2024年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷+答案解析

2024年河北省石家庄市裕华区中考数学一模试卷
一、选择题：本题共16小题，共38分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列代数式表示“a的3倍与7的差”的是( )
A. B. C. D.
2.嘉淇先向北偏西方向走30m，又向南偏西方向走30m，她现在所站的位置在起点的方向
上.( )
A. 正北
B. 正西
C. 西北
D. 西南
3.去括号后等于的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在平行四边形ABCD中，，，将线段AB水平向右平
移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形时，则a的值为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.已知，则x的值是( )
A. B. 2 C. D.
6.如图，用四个长和宽分别为a，的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是S，( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
7.如图，已知相同物体的质量相等，①中天平保持平衡状态，则②中天平( )
A. 能平衡
B. 不能平衡，右边比左边低
C. 不能平衡，左边比右边低
D. 无法确定
8.如图，点A、B、C在上，，连接BO并延长，交于点D，连接
AC，若，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
9.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是( )
A. 点P
B. 点O
C. 点M
D. 点N
10.用替换分式中的n后，经过化简结果是( )
A. B. 2m C. D.
11.如图所示是某几何体的三视图，根据图中数据计算，这个几何体的
侧面积为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是( )A. 7
B. 10
C. 11
D. 14
13.七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下了5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的( )A. 平均数 B. 中位数
C. 极差
D. 众数
14.关于x 的方程，下列解法完全正确的是( )甲
乙丙丁两边同时除以得
到
移项得
，
，
或
，
，
整理得
，
，
，，
，
，
，
整理得，配方得
，
，，
，
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
15
.如图，直线
与
的交点横坐标为
，则关于
x 的不等式组
的整数解为( )
A. B. C. D.
16.如图，在平面直角坐标系中，正八边形ABCDEFGH的中心与原点O重合，顶点
A，E在y轴上，顶点G，C在x轴上，连接OB，过点A作OB的垂线，垂足为P，
将绕点O顺时针旋转，每次旋转，已知，则第82次旋转结束
时，点P的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共3小题，共10分。

17.验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，y关于x的函数图象如图所示.
经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了______度.
18.如图，在中，，，以点B为圆心，适
当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点D，E；再分别以点D，E为圆心，
大于的长为半径画弧，两弧交于点；作射线BF交AC于点G，则AG
的长为______.
19.已知正数a，b，c，满足，
______；
如图是三张叠放的正方形纸片，其边长分别为c，，，若这三张正方
形纸片的面积之和为S，则S的值为______.
三、解答题：本题共7小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

20.本小题9分
有一种整式处理器，能将二次多项式处理成一次多项式，处理方法是：将二次多项式的二次项系数与一次
项系数的和和为非零数作为一次多项式的一次项系数，将二次多项式的常数项作为一次多项式的常数项.
例，A经过处理器得到
若关于x的二次多项式A经过处理器得到B，根据以上方法，解决下列问题：
若，求B关于x的表达式；
若，求关于x的方程的解.
21.本小题9分
为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，某学校团委组织了“我与手机说再见”为主题的演讲比赛，根据参赛同学的得分情况绘制了如图所示的两幅不完整的统计图其中A表示“一等奖”，B表示“二等奖”，C表示“三等奖”，D表示“优秀奖”
请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
获奖总人数为______人，______，A所对的圆心角度数是______；
学校将从获得一等奖的4名同学其中有一名男生，三名女生中随机抽取两名参加全市的比赛，请利用树状图或列表法求抽取同学中恰有一名男生和一名女生的概率.
22.本小题10分
福山新华书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元.
用含m，n的代数式表示Q；
若共购进本甲种书及本乙种书，用科学记数法表示Q的值；
若，求的值结果用科学记数法表示
23.本小题10分
表格中的两组对应值满足一次函数现画出了它的图象为直线l，如图.数学兴趣小组为观察k、b 对图象的影响，将上面函数中的k、b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线
x0
y1
求直线l的解析式.
请在图中画出直线不要求列表计算，并求出直线l和的交点坐标.
求出直线l和与y轴围成的三角形的面积.
