概率论的总结与例子

第一章 事件与概率
一．事件间的关系(利用Venn 图与几何概型作解释比较方便) :
1．,B A ⊂则有Φ=-==B A A B A B B A ,, ; B A A B B A B A =-=-,. 2．对偶律: ,
,B A B A B A B A ==,
=
=
k k k k
k
k
k
k
A A A A .
3．()())()()(,)(C A B A C B A C A B A C B A == 4．A 与B 互相对立(互斥) ⎩⎨
⎧Ω
=Φ=⇔B A AB 由事件定义
A 与
B 互不相容 0)(=⇒Φ=⇔AB P AB
5．A 与B 相互独立 )()()(B P A P AB P =⇔
C B A ,,相互独立()()(),()()(),()()(),()()()()
P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A P ABC P A P B P C ===⎧⇔⎨
=⎩ 由概率定义
C B A ,,两两独立()()(),()()(),()()()P AB P A P B P BC P B P C P CA P C P A ⇔===
附: ① 零概率事件亦可发生.
② 0)()(>B P A P 时, “A 与B 互不相容” 与 “A 与B 相互独立” 不可能同时出现. ③ “A 与B 独立” , “A 与B 独立” , “A 与B 独立” , “A 与B 独立” 四个命题等价. 二． 概率计算中的基本公式及综合运用 (首先应认清事件A 所在的试验E 与样本空间Ω): 1．()
),(1A P A P -= (去否律)
2．),0)(()(/)()|(>=A P A P AB P A B P
(条件概率公式)
附：对B A ,两事件而言,虽B A ,都 “发生” 了,但""""""(|)((|))""()P B A P A B A B P AB 凡有包含，
先后，主次关系的用或凡涉及与同时发生的用. 3．),|()()|()()(),()()(B A P B P A B P A P AB P B P A P AB P === (乘法公式)
()),()|()|()|()|(112213211111A P A A P A A A P A A A P A A A P A A P n n n n n ---=
4．()()(),()()()(),P A B P A P AB P A B P A P B P AB =+=+- (加法公式)
()11
1
1
11()()()(1)()n
n n i i j i j k n i i j n
i j k n
P A A P A P A A P A A A P A A -=≤<≤≤<<≤=-
+
++-∑∑
∑
5．),()()(,1)|()|(B P B A P AB P B A P B A P =+=+
6．=)(A P 有利于事件A 之基本事件数(事件A 包含的样本点数) / 基本事件总数(样本点总数), (古概公式)
7．,,,1,0,)1()(n k p p C k P k n k k
n n =-=-(独立试验序列(Bernoulli 概型，二项分布)公式 )
8．),,m
in(,,1,0,,/)(M N M n n k C C C A P n N k n M N k M -=<=-- (随机抽样模型(超几何分布)公式) 9．∑∑====
n
i i i k k k
n
i i
i
A P A
B P A P A B P B A
P A P A B P B P 1
1
))(()|(/)()|()|(;))(()|()(逆概公式全概公式
前提——某一事件由诸多事件引发而发生, 且此诸多事件构成一个互不相容事件的完备群时, 极应考虑. 辨析——由果索因因导果时属于逆全概问题.
附:
()()();()()();()()();
(|)()().
=Φ⇒=+⊃⇒-=-⇒=⨯⊂⇒=÷与互相独立AB P A B P A P B A B P A B P A P B A B P AB P A P B A B P A B P A P B
例1．已知()[]),|()|(|,1)(02121B A P B A P B A A P B P +=<< 则下列选项成立的是 (B) (A)()[]
),|()|(|2121B A P B A P B A A P += (B) ()),()(2121B A P B A P B A B A P +=
(C) ()),|()|(2121B A P B A P A A P += (D) ()),|()()|()(2211A B P A P A B P A P B P +=
解: 左=()[],)
()()())((|21212
1B P B A B A P B P B A A P B A A P ==右=⇒+)()()(21B P B A P B A P 选择 (B) 例2． (99.一)设两两相互独立的三事件C B A ,,满足条件：,5.0)()()(,<==Φ=C P B P A P ABC 且已知
,16/9)(=⋃⋃C B A P 则=)(A P (1 / 4)
解: )2/1)((4/1)(0)3)(4)(1)(4()(3)(316/92<=⇒=--⇒-=A P A P A P A P A P A P .
例3．(03.三) 将一枚硬币独立地掷两次,定义事件：
1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正面},
3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次}, 则事件 ( C)
(A) 123,,A A A 相互独立; (B)234,,A A A 相互独立;(C)123,,A A A 两两独立; (D)234,,A A A 两两独立.
解:
1234()()()0.5,()0.25,P A P A P A P A ====可看出应选（C ）.
例4．(06.三) 设A , B 为随机事件，且P (B )>0,P (A |B )=1，则必有 （C ） (A) P (A ∪B )>P (A ). (B) P (A ∪B )>P (B ). (C)P (A ∪B )=P (A ). (D) P (A ∪B )=P (B ). 解: 由P (B )>0,P (A |B )=1,有()1,P A B ⊃=故选（C ）.
三．基本问题选讲: 1．随机抽球问题：
例5．在5红3黄2白的十只球中任取6只, 求取到的恰好是3红2黄1白的概率.
解：32163216
5321053210()(6!)2/7P A C C C C C C C p ===或.
2．盒子问题：
例6．将n 个球等可能地全部放入到)(n N N ≥个盒子之中(每个盒子中放入的球数不限),求以下事件的概率：⑴ A =某个指定的n 盒子中各有1个球; ⑵ B =恰有n 盒子中各有1个球; ⑶ )(n k C <=恰有个球落到某个指定的盒子中; ⑷
=D 指定的)(N M M <个盒子中共放入了)(n k <个球(这M 个盒子中放入的球数不限) .
解：⑴ ()!n P A n N =;
⑵ 1()()!!n n n n N N P B C P A C n N n N -===(从N 个盒中任取n 个盒每盒一个地装这n 个球) ;
⑶ 从n 个球中随意取出k 个(有k n C 种取法),剩余的3-n 个球随意地放入到剩余的1-N 个盒子中(有3)1(--n N 种放法) ,
故()(1)(1)(11)k m k n k
k n k n n P C C N N C N N --=⋅-=-——很像二项分布;
⑷ 从n 个球中随意取出k 个(有k
n C 种取法),随意地放入到指定的M 个盒子中(有k M 种放法),剩余的k n -个球随意地
放入到剩余的M N -个盒子中(有k n M N --)(种放法) ,故()()k
k n k n n P D C M N M N -=⋅⋅-.
