求函数值域典型例题

求函数值域典型例题
一、函数点调性法
对于一些比较简单的函数，通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

利 用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例 1. 求函数 y 1 的值域。

解：∵ x 0 ∴ 显然函数的值域是：
（ ,0） （0, ）
x
例 2. 求函数 y 3 x 的值域。

解：∵ x 0 x 0,3 x 3 故函数的值域是： [ ,3]
练习 1：求函数 y=3+ 2 3x 的值域。

点拨：根据算术平方根的性质，先求出 2 3x 的值域。

解：由算术平方根的性质，知 2 3x ≥0， 故 3+ 2 3x ≥3。

∴函数的值域为 [ 3 ,＋∞） 点评：算术平方根具有双重非负性，即： （1）被开方数的非负性， （ 2）值的非负性。

练习 2：求函数 y=[x]（0 ≤ x ≤的值5）域。

（答案：值域为： {0， 1，2，3，4， 5}） x1 练习 3： ① y=3x+2（-1 x 1） ② f （x ） 2 4 x ③ y ④ y x
x 1 x 解：①∵ -1 x 1，∴-3 3x
3，∴-1 3x+2 5，即 -1 y 5，∴值域是 [-1，5]
f (x) [2, ) 即函数 f (x) 2 4 x 的值域是 { y| y 2}
解：令 y 1=2x 5 ， y 2= log 3 x 1，则 y 1， y 2在[ 2 ， 10 ] 上都是增函数。

所以 y= y 1 + y 2 在[ 2 ，10 ] 上是增函数。

②∵
4 x [0, )
x11 x1
1 x1
1 x1
即函数的值域是 { y| y R 且 y 1} （此法亦称 分离常数法 ）
1 1
2
④当 x>0，∴ y x =( x
)2 2 2，
x x
1
当 x<0 时， y ( x
)= － ( x
x
∴值域是 （ , 2] [2， + ）.（此法也称为 配方法 ）
y x 1 的图像为：
x
例 3 求函数 y =
x5 2
log 3 x 1 ( 2 x 10)的值域
当x = 2 时，
y min
2 3+log
3 2 1=18
当 x = 10 时， y max
2 +log
3 9=33。

x1
1x )2 2
(答案：｛ y|y ≥｝3) 求函数 y=x- 3+√2x+1 的值域。

二、反比例函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

3x 4
例 6. 求函数 y 值域。

5x 6
解：由原函数式可得： -x 2 x 2 则其反函数为： y 4 6x ，其定义域为： x 3 5x 3 5
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

x+1
例7 求函数 y x x ++21的值域。

点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。

x+1 1 2y
解：显然函数 y x+2 的反函数为 : x y-1 ,其定义域为 y ≠1的实数 ,故函数 y 的值域为｛ y ∣y ≠ 1,∈y R ｝。

点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。

是数学解题的重要方法之一。

练习 2：求函数 y=(10x+10-x)/(10x － 10-x)的值域。

(答案：函数的值域为｛ y ∣y<－ 1 或 y>1｝)
三、函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

x
e y
x 例 8. 求函数 e
解得： 1 y 1 故所求函数的值域为 ( 1,1)
cosx
y
例 9. 求函数 sin x 3 的值域。

1 故所求函数的值域为： [ 1
，33] 。

8
例 4 求函数 y= x 1- x 1 的值域。

解： 原函数可化为： y=
x 1 x 1
2
当 x = 1 时， y= y 1 + y 2 有最小值 2 ，原函数有最大值 = 2 。

1 2 2
显然 y>0，故原函数的值域为 ( 0 , 2］。

例 5 求函数 y x 1 2x 的值域。

,
1
2
练习：求函数 y=3+ 4 x 的值域。

故所求函数的值域为：
y 3 y
5
这种方法体现逆向思维的思想，
1
1的值
域。

解：由原函数式可得：
e x y 1 y1
y1
e x 0 ∴
y 1
解：由原函数式可得： ysin x cosx 3y ，可化为：
∵ x R ∴ sin x （x ） [ 1,1]
1 3y
1
即
y 2 1 2
y 2 2
, 2 解得： 4 y 4 故函数的值域为 4 4
形如 x 2 0可解出 y 的范围 , 从而求出其值域或最值。

