河北正定中学1213学年度高一第二次期中考试数学试题(附答案)

河北正定中学2012—2013学高一第二次（期中）考试
数学试题
一.选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1、集合2
{03},{9}P x Z x M x Z x =∈≤<=∈≤，则P ∩M =（ ）
A ．{1,2}
B ．{0,1,2}
C ．{x|0≤x<3} D.{x|0≤x ≤3} 2、适合条件｛１，2｝ M ⊆{1，2，3，4}的集合M 的个数为 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 3
、函数
()1x
f x x
=+
-的定义域为（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(],1-∞- C ．R D ．[)()1,11,-+∞
4、 设0.3
2
1.5
12,0.3,()
2
a b c -===，则,,a b c 的大小关系是( )
A ．a b c <<
B ．b c a <<
C ．c b a <<
D ．b a c << 5、若函数()()10x y a m a =-+>的图象过第一二三象限，则有（ ）
A ．1a >
B ．1a >,10m -<<
C ．01a <<,0m >
D ．01a << 6、若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( ) A. 90°-α B. 90°+α C. 360°-α D. 180°+α 7、已知偶函数()f x 在区间[
)0,+∞单调增加，则满足()1213f x f ⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
的x 取值范围是( ) A.（
13，23） B. ［13，23） C.（12，23） D. ［12，23
） 8、若函数()y f x =的定义域为[0,1]，则下列函数中可能是偶函数的是（ ） A ．2()y f x =- B ．2()y f x = C ．2()y f x =-- D ． 2
()y f x = 9、定义运算()()*()
a a
b f x a b b b a ≤⎧==⎨<⎩如1*21=则()2*2x x
f x -=的值域（ ）
A ．(0,1)
B ．(0,1]
C ．(0)+∞
D ．[1)+∞
⊂ ≠
10、若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 ( ) A.
3π B. 3
2π C. 3 D. 2
11、若函数)(x f y =的图象如图①所示，则图②对应函数的解析式可以表示为（ ）
① ② A.|)(|x f y =
B.|)(|x f y =
C.|)|(x f y -=
D.|)(|x f y -=
12、已知函数2()log |1|f x x =-，且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=有6个不同的实数解，若最小实数解为3-，则a b +的值为
A ．3-
B ．2-
C ．0
D ．不能确定
二. 填空题:共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置. 13、幂函数()y f x =
的图象过点，则()f x 的解析式是y = 。

14、若2
510a
b ==，则11a b
+= 。

15、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()
1
2f x f x +=
，若()15f =-，则()5f =__________。

16、已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式
()0xf x <的解集 。

三、解答题
17、（本小题满分10分）
已知R x ∈ ，集合{}{}
11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ⋂B =-，求x 的值和集合A ⋃B ．
18、（本小题满分12分）
已知集合2{|22},{|540}A x a x a B x x x =-≤≤+=-+≥. （1）当3a =时，求A B ⋂；
（2）若0a >，且A B ⋂=Φ，求实数a 的取值范围．
19、（本小题满分12分） 已知函数()1
3
1log 1x
f x x +=-． （1）求()f x 的定义域； （2）判断()f x 的奇偶性；
（3）若()1f a < 求实数a 的取值范围.
20、（本小题满分12分）
已知函数2()(1)43f x a x ax =++-.
(I)当0a >时，若方程()0f x =有一根大于1，一根小于1，求a 的取值范围； (II)当[0,2]x ∈时,在2x =时取得最大值,求实数a 的取值范围.
21、（本小题满分12分）
某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比。

