吉林大学组合数学习题解答
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2.1 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组所认识的人数相同。 证明:
假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n 个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。
假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。
2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点
的坐标也是整数。 证明: 方法一:
有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明:存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。
第三章
3.4 教室有两排,每排8个座位。现有学生14人,其中的5个人总坐在前排,4个人总坐在后排,求有多少种方法将学生安排在座位上?
解:前排8个座位,5人固定,共58*5!C 种方法;后排8个座位,4人固定,共4
8*4!C 种方法;前排和后排还剩7个座位,由剩下的5人挑选5个座位,共5
7*5!C 种方法;则一共有545545
887887***5!*5!*4!**28449792000C C C P P P ==种安排方法。 另一种解法:168277386545
5885885888871408!
7!C P P C P P C P P P P P ++=⨯⨯=⨯⨯。 3.5 将英文字母表中的26个字母排序,要求任意两个元音字母不能相邻,则有多少种排序
方法?
解:先排21个辅音字母,共有21! 再将5个元音插入到22个空隙中,5
22P
故所求为52155
222122521!P P C P ⨯=
3.6 有6名先生和6名女士围坐一个圆桌就餐,要求男女交替就坐,则有多少种不同的排坐方式?
解:6男全排列6!;6女全排列6!;6女插入6男的前6个空或者后6个空,即女打头或男打头6!*6!*2;再除以围圈重复得(6!*6!*2)/12=6!*5!= 86400
3.7 15个人围坐一个圆桌开会,如果先生A 拒绝和先生B 和C 相邻,那么有多少种排坐方式?
方法1:除B 和C 以外,A 可以在剩余的12人中挑选2人坐在自己的两边,有2
2
122C P 。将A 与其两边的人看作一个元素,与其他12个人形成共13个元素的圆排列,有(13-1)!,所以
共有222
12212(131)!12!C P P -== 种排列。
方法2:除去A 、B 和C 的12人共有11
11P 种坐法,A 在12人中插入位置的坐法有12种。B 和C 不与A 相邻的坐法共有11*12种,由于15人围成圆桌坐,故排列方式共有
111112*********!P ⨯⨯=⨯= 种坐法。
3.9 求方程123420x x x x +++=,满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。
14416803+-⎛⎫= ⎪⎝⎭
3.10 书架上有20卷百科全书,从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多
少种? 解: n=20,r=4,1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
===
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
相当于有16卷已经排好,把4卷插入到17个“空隙”中,有174⎛⎫
⎪⎝⎭
种,对应序号都不会相邻。 3.20
证明:
(1)()11,3(31)22
n
n S n -=
+- (2)()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4332,n n n n S ; (3)().61551043,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S
证明: (1)
组合分析方法:
n 个元素分成3组,允许为空的方案为3n
;
n 个元素分成3组,有一组必为空的方案为3*2n
; n 个元素分成3组,有两组必为空的方案为3;
n 个元素分成3组,根据容斥原理,不允许为空的方案为3n -3*2n
+3;
不考虑组间顺序,方案为
1
133231(31)23!2
n n n n ---⨯+=+- (2)
()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-4332,n n n n S
3个元素一组、其余元素一个各一组或者选4个元素分两组(每组2个)、其余元素一个各一组。
3个元素一组、其余元素一个各一组:3n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
选4个元素分两组(每组2个)、其余元素一个各一组:选4个元素的方案为4n ⎛⎫
⎪⎝⎭
,
分成2组的方案为42!32⎛⎫= ⎪⎝⎭种,所以有34n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
。
(3)
().61551043,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n n n n n S 4个元素一组、其余元素一个各一组,或者选5个元素分两组(一组2个一组3个)、
其余元素一个各一组,或者6个元素分三组(每组2个)、其余元素一个各一组。
4个元素一组、其余元素一个各一组:4n ⎛⎫
⎪⎝⎭
。
选5个元素分两组(一组2个一组3个)、其余元素一个各一组:选5个元素为5n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,
分两组(一组2个一组3个)方案为5102⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以有105n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
。
选6个元素分三组(每组2个)、其余元素一个各一组:选6个元素为6n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
,分三组
(每组2个)的方案为63!15222⎛⎫=
⎪⎝⎭,所以有156n ⎛⎫
⎪⎝⎭
3.21 (1)会议室中有2n +1个座位,现摆成3排,要求任意两排的座位都占大多数,求
有多少种摆法? 解:
(1)