吉大数学分析期末试题答案
吉林大学2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业参考答案
吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
一、简答题（每小题7分，共56分）1、什么是命题公式的演绎？答：首先定义了消解复杂性的两种范式:最简范式和文字范式,在此基础上采用演绎方法证明了L中的可判定性定理,并设计了命题公式的演绎判定算法P(F).P(F)的时间复杂度为O(n3),远远小于基于真值表法的O(2n)和基于策略方案HAL的O(n5)。
2、什么是子句？请给出一例。
答：子句是一组包含一个主词和一个动词的关连字。
子句与片语有明显的不同，后者为一组不含主词与动词关系的关连字，如"in the morning" 或"running down the street" 或"having grown used to this harassment."3、什么是短语？请给出一例。
答：短语是由句法、语义和语用三个层面上能够搭配的语言单位组合起来的没有句调的语言单位，又叫词组。
它是大于词而又不成句的语法单位。
简单的短语可以充当复杂短语的句法成分，短语加上句调可以成为句子。
由语法上能够搭配的词组合起来的没有句调的语言单位例如：粮食//丰收（名//动）（什么//怎么样）4、什么是命题逻辑中的文字？答：检测和消除命题逻辑公式中的冗余文字,是人工智能领域广泛研究的基本问题。
针对命题逻辑的子句集中子句的划分,结合冗余子句和冗余文字的概念,将命题逻辑的子句集中的文字分为必需文字、有用文字和无用文字3类。
5、什么是析取范式？请给出一例。
答：在离散数学中，仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式，而由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
吉林2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分）.1．已知复数z满足（﹣i）z＝2，则z＝（）A．B．C．D．2．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝3，，，则b＝（）A．B．C．D．4．向量正方形网格中的位置如图所示．若向量，则实数λ＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（）A．B．C．D．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．设点G为△ABC的重心，过G作一直线MN分别交边AB，AC于点M，N，若，，则x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题为真命题的是（）A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C＝“两个点数之和为8”；D＝“两个点数之和为7”，则（）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．C与D相互独立11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则下列结论正确的是（）A．sin A：sin B：sin C＝4：5：6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为12．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB 的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（）A．l∥平面PADB．AE∥平面PCDC．直线PA与l所成角的余弦值为D．平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为三、填空题：本题共4小题，每题4分，共16分．13．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示，则＝．14．某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的数量分别是13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，则所给数据的第75百分位数是．15．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为f（r），则＝．16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则b2+c2+3bc 的取值范围是．四、解答题（共6小题，满分56分）17．已知＝（1，0），＝（2，1），（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．18．2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如表：等级A B C D E等级排名占比15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间[86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40] 现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：分组[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频率0.10 0.15 0.15 a0.25 0.05 （1）求表中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）？（结果保留整数）（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[40，50）与[50，60）内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD＝，cos∠PAB＝．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PD﹣A的正切值．20．树人中学为了了解A，B两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从A，B两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：（1）从A校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；（2）如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较A，B两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P是棱A1C1的中点，点Q在棱B1C1上．（1）试在棱AC上找一点D，使得QD∥平面ABB1A1，并加以证明；（2）求四棱锥C﹣ABQP的体积．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求cos A的最小值；（2）记△ABC的面积为S，点P是△ABC内一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，证明：①；②tan A＝2tanθ．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分）.1．已知复数z满足（﹣i）z＝2，则z＝（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，运用复数的乘法运算法则，即可求解．解：∵（﹣i）z＝2，∴＝．故选：A．2．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】共有12个成绩，且十二进六，由中位数的定义进行分析即可．解：因为是十二进六的半决赛，所以12个不同的成绩按从小到大排序后，只需要知道中位数即可判断自己是否能进入决赛．故选：B．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝3，，，则b＝（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理表示出cos B，即可解出b．解：由余弦定理可得cos B＝，即＝，解得b＝，故选：C．4．向量正方形网格中的位置如图所示．若向量，则实数λ＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1．可得，，坐标，根据向量，即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1．则＝（1，1），＝（0，﹣1），＝（2，1）．∵向量，∴（2，1）＝λ（1，1）+（0，﹣1）．∴2＝λ，1＝λ﹣1，实数λ＝2．故选：D．5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．6．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用相互独立事件的概率、互斥事件与对立事件的概率计算公式，把甲出游乙不出游、甲不出游乙出游的概率相加，即得所求．解：甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是×（1﹣）+（1﹣）×＝+＝，故选：C．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），＝（﹣1，0，），＝（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．8．设点G为△ABC的重心，过G作一直线MN分别交边AB，AC于点M，N，若，，则x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【分析】根据重心的性质求出+＝1，再利用基本不等式得出答案．解：∵点G为△ABC的重心，若，，设BC的中点为D，则＝＝+＝+，∵M，G，N三点共线，故+＝1，∴x+4y＝（x+4y）（+）＝++≥+2＝3．当且仅当＝时取等号，∴x+4y的最小值为3，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题为真命题的是（）A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l【分析】对于A，由平面的基本定理及推论进行判断；对于B，过空间中不共线的三点有且仅有一个平面；对于C，这两条直线平行或异面；对于D，线面垂直的性质得m⊥l．解：对于A，设直线a交b于A，b交c于B，a交c于C，A，B，C不重合，a交b于A，则a，b可确定一平面α，A∈α，b交c于B，则B∈b，B∈α，a交c于C，C∈a，C∈α，从而c在α内，即a，b，c共面，∴两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，故A正确；对于B，过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，故B错误；对于C，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故C错误；对于D，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则线面垂直的性质得m⊥l，故D正确．故选：AD．10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C＝“两个点数之和为8”；D＝“两个点数之和为7”，则（）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．C与D相互独立【分析】利用相互独立事件定义直接求解．解：对于A，事件A发生与否与事件B发生与否相互间没有影响，∴A与B相互独立，故A正确；对于B，P（A）＝P（D）＝＝，P（AD）＝，∴P（AD）＝P（A）×P（D），∴A与D相互独立，故B正确；对于C，事件B发生与否与事件C是否发生有关系，∴B与C不是相互独立事件，故C错误；对于D，事件C发生与否与事件D是否发生有关系，∴C与D相互独立，故D错误．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则下列结论正确的是（）A．sin A：sin B：sin C＝4：5：6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为【分析】由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D．解：设a＝4t，b＝5t，c＝6t．sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；由c为最大边，可得cos C＝＝＝＞0，即C为锐角，故B错误；由cos A＝＝＝，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝＝cos C，由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圆半径为，故D正确．故选：ACD．12．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB 的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（）A．l∥平面PADB．AE∥平面PCDC．直线PA与l所成角的余弦值为D．平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为【分析】对于A，取PC中点F，连接DF、EF，推导出l与EF重合，从而l∥AD，进而l ∥平面PAD；对于B，由EF∥AD，且EF＝，得AE与平面PCD相交；对于C，由A知l∥AD，∠PAD是直线PA与l所成角（或所成角的补角），由此能求出直线PA与l所成角的余弦值；对于D，截面α就是平面AEFD，先分别求出V P﹣ABCD，V ABE﹣DCF，由此能求出平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．解：对于A，取PC中点F，连接DF、EF，∵点E是PB的中点，∴EF∥AD，∵过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，∴l与EF重合，∴l∥AD，∵AD⊂平面PAD，l⊄平面PAD，∴l∥平面PAD，故A正确；对于B，由A知EF∥AD，且EF＝，∴AE与DF相交，∴AE与平面PCD相交，故B错误；对于C，由A知l∥AD，∴∠PAD是直线PA与l所成角（或所成角的补角），∵四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，∴PA＝＝，∴直线PA与l所成角的余弦值为：cos∠PAD＝＝，故C正确；对于D，由A知截面α就是平面AEFD，下半部分分为四棱锥E﹣ABCD和三棱锥E﹣DFC．所以下部分体积为：，所以上部分＝﹣＝，上下之比就是3：5．故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每题4分，共16分．13．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示，则＝．