四、配方法
配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如 用配方法。

例 8. 求下列函数的最大值、最小值与值域：
y a[ f 2(x) bf (x) c]的函数的值域问题，均可使
① y x 2 4x 1；② y x 2 4x 1,x [3,4] ；③ y
x 2 4x 1,x [0,1] ；④ y x 2 4x 1,x [0,5]；
解：∵ y x 2 4x 1 (x 2)2 3 ，∴顶点为 (2,-3) ，顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上，函数的定义域 R ， ∴x=2 时， ymin=-3 ,无最大值；函数的值域是 {y|y -3 }.
② ∵顶点横坐标 2 [3,4] ，当 x=3 时，y= -2； x=4 时， y=1 ； ∴在[3,4]
上， y min =-2
，
y
max =1
；值域为 [-2 ，1].
③ ∵顶点横坐标 2 [0,1] ，当 x=0 时， y=1 ； x=1 时， y=-2, ∴在 [0,1] 上， y min =-2
，
y
max =1；值域为 [-2 ，1].
④ ∵顶点横坐标 2 [0,5] ，当 x=0 时， y=1； x=2 时， y=-3, x=5 时， y=6, ∴在[0,1]上， y min =-3，
y max =6；值域为 [-3 ， 6].
注：对于二次函数 f (x) ax 2 bx c(a 0), ⑴若定义域为 R 时， ①当 a>0时，则当 x
b
时，其最小值 y min (4ac b ) ；
2a
ymin 4a
y
3
2 1
-2 -1 O -1 -2 -3
1 2 3 4 5 6 x
y 2
1sin （ x+ β）=3y
即
sin （ x+β）
3y
例 10 ．求函数
的值域
[ 解析 ] ：由
2x 1 x
y 2x 1得
2
y1 y1
②当a<0 时，则当x b时，其最大值y max(4ac b ).
2a max4a
⑵若定义域为x [a,b], 则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间[a,b].
①若x0 [a,b],则f (x0)是函数的最小值( a>0)时或最大值( a<0)时，再比较f(a), f (b)的大小决定函数的最大(小)值.
②若x0 [a,b],则[a,b]是在f (x)的单调区间内，只需比较f(a), f (b)的大小即可决定函数的最大(小) 值.
练习1．求函数y x26x 5的值域由y x26x 5 (x 3)24 4 y ( ,4]
22
练习 2. 求函数y x 2x 5,x [ 1,2]的值域。

解：将函数配方得：y (x 1) 4 ∵ x [ 1,2] 由二次函数的性质可知：当
x=1 时，y min 4，当x 1时，y max 8故函数的值域是：[4，8] 注：①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大(小)值；②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论.
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例5：求函数y= -x2 x 2 的值域。

点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。

2 2 2
解：由-x2 x 2≥0可, 知函数的定义域为x∈[－1，2]。

此时-x2 x 2=－( x－1/2)2＋9/4∈[0，9/4] ∴0≤-x2 x 2 ≤3/2函, 数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。

配方法是数学的一种重要的思想方法。

练习：求函数y=2x－5＋15 4x 的值域.(答案:值域为{y ∣y≤3})
22
0,
y 1 0 y1或y1
y1
五、换元法
利用整体代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y ax b cx d（a,b,c,d均为常数且 a 0）
y
4 2
例 13. 求函数 x 4 2x 2 1 的值域。

例 3 ．求函数 y x 2 1 x 的值域
解：设 1 x t ，则 y t 2 2t 1(t 0) 值域为 ,4 例 11. 求函数 y x x 1 的值域。

解：令 x 1 t ，(t 0) 则 x t 2 1 y t 2 t 1 (t 12)2 34
24
又 t 0 ，由二次函数的性质可知 当 t 0 时，y min 1 当 t 0时，y
故函数的值域为 例 2 求函数 y=x-3+ 2x 1 的值域。

