吉林省吉林大学附属中学2015-2016学年高二4月月考数学(理)试题
【全国百强校】吉林省吉林大学附属中学2015-2016学年高二上学期期末考试理数试题解析(解析版)
考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）过点(13)A --，，且斜率是直线3y x =的斜率的14-的直线方程是( )（A ）4110x y --= （B ）4130x y ++= （C ）3490x y --=（D ）34150x y ++=【答案】D考点：1直线的斜率;2直线方程.（2）已知函数()sin cos f x x x =-且()2()f x f x '=，则tan x = ( ) （A ）3- （B ）3（C ）1（D ）－1【答案】B 【解析】试题分析：由()sin cos f x x x =-可得()'cos sin f x x x =+,()()'2f x f x =, ()cos sin 2sin cos x x x x ∴+=-,整理可得3cos sin x x =, sin tan 3cos xx x∴==.故B 正确.考点：1导数的计算;2同角三角函数基本关系式.（3）在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若最中间一个小长方形的面积等于其它10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则最中间一组的频数为( ) （A ）32 （B ）0.2 （C ）40 （D ）0.25【答案】A考点：频率分布直方图.【方法点睛】本题主要考查频率分布直方图,难度一般.在频率分布直方图中每个小矩形的面积即为该组的频率,在本题中求得频率之后再根据公式=频数频率总数即可求得频数. （4）下列说法正确的是( )（A ）10x ∀∈>R（B ）在线性回归分析中，如果两个变量的相关性越强，则相关系数r 就越接近于1 （C ）p q ∨为真命题，则命题p 和q 均为真命题（D ）命题“20000x x x ∃∈->R ，”的否定是“20x x x ∀∈-R ，≤” 【答案】D 【解析】试题分析：A 不正确,如当8x =-12110+=-+=-<;B 不正确, 若两个变量正相关,相关性越强时，相关系数r 就越接近于1;若两个变量负相关,相关性越强时，相关系数r 就越接近于1-;C 不正确, p q ∨为真命题时, ,p q 中至少有一个为真;D 正确, 命题“20000x x x ∃∈->R ，”的否定是“20x x x ∀∈-R ，≤.考点：1命题的否定;命题的真假判断;2线性回归方程.（5）已知()f x '是函数()f x 的导函数，如果()f x '是二次函数，()f x '的图象开口向上，顶点坐标为(1，那么曲线()y f x =上任意一点处的切线的倾斜角α的取值范围是( )（A ）(0]3π， （B ）[)32ππ， （C ）2(]23ππ，（D ）[)3ππ，【答案】B考点：1导数的几何意义;2正切函数图像.（6）阅读右侧程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为( )（A ）8 （B ）18（C ）26 （D ）80【答案】C 【解析】试题分析：由框图的循环结构可知1110332,112S n -=+-==+=; 2212338,213S n -=+-==+=;33183326,314S n -=+-==+=,跳出循环输出26S =.故C 正确.考点：程序框图.【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件“4n ≥”，否则很容易出现错误．在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可．（7）设O 为坐标原点，F 为抛物线24y x =的焦点，A 为抛物线上一点，若4OA AF ⋅=-，则点A 的坐标为( )（A ）(2±， （B ）(12)±，（C ）(12)， （D ）(2【答案】B考点：1抛物线的简单性质;2向量的数量积.（8）已知点(12)P ，和圆222:20C x y kx y k ++++=，过P 可以作两条圆C 的切线，则k 的取值范围是( )（A ）k ∈R （B ）k <（C ）0k << （D ）k <<【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得22222224012220k k k k ⎧+->⎪⎨+++⨯+>⎪⎩,解得k <<.故D 正确. 考点：1圆的一般方程;2点与圆的位置关系.【方法点睛】本题主要考查圆的一般方程,点与圆的位置关系问题,难度一般.圆的一般方程需满足条件2240D E F +->.过一点作圆的切线,当切线不存在时说明点在圆内;当只能作一条切线时,点在圆上;当能做两条切线时点在圆外.点在圆上时,将点代入圆的方程等号成立;当点在圆内时, 将点代入圆的方程小于号成立;当点在圆外时,将点代入圆的方程大于号成立.（9）设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数(1)()y x f x '=-的图象如图所示，则下 列结论中一定成立的是( )（A ）函数()f x 有极大值(2)f f 和极小值(1)f （B ）函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) （C ）函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) （D ）函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【答案】D考点：1函数图像;2函数的单调性,极值.（10）已知实数x y ，满足不等式组2040250x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤，若目标函数z y ax =-取得最大值时的唯一最优解是(13)，，则实数a 的取值范围是( )（A ）(1)-∞-， （B ）(01)， （C ）[1)+∞， （D ）(1)+∞，【答案】D考点：线性规划.【方法点晴】本题主要考查的是线性规划，属于中档题．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．（11）已知12F F ，分别是双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段12F F 为直径的圆外，则双曲线的离心率的取值范围是( )（A ）(1 （B ）)+∞ （C ）2) （D ）(2)+∞，【答案】D 【解析】试题分析：由已知得()22c bcM a-，，所以||OM =因为点M 在以12F F 为直径的圆外，所以||OM c >，c >，解得2e >.故 考点：双曲线的简单几何性质.（12）已知定义域为R 的奇函数()y f x =的导函数为()y f x '=，当0x ≠时，()()0f x f x x'+>， 若1111()2(2)(ln )(ln )2222a fb fc f ==--=，，，则a b c ，，的大小关系正确的是( ) （A ）a c b << （B ）b c a << （C ）a b c << （D ）c a b << 【答案】A考点：1函数的奇偶性;2用导数求函数的单调性;3用单调性比较大小.第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）由直线122x x ==，，曲线1y x=及x 轴围成的图形的面积是 .【答案】2ln 2 【解析】 试题分析：22112211ln ln 2ln2ln 22dx x x==-=⎰. ∴所求面积为2ln 2. 考点：定积分的几何意义.（14）某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．根据上表求出y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.517.5yx =+，则表中t 的值为 . 【答案】50 【解析】 试题分析：2456855x ++++==,3040607020055t ty +++++==,将点2005,5t +⎛⎫⎪⎝⎭代入ˆ 6.517.5y x =+可得200 6.5517.55t +=⨯+,解得50t =. 考点：线性回归方程.【方法点睛】本题主要考查线性回归方程,难度一般.线性回归直线必过样本中心点(),x y . （15）若直线y x b =+与曲线3y =-b 的取值范围 .【答案】1⎡⎤-⎣⎦考点：1直线与圆的位置关系;2数形结合思想. （16）已知221:|1|2:210(0)3x p q x x m m ---+->≤，≤，且p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数m 的取值范围为 . 【答案】9m ≥ 【解析】试题分析：由22:210q x x m -+-≤，得{|11}Q x m x m =-+≤≤， 由于1:|1|23x p --≤，解得{|210}P x x =-≤≤， p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件转化为p 是q 的充分而不必要条件，则P 是Q 的真子集， 故012110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+⎩≥或012110m m m >⎧⎪--⎨⎪+>⎩≤，所以9m ≥. 考点：1充分必要条件;2不等式.【易错点睛】本题主要考查充分必要条件和不等式问题,难度稍大.分别解得命题p 和命题q 中x 的解集,P Q .根据互为逆否命题的两个命题同真假可得p 是q 的充分而不必要条件,分析可得P 是Q 的真子集,画数轴可得关于m 的不等式,列不等式时注意两个端点不能同时取等号,否则容易出错.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本题满分10分）已知直线:20l x y m -+=，m ∈R ，圆22:5C x y +=. （Ⅰ）当m 为何值时，l 与C 无公共点； （Ⅱ）当m 为何值时，l 被C 截得的弦长为2.【答案】（Ⅰ）5m >或5m <-;（Ⅱ）m =±.考点：1直线与圆的位置关系;2直线被圆截得的弦长问题.【方法点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系问题和直线被圆截得的弦长问题,难度一般.判断直线与圆的位置关系有两种方法,法一几何法,求圆心到直线的距离d ,若d r <则直线与圆相交;若d r =则直线与圆相切;若d r >则直线与圆相离.法二代数法,将直线与圆方程联立消去y (或x )得关于x (或y )的一元二次方程,看其判别式,若0∆>则直线与圆相交;若0∆=则直线与圆相切;若0∆<则直线与圆相离. 直线被圆截得的弦长问题可用勾股定理解决. （18）（本题满分12分）已知关于x 的一次函数y mx n =+.（Ⅰ）设集合{21123}P =--，，，，和{23}Q =-，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为m 和n ，求函数y mx n =+是增函数的概率；（Ⅱ）实数m ，n 满足条件101111m n m n +-⎧⎪-⎨⎪-⎩≤，≤≤，≤≤，求函数y mx n =+的图象经过一、二、三象限的概率.【答案】（Ⅰ）35;（Ⅱ）17. （Ⅱ）,m n 满足条件101111m n m n +-≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩的区域如图所示：要使函数的图象过一、二、三象限，则0,0m n >>， ……7分 故使函数图象过一、二、三象限的(),m n 的区域为第一象限的阴影部分， ……10分∴所求事件的概率为112772P ==. ……12分考点：1古典概型概率;2几何概型概率.【思路点睛】本题主要考查古典概型概率和几何概型概率,难度一般. 古典概型概率需要将所有事件一一列举得到所含事件总数n ,再将所求事件A 包含的基本事件一一列举得到所含事件数m ,根据公式()m P A n=可求得所求事件A 的概率.几何概型的概率为长度比或面积比或体积比.所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域,再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域.分别计算出其面积.即可求得所求概率.（19）（本题满分12分）已知函数32()()f x ax x a =+∈R 在43x =-处取得极值.（Ⅰ）确定a 的值；（Ⅱ）若()()e x g x f x =，讨论()g x 的单调性. 【答案】（Ⅰ）12a =;（Ⅱ）()g x 在(4)-∞，和(10)-，上为减函数，在(41)--，和(0)+∞，上为增函数.考点：用导数研究函数的单调性.（20）（本题满分12分）如图，茎叶图记录了甲组3名同学寒假假期中去A图书馆学习的次数和乙组4名同学寒假假期中去B图书馆学习的次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以x表示．（Ⅰ）如果7x=，求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差；（Ⅱ）如果9x=，从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学，求选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20的概率．【答案】（Ⅰ）平均数为9,方差为72;（Ⅱ）13.【解析】试题分析：（Ⅰ）总数除以4即可求得平均数x.根据方差公式即可求得其方差. （Ⅱ）将从学习次数大于8的学生中等可能地选2名同学包含的所有事件一一例举,再将选出的2名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于20所包含的事件一一例举,根据古典概型概率公式即可求得所求概率.试题解析：解：（Ⅰ）当7x=时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是：7，8，9，12，……1分所以平均数为7891294x +++==， ……3分方差为()()()()222221779899912942s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……5分考点：1平均数方差;2古典概型概率.（21）（本题满分12分）设F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点，直线l 为其左准线，直线l 与x 轴交于点P ，M 、N 为椭圆C 的左右顶点.已知||8MN =，且||2||PM MF =.（Ⅰ）若过点P 的直线与椭圆C 相交于不同的两点A B ，，求证：AFM BFN ∠=∠； （Ⅱ）求ABF △的面积的最大值.【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由||8MN =得a 的值,由||2||PM MF =知22()a a a c c-=-,从而可得c ,由222a b c =+可得2b ,从而可得椭圆方程. 直线AB 的斜率为0时显然成立,当斜率不为0时,设直线AB 的方程为8x my =-,代入椭圆方程可得关于y 的一元二次方程,其判别式大于0,同时可得两根之和,两根之积.根据斜率公式可得,AF BF k k ,只需证明0AF BF k k +=,即证得AFM BFN ∠=∠.（Ⅱ）ABF PBF PAF S S S =-△△△,根据基本不等式可得其最值.（Ⅱ）211||||2ABF PBF PAFS S S PF y y =-=⋅-===△△△……10分==2283m =（此时满足0∆>的条件）时取得等号，故ABF △的面积的最大值是……12分考点：1直线与椭圆的位置关系问题;2基本不等式求最值.（22）（本题满分12分）已知函数2()ln 1x f x a x x a a =+->，. （Ⅰ）求证：函数()f x 在区间(0)+∞，上单调递增； （Ⅱ）若函数1|()|3y f x b b=-+-有四个零点，求b 的取值范围； （III ）若对于任意的[11]x ∈-，，都有2|()|e 1f x -≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）(20)(25)++∞，;（III ）2(1]e ，. （Ⅱ）由（Ⅰ）知当(0)x ∈-∞，时，()0f x '<，所以()f x 在区间(0)-∞，上单调递减，在区间(0)+∞，上单调递增.所以()f x 取得最小值(0)1f =. 由1|()|30f x b b -+-=，得1()3f x b b =-+或1()3f x b b=--， ……5分所以要使函数1|()|3y f x b b =-+-有四个零点，只需满足131131b b b b ⎧-+>⎪⎪⎨⎪-->⎪⎩，即(20)(25)b ∈++∞， …… 7分（III ）由（Ⅰ）知()f x 在区间(0)-∞，上单调递减，在区间(0)+∞，上单调递增，1(1)1ln (1)1ln f a f a a a -=++=+-，，所以1(1)(1)2ln f f a a a--=--. ……8分 令1()2ln (0)H x x x x x=-->，考点：用导数研究函数的性质.：。
吉林大学附属中学届高三第二次模拟考试数学试题及答案(理)
吉大附中高中部2015-2016学年下学期高三年级第二次模拟考试数学（理科）试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知{|12}{|3}U M x x N x x ==-=R ，≤≤，≤，则()U M N =ð（） （A ）{|23}x x ≤≤（B ）{|23}x x <≤ （C ）{|1x x -≤或23}x ≤≤ （D ）{|1x x <-或23}x <≤（2）已知复数2i1iz +=+，则复数z 在复平面内对应的点在（） （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）在等差数列{}n a 中，15487a a a +==，，则5a =（）（A ）11（B ）10（C ）7（D ）3（4）下列说法中正确的是（）（A ）“(0)0f =”是“函数()f x 是奇函数”的充要条件（B ）若2000:10p x x x ∃∈-->R ，，则2:10p x x x ⌝∀∈--<R ，（C ）若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题（D ）命题“若6απ=，则1sin 2α=”的否命题是“若6απ≠，则1sin 2α≠”（5）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（）（A ）27 （B ）63（C ）15（D ）31（6）下列函数既是奇函数，又在区间(01)，上单调递减的是 （ ） （A ）3()f x x = （B ）()|1|f x x =-+ （C ）1()ln1xf x x-=+ （D ）()22x x f x -=+（7）11)d x x -=⎰ （）（A ）4π （B ）2π （C ）3π （D ）12π+ （8）设x y ，满足约束条件32021x y y x y x +-⎧⎪-⎨⎪--⎩，，，………则2z y x =-的最大值（）（A ）72（B ）2 （C ）3 （D ）112（9）已知12F F 、是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A B 、两点，若1ABF △是锐角三角形，则该椭圆离心率e 的取值范围是（）（A）1e （B）01e <<（C11e <<（D11e <（10）一个几何体由多面体和旋转体的整体或一部分组合而成，其三视图如图所示，则该几何体的体积是（） （A ）32π（B ）1π+ （C ）16π+（D ）π（11）一个五位自然数12345{012345}12345i a a a a a a i ∈=，，，，，，，，，，，，当且仅当123a a a >>，345a a a <<时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为（）（A ）110（B ）137（C ）145（D ）146（12）已知a b ，为正实数，直线y x a =-与曲线ln()y x b =+相切，则22a b+的取值范围（）（A ）1(0)2， （B ）(01)，（C ）(0)+∞， （D ）[1)+∞， 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）2532()x x -展开式中的常数项为 . （14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=__________. （15）已知数列{}n a 满足11332n n a a a n +=-=，，则na n的最小值为 ． （16）如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设A D a B C b C D c ===，，，则21c ab +的最小值为 .三、解答题：本大题共6个小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且满足sin(2)22cos()sin A B A B A+=++.（Ⅰ）求ba的值；（Ⅱ）若1a c ==，ABC △的面积.（18）（本小题满分12分）为向国际化大都市目标迈进，沈阳市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有来沈阳的3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设.（Ⅰ）求这3人选择的项目所属类别互异的概率；（Ⅱ）将此3人中选择的项目属于基础设施类工程或产业建设类工程的人数记为X ，求X 的分布列和数学期望()E X .（19）（本小题满分12分）如图1，45ACB ∠=︒，3BC =，过动点A 作AD BC ⊥，垂足D 在线段BC 上且异于点B ，连接AB ，沿AD 将ABD △折起，使90BDC ∠=︒（如图2所示）．（Ⅰ）当BD 的长为多少时，三棱锥A BCD -的体积最大；（Ⅱ）当三棱锥A BCD -的体积最大时，设点E M ，分别为棱BC AC ，的中点，试在棱CD 上确定一点N ，使得EN BM ⊥，并求EN 与平面BMN 所成角的大小．（20）（本小题满分12分）已知点(01)F ，，直线:1l y =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）已知圆M 过定点(02)D ，，圆心M 在轨迹C 上运动，且圆M 与x 轴交于A B 、两点，设12DA l DB l ==，，求1221l l l l +的最大值．（21）（本小题满分12分）函数ln ()a xf x x+=，若曲线()f x 在点(e (e))f ，处的切线与直线2e e 0x y -+=垂直（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若()f x 在(1)m m +，上存在极值，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）求证：当1x >时，1()2e e 1(1)(e 1)x x f x x x ->+++.请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试数学(理)试卷