【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加法、加法以及数乘运算求解即可．解：因为，，所以＝＝＝＝＝．故答案为：．14．某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的数量分别是13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，则所给数据的第75百分位数是15.3 ．【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．解：将12个数据按照从小到大的顺序排列为：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，因为12×75%＝9，所以所给数据的第75百分位数为第9个数据与第10个数据的平均数，即．故答案为：15.3．15．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为f（r），则＝3π．【分析】求出当r＝1和r＝时，点P在正方体表面上的轨迹，然后利用互斥公式求解即可．解：如图，当r＝1时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧，分别为，则＝，当r＝时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心，1为半径为，在平面B1BCC1上以B为圆心，1为半径为，在屏幕DCC1D1上以D为圆心，1为半径的，则＝，所以f（1）+＝+＝3π．故答案为：3π．16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则b2+c2+3bc 的取值范围是（11，15] ．【分析】由余弦定理可得bc＝b²+c²﹣3，则b²+c²+3bc＝4（b²+c²）﹣9，由正弦定理可得b＝2sin B，c＝2sin C，所以b²+c²＝4（sin²B+sin²C）＝4+2cos（2B﹣），然后由△ABC为锐角三角形，求得＜B＜，从而可求得b2+c2+3bc范围．解：因为，，所以由余弦定理可得3＝b²+c²﹣bc，即bc＝b²+c²﹣3，所以b²+c²+3bc＝b²+c²+3（b²+c²﹣3）＝4（b²+c²）﹣9，由正弦定理可得＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，则b²+c²＝4（sin²B+sin²C）＝2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）＝4﹣2cos2B﹣2cos2C＝4﹣2cos[（B+C）+（B﹣C）]﹣2cos[（B+C）﹣（B﹣C）]＝4﹣4cos（B+C）cos（B﹣C）＝4+2cos（2B﹣），因为△ABC为锐角三角形，所以B、C∈（0，），则，解得＜B＜，所以﹣＜2B＜所以＜cos（2B）≤1，则5＜4+2cos（2B﹣）≤6，即5＜b²+c²≤6，所以11＜4（b²+c²）﹣9≤15，故b²+c²+3bc的取值范围是（11，15]，故答案为：（11，15]．四、解答题（共6小题，满分56分）17．已知＝（1，0），＝（2，1），（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．【分析】（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．解：（1）k﹣＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．+2＝（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k﹣与+2共线∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k＝﹣．（2）∵A、B、C三点共线，∴．∴存在实数λ，使得＝，又与不共线，∴，解得．18．2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如表：等级A B C D E等级排名占比15% 35% 35% 13% 2%赋分区间[86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40]现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：分组[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频率0.10 0.15 0.15 a0.25 0.05 （1）求表中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）？（结果保留整数）（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[40，50）与[50，60）内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率．【分析】（1）利用频率分布表列出方程，能求出a．（2）求出等级达到C级及以上所占排名等级占比为85%，设原始分数不少于x分可达到赋分后的C级及以上，由题意知50＜x＜60，列方程能估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）．（3）设A＝“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[50，60）内”，原始得分在[40，50）和（50，60]内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[40，50）内的有2人，得分在[50，60）内的有3人．记得分在[40，50）内2位同学为a，b，得分在[50，60）的三位同学位B，C，D．则从5人中任取2人，利用列举法能求出这2个人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率．解：（1）∵0.10+0.15+0.15+a+0.25+0.05＝1，∴a＝0.30．（2）由已知等级达到C级及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%＝85%，设原始分数不少于x分可达到赋分后的C级及以上，由题意知50＜x＜60，所以，．所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）．（3）设A＝“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[50，60）内”由题设可知，原始得分在[40，50）和（50，60]内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[40，50）内的有2人，得分在[50，60）内的有3人．记得分在[40，50）内2位同学为a，b，得分在[50，60）的三位同学位B，C，D．则从5人中任取2人，样本空间为：Ω＝{（a，b），（a，B），（a，C），（a，D），（b，B），（b，C），（b，D），（B，C），（B，D），（C，D）}，共包含10个样本点M＝{（a，B），（a，C），（a，D），（b，B），（b，C），（b，D）}，共包含6个样本点．所以，，故这2个人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率为．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD＝，cos∠PAB＝．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PD﹣A的正切值．【分析】（1）取AD中点O，连接PO，BO，利用等腰三角形的性质证明PO⊥AD，在三角形和菱形中，求解线段的长度，然后利用勾股定理证明PO⊥BO，由线面垂直的判定定理证明PO⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）利用（1）中的结论，证明BO⊥平面ABCD，作OE⊥PD于E，由三垂线定理，得BE ⊥PD，利用二面角的平面角的定义可得，∠BEO就是二面角B﹣PD﹣A的平面角，在三角形中，由边角关系求解即可．【解答】（1）证明：取AD中点O，连接PO，BO，在△PAD中，，AD＝2，则PO⊥AD，所以，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，所以AB＝AD＝BD＝2，故BO⊥AD，且，在△PAB中，，则，在△POB中，OB2+PO2＝3+4＝7＝PB2，故PO⊥BO，且AD∩BO＝O，所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，故平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，且BO⊥AD，所以BO⊥平面ABCD，作OE⊥PD于E，由三垂线定理，得BE⊥PD，故∠BEO就是二面角B﹣PD﹣A的平面角，在Rt△POD中，OE⊥PD，则PD⋅OE＝PO⋅OD，所以，所以，在Rt△BOE中，，故二面角B﹣PD﹣A的正切值是．20．树人中学为了了解A，B两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从A，B两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：（1）从A校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；（2）如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较A，B两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解；（2）分别利用图得到A、B两校区随机取一名学生成绩不低于80分的概率，进而可求得三名学生物理成绩都低于80分的概率，即可求出三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）分别可从众数、中位数、平均数、方差进行分析．解：（1）从A校区抽取的100名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于60分的频率为（0.024+0.010）×20＝0.68，则这名学生的成绩不低于60分的概率为0.68；（2）由概率分布图可得A校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为0.010×20＝0.20，B校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为0.005×20＝0.10，则这三名学生物理成绩都低于80分的概率约为0.80×0.90×0.90＝0.648，这三名学生中至少有一名学生成绩都不低于80分的概率为1﹣0.648＝0.352．（3）①从众数看，A，B两个校区的众数都是70，所以A，B两个校区的众数相等．②从中位数看，A校区物理成绩的中位数高于B校区物理成绩的中位数：因为A校区的中位数是，B校区的中位数是，因为67.5＞61.0，所以A校区物理成绩的中位数高于B校区物理成绩的中位数．③从平均数看，A校区物理成绩的平均数高于B校区物理成绩的平均数：A校区成绩平均数为μ1＝10×0.001×20+30×0.003×20+50×0.012×20+70×0.024×20+90×0.010×20＝65.6，B校区成绩平均数为μ2＝10×0.001×20+30×0.004×20+50×0.019×20+70×0.021×20+90×0.005×20＝60.0，u1＞u2，所以A校区物理成绩的平均数高于B校区物理成绩的平均数．④从方差看，B校区物理成绩比A校区物理成绩更集中：A校区成绩方差为：（70﹣65.6）2×0.48+（90﹣65.6）2×0.20＝324.64，B校区成绩方差为：，因为，所以B校区物理成绩比A校区物理成绩更集中．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P是棱A1C1的中点，点Q在棱B1C1上．（1）试在棱AC上找一点D，使得QD∥平面ABB1A1，并加以证明；（2）求四棱锥C﹣ABQP的体积．【分析】（1）点D为棱AC的中点时，QD∥平面ABB1A1，取AB的中点M，连接DM，B1M，可证A1B1∥平面ABQP，得到PQ∥A1B1．结合三角形中位线定理可得QB1∥BC，QB1＝BC，再由已知得DM∥BC，DM＝BC，可得QB1∥DM且QB1＝DM，即可得到四边形DMB1Q是平行四边形，则QD∥B1M，由此可得QD∥平面ABB1A1；（2）连接BP，四棱锥C﹣ABQP可视为三棱锥C﹣BPQ和C﹣ABP组合而成，分别求出两个三棱锥的体积，作和即可求得四棱锥C﹣ABQP的体积．解：（1）点D为棱AC的中点时，QD∥平面ABB1A1，证明如下：取AB的中点M，连接DM，B1M．∵AB∥A1B1，AB⊂平面ABQP，A1B1⊄平面ABQP，∴A1B1∥平面ABQP，∵A1B1⊂平面A1B1C1，平面ABQP∩平面A1B1C1＝PQ，∴PQ∥A1B1．又P是棱A1C1的中点，∴Q是棱B1C1的中点，∴QB1∥BC，QB1＝BC，∵D，M分别为棱AC，AB的中点，∴DM∥BC，DM＝BC，可得QB1∥DM且QB1＝DM，∴四边形DMB1Q是平行四边形，则QD∥B1M，∵B1M⊂平面ABB1A1，OD⊄平面ABB1A1，∴QD∥平面ABB1A1；（2）连接BP，四棱锥C﹣ABQP可视为三棱锥C﹣BPQ和C﹣ABP组合而成，三棱锥C﹣ABP可视为P﹣ABC，底面积，高为，设V C﹣BAP＝V1，体积为．三棱锥C﹣BPQ与C﹣ABP等高，体积比为底面积之比，设V C﹣BPQ＝V2，则V2：V1＝S△BPQ：S△BAP＝PQ：AB＝1：2，故，因此，．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求cos A的最小值；（2）记△ABC的面积为S，点P是△ABC内一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，证明：①；②tan A＝2tanθ．【分析】（1）利用同角三角函数以及正余弦定理整理条件可得，即可得到3a2＝b2+c2，则即得到答案；（2）①由余弦定理得2bc cos A＝b2+c2﹣a2，结合三角形面积公式，得到，得证；②结合（1）中所得3a2＝b2+c2，表示出，设PA＝x，PB＝y，PC ＝z，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，则有，，，消去x，y，z得到tanθ＝，即可得证．解：（1）因为，所以，所以，由正弦定理可得，而由余弦定理得，所以3a2＝b2+c2．因为，当且仅当b＝c时，等号成立，所以cos A的最小值为．证明：（2）设PA＝x，PB＝y，PC＝z，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，①因为，所以2bc cos A＝b2+c2﹣a2，而，所以．②由（1）中可得3a2＝b2+c2，所以，在△PAB，△PBC，△PCA中，同理可得：，所以，，，所以，即，所以tan A＝2tanθ．。
吉林大学2014年6月高等数学(理专)A闭卷考试试卷(后附答案)
(15) 求微分方程 x ydx 1 y x x y
2 2 2 2
2
dy 的通解.