24.本小题10分
如图，在中，，，点D在BC上，且，以B为圆心，将BD 顺时针旋转形成半圆，P为半圆上任意一点，线段CP绕着点C顺时针旋转，得到线段CE，连接PB，
求证：；
若CP与半圆相切，求CP的长度；
当时，求的度数以及此时扇形DBP的面积.
25.本小题12分
如图是篮球运动员甲在投篮时的截面示意图，当他原地投篮时.分别以水平地面为x轴，出手点竖直方向为y
轴建立平面直角坐标系，篮球运行的路线可看成抛物线，甲投出的篮球在距原点水平距离米处时，达到
最大高度米，且应声入网，已知篮筐的竖直高度为米，离原点的水平距离为4米本题中统一将篮
球看成点，篮筐大小忽略不计
求此抛物线的解析式；
若防守队员乙在原点右侧且距原点1米处竖直起跳，其最大能摸高米，问乙能否碰到篮球？并说明理由.
在的情况下.若甲临时改变投篮方式，采取后仰跳投，后仰起跳后出手点距原点的水平距离为米，
垂直距离为米后仰跳投时的出手点位于第二象限，此时乙碰不到球.已知篮球运行所在抛物线的形状
和一致，并且当篮球运行到乙的正上方时，乙的最大摸高点距离篮球还有米，问篮球有没有入框？
请说明理由.
26.本小题12分
已知：如图，在四边形ABCD和中，，，点C在EB上，
，，，延长DC交EF于点点P从点A出
发，沿AC方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点M出发，沿MF方向匀速运动，速度为
过点P作于点H，交CD于点设运动时间为
解答下列问题：
①判断：直线AC与EF的位置关系是______；
②当点M在线段CQ的垂直平分线上时，求t的值；
连接PQ，作于点N，当四边形PQNH为矩形时，求t的值；
点P在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点P在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
连接QC，QH，设四边形QCGH的面积为，直接写出运动过程中S的最大值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a的3倍与7的差，表示为：
故选：
根据差与倍数关系得出代数式解答即可．
本题考查列代数式问题，解题的关键是根据差与倍数关系得出代数式．
2.【答案】B
【解析】解：如图，
嘉淇先向北偏西方向走30m，又向南偏西方向走30m，她现在所站的位置在起点的正西方向上，故选：
根据题意画出图形，即可解决问题．
本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确画出图形是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项正确
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选：B。

把四个选项按照去括号的法则依次去括号即可。

本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号。

4.【答案】B
【解析】解：四边形ABCD是平行四边形，
，，，
将线段AB水平向右平得到线段EF，
，
四边形ECDF为平行四边形，
当时，▱ECDF为为菱形，
此时
故选：
证得四边形ECDF为平行四边形，当时，▱ECDF为为菱形，此时
本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质和判定，平移的性质，证得证得四边形ECDF为平行四边形，熟练掌握菱形的判定方法是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：，
，
故选：
解方程，求出答案．
本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的运算是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：根据大正方形的面积求得该正方形的边长是8，则，
若，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是2，则，
解得，，则，故选项A、D错误；
若，则根据小正方形的面积可以求得该正方形的边长是4，则，
解得，，，故选项B错误；故选项C正确．
故选：
【分析】能够根据大正方形和小正方形的面积分别求得正方形的边长，再根据其边长分别列方程，求出a，b 的值，即可做出判断．
本题考查了二元一次方程组的应用．此题关键是能够结合图形和图形的面积公式正确分析，运用排除法进
行选择．
7.【答案】A
【解析】解：设□的质量是a，的质量是b，〇的质量是
根据①，得
根据等式的基本性质2，将两边同时除以2，得；
根据等式的基本性质1，将两边同时加上，得；
②中天平左侧的质量为，右侧的质量为，
左侧的质量=右侧的质量，
②中天平能平衡，
故选：
分别将三个图形的质量用字母表示，根据①写出一个等式并利用等式的基本性质2求得两种不同图形的质
量关系，再根据等式的基本性质1得到关于天平两边质量的一个等式，从而判断即可．
本题考查等式的性质，熟练掌握等式的两个基本性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：，
