江西省上饶市重点中学高三数学六校第二次联考试题 文

上饶市重点中学2014届高三六校第二次联考
数学（文）试题
本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分 总分：150分时间：120分钟 第I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设复数，i 为虚数单位，则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设A 、B 是两个非空集合，定义运算{}|()()A B
x x A B x A B ?吻锨且，已知
{
}
{}
2|2,|2,0x A x y x x B y y x ==
-==>），则A × B=（ ）
A ．[o,1]
B ．[o,2]
C ．[0,1)[2,
?∞）
D ．[0，1] È（2，+∞）
3．若二项式3
2)1
(x x 展开式中的常数项为k ，则直线y=kx 与曲线y=x2围成的封闭图形的面积为
A ．3
B ．29
C ．9
D ．227
4．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸可得该几何体的表面积为（ ） A ．26 B ．24+42
c ．28+
5
D ．26+23
5．某学生在高三学年最近九次考试中的数学成绩加下表：
设回归直线方程y= bx+a ，则点（a ，b ）在直线x+5y －10=0的（ ） A ．左上方 B ．左下方 C ．右上方 D ．右下方
6．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，
则P 的取值范围是（ ）
A ．16158
7P
B ．
1615
P
C ．7158
16p D ．3748p
7．函数
12
21sin(
2)3y og x
的一个单调递减区间是
A ．
(,
)
612
B ．
(,)
63
C ．(,)123
D ．7(,)1212
8．已知1l
与2l
是互相垂直的异面直线，1l
在平面 内，2l
∥ ，平面 内的动点P 到1l
与2l
的距离相等，则点P 的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
9．已知三个不全相等的实数a 、b 、c 成等比数列，则可能成等差数列的（ ） A ．a 、b 、c B ．a2、b2、c2 C ．a3、b3、c3 D a b c 10．如图，动点P 在正方体ABCD — A1B1C1D1的对角线BD1上，
过点P 作垂直于平面BB1D1D 的直线，与正方体表面相交于M ，Ⅳ， 设BP=x ，MN =y ，则函数y=()f x 的图象大致是（ ）
第II 卷（非选择题） 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置）
11．函数
2()1(2)1f x n x x x 的定义域为 。

12．点P 在曲线y=lnx+2上运动，点Q 在直线x- y+4=0上运动，则P,Q 两点的最短距离是 ． 13.给出命题：(1)三棱锥的四个面都可以是直角三角形，(2)有两个侧面都垂直于底面的四棱柱为直四棱柱，(3)三棱锥中若有两组对棱互相垂直，则第三组对棱也一定互相垂直，其中正确的命题是 （填正确的命题的序号）
14.点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN u u u r ·AM u u u u r
的
最大值为_ ．
15.对于函数y=()f x ，若存在定义域D 内某个区间[a ，b]，使得y=()f x 在[a ，b]上的值域也为[a ，b]，
则称函数y=
()
f x在定义域D上封闭，如果函数
4
()
1
||
x
f x
x
在R上封闭，则b-a= 。

三、解答题（第16、17、18、19题各12分，第20题13分，第21题14分，共75分）。

16.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且
5sin cos2
2
C
C。

(1)求角C的大小；
(2)若
tan43
1,2
tan
A c
c
B
，求边a的长．
17.如图，茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学在植树节的植树棵数，乙组同学记录中有一个数据
模糊，无法确认，在图中用X表示．
(1)如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差。

(2)如果X=9，分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19棵的概率。

18．已知等差数列
n
a
，的前n项和为Sn，且a2=2，S5=15，数列
n
b
满足
11
11
,
22
n n
n
b b b
n。

(1)求数列
n
a
，
n
b
的通项公式；
(2)记Tn为数列{bn}的前n项和，
2(2)
()
2
n n
S T
f n
n
，试问()
f n是否存在最大值，若存在，求出最大值，若不存在请说明理由．
19．如图，E是以AB为直径的半圆上异于A，B的一点，四边形ABCD是矩形，且AB=2AD=2，沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面ABE，F为平面ECD与半圆弧的另一交点．
(1)求证：平面ADE⊥平面BEC：
(2)求证：EF∥CD．
(3)若EF =1，求三棱锥E- ADF的体积．
20．已知椭圆C ：22
2
21(0)x y a b a b ，过椭圆C 的右焦点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于P 点，设,,(,)PA mAF PB nBF m n R u u u r u u u r u u u r u u u r
.已知椭圆C 上的点到焦点F 的最大值与最小值的比值为
(1)求椭圆的离心率； (2)求证：m+n 为定值．
21.已知函数()1f x ax x nx 的图像在点x=e （e 为自然对数的底数）处的切线与直线x+3y-1=0垂直。

