吉大数学分析期末试题答案
吉林大学2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业参考答案
吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
一、简答题（每小题7分，共56分）1、什么是命题公式的演绎？答：首先定义了消解复杂性的两种范式:最简范式和文字范式,在此基础上采用演绎方法证明了L中的可判定性定理,并设计了命题公式的演绎判定算法P(F).P(F)的时间复杂度为O(n3),远远小于基于真值表法的O(2n)和基于策略方案HAL的O(n5)。
2、什么是子句？请给出一例。
答：子句是一组包含一个主词和一个动词的关连字。
子句与片语有明显的不同，后者为一组不含主词与动词关系的关连字，如"in the morning" 或"running down the street" 或"having grown used to this harassment."3、什么是短语？请给出一例。
答：短语是由句法、语义和语用三个层面上能够搭配的语言单位组合起来的没有句调的语言单位，又叫词组。
它是大于词而又不成句的语法单位。
简单的短语可以充当复杂短语的句法成分，短语加上句调可以成为句子。
由语法上能够搭配的词组合起来的没有句调的语言单位例如：粮食//丰收（名//动）（什么//怎么样）4、什么是命题逻辑中的文字？答：检测和消除命题逻辑公式中的冗余文字,是人工智能领域广泛研究的基本问题。
针对命题逻辑的子句集中子句的划分,结合冗余子句和冗余文字的概念,将命题逻辑的子句集中的文字分为必需文字、有用文字和无用文字3类。
5、什么是析取范式？请给出一例。
答：在离散数学中，仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式，而由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
吉林2020_2021学年高一数学下学期期末考试试题含解析
吉林省东北师范大学附属中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分）.1．已知复数z满足（﹣i）z＝2，则z＝（）A．B．C．D．2．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝3，，，则b＝（）A．B．C．D．4．向量正方形网格中的位置如图所示．若向量，则实数λ＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．25．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（）A．B．C．D．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．设点G为△ABC的重心，过G作一直线MN分别交边AB，AC于点M，N，若，，则x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题为真命题的是（）A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C＝“两个点数之和为8”；D＝“两个点数之和为7”，则（）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．C与D相互独立11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则下列结论正确的是（）A．sin A：sin B：sin C＝4：5：6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为12．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB 的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（）A．l∥平面PADB．AE∥平面PCDC．直线PA与l所成角的余弦值为D．平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为三、填空题：本题共4小题，每题4分，共16分．13．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示，则＝．14．某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的数量分别是13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，则所给数据的第75百分位数是．15．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为f（r），则＝．16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则b2+c2+3bc 的取值范围是．四、解答题（共6小题，满分56分）17．已知＝（1，0），＝（2，1），（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．18．2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如表：等级A B C D E等级排名占比15% 35% 35% 13% 2% 赋分区间[86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40] 现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：分组[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频率0.10 0.15 0.15 a0.25 0.05 （1）求表中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）？（结果保留整数）（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[40，50）与[50，60）内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD＝，cos∠PAB＝．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PD﹣A的正切值．20．树人中学为了了解A，B两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从A，B两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：（1）从A校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；（2）如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较A，B两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P是棱A1C1的中点，点Q在棱B1C1上．（1）试在棱AC上找一点D，使得QD∥平面ABB1A1，并加以证明；（2）求四棱锥C﹣ABQP的体积．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求cos A的最小值；（2）记△ABC的面积为S，点P是△ABC内一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，证明：①；②tan A＝2tanθ．参考答案一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分）.1．已知复数z满足（﹣i）z＝2，则z＝（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件，运用复数的乘法运算法则，即可求解．解：∵（﹣i）z＝2，∴＝．故选：A．2．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数D．方差【分析】共有12个成绩，且十二进六，由中位数的定义进行分析即可．