广东省中山市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷含解析

广东省中山市2019-2020学年高考数学第一次押题试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．下列命题中，真命题的个数为（ ） ①命题“若
1122
a b <++，则a b >”的否命题； ②命题“若21x y +>，则0x >或0y >”；
③命题“若2m =，则直线0x my -=与直线2410x y -+=平行”的逆命题. A ．0 B ．1
C ．2
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确. 【详解】
①的逆命题为“若a b >，则
1122
a b <++”， 令1a =-，3b =-可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若0x ≤且0y ≤，则21x y +≤”，该命题为真命题，故②为真命题； ③的逆命题为“若直线0x my -=与直线2410x y -+=平行，则2m =”，该命题为真命题. 故选：C. 【点睛】
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若p ，则q ”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“p ”经过逻辑推理，得出“q ”，则可判定“若p ，则q ”是真命题；②判定“若p ，则q ”是假命题，只需举一反例即可．
2．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是
A ．13-
B ．
13 C ．12
-
D ．12
【答案】B
【解析】
【分析】
依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x），且定义域关于原点对称，a﹣1=﹣2a，即可得解.
【详解】
根据偶函数的定义域关于原点对称，且f（x）是定义在[a–1，2a]上的偶函数，
得a–1=–2a，解得a=1
3
，又f（–x）=f（x），
∴b=0，∴a+b=1
3
．故选B．
【点睛】
本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f（﹣x）=f（x）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．
3．地球上的风能取之不尽，用之不竭.风能是淸洁能源，也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发电，近10年来，全球风力发电累计装机容量连年攀升，中国更是发展迅猛，2014年累计装机容量就突破了100GW，达到114.6GW，中国的风力发电技术也日臻成熟，在全球范围的能源升级换代行动中体现出大国的担当与决心.以下是近10年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据所给信息，正确的统计结论是（）
A．截止到2015年中国累计装机容量达到峰值
B．10年来全球新增装机容量连年攀升
C．10年来中国新增装机容量平均超过20GW
D．截止到2015年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过1 3
【答案】D
【解析】
【分析】
先列表分析近10年全球风力发电新增装机容量，再结合数据研究单调性、平均值以及占比，即可作出选择.
【详解】
年份2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018
中国累计装机装机容量逐年递增，A 错误；全球新增装机容量在2015年之后呈现下降趋势，B 错误；经计算，10年来中国新增装机容量平均每年为19.77GW ，选项C 错误；截止到2015年中国累计装机容量
197.7GW ，全球累计装机容量594.1158.1436GW -=，占比为45.34%，选项D 正确.
故选：D 【点睛】
本题考查条形图，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．已知复数z 5
34i
=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．
45
B ．45-
C ．45
i
D ．4
5
-
i 【答案】B 【解析】 【分析】
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出 【详解】
()()()53453434343455
i z i i i i -=
==-++-， 则复数z 的虚部为45
-. 故选：B. 【点睛】
本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题. 5．设复数z 满足i
(i i
2i z z -=-为虚数单位)，则z =（ ） A ．
13i 22
- B ．13
i 22+ C ．13i 22
--
D ．13
i 22
-
+ 【答案】B 【解析】 【分析】 易得2i
1i
z +=
-，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】
由已知，i i 2z z -=+，所以2i (2i)(1i)13i 13
i 1i 2222
z ++++====+-. 故选：B.
【点睛】
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
6．若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-，则z 的最大值为( )
A
．
5
2
B ．1
C ．2
D ．0
【答案】C 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值. 【详解】
若实数x ，y 满足条件25024001
x y x y x y +-≤⎧⎪+-≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数2z x y =-
如图：
当3
,12
x y =
=时函数取最大值为2 故答案选C 【点睛】
求线性目标函数(0)z ax by ab =+≠的最值:
当0b >时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小； 当0b <时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 7．函数
的定义域为（ ）
A ．[，3）∪（3，+∞）
B ．（-∞，3）∪（3，+∞）
C ．[，+∞）
D ．（3，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数
，
解得且；
函数的定义域为, 故选A ．
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为
，则
函数
的定义域由不等式
求出.