(9) 定积分 A.1；
sinxdx 等于（
π 2
π
A
）. C.2； D.3. ）.
B.0；
1 y2 x2 d y dx ， 解 分离变量得 y 1 x2
1 1 两端积分得 y dy 1 2 1 x y dx ，
(7) 正弦曲线 y sin x 在点 (0,0) 处的切线方程的为（ D A. x 0 ； B. y 0 ； C. x y 0 ； C ）.
D. x y 0 .
a
(8)下列不定积分不正确的是（ A. cos 3 xdx
1 sin 3x C ； 3
3x x C. e dx e C ；
1 3 x C； 3 1 1 dx arctan 3x C . D. 2 1 9x 3
B. x dx
2
(14) (3x2 2 x 1)dx .
0
解
a
0
a (3x 2 2 x 1)dx ( x3 x2 x) 0 a3 a 2 a .
三.解答题(共 5 道小题，每小题 10 分，满分 50 分)
x3 (11) 求极限 lim . x x 2 1 1 x3 lim = lim1 = lim1 =e x x 2 x x x 2 x 2
(10) 下列所给微分方程 y y 0 的解中，是通解的是（ D A. y 2e x ； C. y 2e 3e ；
《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（ ） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。
吉林省长春市吉大中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析
吉林省长春市吉大中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．5参考答案：B2. 不等式的解集为，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B3. 设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段参考答案：D略4. ．用反证法证明：“至少有一个为0”，应假设A．没有一个为0 B．只有一个为0C．至多有一个为0 D．两个都为0参考答案：A略5.参考答案：C6. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（A）（B）2 （C）（D）3参考答案：B略7. 某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是()A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于87的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A略9. 个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A． B． C． D．参考答案：A10. 过点（1，2）总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是( )A．或B．或C．或D．或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在（1+x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5系数最大，则n= ．参考答案：10考点：二项式定理．专题：计算题．分析：求出x5的系数，据展开式中中间项的二项式系数最大，求出n的值解答：解：∵（1+x）n（n∈N*）的展开式通项为T r+1=C n r x r当r=5时，C n5值最大所以C n5是展开式中最大的二项式系数所以n=10故答案为10点评：解决二项式系数的最值问题常利用结论：二项展开式中中间项的二项式系数最大．12. 若直线l经过点A（2，5）、B（4，3），则直线l倾斜角为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l倾斜角为θ，利用斜率计算公式可得tanθ，即可得出．【解答】解：设直线l倾斜角为θ，则tanθ==﹣1，θ∈[0，π），∴θ=．故选：D．13. 已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是．参考答案：相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c∥a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．14. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】相互独立事件同时发生的概率1减三人都达标与三人都未达标之和；【解答】解：三人中由一人或两人达标，其概率为1﹣﹣=，故答案为：．15. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．外接球半径为．参考答案：；。
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
2021年吉林省长春市吉大中学高一数学理期末试卷含解析
2020-2021学年吉林省长春市吉大中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1参考答案：B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；不等式．【分析】令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，由已知可得，即，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，难度中档．2. 函数的部分图象如图示,则将的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为（）A．B．C．D．参考答案：C3. 函数y＝2x－x2的图象大致是 ( )参考答案：A略4. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|2x﹣x2≥0}，则M∩N为（）A．（1，2] B．（1，2）C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集的定义和指数函数，二次函数的性质求解．【解答】解：∵M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}=（1，+∞）N={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}=[0，2]∴M∩N=（1，2]．故选：A5. 点（2，1）到直线3x 4y + 5=0的距离是（）A． B． C． D．参考答案：A6. （5分）若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（）A．B． 5 C．2D．10参考答案：B考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：本题考查的是直线与圆性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，则不难求出（a，b）表示的点在平面直线直角坐标系中的位置，分析表达式（a﹣2）2+（b﹣2）2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．解答：解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上则2a+b﹣1=0则（a﹣2）2+（b﹣2）2表示点（2，2）至直线2a+b﹣1=0点的距离的平方则其最小值d2==5故选B点评：直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，所以题型设置为选择题，该试题立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力，有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用．7. 在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形参考答案：A【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状．【解答】解：∵三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），∴|AB|==，|AC|==，|BC|==1，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC是直角三角形．故选：A．8. 已知角的顶点是坐标原点，始边是x轴的非负半轴，其终边上有一点P的坐标是，则，的值分别是(A)，(B)，(C)，(D)，参考答案：D9. 若函数是奇函数，则m的值为（）A 0BC 1D 2参考答案：D10. 若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3] B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2] D．[1﹣2，1+2]参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，∵直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]，故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象过点A（3，7），则此函数的最小值是.参考答案：612. （4分）一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是．参考答案：5考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，就等于该层应抽取的个体数解答：每个个体被抽到的概率是=，那么从甲部门抽取的员工人数是60×=5，故答案为：5．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．13. 根据下列程序，当输入a的值为3，b的值为-5时，输出值：a=_____,b=_____,参考答案：0.5; -1.25略14. （5分）计算：= ．参考答案：3考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由1.10=1，，0.5﹣2=4，lg25+2lg=2（lg5+lg2），能求出的值．解答：=1+4﹣4+2（lg5+lg2）=3．故答案为：3．点评： 本题考查对数的运算性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和应用．15. 函数y =Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如右图所示，则的值等于____________参考答案：16. 函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_ _(写出所有真命题的编号).参考答案：③17. 不等式的整数解共有个．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2024届吉林省吉大附中数学八上期末调研试题含解析
