2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测(一)数学(理)试题

绝密★启用前
2021届陕西省咸阳市高三上学期高考模拟检测（
一）数学（理）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．若集合{
}
2
230{0,1,2,3,4}A x
x x B =--<=∣，，则A B =（ ）
A ．{0,2}
B ．{0,1,2}
C ．{3,4}
D ．{0,2,3}
答案：B
先求集合B ，再求A
B .
解：2230x x --<，解得：13x
，{}13A x x ∴=-<<，
{}0,1,2,3,4B =， {}0,1,2A B ∴⋂=.
故选：B 2．设复数11i
z i
，那么在复平面内复数31z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
答案：C
利用复数的除法法则化简复数z ，再将复数31z -化为一般形式，即可得出结论.
解：()()()2
1121112
i i
i z i i i i ---====-++-，3113z i ∴-=--，
因此，复数31z -在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C.
3．据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓．1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同．．．．．．．）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级
台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）
A．86.2米B．83.6米C．84.8米D．85.8米答案：A
由题可知各台阶高度相同，所以所求答案为17.69108526
÷⨯
解：解：由题意可知所求高度为
17.6910852686.2
÷⨯≈，
所以乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为86.2米，
故选：A
4．已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）．
A．23
πB．
43
πC．
83
πD．23π
答案：C
根据题意，求得圆锥的高和底面圆的半径，代入公式，即可求得答案. 解：如图所示：
ABC为边长为4的正三角形，所以AB=AC=BC=4，
取BC中点为O，则22
4223
AO=-
=，
所以圆锥的体积2
183
223
33
V
π
π
=⨯⨯⨯=.
故选：C
5．已知函数
2
()1
21
x
f x=-
+
，且()
41(3)
x
f f
->，则实数x的取值范围是（）．A．(2,)
+∞B．(,2)
-∞C．(1,)
+∞D．(,1)
-∞
答案：D
用导数判断函数()
f x的单调性，再解不等式即可.
解：因为
()
()2
2ln2
21
x
x
f x
-
=<
+
'，所以函数2
()1
21
x
f x=-
+
在R上单调递减，
由于()
41(3)
x
f f
->所以413
x-<，得1
x<
故选：D
点评：关键点点晴：判断函数()
f x的单调性是解题的关键.
6．中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）．
A．
4
25
B．
8
25
C．
9
25
D．
18
25
答案：C
甲选两种书体共有5420
⨯=种方法，乙选两种书体共有5420
⨯=种方法，所以一共有400种方法，然后求出甲不选隶书体，乙不选草书体的方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可
解：解：甲选两种书体共有5420⨯=种方法，乙选两种书体共有5420⨯=种方法，所以一共有2020400⨯=种方法，
而甲不选隶书体有4312⨯=种方法，乙不选草书体有4312⨯=种方法，所以共有
1212144⨯=种方法，
所以甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为1449
40025
=， 故选：C
7．已知
M 经过坐标原点，半径r =2y x =+相切，则M 的方程为
（ ）．
A ．2
2
(1)(1)2x y +++=或2
2
(1)(1)2x y -+-= B ．2
2
(1)(1)2x y ++-=或2
2
(1)(1)2x y -++=
C ．2
2
(1)(1)2x y -++=或22(2x y ++=
D ．2
2
(1)(1)2x y -++=或22(2x y += 答案：A
设圆心坐标为(,)a b ，利用圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，求出,a b ，即可求出圆M 的方程.
解：设圆心坐标为(,)a b ，半径r =
因为圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，
=
=
所以1a b ==±，即圆心为()1,1或()1,1--，
圆M 的方程为：2
2
(1)(1)2x y -+-=或2
2
(1)(1)2x y +++=， 故选：A.