8．若复数()12()()z m m i m R =+-∈+是纯虚数，则
63i
z
+=( ) A ．3 B ．5
C 5
D ．35
【答案】C 【解析】 【分析】
先由已知，求出1m =-，进一步可得63i
12i z
+=-，再利用复数模的运算即可 【详解】
由z 是纯虚数，得10m +=且20m -≠，所以1m =-，3z i =. 因此，
63631253i i
i z i
++==-=故选：C. 【点睛】
本题考查复数的除法、复数模的运算，考查学生的运算能力，是一道基础题.
9．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，点()00,P x y 是直线40bx ay a -+=上任意一点，若圆
()()
22
001x x y y -+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）． A ．(]1,2 B ．(]1,4
C ．[)2,+∞
D ．[
)4,+∞ 【答案】B 【解析】 【分析】
先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线bx ay 2a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离d ，根据圆
()()
22
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，可得d 1≥，解得即可．
【详解】
由题意，双曲线22
22x y C :1(a 0,b 0)a b
-=>>的一条渐近线方程为b y x a =，即bx ay 0-=，
∵()00P x ,y 是直线bx ay 4a 0-+=上任意一点， 则直线bx ay 4a 0-+=与直线bx ay 0-=的距离
4a d c
=
=
， ∵圆()()2
2
00x x y y 1-+-=与双曲线C 的右支没有公共点，则d 1≥， ∴
41a c ≥，即4c
e a
=≤，又1e > 故e 的取值范围为(]
1,4， 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线C 的右支没有公共点得出d 1≥是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
10．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为40，则输出的n 的值是（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】C 【解析】 【分析】
列出循环的每一步，可得出输出的n 的值. 【详解】
1n =，输入40m =，112n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则40
202
m ==； 213n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则20
102m =
=； 314n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则10
52
m ==；
415n =+=，1m =不成立，m 是偶数不成立，则35116m =⨯+=；
516n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则16
82m =
=； 617n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则8
42m ==；
718=+=n ，1m =不成立，m 是偶数成立，则224
m ==；
819n =+=，1m =不成立，m 是偶数成立，则2
12
m ==；
9110n =+=，1m =成立，跳出循环，输出n 的值为10.
故选：C. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
11．8
x
⎛- ⎝
的二项展开式中，2
x 的系数是（ ）
A ．70
B ．-70
C ．28
D ．-28
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，二项展开式的通项为3882
18
8((1)r r r
r r r
r T C x
C x --+==-，令38242r r -=⇒=，
所以2x 的系数是44
8(1)70C -=，故选A ．
考点：二项式定理的应用．
12．设()'f x 函数()()0f x x >的导函数，且满足()()2'f x f x x
>，若在ABC ∆中，34A π
∠=，则（ ）
A ．()()2
2
sin sin sin sin f A B f B A <
B ．()()2
2
sinC sin sin sin f B f B C
< C ．()()2
2
cos sin sin cos f A B f B A >
D ．()()2
2
cosC sin sin cos f B f B C >
【答案】D 【解析】 【分析】 根据()()2'f x f x x >
的结构形式，设()()
2f x g x x =，求导()()()3
2xf x f x g x x
'-'=，则()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，再根据在ABC ∆中，34A π∠=
，得到04π<∠<B ，04
π
<∠<C ，利用余弦函数的单调性，得到cos sin ∠>∠C B ，再利用()g x 的单调性求解. 【详解】 设()()
2
f x
g x x =
， 所以 ()
()()
3
2xf x f x g x
x
'-'=
，
因为当0x >时，()()
2'f x f x x
>
， 即
()()
20xf x f x x
'->，
所以()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数， 在ABC ∆中，因为34A π∠=，所以04π<∠<B ，04
π<∠<C ， 因为cos sin 4π⎛⎫
∠=+∠
⎪⎝⎭
C B ，且042ππ<∠<+∠<B B ，
所以sin sin 4π⎛⎫
∠<+∠
⎪⎝⎭
B B ， 即cos sin ∠>∠
C B ， 所以
()()
2
2
cos sin s sin f C f B co C
B
>
，
即()()22
cosC sin sin cos f B f B C > 故选：D 【点睛】
本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数()cos 2(sin cos )32019f x x a x x x =+-++在[0,]π上单调递增，则实数a 值范围为_________.