3．随机取数问题：
例7．从9,,1,0 十个数字中任取三个不同的数字，试求以下事件的概率：⑴ 三个数字中不含0和5; ⑵ 三个数字中不含0或不含5; ⑶ 三个数字中含0但不含5 .
解：⑴ 338107/15p C C ==; ⑵ 213281011415p C C C =-=; ⑶ 23
8107/30p C C ==.
4．配对问题：
关键: n 只有编号的球置于n 个有号的盒中(每盒各置一只球),若第i 号球恰被置于第i 号盒,则称第i 号盒配对. 则
()1,()(2)!!1(1)i i j P A n P A A n n n n ==-=-(将,i j 两号盒藏着,专等,i j 两号球来接, 则其余的2n -
个球有(2)!n -种放置法), ()1(1)(2),
i j k P A A A n n n =--
例8．n 个客人来时都把雨伞放在门边, 走时每人任取一把。

求：⑴ 至少有一人选中自己的雨伞的概率; ⑵ 指定的某k n -个客人未选中的概率; ⑶ 恰有)(n k ≤个客人选中自己的雨伞的概率.
解：⑴ 设=1A 第i 个客人选中自己的雨伞),,1(n i =,则
!
1)1()1(11)()1()()()(121
1
111
1
n C n n C n C A P A A P A P A P p n n
n n n n
i i n n
j i j i n
i i n
i i -=-≤<≤==-++--=-++-
==∑∑ ∑=---=-+++-=n
i i n i n 111!
1)1(!1)1(!31!211 ; ⑵ “n 个客人都未选中雨伞的概率”为∑∑==---=--=-+++--n
i i n i i n i i n 2
1
11!
1)1(!
1)
1(1)!
1)1(!31!211(1 ,
则类似的“指定的某k n -个客人未选中的概率”为 ∑-=-=
k n i i
i p 2
!
1
)
1( ; ⑶ 可以看出⑴之“和式”中第k 项(1)
(1)k
n C n n n k --+应为有k 个客人选中自己的雨伞的概率; 而“恰有k 个客
人选中”还隐有“另有k n -个客人未选中”, 这一概率已由⑵所给出, 所以 ∑∑-=-=-=-⋅+--=k n i i k
n i i
k
n
i k i k n n n C p 22
!
1)1(!1!1)1()
1()1( . 5．几何概型问题：
()A P A μμΩ=.
例9．设实数y x ,满足,10,10<<<<y x 求3/1<xy 的概率. 解：}10,10,3/1|),{(},10,10|),{(<<<<<=<<<<
=Ωy x xy y x A y x y x , ,1=ΩS
1
1/31211ln 3,333
A S dx x =-=-⎰
21()ln 333A S
P A S Ω∴==- .
例10．(07.一)在区间(0,1)随机地取出两个数,则这两个数之差的绝对值小于12的概率是 3/4 .
解:|
|0.50.50.50.50.5x y y x x y x -<⇔-<-<⇔-<<+,画图可知.
6．条件概率问题：
例11．从一批废品率为1.0的产品中, 重复抽取20件产品, 初步已发现有2件废品, 问(在此条件下)这20件产品中废品不少与3件的概率.
解：设=A 这20件产品中废品不少于2件,=B 这20件产品中废品不少于3件(显然B A ⊂), 则
201192218201
19202020(|)()()()()(10.90.10.90.10.19)(10.90.10.9)0.531P B A P AB P A P B P A C C C ===--⋅-⋅--⋅≈
7．独立试验序列(Bernoulli 概型)问题：
例12．设某公汽车站每5分钟有一辆车到达(每辆到站公汽都能将站上候车的乘客全载走) , 而每位乘客在5 分钟内的任意时刻到达车站是等可能的.求正在车站候车的10位乘客中, 恰有一位候车的时间超过4分钟的概率.
解：268.0)5/4()5/1()(911
10≈=C A P 。

8．独立性的应用问题：
例13．若甲,乙,丙三个小组在一天内独自能将某密谋破译的概率分别为1/ 2, 1/ 3与1/ 4。

让这三个小组独立地去破译, 求一天内这三个小组中至少有一个小组能将此秘码破译的概率.
解：分设321,,A A A 为甲,乙,丙三个小组独自能将此密谋破译的事件，则
4/34/11)()()(1)(1)(1)(321321321321=-=-=-=-=A P A P A P A A A P A A A P A A A P .
9．全概与逆概问题：
例14．一道单选题共列出四个答案, 假设某学生知道正确答案的概率为, 乱猜的概率也是0.5(设他乱猜而猜对的概率为0.25) .如果已知他答对了, 问他确实知道哪个是正确答案的概率为.
解：设=A 他知道正确答案,=A 他乱猜,=B 他答对了,则)()|()()|()(A P A B P A P A B P B P +=
,625.05.025.05.01=⋅+⋅= 故 8.0)(/)()|()|(==B P A P A B P B A P .
第二章 随机变量及其分布
一．一元随机变量: 1 . 几个重要分布:
)10(~-X :)1(,.10,1,0,)1()(1p p DX p EX p k p p k X P p k k k -==<<=-===- ;
),(~p n B X :)1(,,,10,,,1,0,)1()(p np DX np EX n p n k p p C k X P p k n k k n k -==<<=-===-为正整数 ;
)(~λP X :λλλλλ==>====-DX EX k k e
k X P p k k ,,0,,1,0,!
)( ;
)(~p G X :21)1(/,/1,10,,2,1,)1()(p p DX p EX p k p p k X P p k k -==<<=-===- ; ),(~b a U X :12)(,2,,),(,
0),(,1)(2a b DX b a EX b a b a x b a x a b x f -=+=<⎪⎩⎪⎨
⎧∉∈-=为实数 ; )(~λE X :21,1,0,0,
00,)(λλλλλ==>⎩⎨
⎧≤>=-DX EX x x e x f x ; (注意用θ表记的另一种形式) ),(~2σμN X :222,,0,,2)(exp 21
)(σμσσμσπ==>∈⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=
DX EX R x x x f . 附：① 注意分布律,概率密度,分布函数的性质.⑥⑦⑧ ② 正态分布曲线
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
222)(exp 21
σμσπx y 的性态——中高边低、左右对称、
倒扣的钟形。

从渐近线、对称轴、极大值、拐点、陡缓趋势等角度分析。

③ 正态分布的分布函数
,2)(exp 21
)(22⎰∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
x
dt t x F σμσπ为以)5.0,(μ为中心的对称图形.