，，
是的直径，
，
，
故选：
由平行线的性质得，由平行线的性质和圆周角定理得，由圆周角定理得，再由直角三角形的性质即可得出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理和平行线的性质是解
题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：点P在对应点M和点N所在直线上，故选
根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．
位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，所以位似中心在M、N所在的直
线上，因为点P在直线MN上，所以点P为位似中心．考查位似图形的概念．
10.【答案】A
【解析】解：把代入原式得：
；
故选：
把代入原式，把分数线化为除法进行分式的运算．
此题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握代入求值法，把分数线化为除法进行分式的运算是解题关键．11.【答案】B
【解析】解：由三视图可判断该几何体是圆锥，
底面直径为4，母线长为6，
故这个几何体的侧面积为：
故选：
直接利用三视图判断出几何体，再利用圆锥侧面积公式求出答案．
此题主要考查了由三视图判断几何体，正确得出几何体的形状是解题关键．
12.【答案】B
【解析】解：其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，
任意两颗螺丝的距离的最大值是，
故选：
根据三角形的三边关系即可得到结论．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
13.【答案】B
【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到平均数、极差，可能会影响到众数，
一定不会影响到中位数，
故选
根据平均数、中位数、极差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、极差及众数的意义，难度不大．
14.【答案】D
【解析】解：甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
乙的解法错误，移项时没有变号；
丙的解法错误，就没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误；
丁利用配方法解方程，计算正确；
故选：
分别利用解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，配方法，一元二次方程的一般形式，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15.【答案】C
【解析】解：直线与的交点的横坐标为，
关于x的不等式的解集为，
时，，
的解集是，
的解集是，
关于x的不等式的整数解为
故选：
满足不等式就是直线位于直线的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．
16.【答案】A
【解析】解是正八边形，
，
在中，，
如图，过点P作x轴的垂线，垂足Q，
在中，，
，
，
点P的坐标为，
将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每旋转8次回到初始位置，
第80次旋转结束时，回到初始位置，此时点P的坐标为，
连接OD，第82次旋转结束时点位于OD上，得，，
点与点P关于x轴对称，
，
第82次旋转结束时，点P的坐标为，
故选：
由ABCDEFGH是正八边形，得为，利用勾股定理求出OP，过点P作x轴的垂线，垂足Q，
在中，求出，又因为，得出，求出点P的坐标为，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则每旋转8次回到初始位置，则第80次旋转结
束时，回到初始位置，此时点P的坐标为，连接OD，第82次旋转结束时点位于OD上，得，，则点与点P关于x轴对称，则，
本题考查正多边形和圆、坐标与图形变化-旋转，解题的关键是掌握相关知识点．
17.【答案】200
【解析】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了度，
故答案为：
由已知设，则有图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求y的值后作差即可．
本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决
问题的关键．
18.【答案】
【解析】解：过G作于Q，
由作图得：BF平分，
，，
，，
，
，
，
，
设
则，即：，
解得：，
故答案网为：
根据全等三角形的性质及勾股定理列方程求解．
本题考查了基本作图，掌握常见的基本作图、全等三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
19.【答案】2 7
【解析】解：，
，
，
得出
