数列极限的定义(2)
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A3表示圆内接正24边形面积, ,
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
2
上页 下页 返回 退出
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的
2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛如 何？
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
17
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性)
如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 ❖定理2(收敛数列的有界性)
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
16
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 •讨论
1 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界 发散的 数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
证证明明
假设同时有
lim
n
xn
a
及 lim n
xn
b
且
a<b
按极限的定义, 对于 b a >0, 存在充分大的正整数 N,
使当n>N时, 同时有
2
|xn因此同时有
a|<
b
2
a
及|xn-
b|<
ba 2
,
xn
b 2
a
及
xn
ba 2
,
这是不可能的. 所以只能有a=b.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
6
上页 下页 返回 退出
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于 常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任 意小的正数>>. >
如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 ❖定理3(收敛数列的保号性)
如果数列{xn}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整 数N 当nN时 有xn0(或xn0) >>> •推论
如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0) 且数列{xn}收敛 于a 那么a0(或a0) >>>
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
只须
n
a2
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
12
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
例3 设|q|<1, 证明等比数列
1, q , q2, , qn-1,
的极限是0.
证明 因为 0, N=[ log|q|e +1]N 当nN时, 有
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
20
上页 下页 返回 退出
总结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
•讨论
对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna (n)
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
14
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性)
如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
18
上页 下页 返回 退出
❖定理4(收敛数列与其子数列间的关系)
如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a >>>
注:
在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数 列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的 子数列.
例如 数列{xn} 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数
§1.2 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
20J21li/4n/2I1 nstitute of Chemical Technology
1
上页 下页 返回 退出
一、数列极限的定义
❖引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
21
上页 下页 返回 退出
|xna |<e 都成立 则称常数a是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛 于a 记为
lim
n
xn
a
或
xna
(n)
如果不存在这样的常数a 就说数列{xn}没有极限
或说数列{xn}是发散的
习惯上也说
lim
n
xn
不存在
•极限定义的简记形式
nl2i0m2J1l/4i/nx21Innstaitut .e ofChemi0ca,l
n
23nn11
3 2
分析:
要使
| 3n1 3| 1 1
2n1 2 2(2n1) 4n
只须
1
4n
即
n
1
4
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
10
上页 下页 返回 退出
么么么么方面 Sds绝对是假的
Jlin Institute of Chemical Technology
列为{x2n} 1 1 1 (1)2n1
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
19
上页 下页 返回 退出
❖定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛
且极限也是a
•讨论
1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列 的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？ 4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 是发散的？
(
)
a a a
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
9
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
例1 证明 lim 3n1 3
n 2n1 2
证明: 因为0 N [41 ] 当nN时 有
| 3n1 3|
2n1 2
所以
lim
|qn-1-0|=|q|n-1<e ,
所以 lim qn1 0 n
分析:
对于 0, 要使
|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e ,
只要n>log|q|e +1就可以了.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
13
上页 下页 返回 退出
lim
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
例2 证明 lim n2 a2 1
n n
证明 因为0 N [a2 ] 当 nN 时 有 | n2 Nhomakorabea a2 1|
n
所以 lim n2 a2 1
n n
分析: 要使 | n2 a2 1| n2 a2 n
a2
a2
n
n
n( n2 a2 n) n
15
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
❖定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 >>>
注:
如果M0, 使对nN 有|xn|M, 则称数列{xn}是有
界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列{xn}是无界的
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
7
上页 下页 返回 退出
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正 数e 总存在正整数N 使得当n>N 时 不等式
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f (n), nN .
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
NN
Technology
当nN时
有|xna|
8
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
❖数列极限的几何意义
•任意给定a的e邻域(a-e, a+e),
•存在 NN 当n<N时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外: •当n>N时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:
5
上页 下页 返回 退出
❖数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于 常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
lim
n
xn
a
lim n 1 n n1
lim 1 0 n 2n
lim
n
n
(1)n1 n
1
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
数列举例:
1 2
2 3
3 4
n n1
2, 4, 8, , 2n , ;
{
1 2n
}
1 2
1 4
1 8
1 2n
1, -1, 1, , (-1)n+1, .
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
3
上页 下页 返回 退出
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
4
上页 下页 返回 退出
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
An表示圆内接正62n-1边形面积,
A123
.
显然n越大, An越接近于S.
因此, 需要考虑当n时, An的变化趋势.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
2
上页 下页 返回 退出
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的
2 数列1, 1, 1, 1, , (1)N1, 的有界性与收敛如 何？
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
17
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性)
如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一 ❖定理2(收敛数列的有界性)
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
16
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
❖定理2(收敛数列的有界性)
如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 •讨论
1 如果数列{xn}收敛, 那么数列{xn}一定有界 发散的 数列是否一定无界? 有界的数列是否收敛?
证证明明
假设同时有
lim
n
xn
a
及 lim n
xn
b
且
a<b
按极限的定义, 对于 b a >0, 存在充分大的正整数 N,
使当n>N时, 同时有
2
|xn因此同时有
a|<
b
2
a
及|xn-
b|<
ba 2
,
xn
b 2
a
及
xn
ba 2
,
这是不可能的. 所以只能有a=b.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
6
上页 下页 返回 退出
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于 常数a, 则数列{xn}收敛a.