④ 标准正态分布)1,0(~N X ：,21)(2
2
x
e x
f -=π
其分布函数⎰∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
Φx
dt t x 2exp 21
)(2π为Laplace 函数, 且)(1)(x x Φ-=-Φ。

⑤ 命题：设),(~2σμN X ，则⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-Φ-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Φ=≤<σμσμa b b X a P )(。

⑥ α分位点：设,10),,(~2<<ασμN X 称满足()αααα=>=>)|(|)|(|2/Z X P Z X P 的)(2/ααZ Z 为标准正态分布的上(双侧)分位点。

例1.设连续型X V P ..的密度)(x f 为偶函数)(,x F 是X 的分布函数,证明对任意实数,x 有=-+)()(x F x F 1. 证:,)()()()()(⎰
⎰
⎰
+∞
∞
+-=-∞
-=--=
=
-x
x
t
s x
ds s f s d s f dt t f x F 1)()()()(=+=-+∴⎰
⎰
+∞
∞
-x
x
ds s f dt t f x F x F .
例2．(07.一) 某人向同一目标独立重复射击,其命中率为(01)p p <<,则此人的第四次射击恰好是第二次命中的概率
是 222222()3(1),()6(1),()3(1),()6(1)A p p B p p C p p D p p -
---.
解: 第四次射击恰好是第二次命中,说明前三次射击仅命中一次且第四次又命中,故应选( C ).
例3． 设随机变量X 服从正态分布),,(~2σμN X 则随2σ的增大, 概率{},||σμ<-X P ( )
(A) 单调增大， (B) 单调减小， (C) 保持不变， (D) 非单调变化。

解：{}{}{}⇒-Φ=<-<-=<-=<-1)1(21/11/||||σμσμσμx P X P X P 保持不变⇒ (C)
2．连续型随机变量函数的分布:设随机变量X 的密度为的密度。

为连续函数，求而)()(),(X g Y x g y x f X == ① 确定{}，的定义域，与的非零域g X x X D x g y x f x R x f )(0)(|)(=≠= ② 确定{}，
，的非零域g X Y Y D R x x g y y R y f ∈≠==0)(|)( ③ 在Y Y R y f 的非零域)(内Y
y Y Y y X g P y Y P y F y f )))((())(()()('≤='≤='=; 在Y Y R y f 的零域)(内0)(=y f Y . 例4．设),,(~2σμN X 求X e Y =的密度. 解: ),,()(),,(02)(exp 21)(|22
+∞-∞=+∞-∞=⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧≠⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=
=x D x x f x R g X
X σμσπ Y Y R y f 的非零域)(∴{}
),,0(),(,|+∞=+∞-∞∈==x e y y x
2
ln
2
22
ln
22
()
0,()()()(ln),
2
()1(ln)
()()exp
22
y
X
Y
y
Y Y
y
x
y F y P Y y P e y P X y dx
x y
f y F y dx
y
-∞
-∞
⎛⎫
-
∀>=≤=≤=≤=- ⎪
⎝⎭
'
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
--
'
∴==-=-
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
⎰
⎰
μ
σ
μμ
σσ
二．二元随机变量——实际上是随机向量)
,
(Y
X——的分布:
1．离散型随机变量)
,
(Y
X:
⑴联合分布律:,
,2,1
,
)
,
(
=
=
=
=j
i
y
Y
x
X
P
p
j
i
ij
非负性),1
0(≤
≤
ij
p规范性)1
(
,
∑=
j
i
ij
p.
⑵分布函数:,
,
,
)
,
(
)
,
(
,
R
y
R
x
p
y
Y
x
X
P
y
x
F
y
y
x
x
ij
j
i
∈
∈
=
≤
≤
=∑
≤
≤
实际上为点)(
,
(y
x含直线x
x=
(与)y
y=
之左下各取值点概率的累加, 为分段函数.
⑶边缘分布律,条件分布律:若离散型随机变量)
,
(Y
X的联合分布律为,
,2,1
,
)
,
(
=
=
=
=j
i
y
Y
x
X
P
p
j
i
ij
称
,2,1
)
(=
=
=
=∑
⋅
i
p
x
X
P
p
j
ij
i
i
为关于X的边缘分布律;
称
,2,1
)
(=
=
=
=∑
⋅
j
p
y
Y
P
p
i
ij
j
j
为关于Y的边缘分布律.
附: 随机变量X与Y相互独立j
i
ij
p
p
p
j
i
⋅
⋅
⋅
=
∀
⇔,
,.
若对固定的,0
)
(
),
,2,1
(>
=
=
j
y
Y
P
j
j 则称,
,2,1
/
)
|
(
=
=
=
=
⋅
i
p
p
y
Y
x
X
P
j
ij
j
i
为在
j
y
Y=的条件下随机变量X的条件分布律;
若对固定的,0
)
(
),
,2,1
(>
=
=
i
x
X
P
i i 则称,
,2,1
/
)
|
(
=
=
=
=
⋅
j
p
p
x
X
y
Y
P
i
ij
i
j
为在
x
X=的条件下随机变量Y的条件分布律.
例5．(99.一) 设随机变量X和Y相互独立,
表列出了二维随机变量)
,
(Y
X的联合分布律及关于
X和关于Y的边缘分布律中的部分数值,
值填入表中的空白处.再求出各条件分布律.
2．连续型随机变量:
⑴概率密度:,
,
)
,
(R
y
x
y
x
f∈非负性,
(
(y
x
f规范性)1
)
,
(
(=
∞
-∞
-
dxdy
y
x
f.
⑵分布函数:R
y
x
dudv
v
u
f
y
Y
x
X
P
y
x
F x y∈
=
≤
≤
=⎰⎰∞-∇-,,
)
,
(
)
,
(
)
,
(为连续函数.
附:分布函数具有非负, 单调不减, 规范)1
)
,
(
,0
)
,0(
)
,
(
)
,
(
(=
+∞
+∞
=
-∞
=
-∞
=
-∞
-∞F
F
x
F
F与对各变元右连
续等性质. 对连续型随机变量而言,,
)
,
(
)
)
,
((⎰⎰
=
∈
D
dxdy
y
x
f
D
y
x
P且在)
,
(y
x
f的连续点处)
,
(
)
,
(y
x
f
y
x
F=
''.