试卷满分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王庶赫 审题人：刘媛媛、石泽晖 注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）已知集合{|10}{}A x x B a A B A =-<== ，，…，则实数a 的取值范围是（A ）[01)，（B ）(11)-， （C ）(10]-， （D ）(10)-，（2）已知圆22:40C x y x +-=，直线:30l mx y m -+=，则 （A ）l 与C 相交 （B ）l 与C 相切 （C ）l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能（3）已知函数21sin()10()0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，…，实数a 满足(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（A ）1或 （B） （C ）1 （D ）1或（4）已知1e 、2e 是夹角为90︒的两个单位向量，若12=a e ，12=-b e ，则a 与b 的夹角为（A ）30︒ （B ）60︒ （C ）120︒ （D ）150︒（5）直线12:30:0l ax y l x by c --=++=，，则1ab =-是12l l ∥的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（6）若函数()(1)(01)，且x x f x k a a a a -=-->≠在R 上既是奇函数，又是减函数，则 ()log ()a g x x k =+的图象是（A ） （B ）（C ）（D ）吉大附中高中部2015-2016学年上学期高三年级第四次摸底考试数学理科 试 卷（7）若不等式组03434x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k =（A ）73 （B ）37 （C ）43 （D ）34（8）若()2παπ∈，，且3cos 2sin()4παα=-，则sin 2α的值为 （A） （B ）16- （C） （D ）1718-（9）已知()f x 在R 上可导，且2()2(2)f x x xf '=+，则(1)f -与(1)f 的大小关系是（A ）(1)(1)f f -= （B ）(1)(1)f f -> （C ）(1)(1)f f -< （D ）不确定 （10）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}n a和都是等差数列，且公差相等，则2a = （A ）34 （B ）1 （C ）43 （D ）12（11）已知ABC △的三边a 、b 、c 成等比数列，a 、b 、c 所对的角依次为A 、B 、C . 则sin cos B B +的取值范围是（A）(11+， （B）1[12+， （C）(1 （D）1[2（12）已知函数2342015()12342015x x x x f x x =+-+-++ ，2342015()12342015x x x x g x x =-+-+-- ，设函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-，且函数()F x 的所有零点均在区间[]()a b a b ∈Z ，、内，则b a -的最小值为（A ）6 （B ）8 （C ）9 （D ）10第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知()()|1|g x f x x =+-是奇函数，且(1)1f -=.则(1)g = .（14）在ABC △中，3AB =，5AC =，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则AO BC的值为 .（15）已知()n n n A a b ，()n *∈N 是曲线:e x C y =上的点，设1(01)A ，，曲线C 在n A 处的切线交x轴于点1(0)n a +，，则数列{}n b 的通项公式是n b = .（16）过点0)引直线l与曲线y =A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB△的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本题满分12分）设ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos 3a B =，sin 4b A =． （Ⅰ）求tan B 及边长a 的值；（Ⅱ）若ABC △的面积10S =，求ABC △的周长l ．（18）（本题满分12分）设数列{}n a 满足：123n n a a a a n a ++++=- ()n *∈N . （Ⅰ）求证：数列{1}n a -是等比数列；（Ⅱ）若(2)(1)n n b n a =--，且对任意的正整数n ，都有214n b t t +…，求实数t 的取值范围.（19）（本题满分12分）如图，四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC AB ∥，BC CD ⊥，EA ED ⊥，且4AB =，2BC CD EA ED ====.（Ⅰ）求证：BD ⊥平面ADE ；（Ⅱ）求直线BE 和平面CDE 所成角的正弦值.A（20）（本题满分12分）已知两个动点A 、B 和一个定点00()M x y ，均在抛物线2:2(0)C y px p =>上（A 、B 与M不重合）. 设F 为抛物线的焦点，Q 为其对称轴上一点，若1()02QA AB AB +⋅= ，且||FA 、||FM 、||FB成等差数列.（Ⅰ）求OQ的坐标（可用0x 、0y 和p 表示）；（Ⅱ）若||3OQ =，5||2FM = ，A 、B 两点在抛物线C 的准线上的射影分别为1A 、1B ，求四边形11ABB A 面积的取值范围.（21）（本题满分12分）已知2()ln ()2f x x x ax g x x =-=--，.（Ⅰ）对一切(0)()()x f x g x ∈+∞，，…恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）当1a =-时，求函数()f x 在区间[3](0)m m m +>，上的最值； （Ⅲ）证明：对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-成立.请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清楚题号. （22）（本题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，直线AB 经过O 上的点C ，并且OA OB CA CB ==，，O 交直线OB 于点E 、D ，其中D 在线段OB 上. 连结.EC CD ，（Ⅰ）证明：直线AB 是O 的切线； （Ⅱ）若1tan 2CED ∠=，O 的半径为3，求OA 的长.（23）（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：2cossin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）与曲线2cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）相交于不同的两点A B ，． （Ⅰ）若3πα=，求线段AB 中点M 的坐标；（Ⅱ）若2||||||PA PB OP ⋅=，其中(2P ,，求直线l 的斜率．（24）（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数()|3|f x x =-.（Ⅰ）若不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若||1||3a b <<，，且0a ≠，判断()||f ab a 与()bf a的大小，并说明理由.吉大附中高中部2015-2016学年上学期高三年级第四次摸底考试数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要（12）解析： 先解不等式2201410x x x -+-⋅⋅⋅+>. 显然1x =-是原不等式的一个解. 当1x ≠-时，由等比数列的前n 项和公式，可得原不等式即2015101x x +>+. 因为函数20151()1x h x x +=+在区间(1)(1)-∞--+∞，，，上均是连续的，且在这两个区间上无零点（若20151()01x h x x +==+，得2015101x x +==-，，而(1)h -无意义）.所以函数()h x 在区间(1)(1)-∞--+∞，，，上均恒正. 总之，原不等式的解集为R .再来解答本题. 易得22014()1f x x x x '=-+-⋅⋅⋅+，由前面的结论知()0f x '>恒成立，所以()f x 是R 上的增函数，函数()f x 至多有一个零点. 又(0)10f =>，111(1)110232015f -=----⋅⋅⋅-<，所以函数()f x 的唯一零点在区间(10)-，内，得函数(3)f x +的唯一零点在区间(43)--，内. 又22014()1()g x x x x f x ''=-+-+⋅⋅⋅-=-，所以()0g x '<恒成立，所以()g x 是R 上的减函数，函数()g x 至多有一个零点. 又111111(1)(11)()()()0234520142015g =-+-+-+⋅⋅⋅++>，234520142015222222(2)(12)()()()0234520142015g =-+-+-+⋅⋅⋅++<.所以函数()g x 的唯一零点在区间(12)，内，得函数(4)g x -的唯一零点在区间(56)，内. 所以当“函数()(3)(4)F x f x g x =+⋅-的零点均在区间[]()a b a b a b <∈Z ，，，上，且b a -最小”时，46a b =-=，，所以b a -的最小值是10. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）3- （14）8 （15）1e n - （16）提示：（16）解析：曲线y =l 与曲线相交于A B ，两点，则直线l 的斜率0k <，设l ：(y k x =，则点O 到l的距离d =又221111||2222AOBd d S AB d d -+=⋅=⨯==△， 当且仅当221d d -=，即212d =时，AOB S △取得最大值．所以222112k k =+，得213k =，k =三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）解析：（Ⅰ）由cos 3a B =，sin 4b A =，两式相除，有3cos cos cos 14sin sin sin tan a B a B b B b A A b B b B ==⋅=⋅=，所以4tan 3B =，又cos 3a B =，故cos 0B >， 则3cos 5B =，所以5a =． ……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知4sin 5B =，由1sin 2S ac B =，得到5c =．由2222cos b a c ac B =+-，得b =，故5510l =++=+即ABC △的周长为10+ ……12分（18）解析：（Ⅰ）因为1231n n n a a a a a n a -+++⋅⋅⋅++=-， ①123111n n n a a a a a n a +++++⋅⋅⋅++=+-， ②②-①，得121n n a a +-=，即111(1)2n n a a +-=-，又因为112a =，所以1112a -=-.所以数列{1}n a -是以12-为首项，以12为公比的等比数列. (6)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知112n n a -=-，即112n n a =-，所以22n nn b -=. 由1112222n n n n n n b b +++---=-1112(2)3022n n n n n++----==>，可得3n <. 由10n n b b +-<可得3n >，所以12345n b b b b b b <<=>>⋅⋅⋅>⋅⋅⋅.故n b 有最大值3418b b ==，所以对任意*n ∈N ，有18n b …，所以214n b t t +…，即214n b t t -….则2max 1()4n b t t -…，所以，21184t t -…，解得12t …或14t -…，所以t 的取值范围是11(][)42-∞-+∞ ，，. (12)分（19）解析：（Ⅰ）由2BC CD BC CD ⊥==，，可得BD =. 由2EA ED EA ED ⊥==，且，可得AD =. 又4AB =，知222AD BD AB +=，所以BD AD ⊥. 又平面EAD ⊥平面ABCD ，平面ADE 平面ABCD AD =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面ADE . ……6分（Ⅱ）以D 为坐标原点，DA DB ，所在直线分别为x y ，轴建立空间直角坐标系D xyz -.得(000)(00)(0)0D B C E ，，，，，，，所以0(0)BE DE DC =-==，，.可求得平面CDE 的一个法向量是(111)=-，，n . 设直线BE 与平面CDE 所成的角为α，得||sin |cos |||||BE n BE n BE n α⋅=<>===⋅，故直线BE 和平面CDE 所成角的正. ……12分（20）解析：（Ⅰ）设1122()()(0)A x y B x y Q a ，，，，，，则2121()AB x x y y =--，，11()QA x a y =- ，，12121()222x x y y QA AB a +++=- ，，又1()02QA AB AB +⋅= ，且2112y px =，2222y px =，代入可得1202x x a p +-+=，又由||||||FA FM FB ，，成等差数列得1202x x x +=，故0a x p=+，所以0(0)O Q x p =+，. ……6分（Ⅱ）由5||3||2OQ FM == ，得005322p x p x +=+=，，得1p =，故22y x =，02x =，所以124x x +=，且1112121211[()()]||522||22ABB A x x y y S y y +++-==-.又2212122()8y y x x +=+=，则22221211(8)[016]y y y y =-∈，，12[44]y y ∈-，，222121212()2[016]y y y y y y -=+-∈，，注意到12y y ≠，得12||(04]y y -∈，，11125||(010]2ABB A S y y =-∈，，所以四边形11ABB A 面积的取值范围为(010]，. (12)分（21）解析：（Ⅰ）对一切(0)()()x f x g x ∈+∞，，…恒成立，即2ln 2x x ax x ---…恒成立. 也就是2ln a x x x ++…在(0)x ∈+∞，上恒成立.令2()ln F x x x x=++，则 2222122(2)(1)()1x x x x F x x x x x +-+-'=+-==. (01)x ∈，时，()0F x '<，(1)x ∈+∞，时，()0F x '>. 因此()F x 在1x =处取极小值，也是最小值，即min ()(1)3F x F ==，所以3a …. ……4分（Ⅱ）当1a =-时，()ln ()ln 2f x x x x f x x '=+=+，，由()0f x '=得21e x =. 当210e m <<时，在21[)e x m ∈，上()0f x '<，在21(3]ex m ∈+，上()0f x '>. 因此()f x 在21e x =处取得极小值，也是最小值. 故min 2211()()ef x f e ==-. 由于()(ln 1)0f m m m =+<，(3)(3)[ln(3)1]0f m m m +=+++>，因此max ()(3)(3)[ln(3)1]f x f m m m =+=+++.当21em …时，()0f x '…，因此()f x 在[3]m m +，上单调递增，故min ()()(ln 1)f x f m m m ==+，max ()(3)(3)[ln(3)1]f x f m m m =+=+++. (8)分（Ⅲ）问题等价于证明122ln e ex x x x x ++>-，(0)x ∈+∞，. 由（Ⅱ）知1a =-时，()ln f x x x x =+的最小值是21e -，当且仅当21e x =时取等号. 设122()(0)e e x x G x x +=-∈+∞，，，则11()e x x G x +-'=，易知max21()(1)e G x G ==-，当且仅当1x =时取到. 从而可知对一切(0)x ∈+∞，，都有1212ln 1e e x x x++>-. ……12分 请考生在第22、23、24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时请写清楚题号. （22）解析：（Ⅰ）证明：连结OC . 因为OA OB CA CB ==，，所以.OC AB ⊥ 又OC 是圆O 的半径，所以AB 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）因为直线AB 是O 的切线，所以.BCD E ∠=∠ 又CBD EBC ∠=∠，所以.BCD BEC △△∽ 则有BC BD CD BE BC EC ==，又1tan 2CD CED EC ∠==，故12BD CD BC EC ==. 设BD x =，则2BC x =，又2BC BD BE =⋅，故2(2)(6)x x x =+，即2360x x -=. 解得2x =，即2BD =. 所以32 5.OA OB OD DB ==+=+= ……10分（23）解析：（Ⅰ）将曲线C 的参数方程化为普通方程是2214x y +=．当3πα=时，设点M 对应的参数为0t ．直线l方程为122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得21356480t t ++=，设直线l 上的点A B ,对应参数分别为12t t ,．则12028213t t t +==-，所以点M 的坐标为12(13-,． (5)分（Ⅱ）将2cossin x t y t αα=+⎧⎪⎨=+⎪⎩代入曲线C 的普通方程2214x y +=，得222(cos 4sin )4cos )120t t αααα++++=，因为122212||||||cos 4sin PA PB t t αα⋅==+， 2||7OP =，所以22127cos 4sin αα=+，得25tan 16α=．由于32cos cos )0ααα∆=->，故tan α=l (10)分（24）解析：（Ⅰ）因为(1)()|4||3||43|1f x f x x x x x -+=-+--+-=≥，不等式(1)()f x f x a -+<的解集为空集，则1a …即可，所以实数a 的取值范围是(1]-∞，. ……5分（Ⅱ）()()||f ab b f a a >，证明：要证()()||f ab bf a a>，只需证|3||3|ab b a ->-，即证22(3)(3)ab b a ->-，又22(3)(3)ab b a ---222299a b a b =--+22(1)(9)a b =--. 因为||1||3a b <<，，所以22(3)(3)0ab b a --->，所以原不等式成立. (10)分。
2015-2016年吉林省东北师大附中净月校区高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
5． （5 分）下列函数求导运算正确的个数为（ ①（3x）′=3xlog3e；
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②（log2x）′= ③（ex）′=ex； ④（ ）′=x；
⑤（x•ex）′=ex+1． A．1 B．2 C．3 D．4 ＜f（n） （n≥2，n∈N*） ） D．2k 项
6． （5 分）利用数学归纳法证明不等式 1+ + +… 的过程中，由 n=k 变到 n=k+1 时，左边增加了（ A．1 项 B．k 项 C．2k﹣1 项
21． （12 分）已知函数 f（x）=
（Ⅰ）若曲线 y=f（x）在点（x0，f（x0） ）处的切线方程为 ax﹣y=0，求 x0 的值； （Ⅱ）当 x＞0 时，求证：f（x）＞x． 22． （10 分）已知函数 f（x）=ln（x+1）﹣ax 在（0，f（0） ）处的切线与函数 y= 相切． （1）求 f（x）的单调区间； （2）若（k+1） （x﹣1）＜xf（x﹣1）+x2（k∈Z）对任意 x＞1 恒成立，求 k 的 最大值．
p1：复数 z 对应的点在第二象限， p2：z2=2i， p3：z 的共轭复数为 1+i， p4：z 的虚部为﹣1． 其中的真命题个数为（ A．1 B．2 ） C．3 D．4
4． （5 分）抛掷甲、乙两骰子，若事件 A： “甲骰子的点数小于 3” ；事件 B： “甲、 乙两骰子的点数之和等于 6” ，则 P（B|A）的值等于（ A． B． C． ） ） D．
B．大前提
2． （5 分）在用反证法证明命题“已知 a，b，c∈（0，2） ，求证 a（2﹣b） ，b（2 ﹣c） ，c（2﹣a）不可能都大于 1”时，反证假设时正确的是（ A．假设 a（2﹣b） ，b（2﹣c） ，c（2﹣a）都小于 1 B．假设 a（2﹣b） ，b（2﹣c） ，c（2﹣a）都大于 1 C．假设 a（2﹣b） ，b（2﹣c） ，c（2﹣a）都不大于 1 D．以上都不对 3． （5 分）关于复数 z= 的四个命题： ）
吉林省吉林市普通中学2016届高三数学第四次调研测试试题 理
某某市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第四次调研测试数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共24小题，共150分，考试时间120分钟。
注意事项： 1．答题前，考生先将自己的某某、某某填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合2{|560},{|2}A x x x B x x =-+<=≤，则()RA B =A ．AB ．RA C ．B D ．RB2.在复平面内，复数121iz i-=+所对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3. 抛物线22y x =-的焦点坐标为 A. 1(,0)2B. 1(,0)2-C. 1(0,)8D. 1(0,)8- 4. 若变量,x y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为A ．4B ．3C ．2D ．15. 已知lg lg 0a b +=，函数()xf x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是A. B. C.D.6.“牟合方盖”是我国古代数学家X 徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似 两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）．其直观图如下左图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．．．, 其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是A ．,a bB ．,a cC ．,c bD ．,b d7.已知实数{}1,2,3,4,5,6,7,8x ∈程序框图，则输出的x 不小于．．．121的概率为 A ．34B ．58C ．78D ．128.下列命题正确．．的个数是： ①对于两个分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ②在相关关系中，若用211c xy c e=拟合时的相关指数为21R ，用2y bx a =+拟合时的相关指数为22R ，且21R >22R ,则1y 的拟合效果好；③利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“310a ->”发生的概率为23; ④“0,0a b >>”是“2a bb a+≥”的充分不必要条件. A.1B.2C.3D.4abcd9.已知()11,A x y 是单位圆O 上任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转3π，与单位圆O 交于点()22,B x y ，若()1220x my y m =->的最大值为2，则m 的值为A ．1B ．2C ．22D ．310.过双曲线222:1(1)y C x b b-=>的左顶点P 作斜率为1的直线l ，若直线l 与双曲线的两条渐近线分别相交于点,Q R ，且2OP OR OQ +=（其中O 为坐标原点），则双 曲线的离心率为 A.5B.1051011.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知,24A a π==且sin()csin()44b C B a ππ+-+=，则ABC ∆的面积为A ．18B ．28C ．12D ．2212. 设函数()f x 的图像是一条连续不断的曲线，且在实数集R 上存在导数()f x '，对任 意的x R ∈有2()()f x f x x -+=，且()0,x ∈+∞时，()f x x '>，若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值X 围是A. [1,)+∞B. (,1]-∞C. (,2]-∞D.[2,)+∞第Ⅱ卷13题～第2122题～第24题为选考题，考生根据要求作答. 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分。
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）下列所给出的赋值语句中正确的是（）A．﹣5=x B．x=y=1 C．y=﹣y D．x+y=12．（5分）若向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，则k 等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=± B．y=±C．y=±D．y=±4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题5．（5分）已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α6．（5分）已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，±2）D．（1，±2）8．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定9．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α10．（5分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？11．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在OA上，且=，点N为BC中点，则等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线右支上存在一点（，﹣）与点F1关于直线y=﹣对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）“m＞﹣1”是“方程﹣=1表示双曲线”的一个条件．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．15．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是．16．（5分）已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A 的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：|4x﹣1|≤1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．19．（12分）已知曲线C上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．21．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．22．（12分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF 1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项）1．（5分）下列所给出的赋值语句中正确的是（）A．﹣5=x B．x=y=1 C．y=﹣y D．x+y=1【解答】解：赋值语句中赋值号左边为变量名，故A错误；D错误；赋值语句不能同进给多个变量赋同一值，故B错误；C表示将变量y的值变成原来的相反数，再赋给变量y，故C正确；故选：C．2．（5分）若向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，则k 等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵向量=（﹣1，0，1），向量=（2，0，k），且满足向量∥，∴，解得k=﹣2．故选：D．3．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=± B．y=±C．y=±D．y=±【解答】解：∵抛物线y2=16x的焦点坐标为F（4，0），双曲线一个焦点与抛物线y2=16x的焦点相同，∴双曲线右焦点为F（4，0），得c=2∵双曲线的离心率为2，∴=2，得c=2a=2，a=1，由此可得b==，∵双曲线的渐近线方程为y=x∴已知双曲线的渐近线方程为y=x故选：D．4．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【解答】解：对于A：命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”．因为否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故错误．对于B：“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件．因为x=﹣1⇒x2﹣5x﹣6=0，应为充分条件，故错误．对于C：命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”．因为命题的否定应为∀x∈R，均有x2+x+1≥0．故错误．由排除法得到D正确．故选：D．5．（5分）已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α【解答】解：∵=﹣6﹣2+8=0，点A不在α内，，∴AB∥α．故选：D．6．（5分）已知p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∨q C．p∨￢q D．￢p∧￢q【解答】解：关于p：∀x∈R，x2﹣x+1=+＞0，成立，故命题p是真命题，关于q：∃x∈（0，+∞），sinx＞1，∵∀x∈（0，+∞），sinx≤1，故命题q是假命题，故p∨￢q是真命题，故选：C．7．（5分）过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于点A．