2.4.1圆的标准方程课件(人教版)

−2−1
2−1
l
A
3
1
，可得点D的坐标为( , − )，直线AB的斜率
2
2
C
= −3.
1
2
因此，线段AB的垂直平分线l’的方程是 + =
1
3
−
3
2
，
即 − 3 − 3 = 0.
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，所
− 3 − 3 = 0
= −3
以它的坐标是方程组ቊ
的解，得ቊ
课堂检测
4.已知△AOB 的三个顶点分别是点A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)，求△AOB的外接圆
的标准方程.
解析：设圆的标准方程为 − 2 + −
∵ A(4，0)，O(0，0)，B(0，3)都在圆上，
2
= 2 (r>0)
=2
4− + =
3

=
∴ ൞2 + 3 − 2 = 2 ，解得
2.
5
2
2
2
=
+ =
2
2
2
2
∴ △AOB外接圆的标准方程是 − 2
2
+ −
3 2
2
=
25
.
4
− 1)是否在这个圆上.
分析:根据点的坐标与
圆的方程的关系，只要判断
一个点的坐标是否满足圆的
方程，就可以得到这个点是
否在圆上.
例题精讲 ——例1
求圆心为A(2，−3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M (5， − 7)，M,(− 2，
− 1)是否在这个圆上.
y
解:圆心为A(2，−3) ，半径为5的圆的标准方程是
1 = 0．由此可求出圆心坐标和半径.
另外，因为线段AB是圆的一条弦，
根据平面几何知识，AB的中点与圆心C的
连线垂直于AB，由此可得到另一种解法.
例题精讲 ——例3
已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，− 2）两点，且圆心C在直线l： − +
1 = 0上，求此圆的标准方程.
解法1:设圆心C的坐标为(a，b).因为圆心C在直线l： − + 1 = 0
所以， △ ABC的外接圆的标准方程是 − 2 2 + + 3 2 = 25.
关于 ， 的二元一次方程组ቊ
例题精讲 ——例3
已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，− 2）两点，且圆心C在直线l： − +
1 = 0上，求此圆的标准方程.
分析:设圆心C的坐标为(a，b). 由已
知条件可知，|CA|=|CB|，且 − +
所以,所求圆的标准方程是 + 3
2
2
= 5.
+ +2
2
= 25.
例题精讲 ——例3
已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，− 2）两点，且圆心C在直线l： − +
1 = 0上，求此圆的标准方程.
解法2：如图，设线段AB的中点为D. 由A，B两点的坐标
为(1，1)， 2, −2
为 =
△ ABC的外接圆的
上的三个点可以确定一个圆，
圆心是△ ABC的外
三角形有唯一的外接圆．显
心，即△ ABC三边
然已知的三个点不在同一条
垂直平分线的交点.
直线上,只要确定了a，b，r，
圆的标准方程就确定了.
例题精讲 ——例2
△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7， −3)，C(2，− 8)，求△ ABC的外接圆的
2 + 2 − 4 + 16 + 68 = 2
2 − 2 + −8 − 2 = 2
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去2 ， 2 ， 2 ，得到
=2
− 2 = 8
，解此方程组，得ቊ
，
+ = −1
= −3
代人 5 − 2 + 1 − 2 = 2 ，得 2 =25.
上，所以 − + 1 = 0.
因为A，B是圆上两点，所以 = .根据两点间距离公式，
有
−1
2
+ −1
2
=
−2
2
+ + 2 2，
即 − 3 − 3 = 0.
由①②可得 = −3， = −2．
所以圆心C的坐标是(−3 ， −2).
圆的半径 = =
1+3
2
+ 1+2
6−4
2
+ 3−9
将M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)的坐标分别代人圆的标准方程可得:
6 − 5 2 + 9 − 6 2 = 10， ∴点M在圆上;
3 − 5 2 + 3 − 6 2 = 13 > 10， ∴点N在圆外;
5 − 5 2 + 5 − 6 2 = 9 < 10， ∴点Q在圆内.
2
= 10.
圆的标准方程
问题
圆的定义是什么？
圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.
问题
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y
圆心
半径
x
O
A
r
M
圆的标准方程
问题
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y
如图，在平面直角坐标系中， ⨀ A 的圆心A的坐标为(a，b)，
半径为r，M(, )为圆上任意一点，⨀ A就是以下点的集合
标准方程.
解:设所求的方程是 − 2 + − 2 = 2 ①.
因为A(5，1)，B(7，− 3)，C(2，− 8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满
5 − 2 + 1 − 2 = 2
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2
足方程①．于是൞ 7 − 2 + −3 − 2 = 2 ，ቐ2 + 2 − 14 + 6 + 58 = 2 .
就在⨀A上，这时我们把方程(1)称为圆心为A (a，b) ，半径为r的圆的标准方程.
M
圆的标准方程
圆的标准方程： −