⑶边缘概率密度与边缘分布函数:若连续型随机变量)
,
(Y
X的联合概率密度为,
)
,
()
,
(2
R
y
x
y
x
f∈则
①关于X的边缘概率密度为⎰+∞∞-∈
=)
(
)
,
(
)
(R
x
dy
y
x
f
x
f
X
;
关于Y的边缘概率密度为⎰+∞∞-∈
=)
(
)
,
(
)
(R
y
dx
y
x
f
y
f
Y
;
②关于X的边缘分布函数为dx
dy
y
x
f
x
F
x
F x
X⎰⎰∞-
+∞
∞
-
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=
+∞
=)
,
(
)
,
(
)
()
(R
x∈;
关于Y 的边缘分布函数为),()(y F y F Y +∞=dy dx y x f y
⎰⎰∞-+∞∞-⎪⎭
⎫ ⎝⎛=
),()(R y ∈. 附: 随机变量X 与Y 相互独立 )()(),(,),(2y f x f y x f R y x Y X =∈∀⇔ )()(),(,),(2y F x F y x F R y x Y X =∈∀⇔.
⑷ 条件概率密度与条件分布函数: 若连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度为,),(),(2R y x y x f ∈则有 ① 若对固定的,0)(,>∈y f R y Y 称|(|)(,)(),,X Y Y f x y f x y f y x R =∈为在y Y =下X 的条件概率密度; 若对固定的,0)(,>∈x f R x X 称|(|)(,)(),,Y X X f y x f x y f x y R =∈为在x X =下Y 的条件概率密度; ② 若对固定的,0)(,>∈y f R y Y 称|(|)[(,)()],,x
X Y Y F x y f u y du f y x R -∞
=
∈⎰
为在y Y =下X 的条件分布函数;
若对固定的,0)(,>∈x f R x X 称|(|)[(,)()],y
Y X X F y x f x v dv f x y R -∞
=
∈⎰为在x X =下Y 的条件分布函数 .
例6． 设二维随机变量()Y X ,的联合密度为，其它⎩⎨
⎧≤≤≤≤=.
00,10,),(x y x A y x f ⑴ 确定常数
A ;
⑵ 求()Y X ,的联合分布函数; ⑶ 求边缘概率密度; ⑷ 判别X 与Y 是否相互独立; ⑸ 求条件概率密度函数.
解：⑴ 22),(1100
0,102
=⇒====⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
≤≤≤≤A A dy dx A Adxdy dxdy y x f x
x y x R . ⑵ 当0<x
或0<y 时,0),(),(,=≤≤=y Y x X P y x F
当x y x <≤<≤0,10时, ,2)(22),(),(20
y xy dv v x du dv y Y x X P y x F y
y
x
v
-=-==≤≤=⎰⎰⎰
当10,1<≤≥y x 时,2)1(22),(),(,20
1
y y dv v du dv y Y x X P y x F y
y
v
-=-==≤≤=⎰
⎰⎰ 当x y x ≥<≤,10时,22),(),(,20
x udu dv du y Y x X P y x F x
x u ===≤≤=⎰
⎰⎰ 当1,1≥≥y x 时 =∴==≤≤=⎰⎰
),(,12),(),(,10
y x F du y Y x X P y x F u
⑶ ,,010,2.010,2)(0⎩⎨⎧≤≤=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰其它其它x x x dy x f x
X
,,010),1(2.
010,2)(1⎩⎨⎧≤≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=⎰其它其它y y y dx y f y Y ⑷ 由于),()(),(y f x f y x f Y X ≠所以X 与Y 不相互独立 ;
⑸ 对每个固定的),1,0(∈x ,0,/1)(/),()|(|x y x x f y x f x y f X X Y <<== 对每个固定的),1,0(∈y 1,),1/(1)(/),()|(|<<-==x y y y f y x f y x f y y x . 例7．(07.一)设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 互不相关,(),()X Y f x f y 分别表示X 与Y 的概率密度,
则在Y
y =的条件下,X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 是 ( )
()(),()(),()()(),()()()X Y X Y X Y A f x B f y C f x f y D f x f y ⋅.
解: 二维正态分布中X 与Y 互不相关X ⇔与Y 互相独立(,)()()X Y f x y f x f y ⇔
=⨯
故
|(|)(,)()()X Y Y X f x y f x y f y f x ==,故选(A )
例8．设随机变量X 的绝对值不大于1;{}{}25.01,125.01===-=X P X P ;在事件{}11<<-X 出现的条件
下, X 在(--1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比. 试求： ⑴ X 的分布函数{}x X P x F ≤=)(;⑵ X 取负值的概率p .
解：⑴显然, 1-<x 时，0)(=x F ;而{}{},25.01,125.01===-=X P X P {}625.011=<<-∴X P 由在事件{}11<<-X 出现的条件下,X 在(--1, 1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比, 有
11<<-x 时，{},)2/1()]1(1/[)]1([11|1+=----=<<-≤<-x x X x X P 故在11<<-x 时，{}x X P ≤<-1
{}{}{},16/)55(]2/)1[(625.011|11111,1+=+⋅=<<-≤<-⋅<<-=<<-≤<-=x x X x X P X P X x X P 此时, {}{}{},16/)75(16/)55(125.011)(+=++=≤<-+-==≤=x x x X P X P x X P x F 另外1,≥x 时,
,
1,111,16/)75(1,0)(,1)(⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<≤-+-<=∴=x x x x x F x F ⑵ {}{}16/716/)705(0)0(0)0(0=+⋅=-==-=<F X P F X P .
三．二维随机变量函数的分布: 应掌握和的分布, 差的分布, 积的分布与最大最小分布 .
1．求函数分布的一般思路:设随机变量()Y X ,的联合密度为),,(y x f 且),,(Y X g Z =求Z 的概率密度. 先由⎰⎰
=
∈=≤=≤=z
D z Z dxdy y x f D Y X P z Y X g P z Z P z F ,),()),(()),(()()(分段求出Z 的分布函数,
再由),()(z F z f Z Z '=依上述分段求出Z 的概率密度. 这里区域{}z y x g y x D z ≤=),(|),(.
例9．设随机变量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),0,0(为顶点的三角形上服从均匀分布,求Y X Z +=的概率密度.
