[物理]自旋与角动量全同粒子体系

⎪ ⎪⎩
[
Sˆ
z
,
Sˆ
x
]
=
i
Sˆ y
由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取± /2两个值
所以 Sˆx、Sˆy、Sˆz 的本征值都是± /2，其平方为[ /2]2
Sˆ 2
算符的本征值是:
Sˆ 2
=
Sˆ
2 x
+
Sˆ
2 y
+
Sˆ
2 z
=
3 4
2
11
仿照: L2 = l(l +1) 2
→
s
=
1 2
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
3 .了解简单塞曼效应的物理机制。 4 .了解耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。 5 .全同粒子的基本概念，全同性粒子波函数的交换 对称性。 6 .全同粒子的分类。 7 .全同粒子体系的波函数，包括两个全同粒子体系的波函数，
N个全同粒子体系的波函数。 8 .掌握两个电子的自旋函数。 9 .了解氦原子能谱有正氦和仲氦之分的物理机制. 10 .了解氢分子(海特勒-伦敦法)以及化学键的概念。
=
0
同理对Φ–1/2 处理,有:
⎛a
2
⎜ ⎝
c
b d
⎞ ⎟ ⎠
⎛
⎜⎝ψ
2
0 (r
,
t
)
⎞ ⎟ ⎠
=
−
2
⎛
⎜⎝ψ
2
0 (r
,
t
)
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
bψ2 dψ2
⎞ ⎟ ⎠
=
−
⎛0
⎜⎝ψ2
⎞ ⎟ ⎠
最后得 SZ 的矩阵形式:
⎧b = 0 ⎨⎩d = −1
Sz
=
2
⎛1
⎜ ⎝
0
0⎞ −1⎟⎠
SZ 是对角矩阵，对角矩阵元是其本征值± /2。
(1) SZ的矩阵形式:
电子自旋算符(如SZ)是作用于电子自旋波函数上的，既然电 子波函数表示成了2×1 的列矩阵，那末，电子自旋算符的矩
阵表示应该是 2×2 矩阵:
Sz
=
2
⎛a
⎜ ⎝
c
b⎞
d
⎟ ⎠
因为Φ1/2 描写的态中SZ有确定值 /2，所以Φ1/2 是 SZ 的本征
态，本征值为 /2，即有：
SzΦ 1 2
spin wave function *§ 7.3 简单塞曼效应 Simple Zeeman effect § 7.4 两个角动量的耦合 Coupling of two angular momentum § 7.5 光谱的精细结构 Fine structure of the spectrum
§ 7.6 全同粒子的性质 The characterization of similar particles
=
2
Φ
1 2
矩阵形式:
⎛a
2
⎜ ⎝
c
b d
⎞ ⎟ ⎠
⎛⎜⎝ψ1(0r
,
t)
⎞ ⎟ ⎠
=
2
⎛⎜⎝ψ1(0r
,
t)
⎞ ⎟ ⎠
14
⎛ ⎜ ⎝
aψ1 cψ1
⎞ ⎟ ⎠
=
⎛ψ1
⎜ ⎝
0
⎞ ⎟ ⎠
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⎧a = 1
⎨ ⎩
c
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•自旋角动量是纯量子概念力学量，它不可能用经典力学来 解释。 并且与其他力学量有着根本的差别。
通常的力学量都可以表示为 坐标和动量的函数:
Fˆ = Fˆ (r , pˆ )
而自旋角动量则与电子的坐标和动量无关,它是电子内部状 态的表征,是描写电子状态的第四个自由度(第四个变量).
与其他力学量一样,自旋角动量也用一个算符描写,记为 Sˆ
自旋角动量、 1. S 与坐标动量无关, r × pˆ 不适用.
轨道角动量
的异同点： 2. S、L 同是角动量, 满足同样的对易关系.