+ −

=
圆心
(a，b)
半径
r
y
思考：圆心在坐标原
点，半径为r的圆的标Fra bibliotek方程是什么？r
O
x
=0
=0
2 + 2 = 2
例题精讲 ——例1
求圆心为A(2，−3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M (5， − 7)，M,(− 2，
代入圆的标准方程，从而得到圆的标准方程．
(2)待定系数法
由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参
数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：①
设——设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；
③解——解方程组，求出a，b，r；
= ȁ = .
根据两点间的距离公式，点M的坐标(, )满足的条件可以
表示为
−
2
+ −
两边平方，得 −

2
x
O
A
r
= ，
+ −

= (1).
由上述过程可知，若点M(, )在⨀A 上，点M的坐标就满足方程(1);
反过来,若点M的坐标(, )满足方程(1)，就说明点M与圆心A间的距离为r，点M
2.已知圆的标准方程是 − 3 2 + + 2 2 = 16，借助计算工具计算，判断下列各
点在圆上、圆外，还是在圆内.
(1)1 (4.30，− 5.72)；
(2) 2 (5.70，1.08)；
(3) 3 (3，− 6).
解析：
(1)(4.30-3 )2+(− 5.72+2)2=15.528 4<16,
④代——将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程．
课堂检测
1.写出下列圆的标准方程:
(1)圆心为C(− 3，4)，半径是 5;
(2)圆心为C(− 8，3)，且经过点M(− 5，− 1).
解析：(1) + 3 2 + − 4 2 = 5
(2) + 8 2 + − 3 2 = 25.
课堂检测
− 2 2 + + 3 2 = 25.
O
M
2
把点1 5, −7 的坐标代入方程 − 2 2 + + 3 2 = 25的
A
左边，得 5 − 2 2 + −7 + 3 2 = 25，左右两边相等,点M的坐
M
标满足圆的方程，所以点1 在这个圆上．
把点2 −2, −1 的坐标代人方程 − 2 2 + + 3 2 = 25
y
r
M0
O
点 0 在圆内
02 + 02 < 2
x
r
O
点 0 在圆上
02 + 02 = 2
y
M0
x
r
O
点 0 在圆外
02 + 02 > 2
M0
x
例题精讲 ——例2
△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7， −3)，C(2，− 8)，求△ ABC的外接圆的
标准方程.
分析:不在同一条直线
M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)在圆上、圆内，还是在圆外．
解析：设圆的标准方程为 −
为r,
4+6
2
2
+ −
2
= 2 (r>0) ，则圆心为(，)，半径
9+3
1 2
1
由题意得 =
= 5， =
= 6， =
=
2
2
2
故所求圆的标准方程为 − 5 2 + − 6 2 = 10.
，所以
= −2
−+1=0
圆心C的坐标是 −3, −2 .
圆的半径 = = 1 + 3 2 + 1 + 2 2 = 5.
所以，所求圆的标准方程是 + 3 2 + + 2 2 = 25.
y
O D
B
l'
x
圆的标准方程
圆的标准方程的两种求法
(1)几何法 它是利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，
∴ 1 (4.30，− 5.72)在圆内.
(2)(5.70-3)2+(1.08+2)2 = 16.776 4>16，
∴ 2 (5.70，1.08)在圆外.
(3) (3 − 3)2+(− 6+2)2= 16，
∴ 3 (3，− 6)在圆上.
课堂检测
3.已知1 (4，9)，2 (6，3）两点，求以线段1 2 为直径的圆的标准方程，并判断点
2.4.1圆的标准方程
圆的标准方程
学习目标
1.掌握圆的定义及其标准方程．
2.会用待定系数法求圆的标准方程，判断点与圆的位置关系．
核心素养
1．会用定义推导圆的标准方程，并掌握圆的标准方程的特征．(数学抽象)
2．能根据所给条件求圆的标准方程．(数学运算)
3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题．(数学运算)
的左边,得 −2 − 2 2 + −1 + 3 2 = 20，左右两边不相等，点
2 的坐标不满足圆的方程，所以点2 不在这个圆上（如图）.
1
x
圆的标准方程
探究 点 0 0 , 0 在圆 2 + 2 = 2 内的条件是什么？在圆 2 + 2 = 2 外的
条件又是什么？
y