九年级数学上册第22章《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质(1)》名师教案(人教版)

22.1.3 二次函数2
()y a x h k =-+的图象和性质
第一课时
一、教学目标 （一）学习目标
（1）会用描点法画二次函数2y ax k =+（a≠0）的图象．
（2）能根据图象认识和理解二次函数2y ax k =+的性质，说出二次函数的开口方向、对称轴
和顶点坐标，掌握抛物线2y ax k =+的平移规律. （二）学习重点
会用描点法画二次函数y=ax 2+k 的图象，掌握它的性质． （三）学习难点
掌握二次函数y=ax 2+k （a≠0）的性质．能正确说出二次函数y=ax 2+k （a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务
（1）抛物线2(0)y ax k a =+>的开口方向 向上 ，对称轴是 y 轴 ，顶点是 （0，k ） ；抛物线2(0)y ax k a =+<的开口方向 向下 ，对称轴是 y 轴 ，顶点是 （0，k ） . (2)当k ＞0时，抛物线2ax y =向 上 平移 k 个单位得抛物线k ax y +=2；
当k<0时，抛物线2ax y =向 下 平移2y ax k =+. 2．预习自测
（1） 抛物线234y x =--的对称轴是_________，顶点坐标是_________. 【知识点】2y ax k =+的图象性质 【解题过程】略
【思路点拨】掌握2y ax k =+的图象性质，是解题的关键 【答案】y 轴，（0，-4）
（2） 抛物线25y x =向______平移_______个单位可得抛物线254y x =-. 【知识点】2y ax k =+的图象性质
【解题过程】略
【思路点拨】掌握2y ax k =+的图象性质，是解题的关键 【答案】下，4
（3）二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，-10），则a=_______，此二次函数有最_____值是_____.
【知识点】2y ax k =+的图象性质 【解题过程】略
【思路点拨】掌握2y ax k =+的图象性质，是解题的关键 【答案】-3，大，2
（4）已知抛物线2ax y =与函数k x y +=
2
4
3的图象形状相同，且抛物线2ax y =沿对称轴向下平行移动两个单位，就能与抛物线k x y +=2
4
3完全重合，则._______,==k a 【知识点】2y ax k =+的图象性质
【解题过程】由两函数图象形状相同，它们a 相等，可得a=4
3
±
，而抛物线2ax y =沿对称轴向下平行移动两个单位，就能与抛物线k x y +=243完全重合，因此a=4
3
.再由抛物线的平移
规律“上加下减”可得k=-2，故填4
3
，-2.
【思路点拨】掌握
2
y ax k =+的图象性质，是解题的关键 【答案】
3
4
，-2 （二）课堂设计 1．知识回顾
二次函数y=ax 2的性质
y ax =2
a 0＞ a 0＜
图像
开口
开口向上
开口向下
│a │越大，开口越小
对称性 关于y 轴对称，对称轴是y 轴
顶点
顶点坐标是原点()00，
顶点是最低点 当x=0时，y 最小值=0
顶点是最高点 当x=0时，y 最大值=0 增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
2．问题探究
探究一 画二次函数y=ax 2+k 的图象 ●活动① 合作探究
在同一坐标系中画出二次函数221y x =+，122-=x y 的图象. 先列表：
然后描点、连线，画出这两个函数的图象，如下图所示：
思考：（1）抛物线122+=x y ，122-=x y 的开口方向、对称轴和顶点各是什么？
（2）抛物线122+=x y ，122-=x y 与抛物线22x y =有什么关系？ 经过学生讨论得出：
x
... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 (122)
+=x y
… 9 5.5 3
1.5
1
1.5 3 5.5 9 … 122-=x y …
7
3.5
1 -0.5 -1
-0.5
1 3.5
7
…
（1）观察图象知，抛物线122+=x y 的开口方向向上，对称轴是y 轴，顶点是（0，1）；抛物线122-=x y 的开口方向向下，对称轴是y 轴，顶点是（0，-1） （2）抛物线y=2x 2
抛物线y=2x 2+1
抛物线y=2x 2
抛物线y=2x 2-1
●活动二 举一反三
在同一直角坐标系中，画出函数12+-=x y 与12--=x y 的图象，并说明通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=x y 得到抛物线12--=x y ． 解：列表．
描点、连线，画出这两个函数的图象，如下图所示．
可以看出，抛物线21y x =--是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．
点拨： 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．
探究二 二次函数y=ax 2+k 的图象与性质重点、难点知识★▲ ●活动一 归纳概括
1.思考：二次函数k ax y +=2（a 、k 为常数，a ≠0）的图象性质是什么？ 讨论归纳列表如下：
x
… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 12+-=x y …
-8
-3 0 1 0 -3 -8
…
12--=x y
… -10 -5
-2
-1
-2
-5
-10 …
向上平移
1个单位
向下平移 1个单位
2.思考：抛物线k ax y +=2与抛物线2ax y =有什么关系？ 讨论归纳如下：
抛物线k ax y +=2与抛物线2ax y =的形状相同，而在画某个函数的图象时，可以用描点法，也可以由与之形状相同的函数的图象平移得到．其平移规律如下：
抛物线2y ax = 抛物线2y ax k =+
●活动二 应用举例
例：已知二次函数43
2
2+-=x y .