若|AF|=3，则点A 的坐标为（）A．（2，2）B．（2，﹣2）C．（2，±2）D．（1，±2）【解答】解：抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，F（1，0）．设A（x，y），∵|AF|=3，∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1，∴x=2，∴y=，∴A的坐标为（2，）．故选：C．8．（5分）直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：直线y=kx﹣k+1可化为y=k（x﹣1）+1，所以直线恒过点（1，1）∵∴（1，1）在椭圆的内部∴直线y=kx﹣k+1与椭圆的位置关系是相交故选：A．9．（5分）设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（）A．α⊥β，α∩β=l，m⊥l B．α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γC．α⊥γ，β⊥γ，m⊥αD．n⊥α，n⊥β，m⊥α【解答】解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m⊂α，故不正确；α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；n⊥α，n⊥β，⇒α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确故选：D．10．（5分）如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为S=720，则在判断框中应填入关于k的判断条件是（）A．k≥6？B．k≥7？C．k≥8？D．k≥9？【解答】解：S=720=1×10×9×8所以循环体执行三次则判断框中应填入关于k的判断条件是k≥8或k＞7故选：C．11．（5分）如图，空间四边形OABC中，=，=，=，点M在OA上，且=，点N为BC中点，则等于（）A．B．C．D．【解答】解：===；又，，，∴．故选：B．12．（5分）已知F1，F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，若双曲线右支上存在一点（，﹣）与点F1关于直线y=﹣对称，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意过F1（c，0）且垂直于的直线方程为，它与的交点坐标为，所以点P的坐标为，因为点P在双曲线上，，∵a2+b2=c2，可得c2=5a2，∴，∴，故选：A．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）“m＞﹣1”是“方程﹣=1表示双曲线”的一个充分不必要条件．【解答】解：若方程﹣=1表示双曲线，则（2+m）（1+m）＞0∴m＜﹣2或m＞﹣1，∴“m＞﹣1”是“方程﹣=1表示双曲线”的一个充分不必要条件．故答案为：充分不必要．14．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．15．（5分）椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是[﹣2，1] ．【解答】解：椭圆两个焦点分别是，设P（x，y），则，，，因为，代入可得，而﹣2≤x≤2，的取值范围是[﹣2，1]故答案为：[﹣2，1]．16．（5分）已知P为抛物线x2=4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是（2，0），则|PA|+|PM|的最小值为﹣1．【解答】解：依题意可知，抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），准线方程为y=﹣1，只需直接考虑P到准线与P到A点距离之和最小即可，（因为x轴与准线间距离为定值1不会影响讨论结果），由于在抛物线中P到准线的距离等于P到焦点F的距离，此时问题进一步转化为|PF|+|PA|距离之和最小即可，显然当P、A、F三点共线时|PF|+|PA|距离之和最小，为|FA|，由两点间距离公式得|FA|==，那么P到A的距离与P到x轴距离之和的最小值为|FA|﹣1=﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知p：|4x﹣1|≤1，q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q的必要而不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：由|4x﹣1|≤1得0≤x≤，由x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0得[x﹣（a+1）]（x﹣a）≤0，即a≤x≤a+1，若￢p是￢q的必要而不充分条件，则q是p的必要而不充分条件，即，即，即≤a≤0．18．（12分）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA 1的一个法向量，设平面ADC 1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC 1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．19．（12分）已知曲线C上任意一点M满足|MF1|+|MF2|=4，其中F1（，F2（，（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）已知直线与曲线C交于A，B两点，是否存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得a=2，c=，所以b2=a2﹣c2=4﹣3=1，故所求椭圆C的方程为．（Ⅱ）存在实数k使得以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．理由如下：设点A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程代入，并整理，得．（*）则，．因为以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O，所以，即x1x2+y1y2=0．又，于是，解得，经检验知：此时（*）式的△＞0，符合题意．所以当时，以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点O．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M、N分别为PC、PB的中点．（1）求证：PB⊥平面ADMN；（2）求BD与平面ADMN所成的角；（3）点E在线段PA上，试确定点E的位置，使二面角A﹣CD﹣E为45°．【解答】证明：（1）∵M、N分别为PC、PB的中点，AD∥BC，∴AD∥MN，即A，D，M，N四点共面∵N是PB的中点，PA=AB，∴AN⊥PB．∵AD⊥面PAB，∴AD⊥PB．又∵AD∩AN=N∴PB⊥平面ADMN．（4分）解：（2）连结DN，∵PB⊥平面ADMN，∴∠BDN是BD与平面ADMN所成的角．在Rt△BDN中，，∴BD与平面ADMN所成的角是．（8分）（3）作AF⊥CD于点F，连结EF，∵PA⊥底面ABCD∴CD⊥PA∴CD⊥平面PAF∴CD⊥EF∴∠AFE就是二面角A﹣CD﹣E的平面角若∠AFE=45°，则AE=AF由AF•CD=AB•AD，可解得∴当时，二面角A﹣CD﹣E的平面角为45°．（12分）21．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点F1，F2距离之和为4，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．点P（2，1）为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．【解答】解：（1）由条件得：，解得，所以椭圆的方程为（2）设l的方程为，点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y得x2+2mx+2m2﹣4=0．令△=4m2﹣8m2+16＞0，解得|m|＜2，由韦达定理得．则由弦长公式得|AB|=•=•．又点P到直线l的距离，∴，当且仅当m2=2，即时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．22．（12分）如图，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；（Ⅲ）探究是否是个定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知：，2a+2c=4（+1）解得a=2，c=2，又a2=b2+c2，解得b=2．故椭圆的标准方程为由题意设等轴双曲线的标准方程为（m＞0），因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点．所以m=2，因此双曲线的标准方程为证明：（Ⅱ）设P（x0，y0），F1（﹣2，0），F2（2，0）则k1=，．因为点P在双曲线x2﹣y2=4上，所以．因此，故k1k2=1．解：（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由于PF1的方程为y=k1（x+2），将其代入椭圆方程得所以，所以==同理可得．则，又k1k2=1，所以=．故恒成立，即是定值．。
【期末试卷】吉林省2015-2016学年高二下学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
2015---2016学年（高二）年级上学期期末考试（理科）数学试卷一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的） （1）已知集合{2},{1}A x x B x x =≤=≤, 则A B =（A ）(,2]-∞ （B ）[1,2] （C ）[2,2]- （D ）[2,1]-（2）已知复数1a ii i+=-，则实数a = （A ）1- （B ）2- （C ）1 （D ）2（3）将点M 的极坐标46π（，）化成直角坐标为（A ） （B ）（）（C ）（ （D ）(- （4）在同一平面的直角坐标系中，直线22x y -=经过伸缩变换''4x xy y⎧=⎪⎨=⎪⎩后，得到的直线方程为（A ）''24x y +=（B ）''24x y -= （C ）''24x y +=（D ）''24x y -=（5）如图，曲线2()f x x =和()2g x x =围成几何图形的面积是（A ）12 （B ）23（C ）43（D ） 4（6）10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（A ）145（B ）115（C ）29 （D ）23（7）下列说法中，正确说法的个数是① 命题“若0232=+-x x ，则1=x ”的逆否命题为：“若1≠x ，则0232≠+-x x ”；② “1x >” 是 “||1x >” 的充分不必要条件；③集合{1}A =，{}01=-=ax x B ，若A B ⊆，则实数a 的所有可能取值构成的集合为{}1（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （8）设某批产品合格率为43，不合格率为41，现对该产品进行测试，设第ξ次首次测到正品，则(3)P ξ=等于（A ）)43()41(2⨯（B ）)41()43(223⨯C （C ）)43()41(223⨯C（D ）)41()43(2⨯（9）在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率 （A ）1120 （B ） 740 （C ） 1160（D ） 2140 （10）函数()x f x e ax =+存在与直线20x y -=平行的切线，则实数a 的取值范围是（A ）(,2]-∞（B ）(,2)-∞ （C ）(2,)+∞ （D）[2,)+∞（11）函数sin ()xy e x ππ=-≤≤的大致图象为（A ）（C ） （12）已知曲线1C ：y =，曲线2C :1ln()y x m =+- 22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意12,x x ，都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为(A)1 (B)(C) 1e - (D) 1e +二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X 服从正态分布2~(2,)X N σ，(4)0.3P X >=， 则(0)P X <的值为 ．14．若函数2()ln f x x a x =-在1x =处取极值，则a = ． 15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n （n ≥2)行首尾两数均为n ，其余的数都 等于它肩上的两个数相加．x y π- πo x yπ- π o 1223434774511141156162525166则第10行中第2个数是________.16．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线)0(2>=x x y 和)0(3>=x x y 均相切，切点分别为),(11y x A 和),(22y x B ,则21x x 的值是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为2cos ()2sin x y 为参数jj j ì=ïí=ïî，直线l 过点（0,2）且倾斜角为3π．(Ⅰ)求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；(Ⅱ)设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦||AB 的长．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy中，已知直线1:2x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线22:(1sin )2C ρθ+=．（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M 的直角坐标为(1,2)，直线l 与曲线 C 的交点为A 、B ，求||||MA MB ⋅的值． 19．（本小题满分12分）生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X 为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）设函数329()62a f x x x x =-+． （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若对[1,4]x ∀∈都有()0f x >成立，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）为了解家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取了100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的有40人，不超过100/km h 的有15人，在45名女性驾驶员中，平均车速超过100/km h 的20人，不超过100/km h 的有25人．（Ⅰ）根据调查数据，完成下列22⨯列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“车速与性别有关”，说明理由；（Ⅱ）以上述样本数据估计总体，且视频率为概率，若从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100/km h 且为男性驾驶员的车辆数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中d c b a n +++=.参考数据：22．（Ⅰ）若函数()f x 在[1,2]上是单调递增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若20a -≤<，对任意12,[1,2]x x ∈， 求m 的最小值．2015---2016学年（高二）年级上学期期末考试（理科）数学试卷答案一、选择题：DCBBC CCACB DC二、填空题：13. 0.3 14. 2 15. 46 16. 43三、解答题： 17. (10分)(Ⅰ)圆C 的普通方程为224x y +=，直线l的参数方程为12()2x tt y 为参数ì=ïïíï=ïî,(Ⅱ) 依题意，直线l20y -+= 圆心C 到直线l 的距离212d ==||AB ==18. (12分)解：（Ⅰ）10l x y -+=：，22: 1.2x C y +=（Ⅱ）1:2x l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩把代入2212x y +=中，整理得23140t ++=，设A,B 对应的参数分别为12t t ， 由韦达定理12143t t ⋅=由t 得几何意义可知，1214||||3MA MB t t =⋅=||.19. (12分)解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：5410083240=++元件乙为正品的概率约为：4310062940=++（Ⅱ）随机变量X 的所有取值为0，1，2，111(0)5420P X ==⨯=；13417(1)545420P X ==⨯+⨯=；433(2)545P X ==⨯=X所以：7331()1220520E X =⨯+⨯=20. (12分)解：（Ⅰ）定义域为(,)x ∈-∞+∞ 当1a =时，329()62f x x x x =-+ 2()3963(1)(2)f x x x x x '=-+=--，当1x <时，()0f x '>； 当12x <<时，()0f x '<； 当2x >时，()0f x '>，∴)(x f 的单调增区间为(,1)-∞，(2,)+∞，单调减区间为(1,2)．（Ⅱ）329()602a f x x x x =-+> 即962a x x<+在区间[1,4]上恒成立， 令6()g x x x=+，故当x ∈时，()g x 单调递减，当)x ∈∞时，()g x 单调递增，()min g x g =92a ∴≤a ≤21. (12分) 解：（Ⅰ）222()100(40252015)()()()()55456040n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯ 8.2497.879≈>，2(K 7.879)0.00599.5%P ≥==所以有99.5% 以上的把握认为“车速与性别有关” ．（Ⅱ）由已知得“平均车速超过100/km h 且为男性驾驶员”的概率为25， 并且X ～2(3,)5B ，所以3323()()()k k k P X k C -==(0,1,2,3)k =，其分布列如下所以，355EX =⨯=．22.(12分) （Ⅰ）∵21()ln 12f x x a x =-+在[1,2]上是增函数，∴'()0af x x x=-≥恒成立， 所以2a x≤只需2min ()1a x ≤=（Ⅱ）因为20a -≤<，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[1,2]上单调递增， 不妨设1212x x ≤≤≤，则等价于3m x ax ≥-在[1,2]上恒成立，设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤<，所以2()30g x x a '=->，所以函数()g x 在[1,2]上是增函数， 所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立）． 所以12m ≥．即m 的最小值为12．。
2015-2016年吉林省东北师大附中净月校区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若x=2，则x＞1”的逆否命题是（）A．若x＞1，则x=2B．若x=2，则x≤1C．若x≠2，则x≤1D．若x≤1，则x≠22．（5分）一批产品中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则应抽取一级品的个数为（）A．2B．4C．6D．103．（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．1204．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出s的值是（）A．3B．15C．75D．1055．（5分）已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的线性回归方程是，则“x0=，且y0=”是“（x0，y0）满足方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知双曲线方程=1，则它的焦点到渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，则直线AD与平面ABC所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°8．（5分）五名学生站成一排，则甲乙相邻的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6B．12C．24D．3610．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|3x+4y≤12，x≥0，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则下列结论中不正确的是（）A．BD⊥A1C1B．AC1∥平面BDEC．平面BDE∥平面AB1D1D．平面A1BD⊥平面BDE12．（5分）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（﹣2c，0），B（2c，0），如果椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，则离心率的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则a1+a2+a3+…+a2015=．14．（5分）若椭圆=1与双曲线x2﹣=1的离心率互为倒数，则椭圆方程为．15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则棱CC1的长为．16．（5分）下列说法正确的是．①概率为1的事件是必然事件；②二项式展开式中二项式系数最大的项是第7项；③将5个完全相同的小球放入三个不同的盒中，且每个盒子不空，共有6种不同的放法；④设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，都有x2﹣2x+3≥m成立；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若命题“p∧q”与命题“¬q”均为假命题，求实数m的取值范围．18．（12分）学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．（Ⅰ）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（Ⅱ）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（Ⅲ）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4，求直线的方程．20．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）求三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅱ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．22．（12分）已知椭圆C：=1经过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB 的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“若x=2，则x＞1”的逆否命题是（）A．若x＞1，则x=2B．若x=2，则x≤1C．若x≠2，则x≤1D．若x≤1，则x≠2【分析】根据逆否命题的定义进行判断即可．【解答】解：同时否定条件和结论，并交换条件和结论，得到命题的逆否命题为：若x≤1，则x≠2，故选：D．2．（5分）一批产品中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为20的样本，则应抽取一级品的个数为（）A．2B．4C．6D．10【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：∵一级品24个，二级品36个，三级品60个，∴应抽取一级品的个数24×=4，故选：B．3．（5分）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8B．24C．48D．120【分析】本题需要分步计数，首先选择2和4排在末位时，共有A21种结果，再从余下的其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43种结果，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数．【解答】解：由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有A21=2种排法，其余三位数从余下的四个数中任取三个有A43=4×3×2=24种排法，根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24=48（个）．故选：C．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n的值为7，则输出s的值是（）A．3B．15C．75D．105【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1×1；当i=2时，S=1×3=3；当i=3时，S=3×5=15；当i=4时，退出循环，输出S=15；故选：B．5．（5分）已知数组（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）的线性回归方程是，则“x0=，且y0=”是“（x0，y0）满足方程”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，即可得到结论．【解答】解：根据线性回归方程必过样本中心点，但满足方程的点不一定是样本中心点，可得“x0=，且y0=”是“（x0，y0）满足方程”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知双曲线方程=1，则它的焦点到渐近线的距离为（）A．B．1C．2D．【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．【解答】解：由题得：其焦点坐标为（﹣3，0），（3，0）．