解：由图知:0<z
时0)()(=≤=z Z P z F Z ;2>z 时1)()(=≤=z Z P z F Z ,都有0)(=z f Z ;
而10<≤z 时,2)2
(21222)()()(22z z S dxdy z Y X P z Z P z F OAB OAB Z
=⋅⋅=⋅==≤+=≤=∆∆⎰⎰;且21<<z 时
,2)2(1])2
2(2121[22)()(22z z dxdy z Y X P z F z OCDF Z --=--==≤+=⎰⎰⎪⎩
⎪⎨⎧≥∨<<≤-<≤=∴2
0021,
210,)(z z z z z z z f Z .
例10．(01.三) 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形}31,31|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上的均匀分布, 试求随机变量
||Y X U -=的概率密度()U f u .
解：由图知
<u 时,
0)()(=≤=u U P u F U 2
>u 时,1)()(=≤=u U P u F U 都有0)(=u f U ;而
2
0<<u 时:
[]
,4/)2(14/)2(44/41
),()()()(22u u S dxdy dxdy y x f u Y X P u U P u F U U
U
D D D U --=--===
=≤-=≤=⎰⎰⎰⎰
⎩
⎨
⎧∉∈-=∴-='=∴)2,0(,0)2,0(,2/)2()(,),2(21
)()(u u u u f u u F u f U U
U . 例11．设随机变量Y X ,在}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x G 均匀分布, 试求随机变量XY S =的概率密度. 解：),(}{}{Y X s XY s S 为≤=≤落入两对称的等轴双曲线s xy =之间的事件.
当1||>s 时，}{s XY ≤覆盖了),(y x f 的整个非零区域, 此时0,1)()(==≤=）（即s f s XY P s F S S ; 当10<<s 时，等轴双曲线s xy =在一,三象限, 将它们之间),(y x f 的非零域用s D 表示, 则
,ln
1)(),ln 1(1)ln (211)1(211)1(211)
)1(24(41
)24(414141),()()()(1111/11/s s f s s s x s x dx x s dx dy dx dy S S d d y x f s XY P s S F s F S s s s x s s x s A D D D S S S S -=∴-+=
--=--=-=-=-====≤=≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰σσ 类似
地, 当01<<-s 时,),ln(2
1)(s s f S --= 例12．设随机变量Y X ,在}11,11|),{(≤≤-≤≤-=y x y x G 均匀分布, 求边长为Y X ,之正方形面积XY S =的概率密度.
解：),(}{}{Y X s XY s S 为≤=≤落入两对称的等轴双曲线s xy =之间的事件.
当1>s 时,}{s XY ≤覆盖了),(y x f 的整个非零区域,此时0,1)()(==≤=）
（即s f s XY P s F S S ;而当0<s 时,}{s XY ≤为
不可能事件,此时0,0)()(==≤=）
（也有s f s XY P s F S S ; 当10<<s 时, 将等轴双曲线s xy =之左下),(y x f 的非零域用s D 表示, 则
,
ln )(,ln )ln (1))/(1(1)1(111),()()()(1111
/s s f s s s x s x dx x s dx
dy S S d d y x f s XY P s S F s F S s s
s
x
s A D D D S S S
S
-=∴-=--=--=-=-====≤=≤=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
σσ
例13．设随机变量Y X ,都服从参数为)0(>λλ的指数分布且互相独立, 求Y X Z /=的概率密度. 解：可知当),(y x 在第一象限时,),()(2y x e y x f +-=λλ否则,0),(=y x f
),(}{
}{Y X z Y X z Z 为≤=≤落入右左之y x z =的事件(当
00<>y y 时) . 当0<z 时右左之y x z =在四
二象限, 不含),(y x f 非零域, 此时00))/(())(()()(='='≤='≤='=z z z Z Z z Y X P z Z P z F z f ; 而当0>z 时,
202002)1/(1))1(ex p()))(ex p(())/(()()(z dx y z dy dx y x z Y X P z F z f yz z Z Z +=+-='⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-='≤='=⎰⎰⎰∞
+∞+λλλ 附：极大极小分布, 设n X X ,,1 互相独立且服从同分布, 其分布函数与概率密度分别为)(x F 和)(x f , 则
常用于
并串
联的
11max(,,)min(,
,)
n n U X X V X X ==有
()()()1(1())
n U n
V F x F x F x F x ==--与
11
()()()()(1())
()
n U n V f x nF x f x f x n F x f x --==-.
例14. 将两封信投入编号为Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ的三个邮筒中, 设Y X ,分别表示投入到第Ⅰ号, 第Ⅱ号邮筒中信的数目.求: ⑴
),(Y X 的联合分布; ⑵ X 与Y 是否相互独立？ ⑶ 0=Y 时X 的条件分布律; ⑷ ),max(Y X U =与),min(Y X V =的
分布.
解: ⑴21
222(0,0)1/31/9,(0,1)/32/9,(0,2)1/31/9,P X Y P X Y C P X Y ============
,9/23/)0,1(212====C Y X P ,0)2,1(,9/23/)1,1(212=======Y X P P Y X P
,0)1,2(,
9/13/1)0,2(2=======Y X P Y X P 0)2,2(===Y X P
⑵ 显然X 与Y 相互不独立.
⑶4/1)9/4()9/1()0(/)0,0()0|0(=÷=======Y P Y X P Y X P ,2/1)9/4()9/2()0(/)0,1()0|1(=÷=======Y P Y X P Y X P 4/1)9/4()9/1()0(/)0,2()0|2(=÷=======Y P Y X P Y X P .
⑷ ()Y X U ,m ax =的分布为2(,9/6)1(,9/1)0(=====U P U P U P 9/2=;()Y X V ,m in =的分布为 9/2)1(,9/7)0(====V P V P .
2．相互独立的两随机变量之和的分布：
设随机变量()Y X ,的联合密度为),,(y x f 且X 和Y 相互独立, 则Y X Z +=的概率密度为
⎰
⎰
+∞
∞
-+∞
∞
--=-=dy y f y z f dx x z f x f z f Y X Y X Z )()()()()(.
例15. 设某种商品一周的需求量X 是一个随机变量,其概率密度为，⎩⎨
⎧≤>=-0
.
00,
)(x x xe x f x
并设各周对该商品的需求量是
相互独立的.⑴以k U 表示k 周的需求量,求2U 和3U 的概率密度)(2u f 和)(3u f ;⑵以Y 表示三周中各周需求量的最大值,求Y
的概率密度)(x f Y ;⑶以V 表示三周中各周需求量的最小值,求V 的概率密度)(x f V .