10
轨道角动量
Lˆ
Lˆ × Lˆ = i Lˆ ,
⎧ ⎪⎪ ⎨
[ [
Lˆ Lˆ
x y
, ,
Lˆ Lˆ
y z
] ]
2
教学要求:
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
1.了解斯特恩-盖拉赫实验, 电子自旋与轨道的回转磁比率。
2 .掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式(泡利矩阵)。 掌握与自旋相联系物理量的测量值、概率、平均值、本征值
方程和本征函数的求解方法。
本章主要研究的内容为:
电子的自旋特征 具有自旋特征粒子的波函数 角动量耦合 多粒子体系 实际应用
1
Ch.7 Spin and undistinguished similar particles
§ 7.1 电子自旋 Electron spin § 7.2 电子自旋算符与自旋波函数 Electron spin operator and
(一)Stern-Gerlach 实验
(1)实验描述: S态的氢原子束，经非均匀磁场后发生 偏转，在感光板上呈现两条分立线。
(2)结论: I.氢原子有磁矩：因在非均匀磁场中发生偏转。
II.氢原子磁矩只有两种取向-空间量子化。
(3)讨论:
磁矩为 M 的原子处于外磁场 B = Bz k中，其势能为：
U = −M iB = −MBz cosθ
8
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§2 电子的自旋算符和自旋波函数
（一）自旋算符 （二）含自旋的状态波函数 （三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数 （六）力学量平均值
9
（一）自旋算符
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（2）Pauli 算符
1. 为了书写方便起见，引进 Pauli 算符:
令: Sˆ = σˆ
或
2
⎧ ⎪
S
x
=
⎪
2σ x
⎪ ⎨
S
y
⎪
=
2σ y
⎪ ⎪⎩
S
z
=
2σ z
对易关系：Sˆ × Sˆ = i Sˆ ⇒ σˆ ×σˆ = 2iσˆ
2 y
=
2iσˆ
xσˆ
y
σˆ yσˆ zσˆ y −σˆ z = 2iσˆ xσˆ y
二式相加：
σˆ x σˆ y + σˆ y σˆ x = 0
或
σˆ x σˆ y = − σˆ yσˆ x
同理可证：x, y 分量的反对易关系亦成立. [证毕]
由对易关系和反 对易关系还可以得到 关于 Pauli算符的如 下非常有用性质:
§ 7.7 全同粒子系统的波函数 泡利原理 The wave function of
similar particle system Pauli principle
§ 7.8 两个电子的波函数 The spin wave function of two electrons
§ 7.9 氦原子(微扰法)
*§ 7.10 氢分子(海特勒-伦敦法) 化学键
Ψ = Ψ(x, y, z, Sz,t)
由于SZ 只取± /2两个值,
⎧ψ ⎩⎨ψ
1(r ,t) 2(r ,t)
= =
Ψ(x, Ψ(x,
y, z,+ y, z,−
2 2
,t) ,t)
所以上式可写为两个分量：
写成列矩阵:
Φ
=
⎜⎜⎝⎛ψψ
1 2
(r (r
, ,
t t
) )
⎟⎟⎠⎞
规定列矩阵: 第一行对应于 Sz = /2， 第二行对应于 Sz = - /2。
(1)电子自旋回转磁比率(磁矩、角动量比):
M Sz = − e
Sz
μc
(2)电子轨道回转磁比率(磁矩、角动量比): M L z = − e
Lz
2μc
可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍
电子“自旋”不可理解为 “自转”, 否则电子表面的旋转速 度将超过光速！只能说电子自旋是电子的一种内部运动。
的固有磁矩,即自旋磁矩。
(二)光谱线精细结构
钠原子光谱中的一条 亮黄线 λ ≈ 5893Å，用高 分辨率的光谱仪观测，可 以看到该谱线其实是由靠 的很近的两条谱线组成。
3p
5893Å
3s
3p3/2
D1
5896Å
3p1/2 D2
5890Å
3s1/2
6
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左乘σy: σˆ y 2σˆ z − σˆ yσˆ zσˆ y = 2 iσˆ yσˆ x
σy2=1
σˆ z − σˆ yσˆ zσˆ y = 2 iσˆ yσˆ x
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右乘σy:
σˆ
yσˆ zσˆ
y
−σˆ zσˆ
= =
i i
⎪ ⎪⎩ [
Lˆ
z
,
Lˆ
x
]
=
i
Lˆ z Lˆ x , ,
Lˆ y