点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。

解：设
t= 2x 1 (t ≥)0,则 x=1/2( t 2-1) 。

2
2
于是 y=1/2( t -1)-3+t=1/2( t+1)-4≥ 1/2-4=-7/2. 所以，原函数的值域为｛ y|y ≥－ 7/2｝。

点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值 域。

这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。

它的应用十分广泛。

练习：求函数 y= x 1 –x 的值域。

(答案：｛ y|y ≤－ 3/4｝ 例 12. 求函数 y x 2 1 (x 1)2 的值域。

22
解：因 1 (x 1)2 0 即 (x 1)2 1 故可令 x 1 cos , [0, ]
0 ,0 5
44
2
2
sin( 4) 1
0 2sin( ) 1 1 2
3
xx
1 2 1 2 y 12(t 2 1) t 1 12(t 1)2
由
t sin x cosx 2 sin( x / 4) y cos 1 1 cos 2
sin cos 1 2sin(
4
) 1
[1, )
故所求函数的值域为 [0,1 2]
1 2x 1 x 1
2 y 2 2 解：原函数可变形为： 2 1 x 2 1 x
2
2x 1 x 2 2 2 sin 2 , 2 cos 可令 x tg ，则有 1 x 2 1 x 2
11
y sin2 cos2 sin4
24
解：
y (sinx 1)(cosx 1)
sin x cosx sin x cosx 1
sin x cos x
令 sin x cosx t ，则
t 2 t 当 2 时，
32 y 42
故所求函数的值域为 例 15. 求函数 y x 4 5 x 的值域。

解：由 5 x 2 0，可得 |x| 5
故可令
x 5cos , [0, ] y 5cos 4 5sin 10si n( 4) 4
∵
2
k
当2
y 1 8 时，
ymax
4 k
k
2 8 时，
1 y
min 4
而此时 tan 有意义。

故所求函数的值域为
4,4
例 14. 求函数
y (sinx 1)(cos x 1)
x
12 2 的值域。

1
2(t
2
1)
2
y max 3 2
∴当 t 2 时， max
2 ，
∵
x R ∴ 4(y 1)2
8y 0
当 / 4 时， y max 4 10 时， y min 4 5
故所求函数的值域为： [4 5,4 10]
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元 法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

六、判别式法
把函数转化成关于 x 的二次方程 F(x,y) 0 ，通过方程有实根，判别式 0 ，从而求得原函数的值域，
1) y 1 时 不成立 2) y 1时，
0 0 4(y 1)(y 1) 0
综合 1)、 2)值域 {y | 1 y 1}
1 x x 2
y
2
例 4. 求函数 1 x 2 的值域。

2
解：原函数化为关于 x 的一元二次方程 (y 1)x
1)当 y=1 时，
1 1,3
1, 3
当 y=1 时， x 0 ，而 2 2 故函数的值域为 2 2
例 5. 求函数
y x x(2 x)
的值域。

22
解：两边平方整理得： 2x 2 2(y 1)x y 2 0(1)
2
解得： 1 2 y 1 2
a 1x
b 1x
c 1 形如
y 2
a 2x
b 2x
c 2
判别式法一般用于分式函数， 其分子或分母只能为二次式， 解题中要注意二次
项系数是否为 0 的讨论 例 4 ．求函数
x 2 1 y
x 2 1
的值域
原函数可化为
(y 1)x 2
(y 1)x 0
2)当 y 1 时，
x R ( 1) 4(y 1)(y 1) 0
1y 3
解得： 2 2
(x 2)(x 3) x 3 x 3
但此时的函数的定义域由 x(2 x) 0，得 0 x 2
22
由 0 ，仅保证关于 x 的方程： 2x 2(y 1)x y 0 在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在 区间[0，2]上，即不能确保方程( 1)有实根，由
0求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此
函数的值域为 2 2 。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。

∵ 0 x 2
y x x(2 x) 0
y
min 0,y 1 2 代入方程( 1 ) x
即当 1 2 时， 原函数的值域为： [0,1 2] 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是
实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的 部分剔除。