（1）写出它的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值．
（2）若点),(11y x 、),(22y x 在该二次函数的图象上，且1x ＞2x ＞0，试比较1y 与2y 的大小关系．
（3）抛物线1322--=x y 可以由抛物线43
2
2+-=x y 平移得到吗？如果可以，写出平移的方
法；如果不可以，请说明理由．
【知识点】二次函数k ax y +=2的图象性质及平移规律
【解题过程】（1）因为a ＝3
2
-＜0，所以它的图象的开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为
(0，4)，当x ＝0时，y 最大值＝4.
（2）因为抛物线的开口向下，对称轴为y 轴，所以当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．所以当1x ＞2x ＞0时，1y ＜2y .
（3）抛物1322--=x y 可以由抛物线43
2
2+-=x y 平移得到，其平移方法是：将抛物线
当k ＞0时，向上平移k 个单位
当k<0时，向上平移│k │个单位
43
2
2+-=x y 向下平移5个单位.
【思路点拨】（1）在二次函数k ax y +=2中，根据y 随x 的变化情况来比较函数值的大小时，通常有三种方法：一是直接根据抛物线的开口方向和性质进行比较；二是利用数形结合思想，画出草图直观地进行比较；三是利用取特殊值法，根据自变量的大小关系取特殊值代入函数表达式中，求出函数值，然后进行比较．
（2）抛物线211y ax k =+与222y ax k =+可以相互平移得到．当1k ＞2k 时，将抛物线211y ax k =+向下平移(1k －2k )个单位可得抛物线222y ax k =+；当1k <2k 时，将抛物线211y ax k =+向上平移(2k －1k )个单位可得抛物线222y ax k =+.
【答案】（1）开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，4)，当x ＝0时，y 最大值＝4. （2）当1x ＞2x ＞0时，1y ＜2y .
（3）可以，平移方法是：将抛物线43
2
2+-=x y 向下平移5个单位.
●活动三 巩固练习
1.抛物线94
12
-=
x y 的开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线24
1
x y =向 平移 个单位得到的．
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象性质及平移规律
【解题过程】略
【思路点拨】由抛物线k ax y +=2的性质以及抛物线k ax y +=2与抛物线2ax y =的关系可得答案
【答案】上，y 轴，（0，-9），下，9
【设计意图】对二次函数k ax y +=2图象及性质的直接应用
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致是下图中的（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质、一次函数的图象及性质
【解题过程】解：A 、由一次函数的图象可知a ＞0 ，c ＞0，由二次函数的图象可知a ＜0，两
者相矛盾；
B 、由一次函数的图象可知a ＜0 , c ＞0，由二次函数的图象可知a ＜0，两者相吻合；
C 、由一次函数的图象可知a ＜0 ，c ＞0，由二次函数的图象可知a ＞0，两者相矛盾；
D 、由一次函数的图象可知a ＜0 ，c ＜0，由二次函数的图象可知a ＞0，两者相矛盾． 故选B ．
【思路点拨】先由一次函数图象得到a 、c 符号，再由此判断二次函数图象正确与否 【答案】B
【设计意图】与一次函数图象相结合，进一步巩固对二次函数图象及性质的掌握
3．已知A （﹣1，y 1），B ，y 2），C （2，y 3）三点都在二次函数y=ax 2﹣1（a ＞0）的图象上，那么y 1，y 2，y 3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质 【解题过程】
∵二次函数的解析式为y=ax 2﹣1（a ＞0）， ∴抛物线的对称轴为直线x=0，
∵A （﹣1，y 1）、B ，y 2）、C （2，y 3）， ∴点C 离直线x=0最远，点A 离直线x=0最近， 而抛物线开口向上，∴y 1＜y 2＜y 3．故答案为y 1＜y 2＜y 3．
【思路点拨】先判断抛物线的开口方向，然后根据离对称轴越近，越接近最值的方法排序 【答案】y 1＜y 2＜y 3
【设计意图】进一步巩固对二次函数k ax y +=2的图象及性质的理解和掌握 3．课堂总结 【知识梳理】
1.二次函数k ax y +=2的图象性质：
当a ＞0时，抛物线k ax y +=2的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，k ），在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，当x=0时，取得最小值，这个值等于k ；
当a<0时，抛物线k ax y +=2的开口向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，k ），在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，当x=0时，取得最大值，这个值等于k.