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自旋角动量
Sˆ
Sˆ × Sˆ = i Sˆ
⎧ ⎪⎪ ⎨
[ [
Sˆ Sˆ
x y
, ,
Sˆ Sˆ
y z
] ]
= =
i i
Sˆ z Sˆ x
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第七章 自旋与角动量 全同粒子体系
Spin and angle momentum Undistinguished similar particles system
前面的理论尚有两方面的局限:
一、未考虑微观粒子都有具有的自旋特征。 二、仅考虑了单粒子体系,实际体系一般是多粒子体系。
其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线 组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑 了电子的自旋才能得到解释。
（三）电子自旋假设
Uhlenbeck 和 Goudsmit 1925年根据上述现象提出了电子 自旋的假设:
(1)每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上
的投影只能取两个数值：
⎧σˆ 分量形式：⎪⎨σˆ
xσˆ yσˆ
y z
− σˆ yσˆx − σˆzσˆ y
= =
2iσˆ z 2iσˆ x
⎪⎩σˆzσˆx − σˆxσˆz = 2iσˆ y
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因Sx,Sy,Sz的本征值都是± /2, 所以σx,σy,σz的本征值都是±1; σx2,σy2,σZ2 的本征值都是1。
若已知电子处于Sz = /2 或 Sz = - /2的自旋态，则波函数可分
别写为：
Φ1
2
=
⎛ψ
⎜ ⎝
1
(r 0
,
t
)
⎞ ⎟ ⎠
,
⎛0⎞
Φ−
1 2
=
⎜⎝ψ
2
(r
,
t
)
⎟ ⎠

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(三)自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵
磁矩与磁场之夹角
原子 Z 向受力:
Fz
=
−
∂U ∂z
= M ∂Bz cosθ
∂z
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分析: 若原子磁矩可任意取向，则 cosθ 可在(-1，+1)
之间连续变化,感光板将呈现连续带.
但实验结果是:出现的两条分立线对应cosθ = -1和+1, 处 于S 态的氢原子 =0,没有轨道磁矩,所以原子磁矩来自于电子
S
Sz = ± 2
(2)每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：
M
S
=
−e
μ
S
(SI)
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自旋磁矩在空间任何方向上的投影只能取两个数值：
M Sz
=±
e
2μ
= ±M B
(四)回转磁比率
(SI ) Bohr 磁子
S2
= s(s +1)
2
=
3 4
2,
自旋量子数s只有一个数值
z
S
sz = 2
S= 3 2
O
sz = − 2
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(二)含自旋的状态波函数
因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了 用 (x, y, z) 三个坐标变量外，还需要一个自旋变量 (SZ），于 是电子的含自旋的波函数需写为：
3
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第七章 (Ⅰ).自旋与角动量
§1 电子的自旋
（一）Stern-Gerlach 实验 (二）光谱线精细结构
（三）电子自旋假设 （四）回转磁比率
S1
S2
Q
L
z
S s
O
N
S态的氢原子谱线分裂
4
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⎧ σˆ
⎪
x σˆ
y
=
− σˆ yσˆ x
=
i σˆ z
⎨ σˆ yσˆ z = − σˆ zσˆ y = i σˆ x
即:
σ
2 x
=σ
2 y
=
σ
2 z
=1
2. 反对易关系
基于σ的对易关系，可以证明 σ各分量之间满足反对易关系:
⎧ σˆ
⎪ ⎨
σˆ
x σˆ y σˆ
y z
+ +
σˆ yσˆ x σˆ zσˆ y
= =
0 0
⎪ ⎩
σˆ
z σˆ
x
+
σˆ x σˆ z
=
0
证： 我们从对易关系: σˆ yσˆ z − σˆ zσˆ y = 2iσˆ x 出发