例 3．求函数 y x 2 5x 6 的值域
方法一：去分母得 (y 1) x 2 +(y+5)x 6y 6=0 ①
22
当 y 1 时 ∵x R ∴△ =(y+5) 2 +4(y 1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 2 0
1 15 5
检验 y 时 x 5
2 (代入①求根)
1
∵ 2 定义域 { x| x 2 且 x 3} ∴ y
5
再检验 y=1 代入①求得 x=2
∴ y 1
综上所述，函数 y x 2 5x 6 的值域为 { y| y 1 且 y 1 }
x 2 x 6 5
方法二：把已知函数化为函数 y (x 2)(x 3) x 3 1 6 (x 2)
由此可得
y 1
解得：
2 2 24 2
11
∵ x=2 时 y 即 y
55
x 2
5x 6
∴函数 y 2 的值域为 { y| y 1 且
x x 6
22
例 4 求函数 y=(2 x 2 － 2x+3)/( x 2 －x+1) 的值域。

点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。

2
解：将上式化为（ y －2） x 2 －（y －2）x+（y-3）=0
2
当 y ≠2时,由 Δ（=y-2）2－4（y －2）x+（y －3） ≥，0解得： 2< x ≤ 10/3
当 y=2 时,方程 （＊ ）无解。

∴函数的值域为 2<y ≤ 10/3。

点评：把函数关系化为二次方程 F （x,y ）=0 ，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值 域。

常适应于形如 y=(a x 2 +bx+c)/(d x 2 +ex+f)及 y=ax+b ± cx 2 dx+e 的函数。

练习：求函数 y=1/（2 x 2 －3x+1）的值域。

（答案：值域为 y ≤－8或 y>0）。

七、均值不等式法：
利用基本不等式 a b 2 ab,a b c 33 abc （a,b,c R ） ，求函数的最值，其题型特征解析式是
和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

y (sin x 1 )2 (cosx 1 )2 4
例 19. 求函数 sinx cosx 的值域。

解：原函数变形为： y (sin 2 x cos 2 x) 1
2
1
2
sin 2 x cos 2 x
22
1 ces x sec x
22 3 tan 2 x cot 2 x 33 tan 2 x cot 2 x 2 5
当且仅当 tanx cotx xk
4 时 （k z ） ，等号成立 故原函数的值域为： [5, ） 例 20. 求函数
y 2sin x sin 2x
的值域。

解：
y 4sin xsinx cosx
4sin 2 xcosx
例 3、求函数 y=4sinx · cos 2x 的最值
若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数 ,可用判别式法求函数的值域。

＊）
即当
分析：利用 sin 2x+cos 2x=1 进行本方法，凑出和为定值，才能使用均值不等式求最值 解：∵ y 2=16sin 2x · cos
2
x · cos 2x=8 ( 2sin 2x · cos
222
2sin x cos x cos x 3 8 64 ≤ 8 ( ) =8* =
27 27
y 16sin 4 xcos 2 x
8sin 2 xsin 2 x(2 2sin 2 x)
2 2 2
3 8[(sin 2 x sin 2 x 2 2sin 2 x)/3]3
64 27
y 2 64 8 3 y 8 3 由 27 可得： 9 9
八、 数形结合：
例 5 ．求函数 y=|x+1|+|x-2| 的值域 .
2x 1(x 1)
解法 1：将函数化为分段函数形式： y 3( 1 x 2) ，画出它的图象(下图) ，由图象可知，函 2x 1(x 2) 数的值域是 {y|y 3}.
解法 2：∵函数 y=|x+1|+|x-2| 表示数轴上的动点 x 到两定点 -1 ， 2 的距离之和，∴易见 y 的最小值是
3， ∴函数的值域是 [3， + ]. 如图
x -1 O 1 2 -1 Ox 1 2 -1 O 1 2 x 两法均采用“数形结合” ，利用几何性质求解，称为几何法或图象法 .
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数 形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。

例 16. 求函数 y (x 2) 2 (x 8) 2 的值域。

2
x · cos 2x )
∴y 2
≤ 64
，当且仅当 27
∴y 大= 8 3
9
22
2sin x=cos x 即 tgx=
y 小 =- 8
3
9
2
时，取“ = ”号
2
当且仅当 sin 2x 2 2sin 2x ，即当
2
2 sin x
3 时，
等号成立。