【答案】[2
- 【解析】 【分析】
由()0f x '≥在[0,]π上恒成立可求解． 【详解】
()2sin 2(cos sin )3f x x a x x '=-+++，
令cos sin )4
t x x x π
=+=
+，∵[0,]x π∈
，∴[t ∈-，
又21sin 2t x =+，2sin 21x t =-，从而2
()25f x t at '=-++，令2
()25g t t at =-++，
问题等价于()0g t ≥
在[1t ∈-
时恒成立，∴(1)250450
g a g -=--+≥⎧⎪⎨=-++≥⎪⎩
，解得32a -≤≤．
故答案为：[,3]2
-． 【点睛】
本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为()0f x '≥恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．
14
．6
2x ⎛ ⎝
⎭的展开式中的常数项为_______． 【答案】135 【解析】 【分析】
写出展开式的通项公式，考虑当x 的指数为零时，对应的值即为常数项. 【详解】
6
2x x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭的展开式通项公式为： (
)(62123166r
r r r r r
r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭， 令4r =
，所以(4
4
6135C ⋅=，所以常数项为135.
故答案为：135. 【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，难度较易.解答问题的关键是，能通过展开式通项公式分析常数项对应r 的取值.
15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有010
1101
2n n
a n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】
利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果。

【详解】
由01
1101
011(2)102121
2n n n n n n
a a a S n n S n
n S -=-=++=---，令1n =，
得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。

16．函数()cos sin f x x x x =+在x π=处的切线方程是____________. 【答案】20x y π+-= 【解析】
【分析】 求出()f
π和()f π'的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.
【详解】
()cos sin f x x x x =+Q ，则()2cos sin f x x x x '=-，()f ππ∴=-，()2f π'=-.
因此，函数()cos sin f x x x x =+在x π=处的切线方程是()2y x ππ+=--， 即20x y π+-=. 故答案为：20x y π+-=. 【点睛】
本题考查利用导数求函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列{}n a 是等比数列，121(1)2n n n T na n a a a -=+-+++L ，已知121,4T T ==, (1)求数列{}n a 的首项和公比；（2）求数列{}n T 的通项公式． 【答案】 (1)11{2
a q ==（2）1
22n n T n +=--
【解析】 【分析】 【详解】
本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，数列求和的错位相减求和是数列求和中的重点与难点，要注意掌握．
（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q+q 2=6，解方程可求q
（2）由（1）可求a n =a 1•q n-1=2n-1，结合数列的特点，考虑利用错位相减可求数列的和 解：（1）112121
{
24T a T a a ===+=121
{2
a a =⇒=2q ⇒=11{2a q =∴=
（2）1
2n n a -=，
2211(1)2(2)22212n n n T n n n --=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅L 23122(1)2(2)22212n n n T n n n -=⋅+-⋅+-⋅++⋅+⋅L
两式相减：1
22n n T n +=--
18．已知直线l
的参数方程为2x m y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22
22cos
3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上.
（Ⅰ）求l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求曲线C 的内接矩形的周长的最大值.
【答案】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为：2sin x y θ
θ⎧=⎪⎨
=⎪⎩
(θ为参数)；l 的极坐标方程为()
sin cos ρθθ-=（Ⅱ）16.
【解析】 【分析】
( I )直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； ( II )利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用，即可求出结果. 【详解】
(Ⅰ) 由题意：曲线C 的直角坐标方程为：22
1124
x y +=，
所以曲线C 的参数方程为2sin x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(θ为参数)， 因为直线l 的直角坐标方程为：0x y m --=，
又因曲线C 的左焦点为(F -，将其代入0x y m --=中，得到m =-
所以l 的极坐标方程为()sin cos ρθθ-=.
