2021_2022学年高中数学第一章常用逻辑用语§2充分条件与必要条件课件北师大版选修1_1

p 是 q 的必要不充分条件
p 是 q 的充要条件
p 是 q 的既不充分也不必要条件
【做一做2】 下列各项中,p是q的充要条件的是(
)
A.p: = ,q:a=b

B.p:xy<0,q:<0
C.p:k= 3,q:直线 y=kx+2 与圆 x2 +y2 =1 相切
D.p:函数 y=sin(x+φ)是奇函数,q:φ=0
1
(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于 4,可得 a=2 或 a=2,即 p
x
f(x)=a
q;
但当 a=2 时,函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于 4,即 q⇒p,
故 p 是 q 的必要不充分条件.


(5)当 m<n 时不一定有 <1,例如 m=-2,n=-1,即 p q;当 <1 时,
综上所述,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件
是A=90°.
反思感悟充要条件的证明策略
(1)要证p为q的充要条件(p的充要条件为q),需要从充分性和必要
性两个方向进行,即证明两个命题“若p,则q”为真且“若q,则p”为真,
但必须分清条件和结论分别是什么.
(2)在证明的过程中也可以用集合的思想来证明,证明p与q的解集
)
(3)如果p是q的必要条件,那么p是唯一的.(
)
(4)如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(
)
(5)若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.(
)
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
探究一
探究二
思维辨析
探究一 充分条件、必要条件、充要条件的判断
【例1】 指出下列各题中,p是q的什么条件?(用充分不必要条件、
∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,
∴a=b=c,
∴△ABC是等边三角形,充分性成立.
必要性:
∵△ABC是等边三角形,
∴a=b=c,
∴ab+ac+bc=a2+b2+c2.必要性成立.
综上,△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc.
探究一
探究二
思维辨析
(必要性)
答案:B
解析:A项中,p是q的充分不必要条件;C项中,p是q的充分不必要条
件;D项中,p是q的必要不充分条件,只有B项符合.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
(1)如果p是q的充分条件,那么命题“若p,则q”不一定为真.(
)
(2)如果p是q的充分条件,那么q就是p的必要条件.(
即(x+a+c)(x+c-a)=0,
所以两根分别为x1=-a-c,x2=a-c.
故两个方程有公共根-a-c.
探究一
探究二
思维辨析
(2)(必要性)
设两个方程有公共根α,则α2+2aα+b2=0,α2+2cα-b2=0,显然α≠0.
两式相加得α2+α(a+c)=0.
所以α=-(a+c).
代入x2+2ax+b2=0可得a2=b2+c2,所以A=90°.
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件
答案:C
解析:因为sin x=0,根据三角函数的基本关系式,可得cos x=±1,
反之,若cos x=1,根据三角函数的基本关系式,可得sin x=0,
所以“sin x=0”是“cos x=1”的必要不充分条件.
故选C.
1
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
易错分析本题常见的错解有两个,一个是由于对充分条件、必要
条件的定义理解不透,导致判断结论错误;另一个是由于对问题中
的相关数学知识“截距”“斜率”等理解不深,考虑不全面导致判断结
果出错,这是主要错误所在.
探究一
探究二
思维辨析
解析:若直线l的斜率等于-2,则直线l在y轴上的截距一定是它在x
也不一定有 m<n,例如 m=2,n=-1,即 q p,故 p 是 q 的既不充分也不
必要条件.
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟充分条件、必要条件、充要条件的两种基本判断方法
(1)定义法:①确定谁是条件,谁是结论.
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则为充分条件,否则就
不是充分条件.
③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则为必要条件,否则就
步,根据要求确定解题步骤,分别证明“充分性”与“必要性”.
探究一
探究二
思维辨析
证明(1)(充分性)
因为A=90°,
所以a2=b2+c2,方程x2+2ax+b2=0可化为x2+2ax+a2-c2=0,
即(x+a+c)(x+a-c)=0,
所以两根分别为x1=-a-c,x2=-a+c.
同理x2+2cx-b2=0可化为x2+2cx-a2+c2=0,

(5)p:m<n,q: <1.
分析先判断p⇒q,q⇒p是否成立,再结合充分条件、必要条件、充
要条件的定义得出结论.
探究一
探究二
思维辨析

解(1)当=-1
+
时,可得 =0,必有 x+y=0,因此 p⇒q;但当 x=y=0

时,显然满足 x+y=0,但不满足=-1,故 q p,故 p 是 q 的充分不必要条
2.必要条件是在充分条件的基础上得出的,真命题的条件是结论
成立的充分条件,但不一定是结论成立的必要条件;假命题的条件
不是结论成立的充分条件,但有可能是结论成立的必要条件.
3.以下几种说法是等价的:①p⇒q;②p是q的充分条件;③q是p的必
要条件;④q的充分条件是p;⑤p的必要条件是q.
【做一做1】 用“充分条件”和“必要条件”填空:
(1)“a>0,b>0”是“a+b>0”的
.