2024届吉林省吉大附中数学八上期末调研试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若k ＜90＜k+1（k 是整数），则k=（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为（3，4），点P 与点Q 关于y 轴对称，则Q 点的坐标是（） A ．（3，4） B ．（-3，4） C ．（3，-4） D ．（-3，-4）3．函数2y x =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列篆字中，轴对称图形的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为A ．5B ．7C ．5或7D ．67．下列各式为分式的是（ ）A ．3bB ．1x -C ．3()4x y + D ．m nm n +-8．同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则满足y ≥0的x 取值范围是（ ）A ．x ≤－2B ．x ≥－2C ．x ＜－2D ．x ＞－2 9．若分式11x x -+有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．1x = B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．1x ≠- 10．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE ⊥AC 于B ，且DC=EC ．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（ ）A ．3B ．5C ．4D ．不确定二、填空题(每小题3分,共24分)11．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 12．在平面直角坐标系中, 点B(1,2)是由点A(-1,2)向右平移a 个单位长度得到,则a 的值为______13．已知关于x ，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则k 的值是_________．14．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．15．已知函数|3|(2)m y m x+=+，当m =____________时，此函数为正比例函数． 16．方程233x x=-的解是 ． 17．对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=(,0){(,0)b b a a b a a a b a ->≠≤≠，例如：2☆3=2﹣3=18，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____． 18．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，把ABC ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，且15EFC ∠=︒，那么ADE ∠的度数为________．三、解答题(共66分)19．（10分）阅读理解 （发现）如果记22()1x f x x =+，并且f （1）表示当x=1时的值，则f （1）=______； ()2f 表示当2x =时的值，则()2f =______；12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭表示当12x =时的值，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=______； ()3f 表示当3x =时的值，则()3f =______；13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭表示当13x =时的值，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______； （拓展）试计算111(2013)(2012)(2)(1)220122013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++++⋯++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 20．（6分）求证：有两个角和其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．21．（6分）在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC 平移，使点A 平移到图中点D 的位置，点B 、C 的对应点分别是点E 、F ，请画出△DEF ； （2）画出△ABC 关于点D 成中心对称的△111A B C ；（3）△DEF 与△111A B C （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图中画出对称中心，并记作点O ．22．（8分）列方程解应用题：某校八年级（一）班和（二）班的同学，在双休日参加修整花卉的实践活动．已知（一）班比（二）班每小时多修整2盆花，（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等．（一）班和（二）班的同学每小时各修整多少盆花？23．（8分）某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整．（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少?（3）如果该县共有八年级学生6000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？24．（8分）化简：22[(2)()(3)5]2x y x y x y y x +-+--÷25．（10分）请阅读下列材料,并完成相应的任务．任务:（1）利用上述方法推导立方和公式()()3322a b a b a ab b +=+-+ (从左往右推导)；（2）已知 1 ,1,a b ab a b +==->,求2233,a b a b +-的值． 26．（10分）先化简，再求值：2221111a a a a a ⎛⎫++-÷ ⎪--⎝⎭，其中a ＝﹣1．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】找到90.【题目详解】本题考查二次根式的估值．∵8190100<<，∴910<，∴9k =．一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：【题目点拨】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.2、B【解题分析】根据轴对称---平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可知Q 点的坐标为（-3，4）.故选B.点睛：此题主要考查了轴对称---平面直角坐标系，解题关键是明确坐标系中的轴对称特点是：关于哪个轴对称时，那个坐标不变，另一个变为相反数，直接可求解，比较简单.3、B【分析】根据k ＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b ＜0确定与y 轴负半轴相交，从而判断得解．【题目详解】解：一次函数y=x ﹣2，∵k=1＞0，∴函数图象经过第一三象限，∵b=﹣2＜0，∴函数图象与y 轴负半轴相交，∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选B ．4、C【分析】根据轴对称图形的概念求解．【题目详解】根据轴对称图形的定义，是轴对称图形的是图①③④，共有3个．【题目点拨】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5、C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C ．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、B【分析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：【题目详解】①当3为底时，其它两边都为1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去．当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为1．故选B ．【题目点拨】本题考查等腰三角形的性质，以及三边关系，分类讨论是关键.7、D【解题分析】根据分式的定义即可求解．【题目详解】A. 3b 是整式，故错误； B. 1x 是整式，故错误；C. 3()4x y +是整式，故错误； D.m n m n +-是分式，正确； 故选D ．【题目点拨】此题主要考查分式的识别，解题的关键是熟知分式的定义．8、A【分析】根据图象找到一次函数图象在x 轴上方时x 的取值范围．【题目详解】解：0y ≥表示一次函数在x 轴上方时，x 的取值范围，根据图象可得：2x -≤．故选：A ．【题目点拨】本题考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握利用函数图象解不等式的方法．9、D【分析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 【题目详解】解：∵分式11x x -+有意义， ∴x+1≠0，解得x ≠-1．故选：D ．【题目点拨】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．10、C【解题分析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E ，再利用“角角边”证明△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC ，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=1．故选：C ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【题目详解】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时， 则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-. 故答案为：1-或5或13-.【题目点拨】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.12、1【分析】根据平面直角坐标系中，点坐标的平移规律即可得．【题目详解】点(1,2)A -向右平移a 个单位长度得到(1,2)B 11a ∴-+=解得2a =故答案为：1．【题目点拨】本题考查了平面直角坐标系中，点坐标的平移规律，掌握点坐标的平移规律是解题关键．设某点坐标为(,)x y ，则有：（1）其向右平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y +；（1）其向左平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y -；（3）其向上平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b +；（4）其向下平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b -，规律总结为“左减右加，上加下减”．13、－1【题目详解】∵关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，∴x=-y ③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k ，即k=-1.故答案为-114、 (a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣1【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．【题目详解】∵图①中阴影部分面积＝(a +2)(a ﹣2)，图②中阴影部分面积＝a 2﹣1，∵图①和图②的阴影面积相等，∴(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣1，故答案为：(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣1．【题目点拨】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键．15、-1【分析】根据正比例函数的定义得到20m +≠且31+=m ，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m 的值．【题目详解】解：根据题意得20m +≠且31+=m ，解得m=-1，即m=-1时，此函数是正比例函数．故答案为：-1．【题目点拨】本考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．16、x=1．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可.【题目详解】去分母得：2x=3x ﹣1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为x=1．【题目点拨】本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键．17、1【解题分析】判断算式a ☆b 中，a 与b 的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.【题目详解】由题意可得：[2☆（﹣4）]☆1=2﹣4☆1=116☆1 =（116）﹣1 =1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.18、60︒【解题分析】根据等腰三角形的性质，求得∠C ，然后利用三角形内角和求得∠FEC ，再根据邻补角的定义求得∠AEF ，根据折叠的性质可得∠AED=∠FED=12∠AEF ，在△ADE 中利用三角形内角和定理即可求解． 