解：⑴ 设第二周的需求量为Z , 其概率密度与X 相同且相互独立, 故Z X U +=2为两独立随机变量之和. 当
0<u 时,0)(2=u f 当0>u 时,
()
()()20
32
3
32000()()()()()()()/6,0()(),(),
2360,0t u x
u
u
x u t u t t X Z Z Z u u
u
u
u
u t t u u f u f x f u x dx xe f u x dx u t e f t dt u t e te dt
u e u t t u e u t e te dt e u t tdt e u f u u =-+∞
+∞
-------∞
-∞
---+---=-=-=
-=-⎧>⎡⎤=-=-=-=∴=⎨⎢⎥⎣⎦<⎩
⎰
⎰
⎰
⎰⎰⎰
设第三周的需求量为W , 其概率密度与X 相同且相互独立, 故W U U +=23为两独立随机变量之和. 当0<u 时,0)(3=u f 当0>u 时, ⎰
⎰
+∞
-+∞
∞
--⋅=-=
323)()6/()()()(dx x u f e u dx x u f x f u f W u W
⎰⎰---∞----=-=-=u t t u u Z t u x
u t dt te e t u dt t f e t u 0)(3)(3)(61)()(61,1205u e u -= ,0,00,120/)(53⎩
⎨⎧<>=∴-u u e u u f u ⑵
3
3
2()()(max(,,))()()()(),
()()(())3()()Y X Y Y X y X
X F y P Y y P X Z W y P X y P Z y P W y F y f y F y F y F y f y =≤=≤=≤≤≤=''∴
===⋅
⑶ )),,(m in(1)),,(m in()()(v W Z X P v W Z X P v V P v F V >-=≤=≤=
,))(1(1)()()(13v F v W P v Z P v X P X --=>>>-= )())(1(3)()(2v f v F v F v f X X V V ⋅-='=∴.
四. 试题选讲:
1．(02.三)设随机变量~(2,2)-U
U ,随机变量1,1
1,1
,
1,11,1-≤--≤⎧⎧==⎨⎨
>->⎩⎩
U U X Y U U . 试求：(1)
X 和Y 的联合概率分布; (2)()+D X Y .
解: (1) 随机变量(X ,Y )有四个可能值： (−1,−1), (−1,1), (1,−1), (1,1) .
(1,1)(1,1)(1)14;(1,1)(1,1)()0;
(1,1)(1,1)(11)12;(1,1)(1,1)(1)14.
=-=-=≤-≤=≤-==-==≤->-=Φ===-=>-≤=-<≤====>->=>=P X Y P U U P U P X Y P U U P P X Y P U U P U P X Y P U U P U 于
是可得X 和Y 的联合概率分布为 (1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(,)~1401212----⎛⎫
⎪⎝⎭
X Y .
(2)
+X Y 和2()+X Y 的概率分布相应为2
20204~,()~14121121-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
X Y X Y 得
2()(()20,)+===++D X Y E X Y Y E X .
2 (02.三) (1
3 分)．假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布,平均无故障工作的时间(EX )为5小时. 设备定时开机, 出现故障时自动关机, 而在无故障的情况下工作2 小时也关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数F (y ).
解: 设X 的分布参数为λ. 由 51,λ==EX 有15λ=.而min(2,)0(02),=>≤<Y X X
当
0<y 时,()0=F y ; 当0≥y 时,()1=F y ; 而当02≤<y 时,
()()=≤F y P Y y (min(,2))()1-=≤=≤=-y P X y P X y e 故Y 的分布函数如右. 3．(03.三)设随机变量
X 的概率密度为
1[1,8]
(),()0,
⎧⎪∈=⎨⎪⎩其它x f x F x 是X
的分布函数. 求随机变量
()=Y F X 的分布函数 .
解:当1<x 时,()0=F x ;当8≥x 时,()1;=F x 当18≤
<x 时,1
()1==⎰x
F x dt .
设()G y 是()=Y F X 的分布函数. 显然, 0<y 时,()()(()0)0;=≤=<=G y P Y y P F X
1≥y 时,()()(()1)1;=≤=<=G y P Y y P F X
01≤<y 时,()()(())=≤=≤G y P Y y P F X y
331)((1))[(1)],1=≤=≤+=+==P y P X y F y y
故()=Y
F X 的分布函数如右.
4．(03.三)设随机变量
X 与Y 独立,其中X 的概率分布为1
2~0.30.7⎛⎫ ⎪⎝⎭
X ,而Y 的概率密度为()f y ,求随机变量
=+U X Y 的概率密度()U g u .
解:设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式,知=+U
X Y 的分布函数为
()()(|1)0.3(|2)0.7(1|1)0.3(2|2)0.7(1)0.3(2)0.70.3(1)0.7(2).
=+≤=+≤=⋅++≤=⋅=≤-=⋅+≤-=⋅=≤-⋅+≤-⋅=-+-由全概率公式
——G u P X Y u P X Y u X P X Y u X P Y u X P Y u X P Y u P Y u F u F u U 的概率密度为:()
()0.30.3(1(1))0.7(0.2)27)('''==-+-=-+-U g u G u F u f u f u F u .
5．(04.三) (13 分)设,A B 为两个随机事件,且()14,(|)13,(|)12,===P A P B A P A B 令
1,1,,0,
0,⎧⎧==⎨
⎨
⎩⎩
发生
发生
不发生不发生A B X Y A B . 求 (Ⅰ) 二维随机变量(,)X Y 的概率分布; (Ⅱ)
X 与Y 的相关系数ρ; (Ⅲ)22=+Z X Y 的概率分布.
解: (Ⅰ) 由()()(|)112,=
=P AB P A P B A 有(
P B
(1,1)()112,
(1,0)()()()1(0,1)()()()112,(0,0)123,========-=====-====-=P X Y P AB P X Y P AB P A P AB P X Y P AB P B P AB P X Y (Ⅱ) 由此很易算出, 14,16,316,5112===EX EY DX . 从而
(ρ=-⋅=EXY EX EY .
(Ⅲ) Z 的可能取值为：0,1,2． (0)(0,0)2∴=====P Z P X Y
(1)(0,1)(1,0)14,
(2)(1,1)112
====+========P Z P X Y P X Y P Z P X Y 故. Z 的概率分布为0
122314112⎛⎫ ⎪⎝⎭
Z
6．(05.三)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为
1,01,02(,)0,<<<<⎧=⎨
⎩
其它x y x
f x y , 求: (1) (,)X Y 的边缘概率密度
(),()X Y f x f y ; (2)2=-Z X Y 的概率密度()Z f z ; (3)(12|12)≤≤P Y X .