点评：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 8．若将函数3sin 2y x =的图像向右平移6
π
个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（ ）．
A ．56
x π=
B ．512
x π=
C ．3
x π
=
D ．23
x π=
答案：B
利用三角函数图像变换规律求出平移后的函数关系式，再求其对称轴即可 解：解：将函数3sin 2y x =的图像向右平移
6
π
个单位长度，所得的函数为 3sin 2()3sin(2)63
y x x ππ
=-=-，
由2,32x k k Z πππ-=+∈，得5,122
k x k Z ππ
=
+∈， 当0k =时，512
x π
=，
故选：B
9．渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头A 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为110km /h v =，东水流速度的大小为26km /h v =.设速度1v 与速度2v 的夹角为120︒，北岸的点A '在码头A 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（ ）
A ．在A '东侧
B ．在A '西侧
C ．恰好与A '重合
D ．无法确定
答案：A
建立如图如示的坐标系，则12(5,53),(6,0)v v =-=，从而可求出12v v +的值，进而可得游船的位置
解：解：建立如图如示的坐标系， 由题意可得12(5,53),(6,0)v v =-=， 所以12(1,53)v v +=，
说明船有x 轴正方向的速度，即向东的速度， 所以该游船航行到达北岸的位置应在A '东侧， 故选：A
10．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上存在两点A ，B 关于直线6y x =-对称，
且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，则双曲线C 的离心率为（ ）． A 2 B 3
C ．2
D 5答案：B
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，根据线段AB 的中点坐标为(2,4)M -，且A ，B 关于直线
6y x =-对称，A ，B 在双曲线上，整理可得2
22b a
=，进而可得到离心率.
解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且线段AB 的中点坐标为(2,4)M -， 则12124,8x x y y +=+=-， 又A ，B 关于直线6y x =-对称，
所以
12
12
11y y x x -⨯=--， 且A ，B 在双曲线上，
2211221x y a b -=，22
22
221x y a b
-=， 相减可得2222
1212
22
x x y y a b ---=，即1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+--=， 故22480a b -=，即2
22b a
=， 离心率为22
13b e a
=+=
故选：B.
点评：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a
=
； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2
＝c 2
－a 2
转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2
转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
11．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB BC ==，2
ABC π
∠=，若该直三棱柱的外
接球表面积为16π，则此直三棱柱的高为（ ）． A ．4 B ．3
C ．42
D ．22
答案：D
由题意将直三棱柱补成长方体，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，利用直三棱柱的外接球表面积为16π，可求出外接球的半径，从而可求得直三棱柱的高 解：解：因为2
ABC π
∠=
，所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体
1111ABCD A B C D -，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长
方体的体对角线，
设球的半径为R ，则2416R ππ=，解得2R =，
设直三棱柱的高为h ，则2222422R h =++，即2168h =+， 解得22h =，所以直三棱柱的高为22， 故选：D
12．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，函数()e 2x f x x =+，若关于x 的函数2
()[()](2)()2F x f x a f x a =+--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为
（ ）． A ．1,
2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．(,2)(2,)-∞-+∞
C ．112,
22,2e e ⎛⎫⎛
⎫--⋃- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ D ．1
12,2e
e ⎛⎫--
⎪⎝⎭
答案：C
由()0F x =得()2f x =或()f x a =-，而0x <时，()2f x =无解，需满足()f x a =-有两个解．利用导数求得()f x 在0x <时的性质，由奇函数得0x >时的性质，然后可确定出a 的范围．
解：[][]()()2()0F x f x f x a =-+=，
()2f x =或()f x a =-， 0x <时，()22x f x xe =+<，()(1)x f x x e '=+，
1x <-时，()0f x '<，()f x 递减；10x -<<时，()0f x '>，()f x 递增，
∴()f x 的极小值为1
(1)2f e
-=-，又()
2f x ，因此()2f x =无解．
此时()f x a =-要有两解，则1
22a e
-
<-<， 又()f x 是奇函数，∴0x >时，()2f x =仍然无解，
()f x a =-要有两解，则1
22a e
-<-<-．
综上有112,22,2a e
e ⎛⎫⎛⎫∈--- ⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭． 故选：C ．
点评：关键点点睛：本题考查函数的奇偶性与函数的零点，考查导数的应用．首先方程化为()2f x =或()f x a =-，然后用导数研究0x <时()f x 的性质，同理由奇函数性质得出0x >时()f x 的性质，从而得出()2f x =无解，()f x a =-有两解时a 范围．
二、填空题
13．若,x y 满足约束条件20202.x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
，，则3z x y =+的最大值为__________．
答案：14
由线性约束条件作出可行域，作直线由3z x y =+可得133
z
y x =-
+，作直线01
:3
l y x =-
沿可行域方向平移，由z 的几何意义即可求解. 解：由线性约束条件作出可行域如图，
由3z x y =+可得133
z y x =-+，作直线01:3l y x =-，沿可行域的方向平移可知过点A
时，
3z x y =+取得最大值，
由202x y x -+=⎧⎨
=⎩可得2
4
x y =⎧⎨=⎩，所以()2,4A ，所以max 23414z =+⨯=，
故答案为：14.