【题目详解】解：∵ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，∴∠B=∠C=45°又∵15EFC ∠=︒∴∠FEC=180°-∠EFC-∠C=180°-15°-45°=120°，∴∠AEF=180°-∠FEC =60°又∵∠AED=∠FED=12∠AEF=30°，∠A=90°， ∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-30°-90°=60°．故答案为：60°．【题目点拨】本题考查了等腰三角形等边对等角，三角形内角和的应用，折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．三、解答题(共66分)19、12，45，15，910，110；2012.5 【分析】（1）【发现】分别把x=1、2、12 、3、13 代入22()1x f x x =+即可得出答案 （2）【拓展】根据f 的变化规律得到1()()1,f x f x+=然后求解即可． 【题目详解】解：【发现】2211(1)=211=+f ；2224(2)=512=+f ；221112()=25112⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭f ； 2239(3)=1013=+f ；221113()=310113⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭f 【拓展】 ∵22()1x f x x=+ ∴2221()11(),111()x f x xx∴1()()1,f x f x+= ∴111(2013)(2012)(2)(1)220122013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111=2012+=201222=2012+f 【题目点拨】本题考查了函数值，数字变化规律，读懂题目信息，理解变化规律f 的方法并确定出1()()1f x f x +=是解题的关键．20、见解析【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC ，然后证明△ABD ≌△A′B′D′可得AB=A′B′，再证明△ABC ≌△A′B′C′即可．【题目详解】已知：△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B′C′，∠ABC 、∠A'B′C′的角平分线BD=B′D′，求证：△ABC ≌△A′B′C′．证明：∵∠ABC=∠A'B′C′且∠ABC 、∠A'B′C′的角平分线分别为BD 和B′D′，∴∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC ，∵在△ABD和△A′B′D′中''''''A AABD A B DBD B D∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB=A′B′，在△ABC和△A′B′C′中''''''A AAB A BABC A B C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．【题目点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．21、（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．【题目详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，故答案为：是．【题目点拨】本题主要考查了作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．22、（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花．【分析】根据等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，根据关键句“（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等”可列出方程；【题目详解】解：设（一）班每小时修整x 盆花， 则（二）班每小时修整x -2盆花，根据题意得： 66602x x =- 解得：x =22经检验：x =22是原分式方程的解.∴x -2=20答：（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花.【题目点拨】此题主要考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．23、（1）调查的初一学生人数200人；补图见解析；（2）中位数是4（天），众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有2700人．【分析】（1）由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数，根据单位1减去其他的百分比求出a 的值，由学生总数乘以活动实践是5天与7天的百分比求出各自的人数，补全统计图即可；（2）出现次数最多的天数为4天，故众数为4；将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的两个天数，求出平均数即可得到中位数；（3）求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果．【题目详解】解：（1）调查的初一学生人数：20÷10%＝200（人），“活动时间不少于5天”的人数为：200×（1-15%-10%-5%-15%-30%）=50（人），“活动时间不少于7天”的人数为：200×5%=10（人），补全统计图如下：（2）根据中位数的概念，中位数应是第100人的天数和101人的天数的平均数，即中位数是4（天），根据众数的概念，则众数是人数最多的天数，即众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有：（200﹣20﹣30﹣60）÷200×6000＝2700（人）．【题目点拨】本题考查了频率分布直方图和扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．24、-x+y【分析】根据整式的混合运算法则计算即可．【题目详解】解：原式()22222[44335]2x xy y x xy xy y y x =++--+--÷ ()22222443352x xy y x xy xy y y x +=++--+-÷()22=22x x x y +-÷ x y =-+．【题目点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解题关键．25、（1）推导见解析；（2）22a b +3=，33a b -=．【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:33+a b 3223a a b a b b =+-+;（2）根据配方法和立方差公式可得.【题目详解】()1解:33+a b3223a a b a b b =+-+()()222a a b b a b =+--()()()2a a b b a b a b =+-+-()()22=+-+a b a ab b()2解：22a b +()22a b ab =+-()2121=-⨯-3= ()()22223215a b a ab b -=-+=-⨯-=a b >a b ∴-=33a b -()()22a b a ab b =-++()31=-=【题目点拨】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.26、11a +；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值． 【题目详解】解：原式＝21(1)(1)11(1)1a a a a a a a -++-⋅=-++， 当a ＝﹣1时，原式＝﹣12． 【题目点拨】 本题主要考查了分式的混合运算，灵活的利用通分、约分进行分式的化简是解题的关键.。
吉林省长春市吉大中学高三数学理上学期期末试题含解析
吉林省长春市吉大中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若[]在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”，则的“类对称点”的横坐标是A．1 B．C．e D．参考答案：【知识点】导数 B11B 解析：由于，则在点P处切线的斜率.所以切线方程为，则，.当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；当时，在上单调递减，所以当时，从而有时，；所以在上不存在“类对称点”. 当时，，所以在上是增函数，故所以是一个类对称点的横坐标. （可以利用二阶导函数为0，求出，则）故选择B【思路点拨】由导数的运算，判定函数的单调性，再根据函数的性质判定结果.2. 若，，，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．b＞a＞c参考答案：D【考点】4M：对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出大小关系．【解答】解：∵∈（0，1），＞1，＜0，∴b＞a＞c．故选：D．3. 设i为虚数单位，则复数=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2﹣i D．﹣2+i参考答案：A【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】通过将分子、分母同乘以i进行分母有理化，计算即得结论．【解答】解： ===2+i，故选：A．4. 已知向量、满足，，且，则向量与的夹角是（）A. B. C.D.参考答案：A5. 已知集合，集合，若，则实数可以取的一个值是( )A. B. C. D.参考答案：A略6. 某同学忘记了自己的号，但记得号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的号最多尝试次数为（）A. 18B. 24C. 6D. 12参考答案：D7. i为虚数单位，, 则的共轭复数为 ( )A. 2-iB. 2+iC. -2-iD. -2+i 参考答案：【知识点】复数代数形式的乘除运算;共轭复数.【答案解析】C解析：解：因为，故的共轭复数为，故选C.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.8. 已知定义域为R的函数，那么等于（）A．1 B．62 C．64 D．83参考答案：D9. 下列命题中正确的是（（）A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B．“a＞0，b＞0”是“+≥2”的充分必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”D．命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据且命题和或命题的概念判断即可；B均值定理等号成立的条件判断；C或的否定为且；D对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论．【解答】解：A、若p∨q为真命题，p和q至少有一个为真命题，故p∧q不一定为真命题，故错误；B、“a＞0，b＞0”要得出“+≥2”，必须a=b时，等号才成立，故不是充分必要条件，故错误；C、命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；D、对存在命题的否定，应把存在改为任意，然后再否定结论，命题p：?x0∈R，使得x02+x0﹣1＜0，则￢p：?x∈R，使得x2+x﹣1≥0，故正确．故选：D．10. 函数的图像为参考答案： C图像是偶函数，排除B 、D ，又当时，，择选 C ．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知为一个内角，且，则___________参考答案：12. 已知向量满足，，则的夹角为.参考答案：略13. 设若f（x ）=，f（f （1））=1，则a 的值是 ．参考答案：1【考点】函数的值．【分析】分段函数f （x ）在不同区间有不同对应法则，可先计算f （1）=lg1=0，再相应代入进行计算即可．【解答】解：∵1＞0，∴f （1）=lg1=0， ∴f（0）=0+3t 2dt==a 3，又f （f （1））=1， ∴a 3=1， ∴a=1， 故答案是1．14. 在边长为的正方形内任取一点，则点到点的距离小于的概率为参考答案：略15. 如图，阴影区域是由函数y=cosx 的一段图象与x 轴围成的封闭图形，则该阴影区域的面积是 ．参考答案：2【考点】定积分．【分析】由题意，利用定积分的几何意义，所求阴影区域的面积是S=﹣，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影区域的面积是S=﹣=﹣sinx =2．故答案为：2．16. 由曲线以及x 轴所围成的面积为 ______ .参考答案：17. 如图，⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝_____________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
