2018_2019学年高中数学第二章函数2.4.2求函数零点近似解的一种计算方法_二分法课件新人教B版必修1

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.已知函数()的图象在区间[]上是连续不断的,且满足()·()< (∈<),则函 数()在()内( ) ()无零点 ()有且只有一个零点 ()至少有一个零点 ()无法确定有无零点
解析:根据零点存在性定理,函数在区间[]两端点的函数值异号时,函数 在()内至少有一个零点,故选.
.下列图象与轴均有交点,其中不能用二分法求函数零点的是( ) 解析:只有中函数零点不是变号零点.
,则零点位于区间[]上,令; ,则零点位于区间[]上,令.
……
继续实施上述步骤,直到区间[],函数的零点总位于区间[]上,当区间的长
度不大于给定的精确度时,这个区间[]中的任何一个数都可以做为函数()
的近似零点,计算终止.
【拓展延伸】 二分法的理解 ()所谓二分法就是通过不断的把函数零点所在区间一分为二,使区间的两 个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法,它体现极限逼近的思想. ()用二分法求方程近似解应注意的问题为 ①看清题目的精确度,它决定着二分法步骤的结束. ②根据()·()<确定初始区间,高次方程要先确定有几个解再确定初始区间. ③初始区间的选定一般在两个整数间,不同初始区间结果是相同的,但分的 次数相差较大. ④取区间中点计算中点函数值(),确定新的零点区间.直至所取区间[]中与 按精确度要求取值相等.这个相等的近似值即为所求零点的近似解.
,则就是()的零点,计算终止; ,则零点位于区间[]中,令;
1 2
(a0.+b0)
③如果 ()·()>
,则零点位于区间[]中,令.
()取区间[]的中点,则此中点对应的坐标为
计算()和().并判断:
①如果 ()
,则就是()的零点,计算终止;
1 2
(a1+.b1)
②如果 ()·()< ③如果 ()()>
.零点的存在性、变号零点与不变号零点
()如果函数()在一个区间[]上的图象不间断,并且在它的两个端点处的函
数值异号,即()()<,则这个函数在这个区间上
. 至少有一个
零点 ,即 存在一点∈(),使()
.
()如果函数图象通过零点时 穿过轴 ,则称这样的零点为 变号零点.
()如果函数图象通过零点时 没有穿过轴 ,则称这样的零点为 不变.
解:()零点是,是变号零点. ()零点是和,都是变号零点. ()零点是,是不变号零点. ()零点是和,其中变号零点是和,不变号零点是.
方法技巧
图象连续不间断的函数()在[]上,若()·()<,则函数()在
该区间上至少有一个变号零点,也就是可能有多个变号零点,还可能有不变
号零点,但至少有一个变号零点是肯定的.这一结论可直接应用于函数变号
求函数零点近似解的一种计算方法——二 分法
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课标要求 素养达成
.了解函数的变号零点与不变号零点的概念,会判断一个 函数有无变号零点. .会应用二分法求函数零点的近似值.
通过函数零点存在性定理及二分法的学习,培养数学运算 的核心素养.
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知识探究
.若函数()有不变号零点,则的值为
.
解析:函数 f(x)=2x2+x+a 有不变号零点, 则方程 2x2+x+a=0 有相等实数根,
故Δ=1-8a=0,所以 a= 1 .
答案: 1
8
8
课堂探究·素养提升
类型一 判断零点的特点
【例】 分别求出下列函数的零点,并指出是变号零点还是不变号零点. ()(); ()(); ()(); ()()()().
零点判定之中.
变式训练:下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( ) 解析:二分法适合求变号零点.故选.
类型二 用二分法求函数的零点 【例】 求函数()最右边的一个零点.(精确到)
思路点拨:对函数()的解析式进行分解因式或用试根法,求出对应方程的最 大根,确定初始区间,用二分法求出根的近似值. 解:因为() ()() ()()(), 所以()最右边的一个零点的横坐标就是方程的根. 令(),以下用二分法求函数()的零点. 由于()<()>, 故可取()作为计算的初始区间,列表如下:
号零点
.
.用二分法求函数零点的一般步骤
已知函数()定义在区间上,求它在上的一个零点的近似值,使它满足给定的
精确度.用二分法求函数零点的一般步骤. ()在内取一个闭区间[]⊆,使()与() ,即
异号 ,零()点()位< 于区间
[]中.
()取区间[]的中点,则此中点对应的坐标为
计算()和().并判断: ①如果 () ②如果 ()·()<
中点的值
中点函数近似值
()>
()≈ <
()≈ <
( )≈ <
( )≈ >
( )≈ >
( )≈ >
因为<,Fra bibliotek所以方程的根的近似值可取为.
故函数()最右边的一个零点的近似值为.
区间 () () () () () () ()
方法技巧
求函数()最右边的一个零点,就是求方程()的最大根.可
以通过试根法、分解因式法、函数图象法,发现其最大根的特点,然后转化
为求另一个方程的根.
变式训练:若函数()的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数 值如下:
() ()≈
() ( )≈
那么方程的一个近似根(精确到)为
.
()≈ ( )≈
解析:由表知()·( )<,故方程的根∈( ),且 <, 故≈. 答案
类型三 易错辨析
【例】 用二分法求方程的一个近似正解,要求精确到.
错解:因为()<()>()·()<,所以∈[]. 取区间[]的中点, ()<, 因为()·()<,所以∈[]. 取区间[]的中点, () ,因为 <, 所以原方程的近似解可取为. 纠错:错解在于理解精确度不正确,精确度ε满足的关系式为<ε, 错解中认为是()<ε, 并且精确到也误取成了小数点后两位.
.(·北京市海淀中关村中学高一上期中)已知定义在上的函数()的图象是 连续不断的,且有如下对应值表:
() 那么函数()一定存在零点的区间是( )
()(∞) ()()
()()
()(∞)
解析:定义在上的函数()的图象是连续不断的,由表知满足()()<,根据零点 存在定理可知()在()一定存在零点.故选.
正解:因为()<()>()·()<,所以∈[]. 取区间[]的中点()<, 因为()·()<,所以∈[]. 取区间[]的中点() , 因为()·()<,所以∈[]. 取区间[]的中点() , 因为()·()<,所以∈[]. 取区间[]的中点 ( ) , 因为( )·()<,所以∈[ ]. 因为 <, 所以原方程的近似解可取为.