(1)求a 的值
(2)若k Z ，且
()
1f x k x
对任意x>l 恒成立，求k 的最大值。

(3)当n>m ≥4时，证明：(mnn)m>(nmm)n
参考答案
选择题：A B B C C D B C C D
填空题：11. 2,1 12.22
3 13. 3,1 14.12 15.6
解答题
16.(1)由
2cos 2sin
5 C C
得
22sin 212sin
52 C C
12sin 232sin
C C
32sin ,212sin
C
C （不合题意）
3
C
(2
）由tan 12,tan A c B 得
413
sin ,43cos
A A
由正弦定理得：339
sin sin ,sin sin
C A c a A
a C c , 解：（1）当8 x 时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10.
平均数为
435
410988
x
方差
1611
])43510()4359()4358()4358[(4122222
S （2)记甲组四名同学为:
,
,,432,1A A A A 他们植树棵数是9,9,11,11.记乙组四名同学为:
,
,,432,1B B B B 他们
植树棵数是9,8,9,10.分别从甲、乙两组同学中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是
11,B A , 21,B A , 31,B A , 41,B A , 12,B A , 22,B A ,
32,B A , 42,B A , 13,B A , 23,B A , 33,B A , 43,B A , 14,B A , 24,B A , 34,B A , 44,B A
41
P
解：(1）设等差数列
n a 首项为1a ，公差为d ,
则
15
1052
11d a d a 得1,11 d a ，n
a n
又n b n b n n 211
，
1
1211
n n b n b
n n n
b 2
(2）由（1)得：
n n T 2121212132
n T 2
11
32212121 n 得
n n n T 222
2(2)()2
n n S T f n n
n n
n 22 n n n n n n n f n f 221)1()()1(212 12)
2)(1(
n n n
当3 n 时，0)()1( n f n f
又
23
)3(,23)2(,1)1(
f f f )(n f 存在最大值为23
19.(1)证明： 平面ABCD⊥平面ABE CB⊥AB
平面ABCD∩平面ABE=AB CB 平面ABE ，CB⊥AE,BE⊥AE 又 AE 平面ADE 平面ADE⊥平面BEC
(2) CD∥AB， AB 平面ABE,CD 平面ABE CD∥平面ABE,平面CDE∩平面ABEF=EF EF 平面ABE, CD∥EF (3) AB∥EF,AB=2，EF=1
点E 到直线AB 的距离为3，
123
31
• AD S V V AEF AEF D ADF E
20.解：（1）由题意得:2
23 c a c
a 22311
e e 得
22
e
(2)由 （1）得2222,2c b c a ，设椭圆方程为1222
22 c y c x
直线方程为：)(c x k y ，),(),,(2211y x B y x A
由 )(1
222
22c x k y c y c
x 得
0224)12(22222 c c k cx k x k
1222,12422
22212221
k c c k x x k c k x x 又因为点),0(kc P ，由 ,,(,)PA mAF PB nBF m n R u u u r u u u r u u u r u u u r 得2
2
11,x c x n x c x m
n m 2211x c x x c x 4)(2)(212122
121 x x x x c c x x x x c
解：(1) x x ax x f ln )(
x a x f ln 1)( 由3)( e f 得1 a
（2）由（1）得 x x x x f ln )(
1)(
x x f k 对任意1 x 恒成立即1ln
x x
x x k 令
1ln )(
x x x x x g
2)1(2ln )(
x x x x g 令)1(2ln )( x x x x h
x x h 1
1)(
由
011)(
x x h 得)1(2ln )( x x x x h 在),0( 上单调递增
03ln 1)3( h 04ln 1)4( h
0)( x h 在),1( 上存在唯一实根0x x ，且)4,3(0 x
当
1x x 时，0)( x h ，0)( x g ，当0x x 时，0)( x h ，0)( x g 函数)(x g 在
x x 处取得最小值,
)4,3()()(00min x x g x g
故整数k 的最大值为3
由（1)得
1ln )(
x x
x x x g 是),4[ 上的增函数
当4 m n 时，有1ln 1
ln
m m
m m n n n n 即m n n n m mn m m n mn ln ln ln ln
n m m n nm mn )ln()ln(
()()n m m n
mn nm。