(2)“tan θ=1”是“θ= 4 ”的
.
(3)若p是q的充分条件,q是r的充分条件,则p是r的
答案:(1)充分条件 (2)必要条件 (3)充分条件
.
2.充要条件
定
义
如果既有 p⇒q,又有 q⇒p,我们说 p 是 q 的充分必
要条件,简称充要条件
符号表示
2
3
1.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),下列结论正确的是(
①Δ=b2-4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件;
②Δ=b2-4ac=0是函数f(x)有零点的充分条件;
③Δ=b2-4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件;
④Δ=b2-4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件.
A.①③④
不是必要条件.
(2)命题判断法:①如果命题“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分
条件,同时q是p的必要条件.
②如果命题“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也
不是p的必要条件.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不
必要”填空:
(1)“x2=4”是“x=-2”的
∵A,B,C成等差数列,
∴A+C=2B.
又A+B+C=180°,
∴3B=180°.
∴B=60°.
故A,B,C成等差数列的充要条件是B=60°.
探究一
探究二
思维辨析
考虑不周致误
【典例】 “直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直线
l的斜率等于-2”的(
)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
是相同的,证明前必须分清楚充分性和必要性,即搞清楚由哪些条
件推证得到哪些结论.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练2求证:△ABC是等边三角形的充要条件是
a2+b2+c2=ab+ac+bc.(这里a,b,c是△ABC的三条边)
证明 充分性:
∵a2+b2+c2=ab+ac+bc,两边都乘2,得2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc,
§2 充分条件与必要条件
知识梳理
1.充分条件与必要条件
前 提
符号表示
结 论
“若 p,则 q”形式的命题是真命题
p⇒q
p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件
名师点拨1.充分条件是某一个结论成立应具备的条件,当命题具
备此条件时,就可以得出此结论;或要使此结论成立,只要具备此条
件就足够了,当命题不具备此条件时,结论也有可能成立.

x=0 时, =x=0,不符合题意,舍去,即 x 的值等于 4,即 p⇒q;又当 x=4 时,
2

显然 x-3, 2,x 成等比数列,即 q⇒p,故 p 是 q 的充要条件.
探究一
探究二
思维辨析
(4)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于 4,当 a>1 时,
1
得 a2 =4,所以 a=2,当 0<a<1 时,得 a-2 =4,所以 a=2,即由函数
轴上的截距的2倍;但当直线l在y轴上的截距是它在x轴上的截距的
2倍时,其斜率不一定等于-2.因为直线l可以经过原点,此时斜率可以
为任意值.所以“直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍”是“直
线l的斜率等于-2”的必要不充分条件.故选B.
答案:B
纠错心得本题以直线的斜率和截距等概念为载体考查了充分条
条件;
(2)“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的
条件;
1
1
(3)“a>b”是“ < ”的
(4)“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的
条件;
条件.
探究一
探究二
思维辨析
答案:(1)必要不充分
不必要
(2)充要
(3)既不充分也不必要
(4)充分
解析:(1)当x=-2时,一定有x2=4,但当x2=4时,不一定有x=-2,所以
“x2=4”是“x=-2”的必要不充分条件;(2)若函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函
数,则有θ=kπ(k∈Z),当θ=kπ(k∈Z)时,函数f(x)=cos(2x+θ)一定是偶函
数,所以“函数f(x)=cos(2x+θ)是偶函数”是“θ=kπ(k∈Z)”的充要条件
1
1
1
1
(3)当 a>b 时,不一定有 < ,例如 a=1,b=-2;当 < 时,也不一定有
件.
(2)当直线 ax+y-1=0 与 x+ay+2=0 平行时,可得 a2 =1,即 a=±1,
不一定有 a=1,即 p q;但当 a=1 时,必有直线 ax+y-1=0 与 x+ay+2=0
平行,即 q⇒p,因此,p 是 q 的必要不充分条件.

2
(3)由 x-3,2,x 成等比数列,可得 2 =x(x-3),解得 x=4 或 x=0,但当
探究二
思维辨析
充要条件的证明
【例2】 设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与
x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是A=90°.
分析第一步,分清条件与结论:“p是q的充要条件”中p是条件,q是
结论;“p的充要条件是q”中,p是结论,q是条件.本题中条件是
“A=90°”,结论是“方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根”;第二
必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件作答)

(1)p: =-1,q:x+y=0;

(2)p:直线 ax+y-1=0 与 x+ay+2=0 平行,q:a=1;

(3)p:x-3, 2,x 成等比数列,q:x=4;
(4)p:函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-2,2]上的最大值等于 4,q:a=2;
B.①②③
C.①②③④
D.①②④
4
5
)
1
2
3
4
5
答案:D
解析:
题号 判断 理
由
Δ=b2 -4ac≥0⇔方程 ax2 +bx+c=0(a≠0)有实根⇔函数
件与必要条件的推理判断.解题关键是正确理解直线在坐标轴上的
截距的概念,同时要对零截距的直线有所认识,当直线经过原点时,
它在两坐标轴上的截距均为零,这时可以认为直线l在y轴上的截距
是在x轴上的截距的2倍,所以在进行充分条件与必要条件的推理判
断时,一定考虑周全,避免出错.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练“sin x=0”是“cos x=1”的(
推出q,二是看q能否推出p,若p能推出q,q也能推出p,则可以说p是q
的充要条件,否则,不能说p是q的充要条件.
3.对充分条件和必要条件的进一步划分:
条件 p 与结论 q 的关系
p⇒q,且 q p
q⇒p,且 p q
p⇒q,且 q⇒p,即 p⇔q
p 不能推出 q,
且 q 不能推出 p
结 论
p 是 q 的充分不必要条件
11Βιβλιοθήκη a>b,例如 a=-2,b=2,所以“a>b”是“ < ”的既不充分也不必要条件;
当 lg(x-y)>0 时,必有 x-y>1,从而必有 x-y>0,但当 x-y>0 时,不一定有
1
lg(x-y)>0,例如 x-y= 时,故“lg(x-y)>0”是“x-y>0”的充分不必要条件.
2
探究一
探究二
p⇔q
等价性
如果 p 是 q 的充分必要条件,也说 p 等价于 q,q 成
立当且仅当 p 成立
互为充要条件 如果 p⇔q,那么 p 和 q 互为充要条件
名师点拨1.p是q的充要条件意味着“p成立,则q一定成立;p不成立,
则q一定不成立”.
2.要判断p是不是q的充要条件,需要进行两次判断:一是看p能否