点评：方法点睛：线性规划求最值的常见类型
（1）线性目标函数求最值：转化为直线的截距问题，结合图形求解；
（2）分式型目标函数最值：转化为平面区域内的点与定点连线的斜率问题，结合图形求解；
（3）平方型目标函数求最值；转为两点间的距离问题，结合图形求解.
14．()3231x x ⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
的展开式中常数项为________． 答案：3-
利用二项展开式通项公式直接求解.
解：()()()3332231311x x x x x ⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭
， 展开式中常数项为0
3
121
332311363C C x x
⋅⋅-⋅⋅⋅=-=-， 故答案为：3-.
点评：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 15．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3cos 3b C a c =-，且 A C =，则sin A =________．
根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，整理可得cos B 的值，结合题意，利用二倍角公式，即可求得答案.
解：因为3cos 3b C a c =-，利用正弦定理边化角可得3sin cos 3sin sin B C A C =-， 又
=A B C π
++，所以
=()
A B C π-+，即
[]sin sin ()sin()A B C B C π=-+=+=sin cos cos sin B C B C +，
所以3sin cos 3(sin cos cos sin )sin B C B C B C C =+-， 所以3cos sin sin B C C =， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠， 所以1
cos 3
B =
，又 A C =， 所以2
1cos cos(2)cos 22sin 13
B A A A π=-=-=-=， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A >
所以
sin A =
=.
16．已知函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+，现有以下命题：
①()f x 是偶函数； ②()f x 是以2π为周期的周期函数；
③()f x 的图像关于2
x π=
对称； ④()f x ．
其中真命题有________． 答案：①②④
根据三角函数图象性质逐一进行判断：①根据()f x 写出()f x -，并判断与()f x 关系即可；②写出(2)f x π+，判断与()f x 是否相等；③判断()f x π-与()f x 的关系；④设
cos ,[1,1]t x t =∈-，所以sin cos )4
y t t t π
=+=+，根据t 的取值范围确定最
值并判断．
解：①函数()sin(cos )cos(cos )f x x x =+定义域为R ，关于原点对称，
()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x -=-+-=+=，
所以函数()f x 是偶函数；所以①正确；
②(2)sin[cos(2)]cos[cos(2)]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ+=+++=+=， 所以()f x 是以2π为周期的周期函数；所以②正确；
③()sin[cos()]cos[cos()]sin(cos )cos(cos )()f x x x x x f x πππ-=-+-=-+≠， 所以()f x 的图像不关于2
x π=
对称；所以③错误；
④令cos ,[1,1]t x t =∈-，所以
sin cos )4
y t t t π
=+=+，因为
[1,1]4
44t π
π
π+
∈-+
+，所以42t ππ+=，即4
t π
=时，max y =()f x 的最
；所以 ④正确； 所以真命题为①②④， 故答案为：①②④.
