2024年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷(四)(含答案)

2024年辽宁省抚顺市新抚区中考数学质检试卷（四）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.温度由−4℃上升7℃后的温度为( )
A. −3℃
B. 3℃
C. −11℃
D. 11℃
2.下列运算正确的是( )
A. a10÷a2=a5
B. (3a2)3=9a6
C. 2a⋅3a2=6a3
D. (a+b)2=a2+ab+b2
3.如图所示几何体是由一个球体和一个圆柱组成的，它的俯视图是( )
A. B.
C. D.
4.关于x的一元二次方程mx2−2x−1=0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是( )
A. −2
B. −1
C. 0
D. 1
5.不等式组{3x−1≤5
x+1≥0的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B. “煮熟的鸭子飞了”是一个随机事件
C. 一组数据的中位数可能有两个
D. 从分别标有−1、1、2的三张卡片中一次抽取2张，卡片上的两个数的乘积为负数的概率是2
3
7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°.分别以点A和C为圆心，以大于1
AC的长度为半径作弧，两弧
2
相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E.若CD=3，则BD的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
8.如图，正五边形ABCDE边长为6，以A为圆心，AB为半径画圆，图中阴影部分的面积为( )
π
A. 18
B. 4π
π
C. 54
5
D. 12π
9.甲、乙两人沿同一直线同时同向出发去往B地，运动过程中甲、乙两人离B地的距离y(km)与出发时间
t(ℎ)的关系如图所示，则甲到达B地时两人相距( )
A. 20km
B. 30km
C. 40km
D. 50km
10.已知等腰三角形的周长是10，底边长y是腰长x的函数，则下列图象中，能正确反映y与x之间函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.华为公司上市的Mate60手机搭载的是自主研发的首款5nm制程技术的手机芯片，
5nm=0.000000005m，将0.000000005用科学记数法表示为______．
12.若2x−1
在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
x−3
13.分解因式：4a2b2−8a2b+4a2=______．
14.如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边AC平行于x轴，过点A作AC的
(k为常数，且k≠0，
垂线，交CO于点B，且BC=2BO，反比例函数y=k
x
x<0)的图象经过点A，若△ABC的面积为6，则k的值为______．
15.如图，点D是等边△ABC边AC上一动点，线段CD绕点C顺时针旋转60°
得到线段CF，连接AF，连接BD并延长交AF与点E，若AB=8，BD=7，则AE
的长是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.(本小题8分)
)−1+2sin60°−|1−3|；
(1)计算：(−2)2+(1
3
(2)解二元一次方程组：{2x−y=5
3x+4y=2．
17.(本小题9分)
某校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛(百分制)，并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格.该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．
a.抽取七年级20名学生的成绩如下：
658757967967899777100 83698994589769788188
b.抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示．
(数据分成5组：50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100))
c.抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所
示．
d.七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：
年级平均数中位数方差
七年级81m167.9
八年级8279.5108.3
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，求出表中m的值；
(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；
(3)若本次竞赛成绩达到80分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．
18.(本小题8分)
某大型超市用6000元购进一批苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又紧急调拨13000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果的千克数是试销时的2倍．
(1)试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？
(2)若两批苹果按相同的标价销售，要使两批苹果全部售完后获利不低于4360元(不考虑其他因素)，且最后的400千克苹果按8折(“8折”即定价的80%)优惠售出，那么每千克苹果的标价至少是多少元？
19.(本小题8分)
小澎家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图1)，出水把手完全开启后，把手AD的仰角α=37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，DF是竖直线，MB//FH，洗手盆及水龙头的相关数据如图2：(单位cm)．
