶点为D .
（1）抛物线M 的对称轴是直线____________； （2）当AB =2时，求抛物线M 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，直线l ：y kx b =+(k ≠0)经过抛物线的顶点D ，直线y n =与抛物线M 有两个公
共点，它们的横坐标分别记为1x ，2x ，直线y n =与直线l 的交点的横坐标记为3x （30x >），若当
2-≤n ≤1-时，总有13320x x x x ->->，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围.
解：如图8.
（1）.…………………………… 1分
（2）∵ 抛物线 241y ax ax a =-+-的对称轴为直线，抛物线M 与x 轴的
交点为点A ，B （点A 在点B 左侧），AB =2，
∴ A ，B 两点的坐标分别为，.……………………………… 2分 ∵ 点A 在抛物线M 上，
∴ 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得.
解得 . ………………………………………………………………… 3分 ∴ 抛物线M 的函数表达式为213
222
y x x =-+-. ………………………… 4分 （
3
）。