点评：正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝
f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
三、解答题
17．如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PC AC ⊥，BC AC ⊥，
2AC PC ==，4CB =，M 是PA 的中点．
（Ⅰ）求证：PA ⊥平面MBC ；
（Ⅱ）设点N 是PB 的中点，求二面角N MC B --的余弦值． 答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）
22
3
． （Ⅰ）根据面面垂直的性质定理可得BC ⊥平面PAC ，根据线面垂直的性质定理，可得BC PA ⊥，根据等腰三角形中线的性质，可得CM PA ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可得证；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质定理可得PC ⊥平面ABC ，结合题意，如图建系，可得各点坐标，进而可得CM ，CN ，PA 的坐标，即可求得两个平面的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.
解：解：（Ⅰ）平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC =AC ，BC ⊂平面ABC ，
BC AC ⊥，
∴BC ⊥平面PAC ， ∵PA ⊂平面PAC ， ∴BC PA ⊥，
∵AC PC =，M 是PA 的中点， ∴CM PA ⊥， ∵CM
BC C =，,CM BC ⊂平面MBC ，
∴PA ⊥平面MBC ．
（Ⅱ）∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC 平面ABC =AC ，PC ⊂平面PAC ，
PC AC ⊥
∴PC ⊥平面ABC ， ∵BC ⊂平面ABC ， ∴PC BC ⊥，
以C 为原点，CA ，CB ，CP 为x ，y ，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,2)P ，(1,0,1)M ，(0,2,1)N ，
则(1,0,1)CM =，(0,2,1)CN =，(2,0,2)PA =-， 由（Ⅰ）知(2,0,2)PA =-是平面MBC 的一个法向量， 设(,,)n x y z =是平面MNC 的法向量，
则有00CM n CN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即020x z y z +=⎧⎨+=⎩，
令1y =，则2z =-，2x =， ∴(2,1,2)n =-，
设二面角N MC B --所成角为θ，由图可得θ为锐角， 则22012(2)22
cos cos ,3||||89
PA n PA n PA n θ⋅⨯+⨯-⨯-=<>=
==⋅．
点评：解题的关键是熟练掌握面面垂直的性质定理，线面垂直的判定和性质定理，并灵活应用，处理二面角或点到平面距离时，常用向量法求解，建立适当的坐标系，求得所需点的坐标及向量坐标，求得法向量坐标，代入夹角或距离公式，即可求得答案.
18．设数列{}n a 是公差大于零的等差数列，已知13a =，2
2424a a =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设数列{}n b 满足sin ()cos ()
n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求122021b b b ++⋅⋅⋅+.
答案：（1）3n a n =；（2）1010.
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由13a =，2
2424a a =+，即可求得答案；
（2）因为sin ()
cos ()
n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求出当n 为奇数时，0n b =，当n 为偶数时，
1n b =，可得{}n b 是以2为周期的周期数列，即可求得答案. 解：解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
2
2424a a =+
∴()()2
11324a d a d +=++，
又
13a =，
∴()()2
33324d d +=++
解得6d =-或3d =，
0d >，
∴3d =，
∴33(1)3n a n n =+-=.
（2）
sin ()
cos ()
n n n a n b a n ππ⎧=⎨⎩为奇数为偶数
∴当n 为奇数时，sin 3sin 0n b n ππ===， ∴当n 为偶数时，cos3cos01n b n π===，
故{}n b 是以2为周期的周期数列，且121b b +=，
∴()1220211211010101001010b b b b b b ++⋅⋅⋅+=++=+=.