2.抛物线平移规律：
抛物线2
y ax = 抛物线2y ax k =+
【重难点突破】
1.解二次函数y=ax 2+k 的问题要注意两点：
(1)二次项系数的符号⇔开口方向．二次项系数的绝对值相等⇔抛物线的形状相同；k ⇔顶点的纵坐标．
(2)抛物线y=ax 2+k 可由抛物线y=ax 2向上(下)平移得到，可简记为“上加下减”．平移的方向决定是加还是减，平移的距离决定加或减的数值．
2.二次函数y=ax 2+k 中k 的取值决定了抛物线与y 轴交点的情况，当k>0时，抛物线交于y 轴的正半轴；当k<0时，抛物线交于y 轴的负半轴；当k=0时，抛物线经过原点. （三）课后作业 基础型 自主突破
1.抛物线221y x =+的顶点坐标是（ ）
A.(0，1)
B. (0，-1)
C. (1，0)
D. (-1，0) 【知识点】抛物线2y ax k =+的图象及性质 【解题过程】 由抛物线的图象和性质，易求
【思路点拨】掌握抛物线2y ax k =+的图象及性质是解题的关键 【答案】A
2.对于二次函数232y x =+，下列说法错误的是( )
A ．最小值为2
B ．图象与x 轴没有公共点
C ．当x<0时，y 随x 的增大而增大
D ．图象的对称轴是y 轴 【知识点】抛物线2y ax k =+的图象及性质
【解题过程】 由232y x =+的图象可知，最小值为2，图象与x 轴没有公共点，图象的对称轴是y 轴，当x<0时，y 随x 的增大而减小，故选C
【思路点拨】掌握抛物线k ax y +=2的图象及性质是解题的关键 【答案】C
3.将二次函数2y 4x =-的图象向下平移3个单位，则平移后的二次函数的表达式为( )
A ．34y 2--=x
B ．34y 2+-=x
C ．2y 43x =--（）
D ．2
34y ）（+-=x
当k ＞0时，向上平移k 个单位
当k ＜0时，向下平移│k │个单位
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象平移规律
【解题过程】由“上加下减”的原则可知，将二次函数的图象24y x -=向下平移3个单位，则平移后的二次函数的表达式为2y 43x =--.