渐近线方程为y=±x，即±2y﹣x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==．故选：A．7．（5分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知，则直线AD与平面ABC所成的角为（）A．90°B．60°C．45°D．30°【分析】求出平面ABC的法向量，利用向量法能求出直线AD与平面ABC所成的角的大小．【解答】解：∵在空间直角坐标系Oxyz中，，∴=（﹣1，1，），=（0，2，0），=（﹣2，2，0），设平面ABC的法向量=（x，y，z），则，∴=（0，0，1）设直线AD与平面ABC所成的角为θ，sinθ===，∴θ=45°，∴直线AD与平面ABC所成的角为45°．故选：C．8．（5分）五名学生站成一排，则甲乙相邻的概率为（）A．B．C．D．【分析】五名学生站成一排，先求出基本事件总数，再求出甲乙相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲乙相邻的概率．【解答】解：五名学生站成一排，基本事件总数n==120，甲乙相邻包含的基本事件个数m==48，∴甲乙相邻的概率为p===．故选：C．9．（5分）某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A．6B．12C．24D．36【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑编程人员和一个英语翻译人员；②甲部门要1个电脑编程人员和一个英语翻译人员，分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种，故选：B．10．（5分）已知Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}，A={（x，y）|3x+4y≤12，x≥0，y≥0}，若向区域Ω内随机投一点P，则点P落在区域A内的概率为（）A．B．C．D．【分析】画出Ω与A表示的平面区域，求出对应面积的比即可．【解答】解：画出Ω={（x，y）|x+y≤6，x≥0，y≥0}和A={（x，y）|3x+4y≤12，x≥0，y≥0}表示的平面区域，如图所示；则区域Ω表示的平面区域面积是×62=18，区域A（阴影）的面积为×3×4=6，所求的概率为P==．故选：B．11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，则下列结论中不正确的是（）A．BD⊥A1C1B．AC1∥平面BDEC．平面BDE∥平面AB1D1D．平面A1BD⊥平面BDE【分析】在A中：由BD⊥AC，得BD⊥A1C1；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，则OE∥AC1，从而AC1∥平面BDE；在C中，平面BDE与平面AB1D1相交；在D中，∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，由勾股定理得∠A1OE=90°，从而平面A1BD⊥平面BDE．【解答】解：由正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为CC1中点，知：在A中：∵BD⊥AC，AC∥A1C1，∴BD⊥A1C1，故A正确；在B中：连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵ABCD是正方形，∴O是AC中点，∵E为CC1中点，∴OE∥AC1，∵AC1⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AC1∥平面BDE，故B正确；在C中：∵AB1∥BC1，BC1∩BE=B，AD1∥DC1，DC1∩DE=D，AB1、AD1⊂平面AB1D1，BC1、DC1⊂平面BDE，∴平面BDE与平面AB1D1相交，故C错误；在D中：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，连结A 1D、A1B、A1O、A1E，则，OA1==，=，OE==，A1E==3，∴∠A1OE是二面角A1﹣BD﹣E的平面角，∵=6+3=9=，∴∠A1OE=90°，∴平面A1BD⊥平面BDE，故D正确．故选：C．12．（5分）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（﹣2c，0），B（2c，0），如果椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，则离心率的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】设P（acosα，bsinα），则=a2cos2α﹣4c2+b2sin2α=0，从而e2=，0＜θ＜2π，由此能求出离心率的取值范围．【解答】解：∵椭圆方程为=1（a＞b＞0），焦距为2c，A（﹣2c，0），B（2c，0），椭圆上存在一点P，使得AP⊥BP，∴设P（acosα，bsinα），则=（acosα+2c，bsinα），=（acosα﹣2c，bsinα），∵AP⊥BP，∴=a2cos2α﹣4c2+b2sin2α=0，∴e2====，0＜θ＜2π，∴当θ→0时，e=；当时，e=，∴离心率的取值范围为[，）．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），则a1+a2+a3+…+a2015= 2．【分析】由（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015，令x=1，可求出a0+a1+a2+…+a2015的值；令x=0，得a0=（0﹣1）2015=﹣1，即可得出结论．【解答】解：∵（2x﹣1）2015=a0+a1x+a2x2+…+a2015x2015（x∈R），∴令x=1，得a0+a1+a2+…+a2015=（2﹣1）2015=1；令x=0，得a0=（0﹣1）2015=﹣1，∴a1+a2+a3+…+a2015=2．故答案为：2．14．（5分）若椭圆=1与双曲线x2﹣=1的离心率互为倒数，则椭圆方程为．【分析】求出双曲线的离心率，然后求解椭圆的离心率，求出m，即可求出椭圆的方程．【解答】解：双曲线x2﹣=1，可得a=1，c=5，双曲线的离心率：5，椭圆=1与双曲线x2﹣=1的离心率互为倒数，椭圆的离心率为：，可得：，解得m2=1，所求的椭圆方程为：．故答案为：；15．（5分）如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，则棱CC1的长为3．【分析】作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解即可．【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，若二面角C﹣AB﹣C1的大小为60°，过C作CO⊥AB，连结OC1，则∠COC1=60°，CO=，可得tan60°==则棱CC1的长为：3．故答案为：3．16．（5分）下列说法正确的是②③④．①概率为1的事件是必然事件；②二项式展开式中二项式系数最大的项是第7项；③将5个完全相同的小球放入三个不同的盒中，且每个盒子不空，共有6种不同的放法；④设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是6．【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：必然事件的概率为1，概率为1的事件未必为必然事件，即①不正确；②二项式展开式共13项，二项式系数最大的项是第7项，正确；③将5个完全相同的小球放入三个不同的盒中，且每个盒子不空，分为1，1，3或1，2，2；1，1，3时，3种方法，1，2，2时，有3种方法，共有6种不同的放法，正确；④设椭圆上的点为（x，y），则∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为，∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为=≤5，∴P，Q两点间的最大距离是6，正确．故答案为：②③④．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．（10分）已知命题p：∀x∈R，都有x2﹣2x+3≥m成立；命题q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，若命题“p∧q”与命题“¬q”均为假命题，求实数m的取值范围．【分析】利用符号命题，判断命题的真假，列出不等式求出m的范围，推出结果即可．【解答】解：因为“p∧q”与“¬q”均为假命题，所以p假，q真．p：∀x∈R，使得x2﹣2x+3≥m成立，所以m≤2；q：方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，所以△＜0，所以1＜m＜3．综上2＜m＜3．18．（12分）学校从参加高二年级期末考试的学生中抽出一些学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为100分），所得数据整理后，列出了如下频率分布表．（Ⅰ）在给出的样本频率分布表中，求A，B，C的值；（Ⅱ）补全频率分布直方图，并利用它估计全体高二年级学生期末数学成绩的众数、中位数；（Ⅲ）现从分数在[80，90），[90，100]的9名同学中随机抽取两名同学，求被抽取的两名学生分数均不低于90分的概率．【分析】（Ⅰ）利用频率分布表，结合频率，直接求A，B，C的值；（Ⅱ）求出众数，中位数，画出频率分布直方图即可．（Ⅲ）利用古典概型概率的求法，求解概率即可．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）（Ⅱ）众数为最高的小矩形区间中点65，中位数为；（Ⅲ）设Ω={从分数在[80，100]的10名同学中随机抽取两名同学}，．A={两名学生分数均不低于9（0分）}，n（A）=1，根据古典概型计算公式，．19．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点M（3，m）到焦点的距离等于5．（Ⅰ）求抛物线C的方程和m的值；（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，且|AB|=4，求直线的方程．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出抛物线C的方程，然后求出m值；（Ⅱ）直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，联立方程组，利用韦达定理以及弦长公式|AB|=4，求直线的方程．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据抛物线定义，M到准线距离为5，因为M（3，m），所以，抛物线C的方程为y2=8x，．（Ⅱ）因为直线y=x+b与抛物线C交于A、B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2），，所以y2﹣8y+8b=0，，所以，直线为．20．（12分）如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（Ⅰ）求三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅱ）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE．【分析】（Ⅰ）连接PO，证明PO⊥平面ABC，求出PO，求出底面面积，即可求解三棱锥P﹣ABC的体积；（Ⅱ）设G是OC的中点，以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．求出平面BOE的法向量，求出，通过数量积为0，证明直线与平面平行．【解答】解：连接PO∵PA=PC，O为AC中点，∴PO⊥AC∵平面PAC⊥平面ABC交线为AC，∴PO⊥平面ABC∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴BO⊥AC∵AC=16，∴∵PA=PC=10∴PO=6∴==128（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知PO⊥平面ABC，BO⊥AC以O为坐标原点，分别以OB、OC、OP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），A（0，﹣8，0），B（8，0，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，﹣4，3），F（4，0，3），由题意得，G（0，4，0），因=（8，0，0），=（0，﹣4，3），因此平面BOE的法向量为：=（0，3，4），=（﹣4，4，﹣3）得，又直线FG不在平面BOE内，因此有FG∥平面BOE．21．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（Ⅰ）求证：DE⊥平面PBC；（Ⅱ）求二面角F﹣DE﹣B的正弦值．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1．求出相关点的坐标，利用数量积为0，证明BC⊥DE．PC⊥DE，即可证明DE⊥平面PBC．（Ⅱ）求出平面EFD的一个法向量，平面DEB的法向量，设求二面角F﹣DE﹣B 的平面角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（Ⅰ）∵侧棱PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，∴如图建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1．依题意得．B（1，1，0），C（0，1，0），故，所以BC⊥DE．PC⊥DE∵PC∩BC=C∴DE⊥平面PBC（Ⅱ），又，故，所以PB⊥DE．由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD．所以平面EFD的一个法向量为.，不妨设平面DEB的法向量为则不妨取x=1则y=﹣1，z=1，即…（10分）设求二面角F﹣DE﹣B的平面角为θ，…（11分）因为θ∈[0，π]，所以．二面角F﹣DE﹣B的正弦值大小为．22．（12分）已知椭圆C：=1经过点P（1，）．（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）过椭圆右焦点F的直线（不经过点P）与椭圆交于A、B两点，当∠APB 的平分线为PF时，求直线AB的斜率k．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：=1经过点P（1，），求出a，可得求椭圆C的方程及其离心率；（Ⅱ）记PA、PB的斜率分别为k1、k2．所以，PA、PB的斜率满足k1+k2=0，设直线AB方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程，利用韦达定理进行计算，即可求直线AB的斜率k．【解答】解：（Ⅰ）把点代入，可得a2=2．故椭圆的方程为，所以c=1，椭圆的离心率为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（1，0）．当∠APB的平分线为PF时，由和F（1，0）知：PF⊥x轴．记PA、PB的斜率分别为k1、k2．所以，PA、PB的斜率满足k1+k2=0…（6分）设直线AB方程为y=k（x﹣1），代入椭圆方程并整理可得，（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．设A（x 1，y1），B（x2，y2），则又，则，．…（8分）所以k1+k2===…（11分）即．所以．…（13分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷理科解析版
2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）12560分，在每小题给出的四个选项中，只有题，每小题一、选择题：本大题共分，共一项是符合题目要求的．25x60B=xx2x1A=xAB= ∩） ||{| |﹣≤+（＜}}，，则{?．已知集合R AA BCA CB DCB ．．．．RR2z=）对应的点位于（．在复平面内，复数 C DA B．第四象限．第二象限．第一象限．第三象限2 3y=2x）．抛物线的焦点坐标是（﹣C0D0 A0B10）．．（，（）．（﹣，），﹣）．（﹣，﹣2yxyz=x4），满足约束条件．若变量则﹣的最大值为（1DC2 A4 B3 ．．．．x xlgb=0fx=agx=log5lga）（的图象可能是（）﹣．已知与函数+，函数（）bC D BA．．．．6”“是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何牟合方盖．好似两个扣合相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，体．它由完全相同的四个曲面构成，21中四边形是为体现其直观性所作（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图）的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（dcbb Dc b BAaaC，，．，．．．，x1x72875436不小，执行如图所示的程序框图，则输出的，}．已知实数∈{，，，，，，121）于的概率为（第1页（共22页）DB C A．．．．8）．下列命题正确的个数是（2YYKXkkX”“①有关系的观测值的随机变量越小，与对于两个分类变量来说，与判断的把握程度越大；2a=bxyy=ceR②拟合时的相关指，用拟合时的相关指数为在相关关系中，若用+2111222 RyRR的拟合效果好；，且＞数为，则1122001a3a1”“③；～﹣之间的均匀随机数发生的概率为，则事件＞利用计算机产生20a0b””“④“的充分不必要条件．是，＞≥＞+4D2C3A1B．．．．OyOOA9Ax逆时针旋转上任意一点，将射线绕点，与单位，．已知）是单位圆（11myxx=my2ym02OB），），若﹣（，则圆＞交于点的值为（（）的最大值为22123 D2 C2A1B．．．．2ClP10Cx1l的两的左顶点与双曲线作斜率为﹣，若．过双曲线的直线：CQR）的离心率是（条渐近线分别相交于点，则双曲线，，且ADBC ．．．．A=A11ABCCa=bsinBCacb，已知所对的边分别为，，．△且，（+）中，角，，=aABCcsinB），则△的面积为（﹣+（）BCA D．．．．2x=xxffxf12xRfxRx′，且（）在（上存在导数（﹣（．设函数）），对任意的+∈，有）a22aaaf2xf0 xf′∞）﹣）﹣的取值范围为（（．若）≥（∈（，+）时，﹣，则实数（）＞B 1ACD2 21 ∞∞∞∞]．]．．[，+，+．[，））（﹣（﹣，54分．二．填空题：本大题共个小题，每小题11320161日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生．年月30岁以下的育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，600024003036004040人．为了解不同年龄层的女性岁以上的约约岁的约人，岁至人，N对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N=304060 ．人，则的样本进行调查，已知从岁至岁的女性中抽取的人数为62 x14． + ）展开式中的常数项为．二项式（ABCD=0 15 =2=0=1??中，，则|，|的最大值．已知四边形|，||，|．为第2页（共22页）ABCDCDAB=CD=2162AB的体积的、．在半径为、的球面上有，则四面体、四点，若．最大值为三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17aa=7aaa 成等比数列．，且．已知公差不为零的等差数列{，}中，，9n234a Ⅰ的通项公式；}（）求数列{nbb=nSS Ⅱ．项和为}满足＜，求证：（）（，设其前）数列{≤nnnn18“”活动，学生一元钱，一片心，诚信用水．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行5天的售出便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续在购水处每领取一瓶矿泉水，和收益情况，如表：x6 6 5 7 6 （单位：箱）售出水量y 150 125 165 142 148 （单位：元）收益8 Ⅰ箱水，求预计收益是多少元？）若某天售出（Ⅱ期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特（）200500201500名，获元；考入年级困生，规定：特困生考入年级前﹣名，获一等奖学金300501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、元；考入年级二等奖学金乙两名学生获一等．，不获得奖学金的概率均为奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为1 ）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得（X 的分布列及数学期望奖学金总金额2=182x =4420 xy == =6 =146．，附：，，，，﹣iii19EFBDEF=DE=BDBD=BC=CD=BDEFABCDBD，∥梯形，于，所在平面垂直于平面．AB=AD=2DEBC ．，⊥DEABCD Ⅰ；（求证：）⊥平面AEFCEF Ⅱ所成的锐二面角的余弦值．（与平面）求平面20A20A20Bx2Bx2P，，﹣，），．在平面直角坐标系中，已知（﹣），），（（，），（21122= O xy?λ?λ．（为坐标原点）（，，若实数）使得PCP Ⅰ的轨迹类型；的轨迹的方程，并讨论点（）求点第3页（共22页）CP02l =BⅠⅡλ相交于不））的直线当）中点（与（时，是否存在过点的轨迹（，kF1EF EB的取同的两点之间），，且（＜在＜，？若存在，求出该直线的斜率值范围；若不存在，请说明理由．2 fx=xalnxbx21．（﹣）+．设函数axxxxx b=2fⅠ的取值范围；）有两个极值点＜，函数，（（），求实数若，且2121fxⅠⅡ；在（（（）的条件下，证明：））＞﹣20xef2 b1x1eⅢ）＜（为自然对数的底数）），使得若对任意，∈[（，]，都存在）∈（（a的取值范围．成立，求实数4-1242223：、选修、则按所做的第一题记分．三题中任选一题作答，如果多做，请考生在[]几何证明选讲BCCCD22ABCADBAC的延为圆心，为∠为半径的半圆交．已知在△的平分线，以中，3B=FAEMCAEFEFD=4EAD．，交，于点长线于点，且∠，交：于点∠：AF=DFⅠ；）求证：（AEDⅡ的余弦值．（）求∠4-4][选修坐标系与参数方程Cx23O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线为极点，．在直角坐标系中，以原点2Alt1=04cosθρρ的的参数方程为：（的极坐标方程为+，点﹣，直线为参数）2QCPl两点．相交于与曲线极坐标为（，，），设直线Cl Ⅰ的普通方程；的直角坐标方程和直线（写出曲线）OP APAQOQ???Ⅱ的值．|||求|||||（）4-5][选修：不等式选讲x24fx=1．（﹣）||．已知函数8xx1ff4；（）解不等式+（）+（）≥ba21abf01aaf．＜＜（）若||，||，且≠，求证：（）＞||（）第4页（共22页）2016年吉林省吉林市高考数学四模试卷（理科）参考答案与试题解析12560分，在每小题给出的四个选项中，只有题，每小题一、选择题：本大题共分，共一项是符合题目要求的．25x60B=xx2AB=1A=xx ∩）?{（．已知集合||{||≤﹣ +}＜，则}，R AA BCA CB DCB ．．．．RR交、并、补集的混合运算．【考点】ABABAB的交集即可．与【分析】分别求出补集与与，求出中不等式的解集，确定出Ax2x30 ，﹣中不等式变形得：（（﹣）＜）【解答】解：由2x3A=23 ，＜（＜），即，解得：A=23 ∞∞∪，），，]+∴?[（﹣R B2x2B=22 ，≤，，即由]中不等式解得：﹣[≤﹣AB=22=B ∩，，[﹣则?]R C ．故选：z=2）．在复平面内，复数对应的点位于（ D B CA．第四象限．第二象限．第一象限．第三象限复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【考点】3iz1i，等于﹣的幂运算性质化简复数利用两个复数代数形式的除法，虚数单位【分析】﹣13，从而得出结论．，﹣它在复平面内对应点的坐标为（﹣）13i===，﹣解：∵复数﹣【解答】31 ，故复数，﹣对应的点位于在第三象限，）它在复平面内对应点的坐标为（﹣C．故选2 2x3y=）．抛物线的焦点坐标是（﹣B10 00 CD0A ），）（．（），﹣．（﹣，）．（﹣．，﹣抛物线的简单性质．【考点】2 y=2x．即可得出．﹣的方程化为：【分析】抛物线2 2xy=．的方程化为：解：抛物线【解答】﹣．∴焦点坐标为C．故选：第5页（共22页）z=x2y4xy）．若变量的最大值为（，满足约束条件则﹣12 DB3 CA4 ．．．．简单线性规划．【考点】ABC及其内部，再将目标函数作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△【分析】zy=0x=2z=x2yy达﹣且对应的直线进行平移，观察直线在时，轴上的截距变化，可得当2．到最大值表示的平面区域，【解答】解：作出不等式组ABC及其内部，得到如图的△31C20B11A．，，），（（），，其中）（z=x2yxy=x2ylz=F进行平移，，﹣）（﹣：，将直线设x轴上的截距变化，观察直线在zlA达到最大值，经点时，目标函数可得当=3z=F20．，（）∴最大值C故选：x logxf=axgx=5lgalgb=0）（）﹣+与函数，函数的图象可能是（（）．已知bC DA B．．．．对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质．【考点】xabgxxgf）的单先求出【分析】）与函数、的关系，将函数（（）进行化简，得到函数（调性是在定义域内同增同减，再进行判定．lgb=0 lga+【解答】解：∵b=ab=1则∴x xfxx=loglog=xg=a与，）（﹣（）从而ab第6页（共22页）fxgx ）的单调性是在定义域内同增同减）与函数∴函数（（B ，结合选项可知选B 故答案为6“”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何牟合方盖．体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合12中四边形是为体现其直观性所作（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图的辅助线．当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是（）d bcb DAab Bac C，．，，．．，．简单空间图形的三视图．【考点】（方在一起的方形伞好似两个扣合（牟合）【分析】相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，．根据三视图看到方向，可以确定三个识图的形状，判断答案．盖）解：∵相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方【解答】．