解1：(1)如右图
201
22,01
,01()(,)0,0,
,0212,0
()(,)0,0,
+∞
-∞
+∞
-∞
⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨
⎩⎪⎩⎧<<-<<⎧⎪
===⎨⎨
⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰
其它其它其它其它x
X y Y x x dy x f x f x y dy dx y y y f y f x y dx
(2) 记()Z F z 为Z 的分布函数, 并定义区域
1{(,)|01,02},{(,)|01,0,20},=<<<<=<<>->>D x y x y x D x y x y x y z
由于(X ,Y )服从区域D 上均匀分布,且1⊂D D ,故211((,))(12)1,∈==-D D P X Y D S S z
当0≤z 时,()(2)0=-≤=Z F z P X Y z ；
当02≤
<z 时,21()(2)1(2)1((,))4=-≤=-->=-∈=-Z F z P X Y z P X Y z P X Y D z z
当2≥z 时,()(2)1=
-≤=Z F z P X Y z .因此Z 的概率密度为12,02
(),0,
-<<⎧=⎨⎩其它Z z z f z
(3) 再记2{(,)|0.5,00.5},=<≤<≤D x y y x y 且20.5(0.250.5)0.5316=+⋅=D S .则
2(0.5,0.5)316,≤≤==D D P X Y S S 故
(0.5|0.5)(0.5,0.5)(0.5)0.18750.250.75.≤≤=≤≤≤==P Y X P X Y P X
解2：(1)同解1. (2)仍记为()Z F z ,当0<z 与2≥z 时,仍同解1; 当02≤
<z 时,12222
1()()(,)14;-->-=>===-+⎰⎰
⎰⎰
x z
z x y z
z F z P Z z f x y dxdy dx dy z z
故仍有分布函数与概率密度如解1.
12
12
1111,0222
(3)(0.5)()20.25;
113
(,)(,);2216113
11131(|)(,)().
22216422
4X x y y P X f x dx xdx P X Y f x y dxdy dy dx P Y X P X Y P X ≤≤≤===≤
≤===≤≤=≤≤≤==⎰⎰
⎰⎰⎰⎰
7．(06.三)(9 分)随机变量X 的概率密度为
12,10()14,020,-<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩
其它X x f x x ,令2
,=Y X 且(,)F x y 为二维随机变量
(,)X Y 的分布函数. 求(1) Y 的概率密度()Y f y ； (2)(12,4)-F
解:(I )2()
()()=≤=≤Y F y P Y y P X y
01≤<y
时0
0,()(=≤≤=+=⎰Y F y P X dx dx
14≤<y
时0
1
,()(0.5(2-=≤≤
=+=+⎰Y F y P X dx dx
故
301()()1140,⎧≤<⎪⎪
'==≤<⎨⎪⎪⎩其它X Y y f x F y y . (II ) 2
0.51
(0.5,4)(0.5,4)
(0.5,4)(0.5,22)(20.5)0.50.25.
---=≤-≤=≤-≤=≤--≤≤=-≤≤-==⎰F P X Y P X X P X X P X dx
8. (07.一) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度如右, 求:(Ⅰ)(2)>P X
Y ; (Ⅱ)=+Z X Y 的概率密度.
解: (Ⅰ)1
2
1
220
(2)(,)(2)[58]724.σ≥>==--=-=⎰⎰
⎰⎰⎰x x y
P X
Y f x y d dx x y dy x x dx
(Ⅱ) 解1 ()()=
+≤z F z P X Y z
223
00
211
310,02,01
(2)3,01,()()(2),12
1(2)1(2)3,12
0,1,2---<⎧
⎪⎧-<<--=-≤<⎪⎪
⎪'===-<<⎨⎨⎪⎪---=--≤<⎩
⎪
≥⎪⎩
⎰⎰⎰⎰其它z z x
z z z z x
z z z z dx x y dy z z z f z F z z z dx x y dy z z z 解
2:
201
21(2)2,01
()(,)(2)(2),120,+∞
-∞
-⎧-=-<<⎪⎪=-=-=-<<⎨⎪
⎪
⎩
⎰⎰
⎰其它z Z z u du z z z f z f u z u du u du z z
第三章
数字特征
应熟悉各数字特征的内含. 一．(数学)期望: 1. 定义:
设离散型随机变量X 的分布律为,,2,1)( ===k x X P p k k 随机变量)(X g Y =, 则分别称k k i
EX x p =
∑与∑=i
k k p x g EY )(为X 与Y 的期望.
设连续型随机变量X 的概率密度,),(R x x f ∈随机变量)(X g Y =,
则分别称()EX xf x dx +∞
-∞
=
⎰
与⎰+∞
∞
-=dx x f x g EY )()()为X 与Y 的期望.
设二元离散型(连续型)随机变量),(Y X 的联合分布律(概率密度)为,,2,1,),( ====j i y Y x X P p j i ij (),(y x f )随机变量),,(Y X g Z =则称∑=
j
i kj
j
k
p
y x g EZ ,),((⎰⎰
=
2
),(),(R dxdy y x f y x g EZ )为Y 的期望.
2．性质:线性())(bEY aEX bY aX E +=+;(积的期望不相关与独立与Y X EXEY XY E Y X ⇔=⇒)(). 例1．设随机变量X 服从Cauchy 分布(即概率密度为)1(/1)(2x x f +=π), 求DX . 解：
220
||()(||(1))2((1))x f x dx x x dx x x dx π+∞
+∞
+∞
-∞
-∞
=+=+=∞⎰
⎰
⎰
不存在 EX ∴与DX 都不存在.
例2．设随机变量,)10()(~2<<++=x c bx ax x f X 否则0)(=x f ,且,15.0,5.0==DX EX 求c b a ,,的值. 建立联
故
例
4.(03三)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若Z = X − 0.4 ,则Y 与Z 的相关系数为____ .
解: 因为 cov(Y , Z )=cov(Y , X −0.4) =C o v (Y , X ) −cov(Y , 0.4)= cov (Y , X )= cov (X , Y )且D (Z ) =D (X ). 于是
cov(,cov(0.9,.ρρ====YZ XY Y Z X Y
例5．某路公汽全线共有11个车站, 公汽开出后车上的20个乘客中每人在每个车站下车的可能性是相同的. 若在某站无人下车, 则公汽不停车, 求此公汽的平均停车次数.