•分析
当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任 意小的正数>>. >
如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 ❖定理3(收敛数列的保号性)
如果数列{xn}收敛于a, 且a0(或a0) 那么存在正整 数N 当nN时 有xn0(或xn0) >>> •推论
如果数列{xn}从某项起有xn0(或xn0) 且数列{xn}收敛 于a 那么a0(或a0) >>>
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
只须
n
a2
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
12
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
例3 设|q|<1, 证明等比数列
1, q , q2, , qn-1,
的极限是0.
证明 因为 0, N=[ log|q|e +1]N 当nN时, 有
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
20
上页 下页 返回 退出
总结
数列:研究其变化规律; 数列极限:极限思想、精确定义、几何意义; 收敛数列的性质: 有界性、唯一性、子数列的收敛性.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
•讨论
对于某一正数e 0 如果存在正整数N 使得当nN时 有|xna|e 0 是否有xna (n)
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
14
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性)
如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
18
上页 下页 返回 退出
❖定理4(收敛数列与其子数列间的关系)
如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛 且极限也是a >>>
注:
在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数 列中的先后次序 这样得到的一个数列称为原数列{xn}的 子数列.
例如 数列{xn} 1 1 1 1 (1)n1 的一个子数
§1.2 数列的极限
一、数列极限的定义 二、收敛数列的性质
20J21li/4n/2I1 nstitute of Chemical Technology
1
上页 下页 返回 退出
一、数列极限的定义
❖引例 如可用渐近的方法求圆的面积S？ 用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.
A1表示圆内接正6边形面积, A2表示圆内接正12边形面积,
21
上页 下页 返回 退出
|xna |<e 都成立 则称常数a是数列{xn}的极限 或者称数列{xn}收敛 于a 记为
lim
n
xn
a
或
xna
(n)
如果不存在这样的常数a 就说数列{xn}没有极限
或说数列{xn}是发散的
习惯上也说
lim
n
xn
不存在
•极限定义的简记形式
nl2i0m2J1l/4i/nx21Innstaitut .e ofChemi0ca,l
n
23nn11
3 2
分析:
要使
| 3n1 3| 1 1
2n1 2 2(2n1) 4n
只须
1
4n
即
n
1
4
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
10
上页 下页 返回 退出
么么么么方面 Sds绝对是假的
Jlin Institute of Chemical Technology
列为{x2n} 1 1 1 (1)2n1
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
19
上页 下页 返回 退出
❖定理4(收敛数列与其子数列间的关系) 如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子数列也收敛
且极限也是a
•讨论
1 数列的子数列如果发散, 原数列是否发散? 2 数列的两个子数列收敛, 但其极限不同, 原数列 的收敛性如何? 3 发散的数列的子数列都发散吗？ 4 如何判断数列1 1 1 1 (1)N1 是发散的？
(
)
a a a
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
9
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
例1 证明 lim 3n1 3
n 2n1 2
证明: 因为0 N [41 ] 当nN时 有
| 3n1 3|
2n1 2
所以
lim
|qn-1-0|=|q|n-1<e ,
所以 lim qn1 0 n
分析:
对于 0, 要使
|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e ,
只要n>log|q|e +1就可以了.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
13
上页 下页 返回 退出
lim
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
例2 证明 lim n2 a2 1
n n
证明 因为0 N [a2 ] 当 nN 时 有 | n2 Nhomakorabea a2 1|
n
所以 lim n2 a2 1
n n
分析: 要使 | n2 a2 1| n2 a2 n
a2
a2
n
n
n( n2 a2 n) n
15
上页 下页 返回 退出
二、收敛数列的性质
❖定理1(极限的唯一性) 如果数列{xn}收敛 那么它的极限唯一
❖定理2(收敛数列的有界性) 如果数列{xn}收敛 那么数列{xn}一定有界 >>>
注:
如果M0, 使对nN 有|xn|M, 则称数列{xn}是有
界的; 如果这样的正数M不存在, 就说数列{xn}是无界的
因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a.
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
7
上页 下页 返回 退出
❖数列极限的精确定义
设{xn}为一数列 如果存在常数a 对于任意给定的正 数e 总存在正整数N 使得当n>N 时 不等式
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
•数列与函数
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数: xn=f (n), nN .
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
NN
Technology
当nN时
有|xna|
8
上页 下页 返回 退出
lim
n
xn
a
0,
NN
当nN时
有|xna|
.
❖数列极限的几何意义
•任意给定a的e邻域(a-e, a+e),
•存在 NN 当n<N时 点xn一般落在邻域(a-e, a+e)外: •当n>N时 点xn全都落在邻域(a-e, a+e)内:
5
上页 下页 返回 退出
❖数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于 常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛a, 记为
例如
lim
n
xn
a
lim n 1 n n1
lim 1 0 n 2n
lim
n
n
(1)n1 n
1
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
数列举例:
1 2
2 3
3 4
n n1
2, 4, 8, , 2n , ;
{
1 2n
}
1 2
1 4
1 8
1 2n
1, -1, 1, , (-1)n+1, .
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
3
上页 下页 返回 退出
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列
x1, x2, x3, , xn , , 这一序列叫做数列, 记为{xn}, 其中第n项xn叫做数列的一 般项.
•数列的几何意义
数列{xn}可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴 上的点x1, x2, x3, , xn , .
x1
xn x4 x3 x5 x2
202J1l/4i/n21Institute of Chemical Technology
4
上页 下页 返回 退出
❖数列
如果按照某一法则, 对每一nN, 对应着一个确定的 实数xn, 则得到一个序列