形伞（方盖）∴其正视图和侧视图是一个圆，∵俯视图是从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上2条对角线且为实线的正方形，∴俯视图是有A．故选：x783456x712不小，，，，执行如图所示的程序框图，则输出的，．已知实数∈{}，，，121）的概率为（于DB C A．．．．程序框图．【考点】得到输出的值与输入的值的关系，写出前三项循环得到的结果，【分析】由程序框图的流程，x121不小于得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的令输出值大于等于121的概率．1n=2x=3x，，+【解答】解：经过第一次循环得到1x=33x1n=3，+）+经过第二循环得到（，1n=3x13xx=331，此时输出]+，经过第三次循环得到[（++）1327x，+输出的值为1211327xx4，≥+令≥，得第7页（共22页）x121．不小于的概率为：由几何概型得到输出的B．故选：8）．下列命题正确的个数是（2YKXkkXY”①“有关系越小，来说，对于两个分类变量判断与的观测值的随机变量与的把握程度越大；2ay=bxy=ceR②拟合时的相关指在相关关系中，若用拟合时的相关指数为，用+2111222 RyRR的拟合效果好；数为＞，则，且1122001a3a1”“③；，则事件＞利用计算机产生发生的概率为～﹣之间的均匀随机数20b0a”“”④“的充分不必要条件．，+＞是≥＞4DC3A1B2．．．．命题的真假判断与应用．【考点】①根据独立性检验的进行判断，【分析】2 R②，的意义进行判断，根据相关关系相关指数为2③根据几何概型的概率公式进行求解．④根据充分条件和必要条件的定义进行判断．22XXYkkk“①判断【解答】解：根据两个分类变量的观测值与越大，的随机变量来说，Y①”错误，与的把握程度越大，故有关系2ay=bxy=ceR②拟合时的相关指，用+在相关关系中，若用拟合时的相关指数为2111222 yRRR的拟合效果好；正确，且数为，则＞112210aa013a③，＞﹣～之间的均匀随机数＞，由得利用计算机产生13a0P==③“”正确，；故＞则事件发生的概率﹣20ab0“”④“成立，，时当＞＞≥+020ab也成立，时， +，＜≥当＜20ab0④““””错误，≥＞则的充分不必要条件，故是＞，+②③，故正确的是B．故选：OyxOOAA9，与单位）是单位圆上任意一点，将射线逆时针旋转绕点．已知（，11OBm2m2y0x=myyx），则的值为（（，若，圆交于点（）﹣＞）的最大值为22123B1 A 2D2 C．．．．三角函数的化简求值；任意角的三角函数的定义．【考点】第8页（共22页）2sin2y=msinsincossinBcosmyAααααα﹣（+）【分析】设，（，则（，﹣+），则）（）21m2x=my2ym0α列关于）（，整理后利用辅助角公式化积，再由+＞﹣）的最大值为（21 m的值．的等式求得sincossinBcosAxyAααα，）【解答】解：，则（，+）是单位圆上任一点，设（（（），11α，）（）+=sinyy =sinαα+（，），即212sin 2y=msinmyαα+则）﹣﹣（212 =msinα（﹣）sin=mcos 1αα﹣﹣）（=sinβα，+（）2m0my2y，﹣∵＞的最大值为，21m=2．∴，解得B．故选：2ClPx10C1l的两的左顶点，若：作斜率为﹣与双曲线．过双曲线的直线QRC），则双曲线条渐近线分别相交于点，的离心率是（，且D CA B ．．．．双曲线的简单性质．【考点】RPQl和【分析】先由双曲线线方程可得的方程与双曲线的渐近线联立求得的坐标和直线cbc=，最后根据的横坐标，进而根据且，求得的值，进而根据求得离心率公式答案可得．Ly=x10P1，+）所以直线的方程为解：由题可知【解答】（﹣，y=bxbxy=或两条渐近线方程为﹣Qy=y=x1bxx=﹣+和﹣得联立的横坐标为QxR=，同理得的横坐标为R，∵1y0=2 y），），（﹣），+∴（﹣，（QR第9页（共22页）=b=3c=1=，?∴﹣﹣+，e==，∴B．故选CcA=a=bsina11ABCABCb），已知且，，+，所对的边分别为，．△，中，角（=acsinBABC），则△﹣的面积为（（+）D B CA．．．．三角函数的化简求值；正弦定理．【考点】CBBsinC=1的值，再利用正弦，结合角的范围得到）【分析】由已知化简整理求得（，﹣b，代入三角形面积公式求得答案．定理求得=aCbsincsinBA=，）﹣，（++解：由【解答】）（sinCsin=sinAsinBsin （．））﹣得：（sinC sinBcosBsinB=（+）﹣+（），cosBsinC=1sinBcosC，﹣整理得sin=1BC，（﹣即）A=，∵BC=①，∴+0CB0，＜，＜＜即＜C0，＜﹣＜∴﹣BC，﹣＜则﹣＜C=B ②﹣．从而B=C= ①②解得，．联立sin=，sin=．第10页（共22页）=．由，得．∴C．故选：2x=xfxfx12fxRfxxR′，且（﹣（，有（））．设函数，对任意的（+）在∈上存在导数）a2aafa2 0fxxf2′∞））﹣（的取值范围为（（∈（）≥，+﹣）时，﹣（）＞，则实数．若12A1 BCD2∞∞∞∞]（﹣，．[，，++），．）．]．[（﹣导数的运算．【考点】2xggx=fxx=0gxgx）为奇函数．利）【分析】令（﹣（）（（））﹣+，可得函数，由（aaRf2afa22ag2ggx，上是增函数，）≥（﹣，即）﹣）（用导数可得函数（（）在）≥（﹣﹣2aaa的范围．≥可得﹣，由此解得222 fxx=0fxfx=xfxx，+（﹣，∴）+（（）﹣））﹣【解答】解：∵（﹣222 gxfxx=fxgx=fxxx=0gx，（（﹣））﹣（）﹣）﹣令），∵（（﹣+）+（gx）为奇函数．∴函数（x0xxf′∞．∈（+，）＞）时，（∵g0x0gx0x=fxx∞′∞′）上是增函数，（）在（）+）时，（（）﹣，∴＞∈（+，，故函数R0xf0=0gxg∞上是增函数．）上也是增函数，由（（（）在）在（﹣，）故函数，可得a2af2af22afaf，）﹣﹣）﹣（（）≥）﹣﹣≥，等价于（（﹣g212agaaaa，），∴﹣（，解得即≥（﹣≤）≥B．故选：54分．二．填空题：本大题共个小题，每小题11201613日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生年．月30岁以下的育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，600036003024004040人．为了解不同年龄层的女性岁至岁的约岁以上的约人，约人，N对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为403060N=200．岁的女性中抽取的人数为人，则的样本进行调查，已知从岁至分层抽样方法．【考点】根据分层抽样的定义即可得到结论．【分析】=N=200 ．解：由题意可得【解答】，故200．故答案为：62 14x3．．二项式（+）展开式中的常数项为页（共11第22页）二项式定理的应用．【考点】r0 x即可求得常数项，，的幂指数等于求出【分析】在二项展开式的通项公式中，令的值，r2626r﹣﹣=xTx=x??））（展开式的通项公式为（【解答】解：二项式（）+r+13r6r12﹣﹣x??，3r=0r=412，令，求得﹣2 =3?，）故展开式中的常数项为（3．故答案为：=0=0 =115ABCD=2 ??的最大值，|||，则|，．已知四边形中，||，．为平面向量数量积的运算．【考点】ABBCAD DCABCD =0=0??．因此四边形，可得，如图所示，，⊥【分析】⊥OAC ．||内接于圆的最大值为直径．可得解：如图所示，【解答】=0 =0 ??，∵，ABBCADDC ．⊥∴⊥，ABCDO ．内接于圆∴四边形OAC== ．可得⊙的直径．则的最大值为直径||．故答案为：162ABCDAB=CD=2ABCD的体积的．在半径为的球面上有、、，则四面体、四点，若．最大值为球内接多面体；棱柱、棱锥、棱台的体积．【考点】CDPCDABPCDABPPCDh，，交于【分析】过作平面到，使，设点⊥平面的距离为h2ABCDABCD的体积的最的中点时，，则当球的直径通过与最大为从而得到四面体大值即可．CDPCDABPCDABP ，作平面，交解：过，使与⊥平面【解答】PCDh ，的距离为设点到V=2h2 ，××则有××ABCDh2 ，当球的直径通过与最大为的中点时，ABCD．则四面体的体积的最大值为页（共第1222页）．故答案为：三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．aa17aa=7a成等比数列．．已知公差不为零的等差数列{，且}中，，，9n342 aⅠ的通项公式；）求数列（{}nSSbb=nⅡ．，求证：≤（（））数列{，设其前}满足＜项和为nnnn数列的求和；数列递推式．【考点】2d=7aaaIad0a=7a，成等比数列．【分析】（可得）设等差数列{，}的公差为且≠，由+，，1234n9a8d =ad，联立解得即可得出．+（（+））11n=4b==ⅠⅡ项和公（×）由（（）知：）．再利用等比数列的前n式、数列的单调性即可得出．Iad0aa=7aa成等比数列．，且，【解答】（，∵）解：设等差数列{}的公差为，≠9n432=aad8da2d=7a =a?，（++，即）∴+（，）19121 =1d=3a．，联立解得1 2=3naa．﹣∴数列{}的通项公式nn=4==bⅠⅡ．））知：×（（）证明：由（nS==．∴∈nS．≤＜∴n18”“活动，学生．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行一元钱，一片心，诚信用水5天的售出在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱．现统计了连续和收益情况，如表：x 6 7 6 6 5 （单位：箱）售出水量y150 165 142 125 148 （单位：元）收益8Ⅰ箱水，求预计收益是多少元？若某天售出（）Ⅱ期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特）（500500200201名，获困生，规定：特困生考入年级前名，获一等奖学金﹣元；考入年级第13页（共22页）300501名以后的特困生将不获得奖学金．甲、考入年级二等奖学金乙两名学生获一等元；．奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为1）在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；（2）已知甲、乙两名学生获得哪个等级的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得（X的分布列及数学期望奖学金总金额2 =182=146 = = =6 xy=4420 x．，，﹣附：，，，iii线性回归方程；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【考点】x=8Ⅰ代入求出即可；）求出、，从而求出回归方程，将【分析】（BA”Ⅱ“”“，求出概率即）设事件为学生甲获得一等奖学金学生甲获得奖学金为，事件（可；PXⅢ）的值，求出其分布列和期望值即可．（（）计算对应的===20…Ⅰ）【解答】解：（206=26=x=146…×﹣﹣=20x=26，∴=20826=186 x=8（元）×当+时，8186…元即某天售出箱水的预计收益是1 AB””Ⅱ““，则，事件学生甲获得奖学金学生甲获得一等奖学金（）设事件为为（）===P，…即学生甲获得奖学金的条件下，获得一等奖学金的概率为1000 600300X20500800，，，，（），的取值可能为===PX=300X=0P=，××，（×（））P=P=X=600=X=500=，）××，）=P==X=800X=1000P=，××（（），）X的分布列为即1000 600 500 3000 X 800页）22页（共14第P…X的数学期望=600600300500EX=08001000…（元）（×）+×+×+×+×+×BD19EFABCDBDBD=BC=CD=BDEFBDEF=DE=，，于梯形．所在平面垂直于平面∥，BCDEAB=AD=2．，⊥ABCD DEⅠ；）求证：（⊥平面AEFCEFⅡ所成的锐二面角的余弦值．（求平面）与平面二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【考点】DEBDEFACBDOACBDACⅠ，进而，推导出【分析】（，从而）连接⊥，交于⊥平面ACDEBCDEABCD．⊥⊥平面⊥，能证明，再由zxOCyOAOBⅡ轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出（轴，）分别以为，轴，，CEFAEF 所成的锐二面角的余弦值．与平面平面OACBDⅠ，【解答】证明：（，交）连接于BD=BC=CDAB=ADACBD，，且⊥∵，∴ACABCDBDBDEFABCD，?⊥平面平面，交线为∵平面，且ACBDEF，∴⊥平面ACBDEFDEDE，平面⊥，∴∵? BCACABCD BC=CDEDE…∩．，且又，∴⊥⊥平面BDODEFEF=EFBDBDOⅡ是平行四边形，，且∥，中点，∴解：（是）∵OFOFDEABCD…，∥∴⊥平面，∴OAzxyOBOC轴建立空间直角坐标系，轴，分别以，为，轴，1E001F0100C0A10，）（，﹣，，），，，，）（（，，，），（﹣10=0=110=，（（﹣，，，）（，），），AEFzyx=，），，设平面的法向量（1=x=101…，，（，得，），取则CEF，的法向量设平面第15页（共22页）10a=1=…，，﹣则，取，，得）（===cos．∴＞＜AEFCEF…．即平面所成的锐二面角的余弦值为与平面P0A20Bx22Bx20A2，（（，，），．在平面直角坐标系中，已知）（﹣（，），，﹣，）22112 O= xy?λ?λ．为坐标原点）（使得，，若实数）（CP PⅠ的轨迹类型；的方程，并讨论点（）的轨迹求点C= B02lPⅠⅡλ相交于不时，是否存在过点与（（的轨迹，（）中点））的直线当kEBF1EF 的取在，？若存在，求出该直线的斜率之间）同的两点，且，＜（＜值范围；若不存在，请说明理由．轨迹方程；平面向量数量积的运算．【考点】2222P=4x1y 1λⅠλ点+﹣由题设条件，知（）﹣（（【分析】）），由此进行分类讨论能得到的轨迹类型．xSP=C=1S=xλⅡ，由|：（）当|时，点|的轨迹|的方程为：．OBFOBE△△2122k11EF1y=kx2）（++，联立方程可得，＜＜，即＜＜．设直线直线方程为：2 8kx4=0x，由此能够推导出直线的斜率的取值范围．++22222 x= 44y=xλⅠλ??，﹣（﹣解：【解答】（）由）+得：2222CP 1xy1=4…λλ的方程（﹣的轨迹）为点即（﹣）+ y=01=…①λ轨迹为一条直线，时方程为±22 y=4x=0…②λ轨迹为圆，时方程为+第16页（共22页）1=1010…③λ∪轨迹为椭圆，∈（﹣，，）+（）时方程为1=1 1…∞∞∪④λ轨迹为双曲线﹣（）时方程为，∈（﹣+，﹣）C=1 =P…λⅡ的方程为的轨迹）当时，点（xSExyFxyS=x|，|），|（|设（，，∴）：：OBFOBE △△212112x111x…＜，由题意可得＜由＜＜，，即＜＜同号，∴212 y=kxEF+的斜率存在，设其方程为由题意得直线224=0 x2k18kx+代入椭圆方程得：（+）+222 0k=64k1162k，）＞∵△+＞﹣，∴（=xxxx=…，+﹣2211，，则设，∴，∴，，∴∵，即，∴k…∪）为所求，，）（∴∈（2 bxalnxx21f=x．+．设函数﹣（）b=2xxxxaxfⅠ的取值范围；＜，求实数（）有两个极值点，（）若，函数，且2211f xⅠⅡ；）的条件下，证明：（）在（）＞﹣（20efe1x21xb Ⅲ）＜（）为自然对数的底数）（，使得，都存在]若对任意（）∈[，∈（，a的取值范围．成立，求实数利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【考点】xfaⅠ的范围即可；）求出（【分析】（）的导数，结合二次函数的性质求出第17页（共22页）22lntt=t2t2t2tfx=2x2x2lnxFⅡ＜）（，）求出﹣（﹣）（﹣）+（+﹣（）（，令2222Ft=212tlntFt1 Ft，从而证出结论；（（﹣（）＜）））＞，得到，根据函数的单调性求出（）2=egb=g=xbx1alnxb12x1gbⅢ﹣﹣）上+（（+∈（，（，）∈[），）（]）令，得到在max22aalnx=xxxxalnx0hx 的范围，求出函数的单调性，从而﹣++（++）＜，通过讨论有解，令a的范围即可．确定2 alnxfxb=2fx=x02x∞Ⅰ，【解答】解：（（）由已知，+时，+（）的定义域为（），）﹣，=fx′，（）求导数得：xx=0fxxxfx′，∵，（））有两个极值点（，有两个不同的正根，21212 2xa2xa=0=48a0，故＜﹣﹣，即+＞的判别式△a0xx=0=1xx?；的取值范围为（）＞且，+，所以，21122=0a=2xxx1f′ⅠⅡ，，得（）得，＜﹣＜）（且）由（2222lnxx=2x2xf，）﹣﹣+（∴）（222222 t2t1Ft=tlnt2t2t，令＜（））），﹣（+（＜﹣lnt=2t12tF，）（（）则﹣1tt1F0Ft′）上是增函数）时，）在（（（∈（，）＞，，∴当=tFF，∴（（）＞）xf；∴）＞﹣（22 2gb=xbxbalnx1Ⅲ，[）令]（+），﹣，+∈（gx1ebb的递减的一次函数，，），所以由于）为关于∈（（0b12xefx1e）＜为自然对数的底数），]，都存在，使得∈（（，根据题意，对任意（∈[）成立，2 xxalnx01x1egb=g=有解，+则＜∈（），）上+（﹣）（max2 x0=xx1alnxxehhx 即可，﹣，+（+令（）使得），则只需存在）＜∈（002 =4x10x=2xxh=x1xaxeω′ω′，﹣（∈（（）），令（，））﹣，+由于＞，1ex1x=1aωωω，（）∴）＞（）在（+，）上单调递增，∴（0h10ax0x1a′①ω，）＞，∴≥﹣（时，当（+≥）＞，即=01exh1hxh，不符合题意，（（∴）＞（）在（），）上是增函数，∴2 e0=11aa101a=2eeaωω②，，（﹣当+＜，即）＜﹣时，（）++＜2 1x2eae0e10xeωⅰω恒成立）＞（）若（）＜，即≤﹣＜﹣时，在∈（，）上（xhh0x1e′）上单调递减，）在（恒成立，∴即（）＜（，第18页（共22页）x1ehxh1=0 ，符合题意，（（∴存在∈（）＜，）），使得002ea11e02emm=0 eωⅱω，）上存在实数﹣＜（＜﹣（，使得）若时，在（（））＞，，即1mx0hx0 ′ω恒成立，）＜）上，∴在（恒成立，即（（）＜hx1e ）上单调递减，（，）在（∴x1ehxh1=0 ，符合题意，∈（）＜，）），使得（（∴存在00a1b12x1ee为自然对数的底数）（∈（，∈[，，）综上所述，当]＜﹣，都存在时，对任意fx0 成立．（使得）＜2223244-1：[选修请考生在三题中任选一题作答，、如果多做，、则按所做的第一题记分．]几何证明选讲22ABCADBACCCDBC的延．已知在△的平分线，以中，为半径的半圆交为∠为圆心，EADFAEMB=CAEFEFD=43 ．长线于点∠，交：于点，且∠，交，于点：AF=DF Ⅰ；（）求证：AED Ⅱ的余弦值．（）求∠与圆有关的比例线段．【考点】DEFAF=DFAEFⅠ得出；，可以证明△）欲证≌△【分析】（DMMEAEDⅡ，由已知条件，勾股定理，切割线定理的推论可）求∠：的余弦值，即求（以求出．ADBACⅠ，平分∠（）∵【解答】证明：BAD=DAC．∠∴∠B=CAE，∠∵∠DACCAEBADB=．∴∠++∠∠∠BBADADE=，+∵∠∠∠DAEADE=．∠∴∠EA=ED．∴CDE的直径，∵是半圆DFE=90°．∴∠AF=DF…．∴DMⅡ，）连结解：（DEC的直径，∵是半圆DME=90°．∴∠3FEFD=4，∵：：FD=3xFE=4x．∴可设，则DE=5x．由勾股定理，得AF=FD=3x AE=DE=5x，∴AE AD=AMAF??∵5x=AM3x3x3x?）+∴（第19页（共22页）AM=3.6x∴ME=AEAM=5x3.6x=1.4x ﹣∴﹣cosAED==RtDME…．△∠在中，4-4][选修坐标系与参数方程COx23轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线为极点，．在直角坐标系中，以原点2At4cos1=0lθρρ的为参数）的参数方程为：+﹣（，直线，点的极坐标方程为CPQ2l两点．相交于与曲线极坐标为（，，），设直线ClⅠ的普通方程；写出曲线）的直角坐标方程和直线（OPOQAQ AP??Ⅱ?的值．||（|）|求||||参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【考点】C Ⅰ的直角坐标方程，消去参数即）（利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线【分析】l的普通方程；可得到直线Q A3PQttPⅡ的极点对应的参数分别为的直角坐标为（，，），设点（），，，点2122=32ytx．将））+，（（为参数）与（坐标分别为（﹣）OQOPAPtt=1AQ=1APAQ???的值．||联立，得：|||，||||||，转化求解|2122 4xxy1=0CⅠ，即+﹣的直角坐标方程为：【解答】解：（+）曲线22 2y=3x…+﹣）（xly=0 …﹣直线的普通方程为QPtPA3QtⅡ的极坐，点对应的参数分别为）点，的直角坐标为（，），设点，，（21．，（）标分别为（）222 2t1=0xt2y=3t，﹣联立得：）+++将（为参数）与（=1 AQAP=1tt …|由韦达定理得：，|||212 cos=41=0Rθρθρρ联立得：）与圆的极坐标方程将直线的极坐标方程（∈﹣+第20页（共22页）OQ=1 =1OP…ρρ|，由韦达定理得：，即|||21 t=1OPOQ=tAPAQ…ρρ．所以，||||||||||2211 4-5]选修：不等式选讲[ 1x=x24f．）﹣（|．已知函数| 8fx41fx；（）≥（））解不等式+（+abafb1a0f2a1．＜）＞，且|≠|，求证：（））若|（|＜，|（|绝对值不等式的解法；不等式的证明．【考点】=34=x1xfxfxⅠ，分类讨论求得）|+||+【分析】（|）根据（﹣）++（8xfx4f的解集．）+不等式+（（）≥220baa1ba1b1ab1abⅡ，﹣|||＜|，|||＜，可得|（要证的不等式即）|﹣﹣﹣|＞|﹣＞|，根据从而得到所证不等式成立．3=fx4=x1xfxⅠ，++）|+|（|）+（|【解答】解：（）﹣5x32x28x；＜﹣≥时，由﹣≤﹣﹣当，解得83x1fx不成立；≤（≤）≤当﹣时，2x28x3x1．+，解得当≥＞≥时，由35xxfxfx44x．，或所以，不等式}（{）+|（+≥）≤≤﹣的解集为aabfafab1bⅡ．|（）＞|＞|，即（）||﹣﹣|（）a1b1，|因为||＜＜，|2222222210ba1abab=ab2ab12abb=a1，﹣））＞（|所以|﹣|﹣﹣|（（﹣﹣+）﹣（）﹣+ 1abba，故所证不等式成立．|||所以﹣|＞﹣第21页（共22页）2320168日年月第22页（共22页）。
吉林省吉林大学附属中学2016届高三上学期第四次摸底考试理数试题 含解析
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）（1）已知集合{|10}{}A x x B a A B A=-<==，，，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）[01)， （B ）(11)-， (C ）(10]-， （D)(10)-，【答案】C 【解析】 试题分析：(]1,0A =-，{}B a =，A B A ⋃=，(]1,0a ∴∈-,故选C ．考点:1、集合的表示方法;2、集合的并集。
（2)已知圆22:40C xy x +-=,直线:30l mx y m -+=，则（ )（A)l 与C 相交 （B ）l 与C 相切 (C ）l 与C 相离 （D ）以上三个选项均有可能 【答案】D考点:1、点和圆的位置关系;2、直线和圆的位置关系。
（3）已知函数21sin()10()0x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨⎪⎩，，，实数a 满足(1)()2f f a +=，则a 的所有可能值为（ ） （A ）1或22-(B ）22-(C)1 （D ）1或22-或22【答案】A考点:已知分段函数的解析式求函数值。
(4）已知1e 、2e 是夹角为90︒的两个单位向量,若123=a e e ,12=-b e ，则a 与b 的夹角为( ）（A ）30︒ (B)60︒ （C)120︒ （D)150︒【答案】C 【解析】 试题分析：121(3)(2)2a b e e e •=+•-=-，2,2a b ==,1cos ,2a b a b a b•∴==-•， a 与b 的夹角为120︒，故选C 。
考点：1、平面向量的数量积；2、向量的夹角. (5）直线12:30:0l ax y lx by c --=++=，，则1ab =-是12l l ∥的（ ）(A ）充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析:当1ab =-且3c =时，1l 与2l 重合，而12//l l 时一定有()110a b ⨯--⨯=，即1ab =-,所以1ab =-是12l l ∥的必要不充分条件，故选B 。
吉林省吉林市普通中学高三第四次调研测试理科数学试卷含答案.doc