19．某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核A 、B 、C 三项技能，其中A 必须过关，B 、C 至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立．
（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；
（Ⅱ）用X 表示三位应聘者中能进面试的人数，求X 的分布列及期望EX ． 答案：（Ⅰ）
1
2
；（Ⅱ）答案见解析. （Ⅰ）将事件分成三类,,ABC ABC ABC ，即可求取概率； （Ⅱ）由（Ⅰ）知每人过关率均为
1
2
，随机变量X 服从二项分布，即可解相关问题. 解：解：（Ⅰ）甲应聘者这三项考核分别记为事件A ，B ，C ，且事件A ，B ，C 相互独立，则甲应聘者能进入面试的概率
2112112111
()()()3223223222
P ABC P ABC P ABC ++=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=． （Ⅱ）由题知，X 的所有可能取值为0，1，2，3，且1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
303
11(0)28P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；2
13113(1)228
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭； 223113(2)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30
33111(3)228P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
， 分布列为：
∵1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，13322
EX =⋅=． 【点晴】
第二问关键在于判断X 服从二项分布，再由其性质解题.
20．设O 为坐标原点，抛物线2
:4C y x =与过点(4,0)T 的直线相交于P ，Q 两个点． （Ⅰ）求证：OP OQ ⊥；
（Ⅱ）试判断在x 轴上是否存在点M ，使得直线PM 和直线QM 关于x 轴对称．若存在，求出点M 的坐标．若不存在，请说明理由．
答案：（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，(4,0)M -．
（Ⅰ）由题意设直线:4PQ x ny =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，与抛物线联立，根据韦达定理，可得12y y +，12y y 的值，利用12120OP OQ x x y y ⋅=+=，即可得证； （Ⅱ）假设存在这样的点M ，设(,0)M t ，根据题意，可得0MP MQ k k +=，根据P ，Q ，T 坐标，表示出MP MQ k k ，，化简整理，即可得答案.
解：解：（Ⅰ）由题意得，过点T 的直线不与x 轴平行，故设直线:4PQ x ny =+，设
()11,P x y ，()22,Q x y ，
联立244x ny y x
=+⎧⎨=⎩，消去x 得24160y ny --=，
∴124y y n +=，1216y y =-．
∴22
2
1212(16)164416
y y x x -=⋅==，∴12120x x y y +=，
∴12120OP OQ x x y y ⋅=+=，即OP OQ ⊥． （Ⅱ）假设存在这样的点M ，设(,0)M t ， 由（Ⅰ）知，124y y n +=，1216y y =-，
由PM 和QM 关于x 轴对称知，0MP MQ k k +=， 又1212
121244MP MQ y y y y k k x t x t ny t ny t
+=
+=+--+-+- ()()
()()
1221124444y ny t y ny t ny t ny t +-++-=
+-+-()
()()
2212122(4)44ny y t y y ny t ny t +-+=
+-+-
()()1232(4)444n t n ny t ny t -+-⋅=
+-+-()()1216444n nt
ny t ny t --=
+-+-0=．
解得4t =-，即存在这样的点(4,0)M -．
点评：解题的关键是将两直线关于x 轴对称，等价为0MP MQ k k +=，根据斜率关系，结合韦达定理，即可求解，考查计算化简的能力，属中档题. 21．已知函数(21)
()ln ()1
a x f x x a x -=-
∈+R 有两个极值点1x 和2x ．
（1）求实数a 的取值范围；
（2）把
22
2112
x x x x +表示为关于a 的函数()g a ，求()g a 的值域． 答案：（1）4,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
；（2）(2,)+∞． （1）由于函数的定义域为(0,)+∞，则当函数()f x 有两个极值点1x 和2x 时，方程
'()0f x =有两个正根，由此可得2(23)10x a x +-+=有两个正根，则0∆>，且12320x x a +=->，从而可求出实数a 的取值范围；
（
2
）
由
（
1
）
可
知
121232
1
x x a x x +=-⎧⎨
=⎩，从而有
()()222332
211212121212