解：原函数可化简得： y |x 2| |x 8|
上式可以看成数轴上点 P ( x )到定点 A (2)，B( 8) 间的距离之和。

由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， y |x 2| |x 8| |AB | 10
当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， y |x 2| |x 8| |AB | 10 故所求函数的值域为： [10, ] 例 17. 求函数 y x 2 6x 13 x 2 4x 5 的值域。

解：原函数可变形为：
y (x 3)2 (0 2)2 (x 2)2 (0 1)2
上式可看成 x 轴上的点 P(x,0) 到两定点 A (3,2), B ( 2, 1) 的距离之和，
由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时， y min |AB | (3 2) (2 1)
43，
故所求函数的值域为 [ 43, ]
例 18. 求函数 y x 2 6x 13
x 2 4x 5 的值域。

解：将函数变形为： y (x 3)2 (0 2) 2 (x 2) 2 (0 1)2
上式可看成定点 A (3，2)到点 P (x ，0)的距离与定点 B( 2,1)到点 P(x,0) 的距离之差。

即： y |AP| |BP|
由图可知：(1)当点 P 在x 轴上且不是直线 AB 与x 轴的交点时，如点 P'，则构成 ABP' ，根据三角 形两边之差小于第三边，有 ||AP'| |BP'|| |AB| (3 2)2 (2 1)2
26 即： 26 y 26
(2)当点 P 恰好为直线 AB 与x 轴的交点时，有 ||AP| |BP|| |AB| 26
注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A 、B
综上所述，可知函数的值域为： ( 26, 26]
在 x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A ，B 两点在 x 轴的同侧。

如：例 17的 A ，B 两点坐标分别为： (3，2)， ( 2, 1)，在 x 轴的同侧；例 18的 A ，B 两点坐标分别 为( 3，2)， (2, 1)，在 x 轴的同侧。

根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。

例 3 求函数 y= x 3 4x+5 + x 2 4x+8 的值域。

点拨：将原函数变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。

解：原函数变形为 f(x)= (x+2) 2+1 + (x-2) 2+22
作一个长 为 4、宽 为 3 的矩形 ABCD ，再 切割成 12 个 单位 正方 形。

设 HK=x, 则 EK=2-x,KF=2+x,AK= (x-2) 2+22 ,KC= (x+2) 2+1 。

由三角形三边关系知， AK+KC ≥ AC=5 。

当 A 、K 、C 三点共线时取等号。

∴原函数的知域为{ y|y ≥}5。

点评：对于形如函数 y= x 2+a ± (c-x) 2 +b (a,b,c 均为正数 )，均可通过构造几何图形，由几何的性 质，直观明了、方便简捷。

这是数形结合思想的体现。

练习 9：求函数 y= x 2+9 + (5-x) 2+4 的值域。

(答案：{y|y ≥ 5√})2
cosx y
求函数 sin x 3 的值域。

九、 多种方法综合运用
x2
y 例 22. 求函数 x 3 的值域。

解：令 t x 2(t 0) ，则
x 3 t 2 1 2)当 t=0 时， y=0 。

注：先换元，后用不等式法
1 x 2x
2 y 例 23. 求函数
3 4 3
综上所述，函数的值域
为： 0,12
1)当 t 0 时， 1
t 1
t
1 2 ，当且仅当 t=1，即 x 1 时取等号，所以 0 y 12 x 3 x 4
1 2x
2 x 4 的值域。

22
1 x
2 x
1 x
2 1 x 2
tan
2,17
此时 2 都存在，故函数的值域为 16 注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin 的有界性。

12, 2 可得：
2 t 2 1 2x x x x y 解： 1 2x 2 x 4 1 2x 2 x 4 tan 2 1x 1x cos 2 1sin 2 2 y cos 1 1 sin 2
2 sin 12sin 1 sin 12 4 17 16 ∴当
sin 14
时， y max 17 16 当 sin 1 时，
y min 2。