吉林市普通中学2015—2016学年度高中毕业班第数学（理科）本试卷分第I卷（选#«）和第U卷（非遶择島）两篩分.共24小& 共ISO分.考试时间120 分帜注*««： 1.答題前.考生先将自己的姓名•准考证号码填写清楚・将条形码准确粘贴在考生佰息条形码粘贴区.2. 选择趣必须用2B钳笔填涂：非选择题必须使用0・5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工孩、笔迹清楚・3. 请按照题号顺序在各题目的答题区城内作答.超出答题区域书写的答案无效$在草稿纸.试題卷上答I!无效.4. 作图可先使用铅笔画出・确定后必须用黒色字迹的签字笔描黑・5. 保持卡面清洁.不要折叠.不婴弄破、弄皱.不准使用渝改液、修正带■ 刮纸刀•第I卷一.选择題：本大题共12 毎小& 5分.共60分，在毎小I#给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合>1 = {XIx2 -5x + 6<0},B = {x||x|2},则心如8・A. AB. C2. 在复平面内，复数Z二匕主所对应的点在1 + 1 A・第一象限B.第二彖限3. 抛物线y = -2x2的焦点坐标为A・（£，0） B. （-£,0）44 若满足约束条件《C. B D.［諾C.第三彖限D・第四象限C・(0*D・(0,-|)O□x + y 20 则Z = x-2y的最大值为x-^-2^0A. 4B. 3C. 2D. 16•^牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几 何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似 两个扣合（牟合）在一起方形伞（方盖）.其直观图如下左图，图中四边形是为体现其 直观性所作的辆助线，其实际直观图中四边形不存在，当其正视图和侧视图完全相同• • •时.它的正视图和俯视图分别可能是7.已知实数.2 {1,2,3,466,7,8}・执行如图所示的程序框图.则输出的牙不小于12］的概率为• • •5.已知+= 函®/（x ） = a r 与函数g （x ） = -lo 班x 的图像可能是A. R C. D.B. a,CA. B.D.8. 下列命题正确的个数是：• •① 对于两个分类变与y 的随机变的观测值A 来说，A 越小，判断“X 与y 有 关系“的把握程度越大；② 在相关关系中，若用拟合时的相关指数为用y 2=6x + a«合时的相关指数为R 22 3,且/?/ >貯，则y\的拟合效果好；③ 利用计算机产生0〜1之间的均匀随机数4,则事件“3“-1>0”发生的概率为丰；④“a > 0』〉0 ”是上+ ° 2 2”的充分不必要条件.b aA. 1B. 2C ・ 3D. 49. 己知/t （x pJ1）是单位圆O 上任意一点，将射线Q4绕点O 逆时针旋转彳，与单位圆O 交于点B （x J3y 2）.若x-my x -2y 2（m>0）的最大值为2.则/«的值为的两条渐近线分别相交于点Q,R,且OP^OR = 2OQ （其中O 为坐标原点），则双曲线的离心率为d &B. V10C ・ §D ・亟2311. A.4BC 中，角4・B,C 所对的边分别为a,b,c,已知人£宀=近4且b sin （- + C>-csin （- + B ） = a ,则 AABC 的面积为4412. 设函数/(x)的图像是一条连续不断的曲线，且在实数集尺上存在导数对任2「近1 ,41 A ・—B. '■一・■C. —D ・ .....8 8 2 2A ・1B. 2C. 2^2D ・310.过双曲线C ：疋_£ =1（^>1）的左顶点p 作斜率为1的直线/,若宜线/与双曲线蕙的XE R有/ (-x) + /(x) = x\ 且X€(0t+oo )时・r(x)>x>若/(2-fl)-/(a)^2-2a.则实数a的取值范围是2 卩,炖) B. (Y,1]C・(Y,2] D. {2,-Ko)第n卷本卷包括必考题和选考题两部分.第B題〜第21麵为必考麵・毎个題考生都必須作答.第22題〜第24题为选考题.考生根据要求作答.二.填空fflh本大H共4个小题，毎小題5分・13. 2016年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意18的调査活动.已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人・为了了解不同年龄层的女性对生育二孩的意原是否存在显蕃差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容■为N的样本进行调査，己知从30至40岁的女性中抽取的人数为60人，则冲= ______________14. _____________________________________________ 二項式(鱼卫+丄)6展开式中的常数项为____________________________________________15. 己知AB0・|丽|=1,|旋|=2,而•灵二叭则|而|的垠大值为__________________16. 已知在半径为2的球面上有A^BX.D四点，®/l^ = CD = 2・则四面体ABCD的体枳的量大值为_____________高三数学(理科〉试題第4页《共8页)三・解答解答应写出文字说明■证明过程或演算步17.（本小题满分12分）已知公差不为零的等差数列｛耳｝中，叭=7.且成等比数列•（I）求数列的通项公式：I 1 4（U〉数列9爲满足b n = （yf-.设英前Zf项和为G，求证：寸S.＜〒18.（本小题满分12分）某学校为倡导全体学生为特困学生拘At举行“一元钱.一片心，诚信用水”活动•学生在购水处每领取一瓶矿泉水.便自觉向捐款箱中至少投入一元悅现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：（I）若某天售出8箱水•求預计收益是多少元？（II）期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名.获一等奖学金500元；考入年级201—500名.获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特用生将不获得奖学金.甲、乙两名学生获-等奖学金的概率均为?获二等奖学金的畸均为?不获得奖学金的概率均为右⑴在学生甲获得奖学金条件下.求他获得一等奖学金的概率：（2）己知甲、乙两名学生获得哪个帑第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望.S 5附：---------------- • a = y-6x, x = 6,j= =4420,Yx f2 =182I I19.（本小题满分12分）梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD 、EF"BD, EF = DE = |B D,BD= BC = CD = 41A B =、％D = 2, DE 丄 BC （I ）求证：DE ABCD（D ）求平面AEF 与平面CTF 所成的鋭二面角的余弦值20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系中.已知4（一24）,凡（2,0）4（£2）』2（*，-2）』（七刃・ 若实数几使得，而;•亟=乔・乔（O 为坐标廉点人（I ）求点P 的轨迹C 的方程，并讨论点P 的轨迹类型:取值范围；若不存在.请说明理由.（U ）当兄=42 时，是否存在过点5（0,2）的直线/与（I ）中点P 的轨迹（7相交于不同的两点E,F（E 在之间）.且二也些2<1?若存在・求出该直线的斜率&的B21・(本小題满分12分)设函数f (x) = X1 - + a In x(1)若b = 2t函ft /(x)有两个极值点x p x2.且x, <x2・求实数“的取值范围)(U>在(I)的条件下.证明：/(勺)>-兰昨；4(III)若对任意66|1,2|,都存在xw(l.e) (E为自然对数的底数》，使得/(*)<0成立,求实数a的収值范国高三数学〈理科)试題第7页(共*页)请考生在22. 23、2J 三JS 中任选一题作答.如果多做.则按所做的第一题记分.22.（本小題満分10分）选修4-1:几何证明选讲已知在中./ID 为ZBAC 的平分线•以C 为圆心.CD 为半径的半BS 交〃（7的延长线于点E.交HD 于点F.交/1E 于点且Zfi = ZC4£,FE:FD^4:3.（I ）求证，AF^DFx （II ）求Z/1£Q 的余技值;23.（本小魁满分10分丿选修4_l 坐标系•与參数方程在直角坐标系中.以臣点O 为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C 的极坐标方程为p 2-4pcos^ + l = 0t 直线/的參数方程为:（『为>ft ）・点/!的极坐标为（2>/3,-）.设直钱/与曲线T 相交于6P,Q 两点.（I ） 写出曲线（7的直角坐标方程和直线/的普通方程I （II ） ^\AP\-\AQ\>\OP\-\OQ\的值24.（本小题満分10分）选修4-5:不笛式选讲 已知函数/（x ）«|x-l|・ (1 )解不等式：/(x) + /(x + 4)28： (U)若同<1,同V1.且a#0,求证：f(ab)>\a\f(-)ta命題、枝对：乍大博杨万江王玉梅牛国旺李明明孙长青ABD C E吉林市普通中学2015-2016学年度高中毕业班第四次调研测试数学（理科）参考答案及评分标准评分说明：1. 本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考査内容比照评分参考制订相应的评分细则.2. 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数，选择题和填空题不给中间分. 一、选择题：每小题5分二.填空题：每小题5分13. _______________ 200 _____________14. ______________ 3 ____________三.解答题17•解：（I ）设等差数列｛a n ｝的公差为〃（d 工0）,由已知得尤二 冷9 ------------------------分即（色 + d ）2 =（色—〃）（色 + 6d ），又如=7, dH0，故d = 3 ----------------------- 4分从而a, = 1,数列[a n ｝的通项公式a n =3/2-26分（II ）由（I ）知仇二（-）3/,-2,故S”二厶——卜一2 1 11 --- 88分4 1 4=-[i-（-ri<-, ----------------787分又b n = （*严> °,因此SR 斗故*为v 号15. _______________ V5 ______________16.4^3 101218.解:(1)^ = 工兀X -5xy/=1X x i~5x/=!4420 — 5x6x146""182-5X62-=20 .................. 2分a = y - = 146 - 20x 6 = 26 ............. 3 分当x = 8时，y = 20x8 + 26 = 186 (元)即某天售出8箱水的预计收益是186元.............. 5分(II )(1)设事件A为“学生甲获得奖学金〃，事件3为“学生甲获得一等奖学金〃，则P(B\A) =P(AB)_ 5 _ 6P(A) TT H15即学生甲获得奖学金的条件下，获得-等奖学金的概率为詈7分⑵ X 的取值可能为0300,500,600,800,1000P(X=0) = —X—=—15 15 225P(X=500) = C*-x—=—♦5 15 75 P(X=800) = C*-x- = —~3 5 15i 4 8 p(X=300) = Ci-x—=—「3 1545 P(X=600) = (-)2 =-3 92 4P(X = 1000) = (-)2 = —5 25X03005006008001000p1*******225457591525即X的分布列为X的数学期望.............. i o分£(X) = 0x—+ 300x—+ 500x—+ 600x- + 800x—+ 1000X—= 600 22545 75 9 15 25 (元) ........... 12分19.解:(I)连接AC交BD于O・.・ BD = BC = CD且AB = AD y:. AC丄BD由于平面BDEF丄平面ABCD,交线为BD,且ACu平面ABCD:.AC丄平面BDEFv DE u 平面BDEF, /. DE丄AC又 /. DE丄BC 且ACC\BC = C f:. DE丄平面ABCD ....................M・・EF//BD,EF =丄BD,且O是BD中点，・・・ODEF是平行四边形2分别以OA,OB,OF 为兀轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A(l, 0,0), C(-V3,0,0), E(0,—1,1), F(0,0,1)AH ELAF 二 0—*____________________________________________________ -得m = (1,0,1) m「EF = 0设平面CEF 的法向量并=(x, y, z),由= °得方=(1,0,-能)H LEF = 0--- rridn >/2-\/6•\ COS V 772, n >= 1一1 IT = ---m||n| 420.解：解：(I)0/10B2=/—4，A/V12P = x2—4 + y2由已知得：A 2(X 2-4) = X 2-4 + /,即(1 - A 2 )x 2+ /=4(1-22)为点P 的轨迹C 的方程当久=±1时，方程为y = 0,轨迹C 为一条直线 当2 = 0时，方程为x 2 + y 2=4,轨迹C 为圆当一 Iv/lvO 或OvQv 1时，方程为乂 +4 4(1-A 2)K 2 2(II)汐笃时，点P 的轨迹C 的方程气+才】,即-<^|<1 ,由题意可得西,兀2同号2卜2〔亠I即平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值为V6-V2 _4-12分y 2=1 ，轨迹C 为椭2当心1或小时,方程为亍4(宀)T ,轨迹C 为双曲s设E(x p ^),F(x 2,y 2)・・・才贬、'兀2丿亠12 x2由题意得直线EF的斜率存在，设其方程为y = kx^2y = kx + 22 9u 〔4 2得：（1 + 2疋）宀8也+ 4 = 0△ = 64/—16(1 + 2疋)>0•••叫SkX, + = -------- 7 1 ' 1+2疋设込L 二加，贝Ij （加+ 1）兀2 兀28k(加+ 1尸_ 16疋 (1 + 2疋尸••• _ 64/ m 1 + 2/出匚+丄+ 2,mV-<77?<1, .-.4</7? + —+ 2<-2 m 2即・・.4<卑V?,••丄v 宀21 +2 疋 2 2 14 .•.展（丰,雪山（一習,_¥）为所求21414212分2L ( I )由已知，b = 2 时，/(x) = x 2-2x + alnx > /(x)的定义域为(0，+x)…c a 2x 2-2x + a 求导数得：f (x) =2x-2 + - =xV /（X ）有两个极值点x p x 2 > /z（x ） = 0有两个不同的正根壬，兀2 '9 1故 2xr -2x + a = 0的判别式 A = 4-8^z >0 > 即 a< —2 / 1)2丿且召+兀2=1，兀也二彳>°，所以d 的取值范围为0,- 乙I Z (II)由(I )得，*<尤2 v 1 且 /z (x 2) = 0，得 a = Zx 2- 2%2A /(x 2) = X ；-2%2 +(2x 2-2x2)lnx 2令 F(t) = t 2-2r + (2t-2r)lnt,(-<t<l) 2则 F ,(t) = 2(l-2t)lnt当te9时，F(t)>0，・•・F(t)在上是增函数<2 )(2丿(HI)令g(b) = -x/? + x 2 + 6zlnx,/?e [1,2]由于xw(l,£),所以g(b)为关于b 的递减的一次函数根据题意，对任意处[1,2],都存在* (1,€)( W 为自然对数的底数)，使得/(兀)<0 成立 则 xw (1,e) ±g max (b) = g(l) = -X + X 2 + czIn X< 0有解 令/i(x) = -x + x 2 +ainx ，则只需存在兀(岸(1,幺)使得A(x 0)< 0即可Y_ Y [ zy由于//(x) = -------------- , 令0(x) = 2X 2-X + Q ,XG (1,幺)，0(x) = 4x-l>O・•・0(x)在(1, £)上单调递增，・•・0(x) > °(1) = 1 + a ① 当 1 + >0,即 a>-1 时，°(x) >0,.・・ h'(x) > 0/. A(x)在(l,w)上是增函数，・・・/2(x)>h(l) = 0,不符合题意②当 1 + ov0,即dv-l 时，^(l) = l + a<0, 03) = 2才 一w + d(i)若0(e)vO,即 a<2e 2-e< 一1 时，在 xe (l,e)±^(x) > 0 恒成立 即//(x) v 0恒成立，・•・/z(x)在(1,幺)上单调递减，・•・存在兀0^ (1,幺)使得/. /?(x o )<h(l) = O,符合题意(ii)若0(e)>O,即2e 2-e<a< —1时，在(1,幺)上存在实数加，使得0(m) = O・••在(1,加)上，0(x)v 0恒成立，即"(x)v 0恒成立・•・/z(x)在(1, e)上单调递减，・•・ F(t) > F(|)=-3-21n2 4A /(X 2) = F(X 2)>-3 + 21n2""4 (7)・・・存在兀0 w (1，w)，使得加X 。
2015-2016年吉林省吉林大学附中高二第一学期数学期末试卷(理科)及 解析
6． （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（
第1页（共25页）
A．8
B．18
C．26
D．80 =
7． （5 分） 设 O 为坐标原点， F 为抛物线 y2=4x 的焦点， A 是抛物线上一点， 若 ﹣4 则点 A 的坐标是（ A． （2，±2 ） C． （1，2） D． （2，2 ）
2． （5 分）已知函数 f（x）=sinx﹣cosx 且 f′（x）=2f（x） ，则 tanx=（ A．﹣3 B．3 C．1 D．﹣1
3． （5 分）在样本的频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个长方 形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 ，且样本容量是 160，则中间一 组的频数为（ A．32 ） B．0.2 ） C．40 D．0.25
最小值时的唯一最优解是（1，3） ，则实数 a 的取值范围为（ A． （﹣∞，﹣1） B． （0，1） 11． （5 分）已知 F1、F2 分别是双曲线 C．[1，+∞） ﹣
）
D． （1，+∞）
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M，若 点 M 在以线段 F1F2 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ A． （1 ， ） B． （ ，+∞） C． （ ，2） ）
） B． （1，±2）
8． （5 分）已知点 P（1，2）和圆 C：x2+y2+kx+2y+k2=0，过 P 作 C 的切线有两条， 则 k 的取值范围是（ A．k∈R ） C．﹣ ＜k＜0 D．﹣ ＜k＜
B．k＜
9． （5 分）设函数 f（x）在 R 上可导，其导函数为 f′（x） ，且函数 y=（1﹣x）f′ （x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
吉林省吉林大学附中高二(下)4月月考数学试卷(理科)
2015-2016学年吉林省吉林大学附中高二（下）4月月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．i是虚数单位，复数z满足z（1+i）=1﹣i，则复数z=（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣l2．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．3．已知命题p：∃x∈R，使得x2﹣x+2＜0；命题q：∀x∈，使得x2≥1．以下命题为真命题的是（）A．￢p∧￢q B．p∨￢q C．￢p∧q D．p∧q4．直线l：y=的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（）A．mn＞0 B．mn＜0 C．m＜0且n＞0 D．m＞0且n＜05．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．326．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面 C．共线 D．不共线7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．78．已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣459．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A．192种B．120种C．96种D．48种10．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．2﹣C．D．11．在区间上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P112．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间ln（+1）ln（﹣1）1，+∞）上是增函数的概率；（2）设点（a，b）是区域内的随机点，求y=f（x）在区间1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=﹣1使，方程有实根，求实数b的取值范围．2015-2016学年吉林省吉林大学附中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．1．i是虚数单位，复数z满足z（1+i）=1﹣i，则复数z=（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣l【分析】把给出的等式两边同时除以复数1+i，然后运用复数的除法运算进行化简．【解答】解：由z（1+i）=1﹣i，得：z=．故选B．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，此题也可以把复数z设出，运用复数的乘法运算后利用复数相等的条件求解，此题是基础题．2．双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，则m=（）A．B．﹣4 C．4 D．【分析】由双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，可求出该双曲线的方程，从而求出m的值．【解答】解：双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍，∴m＜0，且双曲线方程为，∴m=，故选A．【点评】本题考查双曲线性质的灵活运用，比较简单，需要注意的是m＜0．3．已知命题p：∃x∈R，使得x2﹣x+2＜0；命题q：∀x∈，使得x2≥1．以下命题为真命题的是（）A．￢p∧￢q B．p∨￢q C．￢p∧q D．p∧q【分析】根据条件求出命题p，q的真假，然后结合复合命题真假关系进行判断即可．【解答】解：∵判别式△=1﹣4×2=1﹣7=﹣6＜0，∴∀x∈R，使得x2﹣x+2＞0；即命题p：∃x∈R，使得x2﹣x+2＜0为假命题，当x∈时，x2≥1恒成立，即命题q是真命题，则￢p∧q是真命题，其余为假命题，故选C．【点评】本题主要考查复合命题真假关系的判断，根据条件求出命题p，q的真假是解决本题的关键．4．直线l：y=的图象同时经过第一、二、四象限的一个必要不充分条件是（）A．mn＞0 B．mn＜0 C．m＜0且n＞0 D．m＞0且n＜0【分析】求出命题的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【解答】解：若直线l：y=的图象同时经过第一、二、四象限，则，即，即直线l：y=的图象同时经过第一、二、四象限的充要条件是m＞0且n＜0，则它的一个必要不充分条件mn＜0，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据条件求出命题的充要条件是解决本题的关键．5．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的标准差为（）A．8 B．15 C．16 D．32【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．【解答】解：∵样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，∴=8，即DX=64，数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64，则对应的标准差为==16，故选：C．【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键．6．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面 C．共线 D．不共线【分析】由共面向量基本定理即可得出．【解答】解：：由=++，可得=1，又A，B，C不共线，∴P，A，B，C四点共面．故选：B．【点评】本题考查了共面向量基本定理，属于基础题．7．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为3，则输出s的值是（）A．1 B．2 C．4 D．7【分析】由已知中的程序框图及已知中输入3，可得：进入循环的条件为i≤3，即i=1，2，3．模拟程序的运行结果，即可得到输出的S值．【解答】解：当i=1时，S=1+1﹣1=1；当i=2时，S=1+2﹣1=2；当i=3时，S=2+3﹣1=4；当i=4时，退出循环，输出S=4；故选C．【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理．8．已知（1+x）10=a0+a1（1﹣x）+a2（1﹣x）2+…+a10（1﹣x）10，则a8=（）A．﹣180 B．180 C．45 D．﹣45【分析】将1+x写成2﹣（1﹣x）；利用二项展开式的通项公式求出通项，令1﹣x的指数为8，求出a8．【解答】解：∵（1+x）10=10=（﹣1）r210﹣r C10r（1﹣x）r∴其展开式的通项为T r+1令r=8得a8=4C108=180故选B【点评】本题考查利用二次展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．关键是将底数改写成右边的底数形式．9．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A．192种B．120种C．96种D．48种【分析】由于小明必须站正中间，故先安排小明，两边一边三人，不妨令小李、小张在小明左边，求出此种情况下的站法，再乘以2即可得到所有的站法总数，计数时要先安排小李、小张两人，再安排小明左边的第三人，最后余下三人，在小明右侧是一个全排列．【解答】解：不妨令小李、小张在小明左侧，先排小李、小张两人，有A22种站法，再取一人站左侧有C41×A22种站法，余下三人站右侧，有A33种站法考虑到小李、小张在右侧的站法，故总的站法总数是2×A22×C41×A22×A33=192故选：A．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的关键是理解题中所研究的事件，并正确确定安排的先后顺序，此类排列问题一般是谁最特殊先安排谁，俗称特殊元素优先法．10．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，若过F1的直线MF1是圆F2的切线，则椭圆的离心率为（）A．﹣1 B．2﹣C．D．【分析】由已知条件推导出|MF2|=c，|F1F2|=2c，∠F1MF2=90°，从而得到|MF1|=，由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：∵F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M，N，过F1的直线MF1是圆F2的切线，∴|MF2|=c，|F1F2|=2c，∠F1MF2=90°，∴|MF1|==，∴2a=，∴椭圆的离心率e===．故选：A．【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．11．在区间上随机取两个数x，y，记P1为事件“x+y≥”的概率，P2为事件“|x﹣y|≤”的概率，P3为事件“xy≤”的概率，则（）A．P1＜P2＜P3B．P2＜P3＜P1C．P3＜P1＜P2D．P3＜P2＜P1【分析】作出每个事件对应的平面区域，求出对应的面积，利用几何概型的概率公式进行计算比较即可．【解答】解：分别作出事件对应的图象如图（阴影部分）：P1：D（0，），F（，0），A（0，1），B（1，1），C（1，0），则阴影部分的面积S1=1×1﹣=1﹣=，S2=1×1﹣2×=1﹣=，S3=1×+dx=+lnx|=﹣ln=+ln2，∴S2＜S3＜S1，即P2＜P3＜P1，故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，利用数形结合是解决本题的关键．本题也可以直接通过图象比较面积的大小即可比较大小．12．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间ln（+1）ln（﹣1）0，+∞）上是增函数，得，解得：．∴t的取值范围．故选：C．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性，考查数学转化思想方法，考查了对数不等式的解法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设a＞0，若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a2，则a=．