《数值分析》2019-2020学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2019-2020学年第一学期期末试卷一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 已知近似值1x ，2x ，则()12,x x ()=A. ()()2112x x x x +B. ()()12x x +C. ()()1122x x x x +D. ()()12x x2. 已知求积公式()()211211()(6362)f x dx f Af f ≈++∫，则A ＝（ ） A ． 16 B. 13 C. 12 D. 233. 已知，则化为2112A ⎡⎤=⎢⎣⎦⎥A 为对角阵的平面旋转变换角θ＝（ ） A ．6πB.4πC.3πD.2π4. 设求方程()0f x =的根的切线法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ． 线性 B. 超越性 C. 平方 D. 三次5. 改进欧拉法的局部截断误差为（ ）A ． B. ()5O h ()4O h C. ()3O h D. ()2O h二、填空题（每小题3分，共15分）1. π的近似值3.1428是准确到 近似值。
2. 满足()a a f x x =，()b b x x =，()c f c f x x =的拉格朗日插值余项为 。
3. 用列主元法解方程组时，已知第2列主元为()142a 则()142a ＝ 。
4．乘幂法师求实方阵 的一种迭代方法。
5. 欧拉法的绝对稳定实区间为 。
三、计算题（每小题12分，共60分） 1. 用已知函数表x 0 1 2y 1 2 5求抛物插值多项式，并求1()2f 的近似值。
2. 用紧凑格式解方程组 123410114130141x x x −⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎤⎥3. 已知方程组123210113110121x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎢⎥⎢⎥⎢=−⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎥⎥⎦) (1) 证明高斯－塞德尔法收敛；(2)写出高斯－塞德尔法迭代公式； (3) 取初始值，求出()(00,0,0TX=()1X4. 用复化辛卜公式计算积分4n =1011dx x +∫，并估计误差。
大学高等数学期末考试试题与答案
大学高等数学期末考试试题与答案下列哪个公式不是牛顿-莱布尼茨公式的应用？B) (4x3 + 5x2 + 6x + 7)′D) (e2x + 3y)′答案：D) (e2x + 3y)′填空题(每题3分，共18分)略解答题(每题10分，共60分)略综合题(每题15分，共30分)略当谈论数学时，大家可能会想到那些复杂的公式和令人头疼的问题。
然而，数学在我们的日常生活中无处不在，它不仅是一门学科，更是一种思维方式。
在吉林大学，高等数学课程一直受到高度重视。
本文将通过学生们的期末试题来展示数学的魅力和应用。
试题是数学学习的重要组成部分。
通过做题，学生不仅可以巩固所学知识，还可以培养解决问题的能力和举一反三的思维方式。
以下是一道吉林大学高等数学的期末试题：求函数 y=x^3-3x^2+2在区间 [0,4]上的最大值和最小值。
这道题目的答案是：最大值为28，最小值为-16。
要解决这个问题，我们需要对函数进行求导，并确定函数的极值点。
然后，我们可以在给定的区间内找到函数的最大值和最小值。
除了在高等数学中学习数学基础知识，我们还可以将这些知识应用到实际生活中。
例如，在经济学的课程中，学生们可以使用数学模型来分析股票市场的波动；在工程学中，可以使用数学方法来设计桥梁和建筑的结构等。
数学是人类文化的重要组成部分，它为我们的日常生活提供了很多帮助。
通过学习高等数学，我们可以更好地理解数学的应用价值，提高我们的思维能力和解决问题的能力。
在未来的学习和工作中，这些能力将是我们不可或缺的竞争优势。
吉林大学高等数学期末试题不仅考察了学生的数学知识，还体现了数学在生活中的应用价值。
通过学习数学，我们可以培养举一反三的思维方式，提高解决问题的能力和竞争力。
让我们一起感受数学的魅力吧！下列哪个选项是高等数学中“极限”的概念？ ( )下列哪个选项是高等数学中“导数”的概念？( )下列哪个选项是高等数学中“积分”的概念？( )积分在高等数学中是一个非常广泛的概念，它涉及到面积、体积、平均值等多个方面，但不能简单地说积分就是求面积或体积或平均值。
吉林大学 高等数学B2期末资料(2)
吉林大学 2017—2018 学年第二学期《高等数学BⅡ》试卷2018 年 6 月 6 日命题：董朔校对：肖乐乐一二三四总分得分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分；下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）⎧| xy |sin( x2+y2 )x2+ y2≠ 0⎪，则 f (x, y)在（0,0）处221 ．设f(x,y)= ⎨⎪x+ y0x 2+ y2=0⎩（）.（A）连续但不可偏导（B）可偏导但不可微（C）可微（D）不连续2．函数f(x,y)=arctan x在点(0,1)处的梯度等于（）. y（A）i.（B）-i.（C）j.（D）-j.3 ．若∑是锥面x2+y2=z2被平面z=0与z=1所截下的部分,则曲面积分⎰⎰(x2+y2 )dS=( ).∑（A）⎰0πdθ⎰01r2⋅rdr;（B）⎰02πdθ⎰01r2⋅rdr;（C）⎰0πdθ⎰01r 2⋅rdr ;（D）⎰02πdθ⎰01r 2⋅rdr .224.已知ax + y dx -x - y + b dy 在右半平面(x >0)是函数 u(x, y)的全微分,a, b的值为（）.（A）a=1,b=0；（B）a= -1,b=0；（C）a=0,b=1；（D）a=0,b= -1.5.设0≤u n<1(n= 1, 2, ) ，则下列级数中必定收敛的是（）. n∞∞（A）∑u n（B∑(-1)n u nn=1n=1∞∞（C）∑u n（D）∑(-1)n u n2n=1n=16.设线性无关的函数y1,y2,y3是二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次线性微分方程的通解是（）.（A）C1y1+C2y2-(1-C1-C2)y3；（B）C1y1+C2y2+y3；（C）C1y1+C2y2-(C1+C2)y3；（D）C1y1+C2y2+(1-C1-C2)y3.得分二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分；请将答案填写在题中的横线上）1x 21．极限lim(1+)x+ y=．x→∞xyy→a2．设z=z(x,y)是由方程e2yz+x+y2+z=7确定的函数，dz|=．4⎛ 11⎫,⎪⎝ 22⎭3．设L为圆x2+ y2=1,，则闭曲线积分⎰（L8xy+2x2+6y2)ds=. 4．设L为由点A(-1,1)沿抛物线y=x2到点B（1，1）的一段弧，则曲线积分：⎰（x2-2xy）dx+(y2-2xy)dy的值为.L⎧e-x,-π ≤ x <0，则其以2π为周期的傅立叶级数在点x= π处收5．设函数f(x)= ⎨0 ≤x< π⎩ 1,敛于.6．将函数f(x)=1展开成幂级数.2 -x-x2得分三、按要求解答下列各题（共 4 道小题，每小题 8 分，满分 32 分）1.设z=f(x+ ϕ(x-y),y)，其中f具有二阶连续偏导数，ϕ有二阶导数，求dz和∂2z.⎧ 222= 62.求曲线⎨x+ y+ z在点(1,-2,1)的切线和法平面方程.⎩x + y + z =03.设区域D={(x,y) | 1≤x2+y2≤4,x≥0.y≥0}．计算二重积分：⎰⎰x sin(π x2+ y2)dxdyx + y.D∞(x-1)n4.求幂级数∑的收敛域与和函数.n=1 3 n得分四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，满分 32 分）1.（本题满分7分）求微分方程y'' -2y' +y=8(1+e2x)的通解.2.（本题满分8分）计算曲面积分I=⎰⎰x3dydz+[yf(yz)+y3]dzdx+[z3-zf(yz)]dxdy,其中函数f有∑连续的导函数, ∑为上半球面z= 1 -x2-y2的上侧.3.（本题满分9分）已知函数z=f(x,y)的全微分dz=2xdx -2ydy，并且f (1,1)=2 . 求f(x, y)在椭圆域D={(x,y)x2+y2≤1}上的最大值和最小值.44.（本题满分8分）设Ω(t)={(x,y,z) |x2+y2+ z 2≤ t 2}，其中 t> 0 .已知f (x) 在[0 , + ∞) 内连续，又设F(t)=⎰⎰⎰f(x2+y2+z2)dxdydz .Ω（t）F (t)(0 , + ∞) F (t)（1）求证：在内可导，并求'的表达式；（2）设f(0)∞1 ) 在λ > 0 时收敛，λ ≤ 0 时发散.≠ 0 ，求证：级数∑n1-λF'(n=1n吉 林 大 学2015~2016 学年第二学期《高等数学 BII 》试卷2016 年 6 月 28 日一二三四总 分得 分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）1. 函数 f (x , y )= x 2 + y 4 在点(0,0)处的偏导数（ ）.（A ） f x '(0, 0) 存在， f y '(0, 0) 不存在 （B ） f x '(0, 0) 不存在， f y '(0, 0) 存在（C ） f x '(0, 0) ， f y '(0, 0) 都存在（D ） f x '(0, 0) ， f y '(0, 0) 都不存在2．设方程 xyz + e z =1 确定 z 是 x ，y 的函数，则 ∂z =（ ）．∂x（A ） - yz （B ） yz （C ） - yz （D ） yze z e z xy + e z xy + e z3. 空间区域 Ω = {( x , y , z ) 0 ≤ z ≤ 4 - x 2- y 2, x 2+ y 2≤1} 的体积是（ ）．π（B ） ⎰02π d θ ⎰02 r（A ） 4⎰02 d θ ⎰01 r d r 4 - r 2 d r4 - r 2π⎰01（D ） ⎰02π d θ ⎰02（C ） 4 ⎰02 d θ d r4 - r 2 d r4 - r 22222 24.设空间区域 Ω = {(x , y , z ) x + y + z ≤ 2 , z ≥x + y }， f ( x , y , z ) 为连续函数，则三重积分 ⎰⎰⎰ f ( x , y , z )d V =（）．Ω11- x 2x 2 + y 2（A） ⎰-1d x⎰-d y ⎰f ( x , y , z )d z1- x 2 2- x 2 - y 211- x 22- x 2 - y 2（B ） 4 ⎰ 0 d x ⎰d y ⎰f ( x , y , z ) d zx 2 + y 2 （C ） ⎰02 π d θ ⎰01 d r ⎰r 2-r2f ( r cos θ , r sin θ, z )d zπ（D ） ⎰02 π d θ ⎰04 d ϕ ⎰0 2 f ( r sin ϕ cos θ , r sin ϕ sin θ , r cos ϕ ) r 2 sin ϕ d r5. 设 ∑ 为球面 x 2 + y 2 + z 2= 9 的外侧，则曲面积分 ⎰⎰z d x d y = （）．∑（A ）0（B ） 3π（C ） 9π （D ） 36π∞ n6. 如果级数 ∑ ( -1) ( p > 0) 绝对收敛，则常数 p 的取值范围是（）.n =1 n（A ） p >1（B ） 0 < p <1 （C ） p ≥1 （D ） 0 < p ≤1（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分，请将答案写在题后得 分.）1. 极限 lim sin( xy ) =.x →0 xy →π2. 函数 u = x 2 - xy + 2 yz 在点 (1,1,1) 处的方向导数的最大值为 .⎧x = cos t , (0 ≤ t ≤ π ) ，则 ⎰L x d s =3. 设曲线 L 的方程为 ⎨ 2 .⎩ y = sin t⎧x 2 , 0 ≤ x < 1 ,a ∞⎪2+ ∑a n cos n πx4. 设函数 f (x ) = ⎨S ( x ) = 0，其中1≤ x <1,⎪ x , 2 n =1⎩ 2a = 2 1 f ( x ) cos n πx d x , n = 0,1, 2, ，则 S ( - 1) =.n15. 将函数 f ( x ) = 展开成 ( x - 2) 的幂级数为.x6. 