(1)求此时把手端点A到BM的距离；
(2)求CH的长.(精确到1cm)
(参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34
)
20.(本小题8分)
某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y(本)与每本纪念册的售价x(元)之间满足一次函数关系；当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本．(1)求出y 与x 的函数关系式；
(2)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？21.(本小题9分)
如图，将矩形ABCD(AD >AB)沿对角线BD 翻折，点C 的对应点为点C′，以矩形ABCD 的顶点A 为圆心、r 为半径画圆，⊙A 与BC′相切于点E ，延长DA 交⊙A 于点F ，连接EF 交AB 于点G ．(1)求证：BE =BG ．
(2)当DC =2，BC =2 3时，求EF 的长．
22.(本小题12分)
正方形ABCD 中，点E 为AB 边上一点，连接DE ，过点E 作EF ⊥DE 交BC 边于点F ，将△ADE 沿直线DE 折叠后，点A 落在点A′处，连接A′F ．
(1)如图1，当∠BEF =20°，FA′//AB 时，求∠EA′F 的度数；(2)如图2，连接DF ，当点A′恰好落在DF 上时，求证：AE =2A′F ；(3)拓展推升
如图3，若把正方形ABCD 改成菱形ABCD ，∠B =60°，点E 是AB 边上一点，连接DE ，将△ADE 沿直线DE 折叠后，点A 落在点A′处，DA′的延长线与边BC 相交于点F ，∠DEF =120°，当AE =2，A′F =2 2时，请求出△ADE 的面积．
23.(本小题13分)
如图，直线y =12x−2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y =12
x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A 的坐标；
(2)如图1，点D 为第四象限抛物线上一动点，连接AD ，交BC 于点N ，连接BD ，记△BND 的面积为S 1，△BNA 的面积为S 2，求S
1S 2
的最大值；
(3)若点P(m,y 1)，Q(m +3,y 2)是抛物线y =12
x 2+bx +c 图象上的两点，若P ，Q 之间的图象(包括点P ，Q)的最高点与最低点纵坐标的差为12
m 2，求m 的值．
参考答案
1.B
2.C
3.C
4.D
5.B
6.D
7.C
8.C
9.B 10.D 11.5×10−9 12.x ≥1
2且x ≠3 13.4a 2(b−1)2 14.−9 15.40
7或247
16.解：(1)(−2)2+(1
3)−1+2sin60°−|1− 3|
=4+3+2×
32
−( 3−1)
=4+3+ 3− 3+1 =8；
(2){
2x−y =5①
3x +4y =2②，①×4得：8x−4y =20③，②+③得：11x =22，解得：x =2，
把x =2代入①得：4−y =5，
解得：y=−1，
∴原方程组的解为：{x=2
y=−1．
17.解：(1)七年级20名学生成绩再60≤x<70范围的人数为：20−(2+3+6+5)=4(人)，
补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图如下：
∵中位数是20个数据由小到大排列第10个数据：79，第11个数据：81的平均数，
∴m=(79+81)÷2=80；
(2)估计七年级此次竞赛成绩达到优秀的学生有5
20
×300=75(人)，
估计八年级此次竞赛成绩达到优秀的学生有(100%−5%−45%−72
360
)×300=90(人)，
75+90=165(人)，
∴估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人；
(3)七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
理由：七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数为：6+5
20
×300=165(人)，
八年级中获得参加挑战赛的机会的学生人数为：(100%−5%−45%−)×300=150(人)，
∵165>150，
∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．
18.解：(1)设试销时该品种苹果的进价是每千克x元，则第二批该品种苹果的进价是每千克(x+0.5)元，
根据题意得：13000
x+0.5=6000
x
×2，
解得：x=6，
经检验，x=6是所列方程的解，且符合题意，答：试销时该品种苹果的进价是每千克6元；
(2)试销时该品种苹果的千克数为6000÷6=1000(千克)，
则购进第二批该品种苹果的千克数是2000千克，
设每千克苹果的标价是y元，
根据题意得：(1000+2000−400)y+400×0.8y−6000−13000≥4360，
解得：y≥8，
答：每千克苹果的标价至少是8元．
19.解：(1)点A作AP⊥DB，垂足为P，并延长AP交CH于点P，过点M作MQ⊥AP，垂足为Q，
由题意得：
DQ=PM，MD=PQ=3cm，
在Rt△ADQ中，∠ADQ=37°，AD=10cm，
∴AQ=sin37°⋅AD≈10×3
5=6(cm)，DQ=cos37°⋅AD≈10×4
5
=8(cm)，
∴MP=DQ=8cm，AP=AQ+QP=9(cm)，
答：把手端点A到BM的距离为9cm；
(2)点A作AP⊥DB，垂足为P，并延长AP交CH于点P，过点M作MQ⊥AP，垂足为Q，
由题意得：
DQ =PM =FG ，MD =QP =3cm ，MF =PG =10+14=24(cm)，∠APB =∠AGC =90°，在Rt △ADQ 中，∠ADQ =37°，AD =10cm ，
∴AQ =sin37°⋅AD ≈10×35
=6(cm)，DQ =cos37°⋅AD ≈10×45
=8(cm)，
∴DQ =MP =FG =8cm ，AP =AQ +QP =6+3=9(cm)，AG =AQ +QP +PG =33(cm)，∴PB =MB−MP =12−8=4(cm)，∵∠APB =∠AGC =90°，∠PAB =∠GAC ，∴△APB ∽△AGC ，∴AP AG =PB