【分析】利用定积分表示图形的面积，从而可建立方程，由此可求a的值．【解答】解：由题意，曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为==，∴=a2，∴a=．故答案为：．【点评】本题考查利用定积分求面积，确定被积区间与被积函数是解题的关键．14．设曲线y=e x在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为（1，1）．【分析】利用y=e x在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵f'（x）=e x，∴f'（0）=e0=1．∵y=e x在（0，1）处的切线与y=（x＞0）上点P的切线垂直∴点P处的切线斜率为﹣1．又y'=﹣，设点P（x0，y0）∴﹣=﹣1，∴x0=±1，∵x＞0，∴x0=1∴y0=1∴点P（1，1）故答案为：（1，1）【点评】本题考查导数在曲线切线中的应用，在高考中属基础题型，常出现在选择填空中．15．将标号为1，2，3，4，5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，则一共有150种放法．【分析】先把5个不同的求分为（3，1，1）或（2，2，1）两组，求出分组的种数，再分配到分配到三个不同的盒子里即可【解答】解：标号为1，2，3，4，5的五个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有一个球，分为（3，1，1）或（2，2，1）三组，共有+=25，再分配到三个不同的盒子里，共有25=150种故答案为：150【点评】本题考查了分组分配的问题，关键是分组，属于中档题16．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：x2=2py（p＞0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的渐近线方程为．【分析】由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k BF•k OA=﹣1，由此可得C1的渐近线方程．【解答】解：联立渐近线与抛物线方程得，抛物线焦点为，由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k BF•k OA=﹣1，又，所以．所以C1的渐近线方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF⊥OA是解决本题的关键，考查学生的计算能力．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知的展开式中的二项式系数之和为256．（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项；（Ⅱ）求展开式中所有有理项．【分析】（Ⅰ）由条件利用二项式系数的性质求出n，再利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为0得到常数项，方程无解即可证明结论成立；（Ⅱ）令展开式中的x的指数为有理数，求出k值，再求出相应的有理项．【解答】证明：（Ⅰ）依题意得：2n=256，∴n=8…2分，∴，令得，∉N*，∴展开式中没有常数项．…5分解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，为有理项，当r=0，4，8时，T r+1∴展开式中所有有理项为：．…10分．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，以及二项式展开式的通项公式，属于基础题．18．已知关于x的一元二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（1）设集合P={1，2，3}和Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间1，+∞）上是增函数的概率．【分析】（1）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是3×5，满足条件的事件是函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区间1，+∞）上为增函数，当且仅当a＞0且，即2b≤a若a=1则b=﹣1，若a=2则b=﹣1，1；若a=3则b=﹣1，1；∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5∴所求事件的概率为．（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b≤a且a＞0时，函数f（x）=ax2﹣4bx+1在区是间1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）若a=﹣1使，方程有实根，求实数b的取值范围．【分析】（I）根据极值点的信息，我们要用导数法，所以先求导，则的极值点，则有从而求得结果．（II）由f（x）在1，+∞）上恒成立求解．（III）将a=﹣1代入，方程，可转化为b=xlnx+x2﹣x3，x＞0上有解，只要求得函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域即可．【解答】解：（I）=∵的极值点，∴，∴，解得a=0又当a=0时，f'（x）=x（3x﹣2），从而的极值点成立．（II）因为f（x）在1，+∞）上为增函数成立，故a=0符合题意若a≠0，由ax+1＞0对x＞1恒成立知a＞0．所以3ax2+（3﹣2a）x﹣（a2+2）≥0对x∈1，+∞）上为增函数．所以只要g（1）≥0即可，即﹣a2+a+1≥0成立解得又因为．综上可得即为所求（III）若a=﹣1时，方程可得即b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在x＞0上有解即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．法一：b=x（lnx+x﹣x2）令h（x）=lnx+x﹣x2由∵x＞0∴当0＜x＜1时，h'（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数；当x＞1时，h'（x）＜0，从而h（x）在（1，+∞）上为减函数．∴h（x）≤h（1）=0，而h（x）可以无穷小．∴b的取值范围为（﹣∞，0【点评】本题主要考查导数在求最值和极值中的应用，变形与转化是导数法解题中的关键．2016年11月5日。
吉林省东北师范大学附属中学净月校区2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题
2015---2016学年（高二）年级下学期期中考试数学（理）学科试卷注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 2．请在答题卡和答题纸的指定位置上填涂或填写班级、姓名、学号.3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请仔细审题、认真做答.第Ⅰ卷（选择题 共60分 ）一、 选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1．对任意正数a ，b ，a ＋b ≥2ab 大前提x ＋1x ≥2 x ·1x小前提 所以x ＋1x≥2 结论以上推理导致错误的原因是( )A ．大前提B ．小前提C ．结论D ．无错误2. 在用反证法证明命题“已知,2a b c ∈、、（0），求证(2)(2)(2)a b b c c a ---、、不可能都大于1”时，假设正确的是 ( ) A. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都小于1 B. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都大于1 C. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不小于1 D. 假设(2)(2)(2)a b b c c a ---、、都不大于1 3．关于复数z=的四个命题：p 1：复数z 对应的点在第二象限， p 2：z 2=2i ， p 3：z 的共轭复数为1+i ， p 4：z 的虚部为﹣1． 其中的真命题个数为（ ） A ． 1B ．2C ． 3D ． 44. 抛掷甲、乙两枚骰子，若事件A ：“甲骰子的点数小于3”，事件B ：“甲、乙两枚骰子的点数之和等于6”，则P (B |A )的值等于( ) A.13 B.118 C.16 D.19 5．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x 3log e ；②(2log x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x ；④(1ln x)′＝x ；⑤(x e x )′＝e x ＋1.A ．2B ．3C ．4D ．56. 用数学归纳法证明不等式“*1111(2,)2321n n n n N +++⋅⋅⋅+<≥∈-”的过程中，当由n k =变到1n k =+时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．k -12项D ．k 2项7. 观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )8. 一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为( ) A.9110B.2755C.27220D.21559.2(cos4x dx π⎰的值为（ ）A ． 1ππ+B.πC ．1π+D ．4ππ+10. 已知函数()sin f x x x =-，若1212,[,],f()f()022x x x x ππ∈-+>且，则下列不等式中正确的是 ( )A ．12x x > B. 12x x < C.120x x +> D.120x x +< 11.设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝( )A.49 B.79C.1927D.262712．已知函数()||x f x xe =，方程2()+()10()f x tf x t R +=∈有4个实数根，则t 的取值范围为( )A.21(,)e e ++∞B.21(,)e e +-∞-C.21(,2)e e +--D.21(2)e e+-，第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若a 为正实数，i 为虚数单位，且a ii +＝2，则a ＝__________ 14. 若()f x 在R 上可导，()()2223f x x f x '=++，则()1f -=________.15. 用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设()}min2x f x =-+，则()2f x d x =⎰___________ .16．如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()(),x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数3132sin cos y x x y x x x =-++=--①；②（）；以上函数中是“函数”的所有序号为 ．三、解答题（本大题共6小题，第22题10分，其它每小题12分，共70分）17. （本题满分12分）某中学在运动会期间举行定点投篮比赛，规定每人投篮3次，投中一球得1分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的．已知小明每次投篮投中的概率都是13.(1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在3次投篮后的总得分ξ的分布列．18. （本题满分12分）已知函数()()x f x x k e =-.(1)求()f x 的单调区间；(2)求()f x 在区间[0,1]上的最小值．19. （本题满分12分）某高校一年级开设,,,,,A B C D E F 六门选修课，每位同学须彼此独立地选四门课程，其中甲同学必选A 课程，不选B 课程，另从其余课程中随机任选三门课程．乙、丙两名同学从六门课程中随机任选四门课程．（1）求甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙选中C 课程的人数之和，求X 的分布列．20. （本题满分12分）已知数列2112(2)1{}(), 1.1n n n n n n a na n a a n N a a +++-++=∈=+满足且 （1）求234,,,n a a a a 猜测 , 并用数学归纳法证明；（2）若4n ≥，试比较3n a与()2122nn n -⋅+的大小，并给出证明过程.21. （本题满分12分）已知函数e ()xf x x=.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；22. （本题满分10分） 已知函数()ln(1)f x x ax =+-在(0,(0))f 处的切线与函数212y x =相切. （1）求()f x 的单调区间；（2）若2(1)(1)(1)()k x xf x x k Z +-<-+∈对任意1x >恒成立，求k 的最大值.2015---2016学年（高二）年级下学期期中考试数学（理）学科答案一．选择题二．填空题13. 3 ; 14. 12 ; 15.76; 16. ② ③ 三．解答题17. 解：(1)设小明第i 次投篮投中为事件A i ，则小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为P ＝P (A 1)·P (A 2)·P (A 3)＝23×23×13＝427.4分(2)由题意知随机变量ξ～B (3，13)，则P (ξ＝0)＝03C (13) 0(23)3＝827，P (ξ＝1)＝13C (13)(23)2＝49，P (ξ＝2)＝23C (13)2(23)＝29，P (ξ＝3)＝33C (13)3 (23)0＝127，10分∴ξ的分布列为12分18. 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.2分f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)．6分(2) 当k －1≤0即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.12分19.解：（1）设事件1A 为“甲同学选中C 课程”，事件2A 为“乙同学选中C 课程”．则231343()4C P A C ==，352462()3C P A C ==． 因为事件1A 与2A 相互独立，2分所以甲同学选中C 课程且乙同学未选中C 课程的概率为12321()(1)434P A A =⨯-=． 4分(2）设事件3A 为“丙同学选中C 课程”．则353462()3C P A C ==．5分 X 的可能取值为：0,1,2,3．6分2321(0)(1)(1)4336P X ==-⨯-=212323227(1)(1)(1)(1)4343336P X C ==⨯-+-⨯⨯⨯-= 1223223216(2)(1)(1)()4334336P X C ==⨯⨯⨯-+-⨯=23212(3)()4336P X ==⨯=10分X 为分布列为：12分 20.解：（1）2342,3,4a a a === ，猜想n a n = 2分证明：当1n =时，11a =成立 假设(1)n k k =≥时，k a k =成立则当1n k =+时，22122(2)1(2)1111k k k k k a ka k k k k k k a k a k ++-+++-⋅++===+++也成立 所以，*()n a n n N =∈成立5分（2）猜想：当4n ≥时， ()23122n n n n >-⋅+，6分下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，4n =时结论成立；假设当()4n k k =≥时结论成立，即()23122k k k k >-⋅+，两边同乘以3得：()()()212123312622132442k k k k k k k k k k k ++⎡⎤>-⋅+=⋅+++-+--⎣⎦4k ≥时，()320k k ->，22442444420k k --≥⨯-⨯->，()2324420k k k k ∴-+-->()2113221k k k k ++∴>⋅++，即1n k =+时结论也成立.∴当4n ≥时， ()23122nnn n >-⋅+成立.12分21.【解析】（Ⅰ）解：2e e '()x xx f x x-=. ………2分 因为 切线0ax y -=过原点(0,0)，所以 00000200e e e x x x x x x x -=. ………4分 解得：02x =. ………6分（Ⅱ）证明：设2()e ()(0)x f x g x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=.令24e (2)'()0x x x g x x-==，解得2x =. ……8分 x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e 4. ………10分所以 当0x >时，2e ()14g x ?，即()f x x >. ………12分22. 解：（1）因为1()1f x a x '=-+，所以切线方程为(1)y a x =- ，2分联立2(1)12y a x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩得22(1)0x a x --= ，由0∆= 得1a =所以()ln(1)f x x x =+-，所以1()111xf x x x '=-=-++. 当(1,0)x ∈-时，()0f x '>；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '<. 所以()f x 的单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.5分2min '2'0(1)ln (2)()(1)111()(1)1ln 2()6(1)1()ln 2,()10,()1+7(3)1ln 30,(4)2ln 40()(3,4),xf x x x x xg x x x x k g x x k x x g x x h x x x h x h x xh h h x x -++==>--+<>+<--=-=--=->∴∞=-<=->∴∈令即是恒成立，即求[g(x)]由分则在（，）上递增 分而存在唯一零点00'00'0000000000min 000000ln 209(1,)0,()0(,)0,()0()1),)ln (2)(),11111,(3,4x x x x g x x x g x g x x x x x x x x x g x x x x k x k Z x k --=∈=<∈+∞=>+∞+-+====--∴+<∈∈∴即分当）时，h(x)<h(x 当）时，h(x)>h(x 所以在（，递减，在（递增故[g(x)]分又），的最大值是212分。
【全国百强校】吉林省吉林大学附属中学2015-2016学年高二4月月考理数试题解析(解析版)
考试时间：120分钟 试卷满分：150分注意事项：1．请考生将姓名、班级、考号与座位号填写在答题纸指定的位置上； 2．客观题的作答：将正确答案填涂在答题纸指定的位置上；3．主观题的作答：必须在答题纸上对应题目的答题区域内作答，在此区域外书写的答案无效；在草稿纸、 试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（客观题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)1i z +=-，则复数z =（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】B考点：复数（2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（ ） A ．4-B ．14-C ．4D ．14【答案】B 【解析】试题分析：由题意0m <2=，14m =-，故选B. 考点：双曲线的标准方程．（3）已知命题:p x ∃∈R ，使得220x x -+<；命题[]:12q x ∀∈，，使得21x ≥．以下命题为真命题的是（ ）A ．p q ⌝∧⌝B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ∧【答案】C【解析】试题分析：因为221772()244x x x -+=-+≥，所以命题p 为假，又1x ≥时，21x ≥，故命题q 为真，所以只有p q ⌝∧为真，故选C. 考点：复合命题的真假． （4）直线1:m l y x n n=-的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（ ） A ．0mn > B ．0mn <C ．0m <且0n >D ．0m >且0n <【答案】B考点：充分必要条件．（5）若样本数据1210x x x ，，，的标准差为8，则数据1210212121x x x ---，，，的标准差为（ ） A ．8B ．15C ．16D ．32【答案】C 【解析】试题分析：由标准差计算公式s =12n x x x ，，，的标准差是s ，则12n ax b ax b ax b ++，，，的标准差为as ．因此题中所求标准差为2816⨯=．故选C ．考点：样本的数据特征．．（6）若A B C ，，不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC =++，则P A B C ，，，四点（ ）A ．不共面B ．共面C ．不共线D ．共线【答案】B 【解析】试题分析：由已知可得111488OP OA OA OB OC -=-++，11118888OP OA OA OB OC OA -=-++-，可得11111()()()88888AP OA OB OC OA BA AC AC AB =--+-=-+=+,所以AP ，AC ，AB 共面但不共线，故P A B C ，，，四点共面．故选B ．考点：空间向量基本定理．（7）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．7【答案】C考点：程序框图．（8）已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++-，则8a =（ ）A ．180-B ．180C ．45D ．48-【答案】B 【解析】试题分析：1010(1)[2(1)]x x +=--，1010110102((1))(1)2(1)r r r r r rr r T C x C x --+=--=--，令8r =，则828102180a c ==．故选B ．考点：二项式定理．（9）有七名同学站成一排照毕业照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两名同学要站在一起，则不同的站法有（ ）A ．192种B ．120种C ．96种D ．48种【答案】A 【解析】试题分析：显然小明两边各站3人，小李小张捆绑在一起，再从剩下的4人中选一人与小李小张站在小明的同一侧，另外三人在另一侧排列，站法有212324232192A C A A ⨯=．故选A ．考点：排列组合的综合应用．（10）已知12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N ，，若直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（ ）A 1-B ．2CD 【答案】A考点：椭圆的定义与几何性质．（11）在区间[01]，上随机取两个数x y ，，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p <<【答案】B 【解析】试题分析：因为[01]x y ∈，，，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ，对事件“1||2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ，对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3） 考点：几何概型．【名师点睛】本题考查几何概型概率问题，解题关键是确定平面区域及其面积．与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题．（12）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0)+∞，上是增函数，若1)]f +1)]2()f f t +-≥，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(1)]-∞，B ．1))-+∞，C ．1)1)]-+，D ．(1)]-∞，1))+∞，【答案】C考点：函数的奇偶性与单调性的应用． 【名师点睛】含“f ”不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知0a >且曲线y x a ==与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________．【答案】49【解析】试题分析：由题意33222022033a x a a ===⎰，解得49a =．考点：定积分的几何意义．（14）设曲线x y e =在点(01)，处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为____．【答案】(1，1)考点：导数的几何意义．（15）将标号分别为12345，，，，的5个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有1个球，则一共有 种放法. 【答案】150 【解析】试题分析：1233545322()150C C C A A +=. 考点：排列组合的综合应用．【名师点睛】本题考查排列组合的综合应用，解题时要注意的一些易错点：（1）易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．（2）计算A mn 时易错算为n (n －1)(n －2)…(n －m )．（3）易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数．另外本题还涉及到分组分配问题中的部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．（16）平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(00)x y C a b a b -=>>，的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点O A B ，，.若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的渐近线方程为________．【答案】y =考点：双曲线的几何性质．【名师点睛】本题考查求双曲线的渐近线，解题关键是求出ba的值，因此我们要列出一个等式，可以写出渐近线方程by x a=±，与抛物线方程联立可解得交点,A B 的坐标，由OAB ∆的垂心是抛物线的焦点F ，可得OA BF ⊥，从而可得1OA BF k k ⋅=-，由此就可以求得b a． