《工程数学复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解

吉林大学数学学院 (主编:王忠仁 张静)

高等教育出版社 习题一(P12)

1、1 对任何z ,2

2z z =就是否成立？如果就是,就给出证明。如果不就是,对哪些z 值才成立？

解:设z x iy =+,则2222z x y xyi =-+,2

22z x y =+;

若2

2z z =成立,则有2222

2x y xyi x y -+=+,即222220

x y x y

xy ⎧-=+⎨=⎩,解得0y =,

即z x =。

所以,对任何z ,2

2z z =不成立,只对z 为实数时才成立。 1、2 求下列各式的值:

(1)5

)i ; (2)6(1)i +; ; (4)13

(1)i -。

解:(1)因为6

2i

i e

π-

-=,所以

5

55

55

6661)223232())2i i i i e e e i i πππ

--⨯-⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭

(2)因为4

1i

i e π+=,所以

6

36634

42(1)288i i i e e e i πππ

⨯⎫+====-⎪⎭

(3)因为1cos sin i ππ-=+,所以

()1

6

22cos sin cos

sin

6

6

k k k w i i ππ

ππ

ππ++==+=+,其中

0,1,2,3,4,5k =;

即01cos

sin

6

6

2w i i π

π

=+=

+,1cos sin 22

w i i ππ

=+=,

2551cos

sin 6622w i i ππ=+=-+,3771

cos sin 6622

w i i ππ=+=--,

433cos

sin 22

w i i ππ

=+=-

,511111cos sin 662w i i ππ=+=-。 (4)

因为1cos()sin()44i i ππ⎤-=-+-⎥⎦,所以

1

13

6

2244(1)2cos sin 33k k k w i i ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥

=-=+⎢⎥⎢⎥

⎣⎦

,其中0,1,2k =;

即

16

02cos()sin()1212w i ππ⎡

⎤=-+-⎢⎥

⎣

⎦,

1

6

1772cos sin

1212w i ππ⎡

⎤=+⎢⎥⎣⎦

,

1

6

2552cos sin 44w i ππ⎡

⎤=+⎢⎥⎣

⎦。 1、3 求方程380z +=的所有根。 解法一:用因式分解法求解。

因为 33322

82(2)(24)(2)(21)3z z z z z z z z ⎡⎤+=+=+-+=+-++⎣⎦

22

(2)(1)((2)(11z z z z z ⎡⎤=+-+=+-+--⎣⎦

所以由380z +=,

得(2)(110z z z +-+--=, 解得 12z =-

,21z =-

31z =+故方程380z +=的所有根为12z =-

,21z =+

31z =+

解法二:用复数的方根的方法求解。

由380z +=,得38z =-,即z 就是8-的三次方根;而 88(cos sin )i ππ-=+,所以

2222cos sin 2cos sin 3333k k k k k z i i ππππππππ++++⎤⎡

⎤==+=+⎥⎢⎥⎦⎣⎦

,其中0,1,2k =;

即02cos sin 133z i ππ⎛

⎫=+=+ ⎪⎝

⎭12(cos sin )2z i ππ=+=

,

2552cos sin

133z i ππ⎛

⎫

=+=- ⎪⎝

⎭

故方程380z +=的所有根为01z =+12z =,21z =-1、4 指出下列各题中点z 的轨迹或所在范围,并作图,

(1)56z -=; (2)21z i +≥; (3)Im()2z ≤; (4)0arg z π<<。 解:(1)56z -=表示以点(5,0)为中心,6为半径的圆周;

(2)21z i +≥表示以点(0,2)-为圆心,1为半径的圆周及圆周的外部; (3)Im()2z ≤表示直线2y =及其下面的部分; (4)0arg z π<<表示位于x 轴上方的部分。

1、5 指出下列不等式所确定的区域或闭区域,并指明它就是有界的还就是无界的,单联通的还就是多联通的。

(1)Im()0z >; (2)14z ->; (3)0Re()1z <<; (4)23z ≤≤。 解:(1)Im()0z >表示位于x 轴上方的区域,它就是无界区域,就是单联通的; (2)14z ->表示以点(1,0)为中心,4为半径的圆周的外部区域,它就是无界区域,就是多联通的;

(3)0Re()1z <<表示介于两直线0x =与1x =之间的区域,它就是无界区域,就是单联通的;

(4)23z ≤≤表示夹在以原点为圆心,2与3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域,它就是有界的,但它就是多联通的。

1、6 已知映射3w z =,求:

(1)点1z i =,21z i =+,3z i =在w 平面上的像; (2)区域0arg 3

z π

<<

在w 平面上的像。

解:(1)将1z i =,21z i =+,3z i =分别代入3w z =,得

33211w z i i i i ====-,

33222(1)(1)(1)2(1)22w z i i i i i i ==+=++=+=-+,

3

3

3

33662

33)2288i i i w z i e e e i πππ

⨯⎛⎫====== ⎪⎝⎭

,