微分方程 xy ' + y = x e x 满足初始条件 y (1) = 0 的特解为.得分三、按要求解答下列各题（共4道小题，每小题8分，满分32分）.1．设f为C( 2)类函数，且z=f(x+y,x-y)，求d z和∂2z.∂x∂y2．在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9 =0，并写出该法线方程．3．设平面区域D={(x,y)x2+y2≤1,x≥0}，计算二重积分⎰⎰D1+x2+y2 d x d y.∞n-14. 求幂级数∑x的收敛域与和函数.n=1n得分四、按要求解答下列各题（共 4 道小题，满分 32 分）.1. （本小题 9 分）设x>0,y>0,z>0，用Lagrange乘数法求函数u=x3y2z 在约束条件x+y+z=12下的最大值.2. （本小题 9 分）求微分方程y'' +4y=2x2满足y(0)=0,y'(0)=1的特解．3. （本小题 9 分）计算曲线积分⎰L sin 2x d x+2(x2-1)y d y，其中L 是曲线y =sin x 上从点(0, 0)到点(π, 0)的一段弧．4. （本小题 5 分）设曲面∑为x2+y2+z2-yz=1位于平面2z-y=0上方的部分，计算曲面积分(x+y -2zI =⎰⎰3) d S.22∑2014—2015 学年第二学期《高等数学 BII 》期末试卷得 分一二三总分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1．若 f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的两个偏导数都存在，则（ ）．（A ） f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域内有界； （B ） f ( x , y 0 ) 在点 x 0 处连续， f ( x 0 , y ) 在点 y 0 处连续； （C ） f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 的某个邻域内连续； （D ） f ( x , y ) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微．∞ a2．级数 ∑( − 1) n (1 − cos) (常数 a > 0 )（ ）．n =1 n（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛；（C ）发散；（D ） 敛散性与 a 有关．3．已知 ( x + ay )d x + y d y 为某函数的全微分，则 a 等于（）．( x + y )2（A ） −1； （B ）0； （C ）1；（D ）2.4. 设 Σ 为锥面 z = y 2 + x 2 被圆柱面 x 2 + y 2 =2x 截下的部分, 则∫∫ z d S 等于 ()．Σ（A ）32；（B ）16；93（C ） 32 2 ；（D ）16 2．935．设函数 f ( x ) 连续，且满足 f ( x ) = ∫0x e − f ( t )d t ，则 f (1) = ( ) ． （A ） 0 ； （B ） ln 2 ； （C ）1；（D ） e ． 6 y − 2 y ′ + 2 y = e ( x cos x + 2 sin x ) ( )．方程 ′′ x 特解的形式为 ．（A ） y = e x [( Ax + B ) cos x + C sin x ] ；1（C ） y 1 = e x [( Ax + B ) cos x + ( Cx + D ) sin x ] ；（D ） y 1 = xe x [( Ax + B ) cos x + ( Cx + D ) sin x ] .二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1．函数 u = xy 2 + yz 3 在 P (2,−1,1) 处沿方向 l = (2,2,−1) 的方向导数为．2．已知 f (1, 2) = 4, d f (1, 2) = 8d x + 4d y , d f (1, 4) = 16d x + 8d y ，则 z = f ( x , f ( x , y ))在点（1, 2）处对 x 的偏导数为 ．3．设 D : x 2 + y 2 ≤ a 2 , 则 I =∫∫(x 2 + y 2 − 2 sin x + 4 y + 4)d σ =．Dpq4 ． 已 知 曲 线 Γ 是 平 面 x + y + z = 0 与 球 面 x 2 + y 2 + z 2 = R 2 的 交 线 ， 则I = ∫Γ ()x 2+ y 2+ z d s = ．∞5 ． 已知幂级数 ∑a n ( x + 2)n 在 x = 0 处收敛，在 x = −4 处发散，则幂级数n =0∞∑a n ( x − 3)n 的收敛域为．n =0− x ,0 ≤ x ≤ 12展开成周期为 2 的正弦级数，记正弦级数的和函6．将函数 f ( x ) =1< x < 12 − x ,25数为 S ( x ) ,则 S−=．2得 分三、计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分）1．设 z = f ( x + y , x − y , xy ),函数 f 是 C (2) 类函数，求 d z 和 ∂2 z .∂x ∂yx = t2．求曲线y=−t2与平面x+2y+z=4平行的切线方程．3z = t3 ．设函数f ( x)在[0,+∞)上连续，且单调增加有上界，证明级数∞∑n=1f(n)−∫n n−1f(x)d x收敛．4．求二元函数 f ( x , y ) = x 2 (2 + y 2 ) + y ln y 的极值．15．求幂级数∑n =1 n 2n x n −1的收敛域及和函数．6. 设Q(x,y)在平面xoy上具有一阶连续的偏导数, 曲线积分∫L2xy d x+Q(x,y)d y与路径无关,并且对任意实数t,恒有(1, t )∫(0,0)(t,1) 2 xy d x+Q ( x , y )d y=∫(0,0) 2 xy d x+Q ( x , y )d y,求函数Q(x,y)．7.计算曲面积分∫∫ x3d y d z + + y 3d z d x ++ z 3d x d y ，∑其中∑为锥面z=x 2+ y2与两球面x2+y2+z2=1及 x 2+ y 2+ z2=4所围成的立体(锥面内部)表面的外侧．8. 求微分方程y′′=4y+x+e2x的通解．吉林大学 2013~2014 学年第二学期《高等数学 B Ⅱ》试卷2014 年 6 月 28 日题号一二三总 分得分得 分一、单项选择题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）xy , (x , y ) ≠ (0,0)在 (0,0) 处（ + y 2 ）． 1．二元函数 f (x , y ) = x 2(x , y ) = (0,0)0,（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在；（C ）不连续，偏导数存在；（D ）不连续，偏导数不存在．2．设 Σ 是锥面 x 2 + y 2 = z 2 在 0 ≤ z ≤ 1 的部分，则 ∫∫ (x 2 + y 2 )d S = ()．Σ（A ） ∫ 0π d θ ∫01 r 3d r ；（B ） ∫ 02 π d θ ∫01 r 3 d r ；（C ） 2 ∫ 0π d θ ∫01 r 3 d r ；（D ） 2 ∫ 02 π d θ ∫01 r 3 d r ．3．设 I = ∫ 01 d y ∫1− y f ( x , y )d x ，则改变积分次序后 I = （）．（A ） ∫ 01 d x ∫0 1− x f ( x ,y )d y ．（B ） ∫ 0 1 − y d x ∫01 f ( x ,y )d y ．（C ） ∫ 01 d x ∫01−x 2f ( x , y )d y ．（D ） ∫ 01 d x ∫01+x 2f ( x , y )d y ． 4. 函数 f ( x , y ) = x 3 − y 3 + 3 x 2 + 3 y 2 − 9x 的极大值点为( )．（A ） ( −3, 2) ； （B ） (1, 2) ； （C ） ( −3, 0) ；（D ） (1, 0) .5．设空间区域 Ω ={( x , y , z )0 ≤ z ≤1− x 2 − y 2}，则积分∫∫∫ z d v = () ．ππΩ（A ） ；（B ） ； （C ） 4π ；（D ） 2π ．2 46 ． 设函数 y 1 , y 2 是微分方程 y ′′ + py ′ + qy = 0 的两个特解， y * 是微分方程y ′′ + py ′ + qy = f (x ) 的一个特解，则 y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + y * 是方程 y ′′ + py ′ + qy = f (x ) 的（ ）．（A）通解；（B）特解；（C）解但不是通解；（D）解.得分二、填空题（共 6 道小题，每小题 3 分，满分 18 分）1．函数u=x2+y2+z2−xy+2yz在点(−1, 2,−3)处的方向导数的最大值等于．2．设z=xy+x，则d z=．y3．设曲线L为下半圆y=− 1 −x2，则∫L(x2+y2)d s=．∞a n4．设a>0，当常数a满足条件时，级数∑收敛．n=1n5．设L为封闭折线|x|+|y |=1正向一周，则∫L x2 y 2d x −cos(x + y )d y=．6．设f(x)是周期为2π的周期函数，它在(−π,π]上的表达式为0, −π <x≤ 0．f ( x)=, 则f(x)的Fourier级数在x=3π处收敛于x ,0< x ≤π得分三、计算题（共 8 道小题，每小题 8 分，满分 64 分）222=45在点P0(−2,1, 6)处的切线方程和法平面方程．1．求空间曲线2x+ y+ zx2+2 y 2= z∂z∂2z 2．设z=f(xy2,x2y)，其中f具有二阶连续偏导数，求∂x,∂x∂y．13．将函数f(x)=x 2 −5x+6在x=4点展成幂级数.（共6页第3页）4．求函数f(x,y)=xy−x在半圆域D={(x,y)x2+y2≤1,y≥0}上的最大值和最小值.∞5．求幂级数∑n+1x n的收敛域及和函数．n=1n（共6页第4页）6. 计算∫∫cos(x+y)dxdy ，D: 0≤x≤π,0 ≤y≤π.22D7.计算I=∫∫(x+y+z)d y d z+(x−y+z)d z d x+(z−x)d x d y，其中Σ：z=1−x2−y2Σ（z≥0），取上侧．（共6页第5页）8.已知曲线y=f(x)经过原点，且在原点的切线平行于直线2x−y−5=。
吉大本科期末考试题及答案
吉大本科期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项不是计算机科学的分支？A. 人工智能B. 数据库系统C. 量子物理D. 计算机网络答案：C2. 根据相对论，当物体速度接近光速时，以下哪个现象会发生？A. 时间膨胀B. 质量增加C. 长度收缩D. 所有以上答案：D3. 在经济学中，需求曲线通常表示为：A. 价格与供给量的关系B. 价格与需求量的关系C. 需求量与供给量的关系D. 价格与生产成本的关系答案：B4. 以下哪种编程语言是静态类型语言？A. JavaScriptB. PythonC. JavaD. Ruby答案：C5. 在心理学中，弗洛伊德的哪个理论涉及到潜意识？A. 心理分析B. 行为主义C. 认知发展D. 社会学习理论答案：A6. 根据达尔文的进化论，物种进化的驱动力是：A. 自然选择B. 人为选择C. 突变D. 遗传答案：A7. 在化学中，元素周期表的排列依据是：A. 原子量B. 原子序数C. 电子数D. 化学性质答案：B8. 以下哪个不是数学中的几何图形？A. 三角形B. 圆C. 直线D. 点答案：D9. 在物理学中，描述力对物体作用效果的物理量是：A. 质量B. 力C. 动量D. 能量答案：C10. 以下哪个是生物分类学中的最高分类单位？A. 界B. 门C. 纲D. 目答案：A二、填空题（每空2分，共20分）1. 牛顿第二定律的公式是 \[ F = ma \]，其中 \( F \) 代表力，\( m \) 代表质量，\( a \) 代表加速度。
2. 在统计学中，标准差是衡量数据分布的离散程度的一个指标。
3. 计算机操作系统的主要功能包括进程管理、内存管理、设备管理和文件系统管理。
4. 根据热力学第一定律，能量守恒，它表明能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转换为另一种形式。
5. 心理学中的自我效能理论是由班杜拉提出的，它强调个体对自己完成特定任务的能力的信念。
2006—2013年吉林大学《数学分析、高等代数》考研试题及答案
吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、（共 30 分）判断题1、若函数)(x f 在()b a ,上Riemann 可积，则 []2)(x f 在()b a ,上Riemann 也可积；2、若级数∑∞=1n n a 收敛，则级数∑∞=1n n a 也收敛；3、任何单调数列必有极限；4、数列(){}n1-的上、下极限都存在；5、区间 ()b a , 上的连续函数必能达到最小值；6、x sin 在整个实轴上是一致连续的；7、若函数()y x f ,沿着任何过原点的直线连续，则()y x f ,在()0,0连续； 8、若函数()x f 在点0x 取极小值，则()0x f '=0； 9、若()0x f '=0，()00<''x f ，则()x f 再点0x 取最大值； 10、向量场()222222,,x z z y y x ---是无源场。