（Ⅱ）设椭圆C 的内接矩形的顶点为(
),2sin θθ，(),2sin θθ-，()
,2sin θθ-，
(
)
,2sin θθ--02πθ⎛
⎫<< ⎪⎝
⎭，
所以椭圆C 的内接矩形的周长为：8sin 16sin 3πθθθ⎛
⎫
+=+ ⎪⎝
⎭
， 所以当3
2
π
π
θ+=
时，即6
π
θ=
时，椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16 .
【点睛】
本题考查了曲线的参数方程，极坐标方程与普通方程间的互化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，考查学生的求解运算能力和转化能力，属于基础题型.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，H 为棱AB 的中点，
E 为棱DC 上任意一点，且不与D 点、C 点重合．21AB AD PA PH ====，，
（1）求证：平面APE ⊥平面ABCD ；
（2）是否存在点E 使得平面APE 与平面PHC 所成的角的余弦值为6
3
？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析 （2）存在，E 为DC 中点 【解析】 【分析】
（1）证明AP ⊥面ABCD ，即证明平面APE ⊥平面ABCD ；（2）以A 为坐标原点，AD u u u r
为x 轴正方向，
AB u u u r
为y 轴正方向，AP u u u r 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．利用向量方法得11211126cos 341
m n m n λθλ⋅+===⋅⋅+u u r u r u u r u r 1
2λ=，所以E 为DC 中点．
【详解】
（1）由于H 为AB 中点，1
12
AH AB ==． 又2PH =
，故222PH AP AH =+，
所以PAH V 为直角三角形且90PAH ∠=︒， 即PA AB ⊥．
又因为PA ⊂面PAB ，面PAB 面ABCD AB =，面PAB ⊥面ABCD ， 故AP ⊥面ABCD ，
又PA ⊂面PAE ，所以面PAE ⊥面ABCD ．
（2）由（1）知AP ⊥面ABCD ，又四边形ABCD 为矩形，则AP
AD AB ，，两两垂直． 以A 为坐标原点，AD u u u r 为x 轴正方向，AB u u u r
为y 轴正方向，AP u u u r 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系．
则(0,0,0),P(0,0,1),(0,1,0),(1,2,0)A H C ，设()()12001E λλ∈,,，,， 则()()()()0,0,11,2,00111,1,0AP AE PH HC λ===-=u u u r u u u r u u u r u u u u r
，
，，，，， 设平面APE 的法向量为()m x y z =u r
，，，
则有00200z m AP x y m AE λ⎧=⎧⋅=⇒⎨⎨+=⋅=⎩
⎩u u u v v u u u v v ，令2x λ=-，则1y =，
则平面APE 的一个法向量为()1210m λ=-u u r
,,， 同理可得平面PHC 的一个法向量为()1111
n =-u r
,,， 设平面APE 与平面PHC 所成角为θ，
则由题意可得1111cos 3m n m n θ⋅===⋅u u r u r
u u r u r ，解得1
2λ=，
所以点E 为DC 中点． 【点睛】
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查空间二面角的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
20．在ABC ∆中，M 为BC 边上一点，45BAM ∠=︒
，cos AMC ∠=. （1）求sin B ；
（2）若12
MC BM =u u u u r u u u u r
，4AC =，求MC .