GC ，∴
9
33=4CG
，∴GC =
443
，∴HC =HF−CG−FG =30−443
−8=22
3
(cm)，∴线段CH 的长约为223
cm ．
20.解：(1)设y 与x 的关系式为y =kx +b ，
把(22,36)与(24,32)代入，得：{
22k +b =3624k +b =32，
解得：{k=−2
b=80，
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x+80(20≤x≤28)；
(2)由题意可得：
w=(x−20)(−2x+80)
=−2x2+120x−1600
=−2(x−30)2+200，
∵每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，
∴20≤x≤28，
∴当x=28时，w最大，w最大=−2×(28−30)2+200=192，
答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元．21.(1)证明：连接AE，则AE=AF，
∴∠F=∠AEF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAF=∠BAD=90°，∠BGE=∠AGF，
∴∠BGE+∠F=∠AGF+∠F=90°，
∵⊙A与BC′相切于点E，
∴BC′⊥AE，
∴∠BEG+∠AEF=∠AEB=90°，
∴∠BGE=∠BEG，
∴BE=BG．
(2)解：∵∠C=90°，DC=2，BC=23，
∴tan∠BDC=BC
DC =23
2
=3，
∴∠BDC=60°，
∴∠CBD=90°−∠BDC=30°，
∵AB//DC，AB=DC=2，
∴∠ABD=∠BDC=60°，
由折叠得∠C′BD=∠CBD=30°，∴∠ABE=∠ABD−∠C′BD=30°，
∴AE=1
2
AB=1，∠BAE=90°−∠ABE=60°，∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=150°，
∴l EF=150π×1
180=5π
6
，
∴EF的长是5π
6
．
22.(1)解：∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEA+∠BEF=90°，∠DEA′+∠FEA′=90°，
由翻折可知∠DEA=∠DEA′，
∴∠FEA′=∠BEF=20°，
∵FA′//BE，
∴∠BEF=∠EFA′=20°，
∴∠EA′F=180°−20°−20°=140°．
(2)证明：∵∠BEF=∠FEA′，∠B=∠A=∠EA′D=90°，EF=EF，∴△BEF≌△A′EF(AAS)，
∴BE=A′E，
由翻折可知，AE=A′E，∠ADE=∠FDE，
∴AE=BE，
∴AB=2AE=2EA′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，
∴AD=2A′E，
∵∠FEA′+∠EFD=90°，∠EFD+∠FDE=90°，
∴∠FEA′=∠FDE=∠ADE，
又∵∠A=∠EA′F=90°，
∴△DAE∽△EA′F，
∴AD：A′E=AE：A′F，
∴AE=2A′F．
(3)解：过E作EH⊥AD，交DA延长线于点H，如图，
∵∠EAD =120°，
∴∠EAH =60°，
在Rt △AEH 中，AE =2，
∴AH =2cos60°=1，
∴EH =2sin60°= 3，
在Rt △HED 中，由勾股定理得DE 2=EH 2+DH 2，
即DE 2=( 3)2+(AD +1)2，
由翻折知∠ADE =∠EDF ，AD =A′D ，
又∵∠EAD =∠FED =120°，
∴△AED ∽△EFD ，∴AD DE =DE DF
，∴DE 2=AD ⋅DF ，
即DE 2=AD ⋅(AD +2 2)，
∴( 3)2+(AD +1)2=AD ⋅(AD +2 2)，
∴AD =2 2+2，
∴S △ADE =1
2
×(2 2+2)× 3= 6+ 3． 23.解：(1)∵直线y =12x−2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，
∴B(4,0)，C(0,−2)，
∵抛物线y =12x 2+bx +c 经过B ，C 两点，
∴{8+4b +c =0c =−2，
解得：{
b =−3
2c =−2
，∴抛物线的解析式为y =1
2x 2−32x−2，
当y =0时，12x 2−32
x−2=0，
解得：x 1=4，x 2=−1，
∴点A 的坐标为(−1,0)；
(2)如图1，过点A 作AE//y 轴交BC 于E ，过点D 作DF//y 轴交BC 于F ，
则E(−1,−52)，
∴AE =52，
设D(t,12t 2−32t−2)，则F(t,12t−2)，
∴DF =(12t−2)−(12t 2−32t−2)=−12t 2+2t ，
∵AE//y 轴，DF//y 轴，
∴AE//DF ，
∴△AEN ∽△DFN ，
∴DN AN =DF AE
，∵S 1S 2=S △BND S △BNA =DN AN =DF AE =−12t 2+2t 52
=−15(t−2)2+45，∴当t =2时，S 1S 2的最大值为45
；(3)∵y =12x 2−32x−2=12(x−32)2−258
，
∴该函数图象的对称轴是直线x =32，顶点坐标为(32,−258)，当m ≤−32时，m <m +3≤32，则y 1>y 2≥−258，
∴点P ，Q 之间的图象的最高点是点P ，最低点是点Q ，∴(12m 2−32m−2)−[12(m +3)2−32(m +3)−2]=12m 2，
解得：m 1=−6，m 2=0 (舍去)；
当−32<m ≤0时，32<m +3≤3，则y 1>y 2≥−258
，∴点P ，Q 之间的图象的最高点是点P ，最低点是顶点，∴12m 2−32m−2−(−258)=12m 2，
解得：m =−34；
当0<m ≤32时，3<m +3≤92，则y 2>y 1≥−258，∴点P ，Q 之间的图象的最高点是点Q ，最低点是顶点，∴[12(m +3)2−32(m +3)−2]−(−258)=12m 2，解得：m =−34(不符合题意，舍去)；
当m >32时，y 2>y 1>−258，
∴点P ，Q 之间的图象的最高点是点Q ，最低点是点P ，∴[12(m +3)2−32(m +3)−2]−(12m 2−32m−2)=12m 2，解得：m 1=0(舍去)，m 2=6；
综上所述，m 的值是−6或6．。