二、（共 20 分）填空题1、设))(sin(z y x y x u +++=，则gradu =( );2、设),,(x z z y y x F +++=，则F div =();3、设),,-(xy z zx y yz x F --=，则F rot =( );4、设s 表示单位球面1222=++z y x ，则第一型曲边梯形ds x s⎰⎰2=();5、数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+2211-n n n 的下极限为( );三、（共 20 分）计算下列极限1、nn k n k 1120061lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=∞→；2、()x x xx 31211lim30+-+→；3、()112007120061lim ++++∞→++n n n n n ；4、dx x x x n ⎰++∞→10221lim ； 四、（共 20 分）判断下列级数的敛散性1、∑∞=-1200520072006n n nn； 2、∑∞=1n n u ，其中0>n u ，()2211+≤-n n u u n n ，⋅⋅⋅=2,1n ； 五、（10 分）设函数)(x f 在[]1,0两次连续可微，满足0)1()0(==f f 且()01=⎰dx x f 。
吉林省长春市吉大中学2021年高二数学文下学期期末试卷含解析
吉林省长春市吉大中学2021年高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，已知，B=，C=，则等于A. B. C.D.参考答案：A2. 设函数f（x）=e x（2x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f（x0）＜0，则a的取值范围是（）A．[）B．[）C．[）D．[）参考答案：D【考点】6D：利用导数研究函数的极值；51：函数的零点．【分析】设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，问题转化为存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax ﹣a的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解关于a的不等式组可得．【解答】解：设g（x）=e x（2x﹣1），y=ax﹣a，由题意知存在唯一的整数x0使得g（x0）在直线y=ax﹣a的下方，∵g′（x）=e x（2x﹣1）+2e x=e x（2x+1），∴当x＜﹣时，g′（x）＜0，当x＞﹣时，g′（x）＞0，∴当x=﹣时，g（x）取最小值﹣2，当x=0时，g（0）=﹣1，当x=1时，g（1）=e＞0，直线y=ax﹣a恒过定点（1，0）且斜率为a，故﹣a＞g（0）=﹣1且g（﹣1）=﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解得≤a＜1故选：D【点评】本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．3. 如图，在多面体中，已知平面是边长为的正方形，,,且与平面的距离为，则该多面体的体积为（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：D 解析：过点作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，4. 为研究变量和的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程和，两人计算知相同，也相同，下列正确的是（）A．与重合B．与一定平行C．与相交于点D．无法判断和是否相交参考答案：C5. 已知双曲线（，）的右焦点为F ，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A.(1,2]B.(1,2)C. [2,+∞)D. (2,+∞)参考答案：C已知双曲线双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，，离心率，故选C【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．6. 函数图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是 ( )A．B．C．D．参考答案：【考点】等比关系的确定．【专题】计算题．【分析】根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．假设存在，则可计算出公比的范围，从而可下结论．【解答】解：根据平面几何切割线定理：从圆外一点做圆的切线和割线，则切线长是割线与它的圆外部分的比例中项．鉴于此，从原点作该半圆的切线，切线长为：，设割线与半圆的另外两个交点到原点的距离分别是a和b，则b=aq2，且ab=（aq）2=3，所以aq=；所以q=，当，则；当时，考查四个选项，只有B选项不符合上述范围故选B．【点评】本题的考点是等比关系的确定，主要课程等比数列的定义，等比中项及切割线定理，属于基础题．7. 若集合M={﹣1，0，1}，N={y|y=sinx，x∈M}，则M∩N=（）B8. 不等式对一切R恒成立，则实数a的取值范围是( )[来A ．[2,6)B ．(2,6)C ．(－∞,2]∪(6,+∞) D．(－∞,2)∪(6,+∞)参考答案：A9. 设f(x)＝则等于()A. B. C. D．不存在参考答案：C10. 正方体中，求对角线与对角面所成的角 ( )A. B. C. D. 参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），且满足关系式f(x)=，则f'（2）的值等于．参考答案：【考点】导数的运算．【分析】求导数，然后令x=1，即可求出f′（1）的值，再代值计算即可【解答】解：∵f（x）=+3xf′（1），∴f′（x）=﹣+3f′（1），令x=1，则f′（1）=﹣1+3f′（1），∴f′（1）=，∴f′（2）=﹣+=故答案为：．【点评】本题主要考查导数的计算，要注意f′（1）是个常数，通过求导构造关于f′（1）的方程是解决本题的关键．12. 如图，正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm，原图形的面积是_______ cm2.参考答案：8，13. 不等式3x-3x+2的解集是_____________参考答案：略14. 若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是．参考答案：[1，2）【考点】元素与集合关系的判断；四种命题的真假关系．【专题】计算题．【分析】原命题是假命题可转化成它的否命题是真命题进行求解，求出满足条件的x即可．【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题则它的否命题为真命题即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命题所以的取值范围是[1，2），故答案为[1，2）．【点评】本题主要考查了四种命题的真假，以及元素与集合的关系的判断，所以基础题．15. 已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角为．参考答案：16. 已知A为射线上的动点，B为x轴正半轴上的动点，若直线AB与圆相切，则|AB|的最小值为．参考答案：17. 已知, 则的最大值是；参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年吉林省长春市吉林大学附属中学高三数学理下学期期末试题含解析
2021-2022学年吉林省长春市吉林大学附属中学高三数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上，则=（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值【解答】解：∵△ABC的顶点A（0，4），C（0，﹣4），顶点B在椭圆上∴a=2，即AB+CB=2a，AC=2c∵由正弦定理知，∴则=．故选：C．2. 已知全集U=Z,集合A={–2,–1,1,2},B=,则C U BA．{–2,–1} B．{2, 1} C．{–2, 1} D．{–1,2}参考答案：A略3. 已知函数构造函数，定义如下：当，那么（）A．有最小值0，无最大值 B．有最小值-1，无最大值C．有最大值1，无最小值 D．无最小值，也无最大值参考答案：B4. （文）函数的值域为(A) (B) (C) (D)参考答案：A，因为，则函数为，在递减，在递增，所以当时有最小值。
当时，；当时，，所以，即函数的值域为，选A.5. 是直线与直线互相垂直的( )充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件[参考答案：A6. 函数的部分图象如上图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为（）A． B.C. D.参考答案：B略7. 已知偶函数在上可导，且则曲线在处的切线的斜率为参考答案：A8. 已知平面向量则向量（）.A. B. C.D.参考答案：B略9. （5分）（2015?钦州模拟）某企业在甲、乙、丙、丁四个城市分别有150个、120个、190个、140个销售点．为了调查产品的质量，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙城市有20个特大型销售点，要从中抽取8个调查，记这项调查为②，则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次为（）A．分层抽样法、系统抽样法B．分层抽样法、简单随机抽样法C．系统抽样法、分层抽样法D．简单随机抽样法、分层抽样法参考答案：B【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：分别根据分层抽样，系统抽样和简单抽样的定义进行判断即可．解：①由于四个城市销售点是数量不同，可能存在差异比使用较明显，故①应用分层抽样．②由于丙成立销售点比较比较少，可以使用简单随机抽样即可．故选：B．【点评】：本题主要考查随机抽样的应用，利用三种抽样的定义是解决本题的关键，比较基础．10. 已知函数,若||≥,则的取值范围是A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 圆锥的侧面展开图是圆心角为π，面积为2π的扇形，则圆锥的体积是______．参考答案：12. 下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据，月份用水量由其散点图可知，用水量与月份之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是▲．参考答案：答案：13. 某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，需随机选出45名学生进行调查.现采取分层抽样的方法从男生中任意抽取25人，那么应该在女生中任意抽取人.参考答案：2014. 定义max{a，b}=，已知函数f（x）=max{|2x﹣1|，ax2+b}，其中a＜0，b∈R，若f（0）=b，则实数b 的范围为，若f （x）的最小值为1，则a+b= ．参考答案：[1，+∞）,1.【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【分析】利用定义判断b的范围，作出两函数y=|2x﹣1|与y=ax2+b的函数图象，根据f（x）定义判断y=ax2+b与点（1，1）的关系，得出a+b的值．【解答】解：∵f（0）=max{1，b}=b，∴b≥1；作出y=|2x﹣1|与y=ax2+b的函数图象，如图所示：∵f（x）的最小值为1，∴y=ax2+b恰好经过点（1，1），∴a+b=1．故答案为：[1，+∞），1．15. 已知点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是_____________；参考答案：略16. 给出下列四个命题:①函数在区间上存在零点;②或是的必要不充分条件③在中, ,则④已知函数的定义域为,存在,使得对于任意的都有成立.其中正确命题的序号是 .参考答案：①②③17. 双曲线（p>0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则该双曲线的离心率（）A．1 B． C．D． 2参考答案：B略三、解答题：本大题共5小题，共72分。