3(32)(32)3x x x x x x x x x x a a x x ⎡⎤⎡⎤+=+=++-=---⎣⎦⎣⎦，则
324()27542723g a a a a a ⎛
⎫=-+-> ⎪⎝
⎭，再利用导数判断单调性，从而可得其值域
解：解：（1）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，
22
(23)1
()(1)
x a x f x x x +-+'=+． 设2
()(23)1h x x a x =+-+，其中2912a a ∆=-， 当0∆>时，即4
3
a >
或0a <． 此时()0h x =有两个根，则有1212
32
1x x a x x +=-⎧⎨=⎩，∴1x ，2x 同号，
∵()f x 的定义域为(0,)+∞，∴1>0x ，20x >， ∴12320x x a +=->，∴23a >，∴4
3
a >，
∴)1,212(32)2
a x x x -±=
<，
∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增． 综上可知，()f x 有两个极值点， ∴实数a 的取值范围为4,3⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
．
（2）由（1）知，当4
3a >
时，()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，且1212
321x x a x x +=-⎧⎨=⎩，
()()2
22332
211212121212
3(32)(32)3x x x x x x x x x x a a x x ⎡⎤⎡⎤+=+=++-=---⎣⎦⎣⎦， 32427542723a a a a ⎛
⎫=-+-> ⎪⎝
⎭
设3
2
4()27542723g a a a a a ⎛⎫=-+->
⎪⎝⎭
， 则(
)
22
()81108272734127(31)(1)0g a a a a a a a '=-+=-+=-->，
∴()g a 在4,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上是单调递增的，∴4()23g a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭．
∴()(2,)g a ∈+∞，即()g a 的值域为(2,)+∞．
点评：关键点点睛：此题考查导数的应用，利用导数求函数的极值，考查计算能力，解
题的关键是将函数()f x 有两个极值点1x 和2x ，转化为方程'
()0f x =有两个正根，进而
得方程2
(23)10x a x +-+=有两个正根，然后利用一元二次方程根的分布进行求解即可，属于中档题
22．直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
（α为参数），直线l 的参
数方程为13x t
y t =-⎧⎨
=+⎩
（t 为参数）．
（1）求直线l 的普通方程，说明C 是哪一种曲线； （2）设,M N 分别为l 和C 上的动点，求||MN 的最小值． 答案：（1）:4l x y +=，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；（2
）.
（1）消参得到直线l 的普通方程和曲线C 的方程，即得解； （2）设(3cos ,sin )N αα
，求出||MN =
.
解：（1）由题得直线:4l x y +=，曲线2
2:13x C y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，即2
219x y +=， 所以曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆．
（2）设(3cos ,sin )N αα，则||MN 就是点N 到直线l 的距离，
||
MN==（ϕ的终边在第一象限且tan3
ϕ=）
当sin()1
αϕ
+=
时，
min
||
MN==．
点评：方法点睛：参数方程里求直线上的点到曲线上的点的最值，一般先利用曲线的参
数方程设点，再利用点到直线的距离求出距离的函数表达式，再利用三角函数的图象和性质求解.
23．已知函数()|2||1|,
f x x x x
=+-∈R．
（Ⅰ）求()2
f x的解集；
（Ⅱ）若()
f x kx
=有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．
答案：（Ⅰ）{1
x x
∣或1
3
x-}；（Ⅱ）23
k
<<．
（1）利用零点分段法，解不等式；（2）问题转化为()
y f x
=与y kx
=有两个交点，利用数形结合，求实数k的取值范围.
解：（I）
31,0
()1,01
31,1
x x
f x x x
x x
-+
⎧
⎪
=+<<
⎨
⎪-
⎩
，
312
x
x
≤
⎧
⎨
-+≥
⎩
或
01
12
x
x
<<
⎧
⎨
+≥
⎩
或
1
312
x
x
≥
⎧
⎨
-≥
⎩
，
解得：{1
x x≥或
1
}
3
x≤-
()2
f x的解集是{1
x x≥或
1
}
3
x≤-
（Ⅱ）问题转化为()
y f x
=与y kx
=有两个交点，由图易知：
20
2,3
10
OA OB AC
k k k
-
====
-
，
A
o OB
k k k
∴<<，即23
k
<<．
点评：方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用 1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.。