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本题满分10分）已知n的展开式中的二项式系数之和为256.（Ⅰ）证明：展开式中没有常数项； （Ⅱ）求展开式中所有有理项.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）所有有理项为：423518256x x x ，，.【解析】试题分析：（Ⅰ）由展开式通项公式()384841812rr rrr rr r C T C x--+⎛==-⋅ ⎝，令3404r -=，证明此方程在[0,8]r ∈上没有整数解即可；（Ⅱ）在[0,8]r ∈时，使344r-为整数的r 对应的项为有理项． 试题解析：（Ⅰ）依题意得：2256n = 8n ∴= ……………………………2分()384841812rr rrr rr r C T Cx--+⎛==-⋅ ⎝令3404r -=得163r =*∉N ∴展开式中没有常数项. ………………………………5分（Ⅱ）当048r =，，时，1r T +为有理项.∴展开式中所有有理项为：423518256x x x ，，. ………………………………10分考点：二项式定理的应用． （18）（本题满分12分）已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+.（Ⅰ）设集合={123}P ，，和{11234}Q =-，，，，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在[1)+∞，上是增函数的概率；（Ⅱ）设点()a b ，是区域8000x y x y +-⎧⎪>⎨⎪>⎩≤内的随机点，求函数()y f x =在区间[1)+∞，上是增函数的概率.【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）13．试题解析：（Ⅰ）因为函数2()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2bx a=， 要使2()41f x ax bx =-+在区间[1)+∞，上为增函数，当且仅当201ba a>，≤，即2b a ≤，若1a =则1b =-；若2a =，则11b =-，；若3a =则11b =-，； 所以事件包含基本事件的个数是1225++=，所以所求事件的概率为51153=. ………………………………6分考点：古典概型，几何概型． （19）（本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，1A AC B --是直二面角，112AA A C AC ===，AB BC =，且90ABC ∠=︒，O 为AC 的中点．（Ⅰ）若E 是1BC 的中点，求证：OE ∥平面1A AB ； （Ⅱ）求二面角11A A B C --的余弦值．B 1C 1EOCBA1A【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．（Ⅱ）连接1A O 和OB .∵112AA A C AC ===，∴1OA AC ⊥.∵1A AC B --是直二面角，∴1A O ⊥平面ABC . ∵AB BC =，O 为AC 的中点，∴OB AC ⊥, ∴1OA OB OC ，，两两垂直，如图以O 为坐标原点，以1OB OC OA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系. ………………7分AA 1BCOEC 1B 1yz x考点：线面平行的判断，用向量法求二面角．（20）（本题满分12分）右边茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，现分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学.（Ⅰ）求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；（Ⅱ）每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）190元． 【解析】试题分析：（Ⅰ）甲、乙两组各四名同学，分别选取1人，共有16种选法，由茎叶图知，甲组同学的植树棵数分别为9,9,11,11，乙组同学的植树棵数分别为9,8,9,10，因此这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17，18，19，20，21.分别计算概率，可得Y 的分布列；（Ⅱ）由数学期望公式计算可得植树棵数的数学期望为19棵，钱数为1910190⨯=元．考点：茎叶图，随机变量的分布列，数学期望． （21）（本题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点是(0,和(0，并且经过点1)，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F .（Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线12l l 、，1l 交抛物线E 于点A 、2B l ，交抛物线E 于点G 、H ，求AG HB ⋅的最小值.【答案】（Ⅰ）椭圆方程为2214y x +=，抛物线方程为24y x =；（Ⅱ）16． 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知焦点坐标，即知c =，那么此点到两焦点的距离之和为椭圆长轴长，由此可得a ，从而易得b ，椭圆方程可得，要注意的椭圆标准方程的形式，正确得出椭圆标准方程后，右顶点易知，即抛物线的焦点变为已知了，标准方程也易得；（Ⅱ）过抛物线焦点作两条互相垂直的直线与抛物线相交，它们的斜率一定存在，因此可设他们的方程为1l ：2(1)y k x l =-，：1(1)y x k=--，设交点为1122()()A x y B x y ，，，，3344()()G x y H x y ，，，.直线方程与抛物线方程联立方程组，由韦达定理可1212,x x x x +，类似地3434,x x x x +，把向量AG uuu r 表示为AF FG +uu u r uu u r ，HB uu u r 表示为HF FB +uuu r uu r ，再求AG HB ⋅uuu r uu u r 可以利用直线12l l ⊥得AG HB ⋅uuu r uu u r||||||||AF FB FG HF =⋅+⋅，由抛物线定义可得||||||||AF FB FG HF ⋅+⋅=1234|1||1||1||1|x x x x +⋅+++⋅+21212343424=(1)(1)84x x x x x x x x k k+++++++=++，最后由基本不等式可得最值．考点：椭圆的标准方程，抛物线的标准方程，直线与抛物线相交的综合问题． 【名师点睛】椭圆问题中的易错点：1．椭圆的定义中易忽视2a ＞|F 1F 2|这一条件，当2a ＝|F 1F 2|其轨迹为线段F 1F 2，当2a ＜|F 1F 2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因． （22）（本题满分12分）已知函数32()ln(1)f x ax x x ax =++--. （Ⅰ）若23x =为()f x 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若()y f x =在[1)+∞，上为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a =-，方程3(1)(1)bf x x x---=有实根，求实数b 的取值范围.【答案】（Ⅰ）0a =；（Ⅱ）[0；（Ⅲ）(0]-∞，.（Ⅱ）因为()y f x =在[1)+∞，上为增函数，所以22[3(32)(2)]01x ax a x a ax +--++≥在[1)+∞，上恒成立.若0a =，则()(32)0f x x x '=->在[1)+∞，上恒成立.考点：极值，导数与单调性，方程有解问题，函数的值域．：。
高中高二数学下学期期初(4月)考试试题 理-人教版高二全册数学试题
油田高中2015-2016学年度第二学期期初考试高二数学（理）试卷第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.若复数(3i)(2i)=--z ，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限2.复数534+i的共轭复数是 （ ） A ．34-i B ．3545+i C ．34i + D ．3545-i3.大前提：菱形的对角线相等，小前提：正方形是菱形，结论：所以正方形的对角线相等，在以上三段论的推理中（ ）A.推理形式错误B. 小前提错误C. 大前提错误D.结论错误 4.用反证法证明命题“若220+=a b ，则,a b 全为0(),a b R ∈”其反设正确的是（ ）A. ,a b 中只有一个为0B. ,a b 至少一个为0C. ,a b 全不为0D. ,a b 至少有一个不为0 5.()12+⎰xex dx 等于（ ）A. 1B. eC. 1e -D. 1e + 6.计算120(11)x dx +-⎰的结果为（ ）A ．1B ．4πC ．14π+D ．12π+ 7.一质点运动时速度与时间的关系为2()2=-+v t t t 则质点在[]1,2∈t 内的位移是（ ） A.176 B.143 C.136 D.1168.在ABC 中,已知4,2,60︒==∠=AB BC B ,则AC 的长为（ ） A ．23 B ．12 C ．27 D ．289.四棱柱1111-ABCD A BC D 中,=AB BC ,12=AA AB ,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ） A ．B ．C ．D ．10.函数231,(0)x x y x x++=>的最小值为（ ） A.2 B.4 C. 5 D.311.函数sin ,[,]y x x x ππ=+∈-的大致图象是（ ）12.已知函数f(x)=x 3+bx 2+cx+d(b 、c 、d 为常数),当x∈(0,1)时取得极大值,当x∈(1,2)时取极小值,则22)3()21(-++c b 的取值X 围是( ).A.()5,237B.)5,5(C.)25,437( D.(5,25)第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.若2(1)=+z i ，则复数z 的模为．14已知.函数1()-=x f x xe，则'(1)=f ．15. 在平面几何中，有勾股定理：设ABC ∆的两边AB 、AC 互相垂直，则222AB AC BC +=。
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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）i 是虚数单位，复数z 满足(1i)1i z +=-，则复数z =（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-解析：221(1)12122i i i i z i i --+-====-+.故选B.（2）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =（A ）4- （B ）14-（C ）4（D ）14解析：由双曲线定义知：14m =-，故选B. （3）已知命题:p x ∃∈R ，使得220x x -+<；命题[]:12q x ∀∈，，使得21x ≥．以下命题为真命题的是（A ）p q ⌝∧⌝（B ）p q ∨⌝（C ）p q ⌝∧（D ）p q ∧解析：可判断p 假，q 真，故选C. （4）直线1:m l y x n n =-的图像经过第一、二、四象限的一个必要而不充分条件是（A ）0mn > （B ）0mn < （C ）0m <且0n > （D ）0m >且0n <[]解析：（B ）（5）若样本数据1210x x x ，，，的标准差为8，则数据1210212121x x x --- ，，，的标准差为 （A ）8（B ）15（C ）16（D ）32解析：（C ）（6）若A B C ，，不共线，对于空间任意一点O 都有311488OP OA OB OC=++，则P A B C ，，，四点 （A ）不共面（B ）共面（C ）不共线（D ）共线解析：由已知可得111488OP OA OA OB OC-=-++，11118888OP OA OA OB OC OA-=-++-，可得11111()()()88888AP OA OB OC OA BA AC AC AB =--+-=-+=+,所以AP ，AC ，AB 共面但不共线，故P A B C，，，四点共面．（7）执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为3，则输出s 的值是（A ）1（B ）2（C ）4（D ）7解析：（C ）131i n s ===，，，i n ≤，1(11)12s i =+-==，，第一次循环结束；1(21)23i n s i =+-==≤，，，第二次循环结束；i n ≤，2(31)44s i =+-==，，第三次循环结束；i n >，结束循环，输出4s =.（8）已知1021001210(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- ，则8a =（A ）180- （B ）180 （C ）45 （D ）48- 解析：（B ）（9）有七名同学站成一排照毕业照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两名同学要站在一起，则不同的站法有（A ）192种 （B ）120种 （C ）96种 （D ）48种解析：（A ）（10）已知12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，现以2F 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M N，，若直线1MF 是圆2F 的切线，则椭圆的离心率为（A1 （B）2 （C）（D）解析：（A ）因为直线MF1是圆F2的切线，所以∠F1MF2＝90°，|MF2|＝c.因为|F1F2|＝2c ，所以|MF1|＝ c.由椭圆定义可得.（11）在区间[01]，上随机取两个数x y ，，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（A ）123p p p <<（B ）231p p p <<（C ）312p p p <<（D ）321p p p <<解析：B.因为[01]x y ∈，，，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分1S ，对事件“1||2x y -≤”，如图（2）阴影部分2S ， 对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分3S ，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是231S S S <<，正方形的面积为111⨯=， 根据几何概型公式可得231p p p <<．（1） （2） （3）（12）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0)+∞，上是增函数，若1)]f1)]2()f f t +≥，则实数t 的取值范围是（A ）(1)]-∞，（B ）1))+∞，（C ）1)1)]，（D ）(1)]-∞ ，1))+∞，解析：（C ）因为()f x 是偶函数，所以1)][1)]1)]f f f =-=.于是，原不等式可化为1)](||)f f t ≥，由函数()f x 在[0)+∞，上是增函数得1)||t ≥，所以t 的取值范围1)1)]，. 第Ⅱ卷（主观题90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）已知0a >且曲线y x a =与0y =所围成的封闭区域的面积为2a ，则a =________． 解析：49.（14）设曲线xy e =在点(01)，处的切线与曲线1(0)y x x =>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．解析：对y ＝ex 求导得y′＝ex ，令x ＝0，得曲线y ＝ex 在点(0，1)处的切线斜率为1，故曲线y ＝(x>0)上点P 处的切线斜率为－1，由y′＝－＝－1，得x ＝1，则y ＝1，所以P 的坐标为(1，1)．（15）将标号分别为12345，，，，的5个球放入3个不同的盒子，每个盒子至少有1个球，则一共有 种放法.解析：1233545322()150C C C A A +=.（16）平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(00)x y C a b a b -=>>，的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点O A B ，，.若OAB △的垂心为2C 的焦点，则1C 的渐近线方程为 ________．解析：y =.联立渐近线与抛物线方程得22222222()()pb pb pb pb A B a a a a -，，，，抛物线焦点为(0)2pF ，，由三角形垂心的性质，得BF OA ⊥，即1BF OA k k ⋅=-，又222224BF OA p pb a b b a k k pb b a a a -==-=，，所以225()144a b b b b a aa -=-⇒=. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本题满分10分）已知n的展开式中的二项式系数之和为256. （Ⅰ）证明：展开式中没有常数项； （Ⅱ）求展开式中所有有理项.解析：（Ⅰ）依题意得：2256n= 8n ∴= ……………………………2分()384841812rr rrr rr r C T C x --+⎛==-⋅ ⎝令3404r -=得163r =*∉N ∴展开式中没有常数项. ………………………………5分（Ⅱ）当048r =，，时，1r T +为有理项.∴展开式中所有有理项为：423518256x x x ，，. ………………………………10分 （18）（本题满分12分）已知关于x 的一元二次函数2()41f x ax bx =-+.（Ⅰ）设集合={123}P ，，和{11234}Q =-，，，，，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b ，求函数()y f x =在[1)+∞，上是增函数得概率；（Ⅱ）设点()a b ，是区域8000x y x y +-⎧⎪>⎨⎪>⎩≤内的随机点，求函数()y f x =在区间[1)+∞，上是增函数的概率. 解析：（Ⅰ）因为函数2()41f x ax bx =-+的图象的对称轴为2bx a =，要使2()41f x ax bx =-+在区间[1)+∞，上为增函数，当且仅当201b a a >，≤，即2b a ≤， 若1a =则1b =-；若2a =，则11b =-，；若3a =则11b =-，；所以事件包含基本事件的个数是1225++=，所以所求事件的概率为51153=. ………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当且仅当201b a a >，≤，即2b a ≤，函数2()41[1)f x ax bx =-++∞在区是间，上为增函数，依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 80()|00a b a b a b ⎧+-⎫⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭≤，， ………………………………8分构成所求事件的区域为三角形部分.由80168()332a b ab +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标为，，所以所求事件的概率为18812313882P ⨯⨯==⨯⨯. ……………………………12分 （19）（本小题满分12分）三棱柱111ABC A B C -中，1A AC B --是直二面角，112AA AC AC ===，AB BC =，且90ABC ∠=︒，O 为AC 的中点．（Ⅰ）若E 是1BC 的中点，求证：OE ∥平面1A AB ； （Ⅱ）求二面角11A A B C --的余弦值．A 1C 1B 1zB 1C 1EOCBA 1A解析：（Ⅰ）证明：连接1B C 和1AB ，则E 也是1B C 的中点.∵O 为AC 的中点，∴1//OE AB ，又OE ⊄平面1A AB ，1AB ⊂平面1A AB ，∴//OE 平面1A AB . ………………5分 （Ⅱ）连接1A O 和OB .∵112AA ACAC ===，∴1OA AC ⊥. ∵1A AC B --是直二面角，∴1AO⊥平面ABC . ∵AB BC =，O 为AC 的中点，∴OB AC ⊥, ∴1OA OB OC ，，两两垂直，如图以O 为坐标原点， 以1OB OC OA ，，所在直线分别为x y z ，，轴建立空间直角坐标系. ………………7分 则11(010)(00(100)(02A A B C -，，，，，，，， ∴1111(01(10(020)AA A B AC ===，，，，，，. 设平面1AA B 的一个法向量为()u x y z = ，，，由11AA u A B u ⊥⊥，，得 00y x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，令1z =，得x y =1)u = . 同理，平面11A BC 的一个法向量为01)v =. ………………10分 ∴cos ||||u v u v u v ⋅<>===，， ………………11分结合图形可知，二面角11A A B C --的平面角是钝角，1∴二面角11A A B C --的余弦值为. ………………12分 （本题满分12分）右边茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，现分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学. （Ⅰ）求这两名同学的植树总棵数y 的分布列；（Ⅱ）每植一棵树可获10元，求这两名同学获得钱数的数学期望．解析：（Ⅰ）分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的方法种数是4×4＝16，这两名同学植树总棵数Y 的取值分别为17，18，19，20，21.P(Y ＝17)＝216＝18，P(Y ＝18)＝416＝14，P(Y ＝19)＝416＝14，P(Y ＝20)＝416＝14，P(Y ＝21)＝216＝18 ……………………………6分随机变量Y 的分布列：……………………………8分（Ⅰ）知E(Y)＝178＋184＋194＋204＋218＝19（Ⅱ）由（棵）， …………………………10分设这两名同学获得钱数为X 元，则E(X)＝10E(Y)＝190（元）.……………………………12分（21）（本题满分12分）已知椭圆C 的两个焦点是(0，和(0，并且经过点1)，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F .（Ⅰ）求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；（Ⅱ）过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线12l l 、，1l 交抛物线E 于点A 、2B l ，交抛物线E 于点G 、H ，求AG HB ⋅的最小值.解析：（Ⅰ）设椭圆C 的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>，焦距为2c ，则由题意得24c a =，所以椭圆方程为2214y x +=，抛物线方程为24y x =.…………………………………4分（Ⅱ）设1l 的方程为：2(1)y k x l =-，的方程为：1(1)y x k =--，设1122()()A x y B x y ，，，， 3344()()G x y H x y ，，，.由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩消去y 得：2222(24)0k x k x k -++=， 所以424121224=416164021k k k x x x x k ∆++->+=+=，，，同理23434421x x k x x +=+=，. …………………………………6分所以()()AG HB AF FG HF FB AF HF AF FB FG HF FG FB ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅1234|||||||||1||1||1||1|AF FB FG HF x x x x =⋅+⋅=+⋅+++⋅+…………………………………8分21212343424=(1)(1)84x x x x x x x x k k +++++++=++，…………………………………10分816+≥当且仅当2244k k =，即1k =±时，AG HB ⋅ 的最小值为16.…………………………………12分 （22）（本题满分12分）已知函数32()ln(1)f x ax x x ax =++--.（Ⅰ）若23x =为()f x 的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若()y f x =在[1)+∞，上为增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若1a =-，方程3(1)(1)bf x x x ---=有实根，求实数b 的取值范围.解析：（Ⅰ）222[3(32)(2)]()3211a x ax a x a f x x x a ax ax +--+'=+--=++，因为23x =为()f x 的极值点，所以2()03f '=， …………………………………3分所以22223()(32)(2)033a a a +--+=，且2103a +≠，所以0a =. 又当0a =时，()(32)f x x x '=-，从而23x =为()f x 的极值点成立，所以0a =.…………………………………4分（Ⅱ）因为()y f x =在[1)+∞，上为增函数，所以22[3(32)(2)]1x ax a x a ax +--++≥在[1)+∞，上恒成立. 若0a =，则()(32)0f x x x '=->在[1)+∞，上恒成立.若0a ≠，由定义域满足10ax +>对1x >恒成立知0a >，所以223(32)(2)0ax a x a +--+≥在[1)+∞，上恒成立.令22()3(32)(2)g x ax a x a =+--+，其对称轴为1132x a =-，因为0a >，所以111323a -<，所以只要满足2(1)010g a a ⇒-++≥≥，所以0a <.综上知a 的取值范围是[0. …………………………………8分（Ⅲ）当1a =-时，方程3(1)(1)bf x x x ---=，即23ln b x x x x =+-在0x >上有解，即求函数232()ln (ln )F x x x x x x x x x =+-=+-的值域. 令21(21)(1)()ln ()12x x h x x x x h x x x x +-'=+-=+-=，，当01x <<时，()0h x '>，从而()h x 在(01)，为增函数； 当1x >时，()0h x '<，从而()h x 在(1+)∞，为减函数；所以()(1)0h x h =≤，所以()0F x ≤，所以b 的取值范围为(0]-∞，. …………………………………12分。