【思路点拨】掌握抛物线k ax y +=2的图象平移规律是解题的关键 【答案】A
4.已知点),(11y x 、),(22y x 均在抛物线21
y 13
x =-上，下列说法正确的是( )
A ．若1y =2y ，则1x =2x
B ．若1x =-2x ，则1y =-2y
C ．若0<1x <2x ，则1y ＞2y
D ．若1x <2x <0，则1y ＞2y 【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质
【解题过程】A 、若1y =2y ，则1x =-2x ； B 、若1x =-2x ，则1y =2y ； C 、若0<1x <2x ，则在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，则1y <2y ； D 、正确．故选D ．
【思路点拨】掌握抛物线k ax y +=2的图象及性质，是解题的关键 【答案】D
5.若正比例函数y ＝mx(m≠0)，y 随x 的增大而减小，则它和二次函数y ＝mx 2＋m 的图象大致是( )
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质，一次函数的图象及性质
【解题过程】 由已知正比例函数y ＝mx(m≠0)，y 随x 的增大而减小可得m<0，则二次函数y ＝mx 2＋m 开口向下，且顶点在y 轴负半轴上，故选A
【思路点拨】先由一次函数图象得到m 符号，再由此判断二次函数图象开口及顶点位置即可 【答案】A
6.抛物线y=mx 2+n （m≠0）与x 轴有两个交点，且开口向上，则m 、n 的取值范围是（ ） A ．m ＞0，n ＜0
B ．m ＞0，n ＞0
C ．m ＜0，n ＜0
D ．m ＜0，n ＞0
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质，一元二次方程根与图象和x 轴交点关系 【解题过程】∵开口向上，∴m ＞0；∵抛物线y=mx 2+n （m≠0）与x 轴有两个交点，∴0﹣4mn ＞0，∴n ＜0．故选A ．
【思路点拨】开口向上，则m>0; 与x 轴有两个交点，则判别式大于0 【答案】A
能力型 师生共研
7.张强在一次投篮中,刚好命中篮圈中心,其球的运动路线是抛物线y=1
5
-x 2+3.5的一部分（如
图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m
B ．4m
C ．4.5m
D ．4.6m
【知识点】求二次函数的函数值
【解题过程】解：把y=3.05代入y=1
5
-x 2+3.5中得：x 1=1.5，x 2=﹣1.5（舍去），∴l =2.5+1.5=4
米．故选B ．
【思路点拨】根据二次函数解析式代入求值，并结合实际问题求出答案即可 【答案】B
8.已知二次函数y=3x 2+12，当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，它们的函数值相等，则当x 取x 1+x 2时，其函数值为 ．
【知识点】二次函数图象的对称性
【解题过程】由y=3x 2+12知，其图象的对称轴是y 轴，∵当x 分别取x 1，x 2（x 1≠x 2）时，它们的函数值相等，∴x 1，x 2互为相反数，∴x 1+x 2=0，当x=0时，y=12．故填12． 【思路点拨】由抛物线的对称性可知，对称点的纵坐标相等，横坐标互为相反数 【答案】12
探究型 多维突破
9.已知抛物线21
3
y x =-，把它向上平移，得到的抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C
点，若ΔABC 是直角三角形，那么原抛物线应向上平移几个单位？
【知识点】抛物线k ax y +=2的平移规律及图象性质，直角三角形的性质
【解题过程】由题意知，ΔABC 必为等腰直角三角形，设平移后的抛物线为213y x k =-+， 则C （0，k ），A （-k ，0），B （k ，0），
代（k ，0）入抛物线方程得：2103
k k =-+，∴k=0（舍去），k=3. 所以向上平移3个单位. 【思路点拨】由平移规律设二次函数解析式，再由直角三角形的性质求出与坐标轴交点坐标代入，即可求解。

【答案】3
10.如图，抛物线2122
y x =-+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），交y 轴于点C . （1）写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）问在抛物线上是否存在一点M ，使△MAC 全等于△OAC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象性质、三角形全等、一次函数解析式、互相垂直的一次函数解析式。

【数学思想】数形结合
解：（1）抛物线22
12+-=x y 的对称轴为x=0，顶点C 的坐标为（0，2）； （2）对于抛物线2122
y x =-+，当y=0时，x=±2， ∴A （2，0），B （-2，0），∴OA =2；