【答案】（1
（2）4 【解析】 【分析】
（1）B AMC BAM =∠-∠，利用两角差的正弦公式计算即可；
（2）设MC x =，在ABM ∆中，用正弦定理将AM 用x 表示，在ACM ∆中用一次余弦定理即可解决. 【详解】
（1
）∵cos 5
AMC ∠=
，
∴sin AMC ∠=
， 所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠
sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM =∠⋅∠-∠⋅∠
=
=
. （2）∵12
MC BM =u u u u r u u u u r ，
∴设MC x =，2BM x =， 在ABM ∆中，由正弦定理得，
sin 45sin BM AM
B
=︒，
=，
∴AM x =
， ∵2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠，
∴222445x x x x =
+-⋅∴4MC x ==. 【点睛】
本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 21．已知()21f x x =+，()3g x x =-. （1）解()()f x g x ≥；
（2）若21a b -≤，证明：()()4f a g b +≥. 【答案】（1）(]1
,5,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
U ；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）在不等式213x x +≥-两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果； （2）利用绝对值三角不等式可证得()()4f a g b +≥成立. 【详解】
（1）()21f x x =+Q ，()3g x x =-，由()()f x g x ≥得213x x +≥-， 不等式两边平方得()()2
2
223x x +≥-，即()()3150x x -+≥，解得5x ≤-或13
x ≥
. 因此，不等式()()f x g x ≥的解集为(]1,5,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭
U ； （2）21a b -≤Q ，121a b ∴-≤-≤， 由绝对值三角不等式可得
()()()()223223f a g b a b a b +=++-≥+--2525154a b a b =-+≥-+≥-+=.
因此，()()4f a g b +≥. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
22．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin()sin 2
A C
b A B
c ++=. （1）求B ；
（2）若ABC V 8，求b. 【答案】（1）π
3B =；（2）134
b =
【解析】 【分析】
（1）通过正弦定理和内角和定理化简sin()sin
2
A C
b A B
c ++=，再通过二倍角公式即可求出B Ð； （2）通过三角形面积公式和三角形的周长为8，求出b 的表达式后即可求出b 的值. 【详解】
（1）由三角形内角和定理及诱导公式，得sin cos 2
B b
C c =， 结合正弦定理，得sin cos 2
B B =， 由π
022B <
<及二倍角公式，得1sin 22
B =， 即
π26
B =，故π3B =；
（2）由题设，得1
sin 2
ac B =4ac =，
由余弦定理，得2222cos b a c ac B =+-，即()2
212b a c =+-， 又8a b c ++=，所以()2
2812b b =--， 解得134
b =
. 【点睛】
本题综合考查了正余弦定理，倍角公式，三角形面积公式，属于基础题.
23．已知动圆Q 经过定点()0,F a ，且与定直线:l y a =-相切（其中a 为常数，且0a >）.记动圆圆心Q 的轨迹为曲线C ．
（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线？
（2）设点P 的坐标为()0,a -，过点P 作曲线C 的切线，切点为A ，若过点P 的直线m 与曲线C 交于M ，N 两点，则是否存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠？若存在，求出直线m 斜率的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）2
4x ay =，抛物线；（2）存在，()(),11,-∞-+∞U .
【分析】
（1）设(),Q x y
y a =+，化简即得；
（2）利用导数几何意义可得()2,A a a ，要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=. 联立直线m 与抛物线方程，利用根与系数的关系即可解决. 【详解】
（1）设(),Q x
y y a =+，化简得2
4x ay =，
所以动圆圆心Q 的轨迹方程为2
4x ay =， 它是以F 为焦点，以直线l 为准线的抛物线.
（2）不妨设()2,04t A t t a ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
.
因为2
4x y a
=，所以2x y a '=，
从而直线PA 的斜率为2
402t a
t a
t a
+=-，解得2t a =，即()2,A a a ， 又()0,F a ，所以//AF x 轴.
要使AFM AFN ∠=∠，只需0FM FN k k +=.
设直线m 的方程为y kx a =-，代入2
4x ay =并整理， 得22440x akx a -+=. 首先，()2
2
1610a
k
∆=->，解得1k <-或1k >.
其次，设()11,M x y ，()22,N x y ，
则124x x ak +=，2
124x x a =.
()()2112121212
FM FN x y a x y a y a y a k k x x x x -+---+=
+= ()()()
2112121212
2222x kx a x kx a a x x k x x x x -+-+=
=-
2
24204a ak
k a ⋅=-
=. 故存在直线m ，使得AFM AFN ∠=∠，
此时直线m 的斜率的取值范围为()(),11,-∞-+∞U .
本题考查直线与抛物线位置关系的应用，涉及抛物线中的存在性问题，考查学生的计算能力，是一道中档题.。