已知投资1万元时
０.
两类产品的收益分别为0．125万元和0．5万元（如图）
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大
收益，其最大收益是多少万元？
22、（本小题满分12分）
已知函数4()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数. (I)证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线3
2
y x b =-+最多只有一个交点； (II)若方程44
()log (2)3
x
f x a a =-有且只有一个解，求实数a 的取值范围.
高一数学期中考试参考答案
A ：BBDD
B CADB
C CB 13. 1
2
y x
-= 14. 1 15. -5 16. ()()2,11,2--
17、解：}3{-=B A .3B ∈-∴ …………2分
213x +>-，∴只可能33x -=或213x -=-…………4分
}1,1,3{},1,0,3{0,33--=-==-=-B A x x ，此时则若,{3,1}A B ∴=-，不合题意；
…………6分
}2,3,4{},0,1,3{1,312--=-=-=-=-B A x x ，此时则若,{3}A B ∴=-，满足题意
…………8分
综上所述， }2,1,0,3,4{,1--=-=B A x 且 …………10分 18.解：（1）
{}15A x =-≤≤，{}14B x x =≤≥或
{}1
145A B x x ∴⋂=-≤≤≤≤
或 ………6分 （2） A B ⋂=Φ，
又 {|22}(0),A x a x a a =-≤≤+>{}14B x x =≤≥或
21
24a a ->⎧∴⎨
+<⎩
01a ∴<< …………12分
19、解：（1）若使原式有意义，则
1+x
01x
>-，11x ∴-<< 定义域为{|11}x x -<<…………4分
（2）()()1
133
11log log 11x x
f x f x x x -+-==-=-+- 为奇函数)(x f …………8分
（3）()1
3
111
log 1113a a f a a a ++=<∴>-- 1
12
a -
<< …………12分 20、解：（1）当0a >时，10a +>，故抛物线()y f x =开口向上，
而22(4)12(1)4(433)0a a a a ∆=++=++>，则抛物线()y f x =与x 轴总有两个交点，要方程
()0f x =有一根大于1，一根小于1，则有02
0(1)0
5a a f >⎧⇒<<⎨
<⎩……………………4分
（2）若10a +=，即1a =-时,则()43f x x =--，不在2x =时取得最大值………6分
若10a +>,即1a >-时,则21a a -+≤1,解得1
3a ≥-……………………………9分 若10a +<,即1a <-时,则21a a -+≥2,解得a ≥1
2-,与1a <-矛盾.
综上可得a 的取值范围是1
3
a ≥-……………………………………………………12分
21、解：（1）设
()x k x f 1=，()x k x g 2=
所以
()1811k f ==
，()221
1k g ==
即
()()081≥=
x x x f ()()021≥=x x x g …………4分
（2）设投资债券类产品x 万元，则股票类投资为（x -20）万元
依题意得：()()()2002021
820≤≤-+=
-+=x x x x g x f y ………6分
令()
52020≤≤-=
t x t
则()3
281218202
2+--=+-=t t t y …………10分
所以当2=t ，即16=x 万元时，收益最大，3max
=y 万元………12分
22．（I ）由函数()f x 是偶函数可得：()()f x f x =-
44log (41)log (41)x x kx kx -∴++=+-
441log 241
x x kx -+∴=-+
即2x kx =-对一切x R ∈恒成立，
1
2
k ∴=-……………………………3分
由题意可知，只要证明函数43()log (41)2
x x
f x x +=++在定义域R 上为单调函数即可. 任取12,x x R ∈且12x x <，则21
2142141
log ()41
x x
y y x x +-=+-+…………5分 2121,0x x x x >∴->，21
411,41
x x +>+即21441
log 041x x +>+， 21y y ∴>……………6分
∴函数4log (41)x y x =++在R 上为单调增函数. ∴对任意实数b ，函数()y f x =的图象与直线32
x
y b =-
+最多只有一个交点.………7分 （II ）若方程44()log (2)3
x
a
f x a =⋅-有且只有一解， 也就是方程142223
x
x
x a a +
=⋅-有且只有一个实根， 令20x
t =>，问题转化为方程：24(1)103
a a t t ---=有且只有一个正根.………8分 （1） 若1a =，则3
4
t =-，不合题意；…………9分
（2） 若1a ≠时，由304a ∆=⇒=或3-，当3
4
a =时，2t =-不合题意；当3a =-时，
1
2
t =；……………10分
（3） 若1a ≠时，0∆>，若方程一个正根与一个负根时，则
1
011
a a -<⇒>-. ………11分
综上：实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞.……………12分。