分三种情况讨论：
①当∠MAC =90°时，如图1所示：
设直线AC 的解析式为y=kx+b ，
根据题意得：⎩⎨⎧=+=0
22b k b ，解得：k=-1，b=2，
∴直线AC 的解析式为：y=-x+2，
∴垂直于CA 于A 的直线解析式：y=x-2，
令x-2=-12x 2+2，解得：x=2，或x=-4，∴M （-4，-6）， 则MA ≠AC ，∴舍去；
②当∠MCA =90°时，如图2所示：
设垂直于AC 于C 的直线解析式为y=x+b ，则b=2，
∴垂直于AC 于C 的直线解析式为y=x+2，
令x+2=-2
1x 2+2，解得：x=0，或x=-2， ∴M （-2，0），则MC ≠OA ，∴舍去；
③当∠AMC =90°时，如图3所示：
则线段AC 的垂直平分线的解析式为y=x ，
令x=-2
1x 2+2，解得：x=-1±5， ∴M 1（-1+5，-1+5），M 2（-1-5，-1-5），
此时∠AMC ≠90°，∴舍去；
综上所述：在抛物线上不存在一点M ，使△MA C ≌△OAC ．
【思路点拨】首先明确要以三个点分别为直角顶点这三种情况讨论，每种情况先由直角三角形求出点M 的坐标，再验证对应边是否相等
【答案】（1）对称轴为x=0，顶点C 的坐标为（0，2）；（2）不存在
自助餐
1．抛物线y=﹣2x 2﹣3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小．
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质
【解题过程】略
【思路点拨】掌握抛物线k ax y +=2的图象及性质，是解题的关键
【答案】向下，y 轴，（0，﹣3），＜0，＞0．
2．抛物线y=2x 2﹣3可以看作由抛物线y=2x 2如何变换得到的（ ）
A ．向上平移3个单位长度
B ．向下平移3个单位长度
C ．向左平移3个单位长度
D ．向右平移3个单位长度
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象平移规律
【解题过程】∵抛物线y=2x 2﹣3顶点坐标为（0，﹣3），抛物线y=2x 2顶点坐标为（0，0），
∴抛物线y=2x 2﹣3可以看作由抛物线y=2x 2向下平移3个单位长度得到的，故选B ．
【思路点拨】掌握抛物线k ax y +=2的图象平移规律，是解题的关键
【答案】B
3．点A （3，m ）在抛物线y=x 2﹣1上，则点A 关于x 轴的对称点的坐标为 ．
【知识点】抛物线k ax y +=2的表达式及对称性
【解题过程】解：∵A （3，m ）在抛物线y=x 2﹣1上，∴m=9﹣1=8，∴A 点坐标为（3，8），
∴点A 关于x 轴的对称点的坐标为（3，﹣8）．故答案为（3，﹣8）．
【思路点拨】掌握抛物线y ax k =+2的表达式及对称性，是解题的关键
【答案】（3，﹣8）
4．抛物线y=x 2﹣4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的周长为（ ）
A ．4
B ．
C ．12
D ．【知识点】抛物线与坐标轴交点，两点间距离公式
【解题过程】解：∵抛物线y=x 2﹣4与x 轴交于B 、C 两点，顶点为A ，
∴B （﹣2，0），C （2，0），A （0，﹣4）．
∴BC =4，AB =ABC 周长为：AB +BC +AC=B ．
【思路点拨】由二次函数解析式求出与坐标轴交点坐标，再由两点间距离公式求 出线段长，即可求出周长
【答案】B
5．已知抛物线y=ax 2+b 过点（﹣2，﹣3）和点（1，6）
（1）求这个函数的解析式；
（2）当x 为何值时，函数y 随x 的增大而增大．
【知识点】抛物线k ax y +=2的图象及性质
【解题过程】解：（1）把点（﹣2，﹣3）和点（1，6）代入y=ax 2+b 得
436a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得39
a b =-⎧⎨=⎩ 所以这个函数的解析式为y=﹣3x 2+9； （2）∵这个函数的解析式为y=﹣3x 2+9；∴对称轴x=0，
∵a=﹣3＜0，∴抛物线开口向下，∴当x ＜0时，函数y 随x 的增大而增大．
【思路点拨】掌握抛物线2y ax k =+的图象及性质，是解题的关键
【答案】（1）函数的关系式为y=﹣3x2+9（2）当x＜0时，函数y随x的增大而增大．6．如图，已知抛物线的顶点为A（0，1），矩形CDEF的顶点C、F在抛物线上，点D、E 在x轴上，CF交y轴于点B（0，2），且矩形其面积为8，此抛物线的解析式．
【知识点】抛物线k
ax
y+
=2的图象及性质
【解题过程】解：∵抛物线的顶点为A（0，1），∴抛物线的对称轴为y轴，
∵四边形CDEF为矩形，∴C、F点为抛物线上的对称点，
∵矩形其面积为8，OB=2∴CF=4，∴F点的坐标为（2，2），
设抛物线解析式为y=ax2+1，把F（2，2）代入得4a+1=2，解得a=1
4
，
∴抛物线解析式为y=1
4
x2+1．
【思路点拨】先设出二次函数解析式，然后由题中条件求出点F的坐标，代入即可。

【答案】y=1
4
x2+1。