故答案为：
由知，，，
把，代入得，
，
，
，
这三张正方形纸片的面积之和
，
把代入，
故答案为：
由等式，得出a比b大1，b比c大1，由此得出a比c大
根据，得出，，将其代入得出，通过计算3张正方形纸片的面积和S，化简后得出，用整体代入法把代入得
出S的值．
本题考查了因式分解的应用，根据题意得出关于c的等式，然后正方形的面积和S也化简，通过观察式子
特点，用整体代入的办法计算出S的值．
20.【答案】解：，
根据整式处理器可得
依据题意可知，
根据整式处理器可得，
，
，
，
方程的解为
【解析】根据整式处理器的处理方法即可求解；
根据整式处理器的处理方法，可得，即可求出关于x的方程的解．
本题考查的是整式加减和解一元一次方程，正确使用题目中的“整式处理器”处理方法是解题的关键．21.【答案】40 30 36
【解析】解：获奖总人数：人，
，即：
A所对的圆心角度数为，
故答案为：40；30；36；
画树状图为：
一共有12种等可能的情况，抽取同学中恰有一名男生和一名女生的情况数为6，
抽取同学中恰有一名男生和一名女生
将B组人数除以其所占百分比，即可求出获奖总人数；将C组人数除以总人数乘以100即可求出m的值；将A组所占百分比乘以即可求出A所对的圆心角度数；
利用列表法或树状图法解答即可．
本题考查扇形统计图，条形统计图，列表法和树状图法求等可能事件的概率．能从统计图中获取有用信息，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
22.【答案】解：由题意可得：；
将，代入式得：
；
【解析】分析题目，弄懂题意即可根据题意列出代数式；
根据中的代数式将数字代入，再用科学记数法表示出即可；
求的值，结果用科学记数法表示即可．
本题考查列代数式和用科学记数法表示较大的数，弄清题意列出代数式和掌握科学记数法的表示方法是解
题的关键．
23.【答案】解：直线l：中，当时，；当
时，，
，解得，
直线l的解析式为；
依题意可得直线的解析式为，
图象如图所示，
由，解得，
所以直线l和的交点坐标为；
直线l和与y轴围成的三角形的面积是
【解析】根据待定系数法求得即可；
首先写出直线的解析式，再根据一次函数的性质画出直线，将两个函数的解析式联立组成方程组，求出方程组的解即可得到两直线的交点坐标；
根据三角形的面积公式列式计算即可．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，两直线相交问题，三角形的面积，求出直线l的解析式是解题的关键．
24.【答案】证明：线段CP绕着点C顺时针旋转，得到线段CE，
，，
，，
，
，
，
≌，
；
与半圆相切，
，
；
过P作于H，如图，
，
，
，
解得，
，，
①当点P在半圆的左边时，
，
，即，
扇形DBP的面积；
②当点P在半圆的右边时，
，
，即，
扇形DBP的面积
综上所述：或，扇形的面积是或
【解析】证明≌，即可得到结论；
根据相切得到，利用勾股定理求解即可；
过P作与H，根据求出，利用三角函数求出，再利用公式求出扇形DBP的面积．
此题考查了全等三角形的判定，勾股定理，锐角三角函数求角度，扇形面积的计算公式，熟练掌握各知识点并应用是解题的关键．
25.【答案】解：设抛物线解析式为，
把代入解析式得：，
解得，
抛物线解析式为；
乙能碰到篮球，理由：
当时，，
，
乙能碰到篮球；
篮球没有入框，理由：
设后仰跳投时的抛物线解析式为，
把和代入解析式得：，
解得，
后仰跳投时的抛物线解析式为，
当时，，
，
篮球没有入框．
【解析】把抛物线解析式设成顶点式，用待定系数法求解即可；
把代入中解析式求出y的值与比较即可；
根据题意设后仰跳投时的抛物线解析式为，再把和代入解析式求出b，c即可求得后仰跳投时的抛物线解析式，然后把代入解析式求出y的值与比较即可．此题主要考查了二次函数的应用，求出对应的函数解析式是解题关键．
26.【答案】
【解析】解：①，理由如下：
如图1，延长AC，交EF于点N，
在和中，
，
≌，
，
又，，
，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
，
点M在线段CQ的垂直平分线上，
，
，
；
如图2，过点Q作于点N，
，，，
，，
，，
，
，
，
，
，
同理可求，
四边形PQNH是矩形，
，
，
；
当时，四边形PQNH为矩形；
存在，理由如下：
如图3，连接PF，延长AC交EF于K，
，，
，
≌，
，
又，
，
，
，
平分，，，
，
，点，
当时，使点P在的平分线上；
，理由如下：
如图3，过点Q作于点N，
由可知，
，
，，
，
四边形QCGH的面积为，
，
当时，S最大，此时
①首先证明≌，推导出，进而推导出，即可得解；
②由平行线分线段成比例可得，可求CM的长，由线段垂直平分线的性质可得，即可求解；
利用锐角三角函数分别求出，，由矩形的性质可求解；
连接PF，延长AC交EF于K，由“SSS”可证≌，可得，可证
，由面积法可求CK的长，由角平分线的性质可求解；
利用面积的和差关系可得，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，锐角三角函数，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．。