解：设i X i 第=站的停车次数, 则11,,3,2,9.01,9.01)1(,9.0)0(202020 =-=-====i EX X P X P i i i , 再设=X 10个站的总共停车次数, 则)9.1(1010)(201-==++=i n EX X X E EX .
例6． 在长为a 的线段上任取两点,求两点间的距离的数学期望. 解: 两点在x 轴上的坐标分为),,0(~),,0(~a U Y a U X 由任取知X 与Y 独立,故),(Y X 的联合密度为
{},),(,0),(;0,0|),(),(,/1),(2D y x y x f a y a x y x D y x a y x f ∉=<<<<=∈=设Y X Z -=为两点间的距离,则
3/,3/)()(),(30
222
a EZ a dy x y dx dy y x dx dxdy y x dxdy y x f y x a EZ a a a
x
a x D
R =∴=-+-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
.
例7．设随机变量Y X ,相互独立且在(0, a)内服从均匀分布, 求[max{,}]E X Y . 解：),(Y X 的联合密度同上，则{}{}{}2
22
max ,max .(,)max .==⎡⎤⎣⎦
⎰⎰
⎰⎰R D
a E X Y a x y f x y dxdy x y dxdy
∴=+=⎰⎰⎰⎰,3/3000a ydy dx xdy dx a a
x
a x {}max ,/3=⎡⎤⎣⎦E X Y a . 二．方差: 对随机变量X , 若2)(EX X E -存在, 则称2)(EX X E DX -=的方差. (以下d c
b a ,,,为常数) 附: 性质: 简便公式22)(EX EX DX -=; ,0=D
c ),cov(2)(22Y X ab DY b DX a bY aX D ±+=±; 和的方差(不相关与独立与Y X DY DX Y X D Y X ⇔+=±⇒)(); {}01=⇔==DX c X P ;
CHebyshev 不等式:若随机变量X 的期望与方差都存在,则2/}|{|,0εεεDX EX X P ≤≥->∀. 例8． 随机变量X 在区间[]2,1-服从均匀分布；
,0
,10,
00,1⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=X X X Y 随机变量Y 如右,求方差DY .
解：{}{}{}{}{}{},3/101,000,3/201=<=-======>==X P Y P X P Y P X P Y P 9/8)(,1,3/1222=-===∴EY EY DY EY EY .
例9． 设X 是一随机变量为常数）0,(,,2>==σμσμDX EX , 则对任意常数c , (B)
(A) 22)()(μ-=-X E c X E ; (B) 22)()(μ-≥-X E c X E ; (C) 22)()(μ-<-X E c X E .
解：μ为期望其含义为“平均数” , 而2)(μ-X E 为方差其含义为对平均数之差方的加权平均,当然比对任意数之差方的加权平均都不大，因此选“B” .
三．协方差:称()()[]EY y EX X E Y X Cov --=),((若存在的话)为随机变量X 与Y 的协方差. 附: 性质: 简便公式(EY EX XY E Y X Cov ⋅-=)(),(); 对称性(),(),(X Y Cov Y X Cov =);
线性()),(),(),(),(),(V Y bdCov U Y bcCov V X adCov U X acCov dV cU bY aX Cov +++=++. 例10．(00.一) 设随机变量()Y X ,服从二维正态分布,随机变量Y X +=ξ与Y X -=η不相关的充要条件是 (A)EY EX = ; (B) ()()2222EY EY EX EX -=-; (C) 22EY EX =; (D) ()()2222EY EY EX EX +=+. 解:不相关DY DX Y Y Cov X Y Cov Y X Cov X X Cov Y X Y X Cov Cov -=-+-=-+==⇔),(),(),(),(),(),(0ηξ ⇔=⇔DY DX (B) , 故选(B) .
四．相关系数:称(,XY Cov X Y ρ=若存在的话)为随机变量X 与Y 的相关系数.
附: 1≤XY ρ;0XY ρ≠⇔X 与Y 间存在线性相关关系(即存在常数b a ,,使{}1=+=bX a Y P );
当)1(1-==XY XY ρρ时,称X 与Y 为完全正(负)相关, 即以X 和Y 的相应取值为横,纵坐标的点, 以概率1 落在一条斜率为)1(1-==k k )的直线上.
例11．(01.一) 将一枚硬币重复掷n 次,X 和Y 分别表示正面和反面向上的次数, 则X 和Y 的相关系数等于
(A) -1; (B) 0; ; (D) 1. (可见以一对取值作横纵坐标描在平面上恰为直线x y n +=, 故选 (A) )
附：二维正态分布()),,,,,(~,222121ρσσμμN Y X 其概率密度为 ()),,;,(,∞+∞-∞+-∞∈∀y x
,)())((2)()1(21ex p 121
),(222221212121222
1⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-------=
σμσσμμρσμρρσπσy y x x y x f 其分量X 和Y 都服从正态分布,
即两个边缘概率密度分为R y e
y f R x e
x f y Y y X ∈=
∈=--
--
,21)(;,21)(22
2
221
2
12)(2
2)(1
σμσμσπσπ,而ρ为X 和Y 的相关系
数，可以证明X 与Y 相互独立0=⇔
ρ。

例12． 设某种商品每周的需求量X 在区间[]30,10上服从均匀分布,而经销商店进货量为区间[]30,10中的 某一整数.商店每销售一件商品可获利500元;若供大于求,则销价处理,每处理一件商品亏损100元;若供不应求,则 可从外部调剂供应,此时一件商品仅获利300元.为使商店所获利润的期望值不少于9280元,试确定最少进货量. 解: 设进货量为,n 则此时的利润500300(),
30300200,30()500100(),10600100,10n X n n X X n n X Y G X X n X X n X n X n
+-<≤+<≤⎧⎧===⎨⎨
--≤≤-≤≤⎩⎩ ,
期望利润为30
30
210
10111()(600100)(100200)7.53505250202020n n
EY g x dx x n dx x n dx n n =
=-++=-++⎰
⎰⎰ 依题意,928052503505.72≥++-n n 即,040303505.72≤+-n n 得,2621≤≤n 解得21≥n . 例13．设随机变量),(Y X 在以点)1,1(),0,1(),0,0(为顶点的三角形上服从均匀分布,求Y X Z +=的方差. 解: ()Y X ,的联合密度为 {}x y x y x D D
y x D y x y x f ≤≤≤≤=⎩⎨
⎧∉∈=0,10|),(,),(,0),(,2),(。