解：因为是十二进六的半决赛，所以12个不同的成绩按从小到大排序后，只需要知道中位数即可判断自己是否能进入决赛．故选：B．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a＝3，，，则b＝（）A．B．C．D．【分析】利用余弦定理表示出cos B，即可解出b．解：由余弦定理可得cos B＝，即＝，解得b＝，故选：C．4．向量正方形网格中的位置如图所示．若向量，则实数λ＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2【分析】如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1．可得，，坐标，根据向量，即可得出．解：如图所示，建立直角坐标系．取小正方形的边长为1．则＝（1，1），＝（0，﹣1），＝（2，1）．∵向量，∴（2，1）＝λ（1，1）+（0，﹣1）．∴2＝λ，1＝λ﹣1，实数λ＝2．故选：D．5．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：A．6．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意利用相互独立事件的概率、互斥事件与对立事件的概率计算公式，把甲出游乙不出游、甲不出游乙出游的概率相加，即得所求．解：甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是×（1﹣）+（1﹣）×＝+＝，故选：C．7．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值．解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，∴A（1，0，0），D1（0，0，），D（0，0，0），B1（1，1，），＝（﹣1，0，），＝（1，1，），设异面直线AD1与DB1所成角为θ，则cosθ＝＝＝，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．故选：C．8．设点G为△ABC的重心，过G作一直线MN分别交边AB，AC于点M，N，若，，则x+4y的最小值是（）A．2 B．3 C．D．【分析】根据重心的性质求出+＝1，再利用基本不等式得出答案．解：∵点G为△ABC的重心，若，，设BC的中点为D，则＝＝+＝+，∵M，G，N三点共线，故+＝1，∴x+4y＝（x+4y）（+）＝++≥+2＝3．当且仅当＝时取等号，∴x+4y的最小值为3，故选：B．二、多项选择题：本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．以下四个命题为真命题的是（）A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内B．过空间中任意三点有且仅有一个平面C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l【分析】对于A，由平面的基本定理及推论进行判断；对于B，过空间中不共线的三点有且仅有一个平面；对于C，这两条直线平行或异面；对于D，线面垂直的性质得m⊥l．解：对于A，设直线a交b于A，b交c于B，a交c于C，A，B，C不重合，a交b于A，则a，b可确定一平面α，A∈α，b交c于B，则B∈b，B∈α，a交c于C，C∈a，C∈α，从而c在α内，即a，b，c共面，∴两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，故A正确；对于B，过空间中不共线的三点有且仅有一个平面，故B错误；对于C，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，故C错误；对于D，若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则线面垂直的性质得m⊥l，故D正确．故选：AD．10．抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为Ⅰ号和Ⅱ号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果：记A＝“Ⅰ号骰子出现的点数为1”；B＝“Ⅱ号骰子出现的点数为2”；C＝“两个点数之和为8”；D＝“两个点数之和为7”，则（）A．A与B相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．C与D相互独立【分析】利用相互独立事件定义直接求解．解：对于A，事件A发生与否与事件B发生与否相互间没有影响，∴A与B相互独立，故A正确；对于B，P（A）＝P（D）＝＝，P（AD）＝，∴P（AD）＝P（A）×P（D），∴A与D相互独立，故B正确；对于C，事件B发生与否与事件C是否发生有关系，∴B与C不是相互独立事件，故C错误；对于D，事件C发生与否与事件D是否发生有关系，∴C与D相互独立，故D错误．故选：AB．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a：b：c＝4：5：6，则下列结论正确的是（）A．sin A：sin B：sin C＝4：5：6B．△ABC是钝角三角形C．△ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若c＝6，则△ABC外接圆半径为【分析】由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D．解：设a＝4t，b＝5t，c＝6t．sin A：sin B：sin C＝a：b：c＝4：5：6，故A正确；由c为最大边，可得cos C＝＝＝＞0，即C为锐角，故B错误；由cos A＝＝＝，由cos2A＝2cos2A﹣1＝2×﹣1＝＝cos C，由2A，C∈（0，π），可得2A＝C，故C正确；若c＝6，可得2R＝＝＝，△ABC外接圆半径为，故D正确．故选：ACD．12．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，点E是PB 的中点，过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，则（）A．l∥平面PADB．AE∥平面PCDC．直线PA与l所成角的余弦值为D．平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为【分析】对于A，取PC中点F，连接DF、EF，推导出l与EF重合，从而l∥AD，进而l ∥平面PAD；对于B，由EF∥AD，且EF＝，得AE与平面PCD相交；对于C，由A知l∥AD，∠PAD是直线PA与l所成角（或所成角的补角），由此能求出直线PA与l所成角的余弦值；对于D，截面α就是平面AEFD，先分别求出V P﹣ABCD，V ABE﹣DCF，由此能求出平面α截P﹣ABCD四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比．解：对于A，取PC中点F，连接DF、EF，∵点E是PB的中点，∴EF∥AD，∵过A，D，E三点的平面α与平面PBC的交线为l，∴l与EF重合，∴l∥AD，∵AD⊂平面PAD，l⊄平面PAD，∴l∥平面PAD，故A正确；对于B，由A知EF∥AD，且EF＝，∴AE与DF相交，∴AE与平面PCD相交，故B错误；对于C，由A知l∥AD，∴∠PAD是直线PA与l所成角（或所成角的补角），∵四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝1，PD＝AB＝2，∴PA＝＝，∴直线PA与l所成角的余弦值为：cos∠PAD＝＝，故C正确；对于D，由A知截面α就是平面AEFD，下半部分分为四棱锥E﹣ABCD和三棱锥E﹣DFC．所以下部分体积为：，所以上部分＝﹣＝，上下之比就是3：5．故D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每题4分，共16分．13．如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且，，用向量，，表示，则＝．【分析】利用空间向量基本定理结合空间向量的加法、加法以及数乘运算求解即可．解：因为，，所以＝＝＝＝＝．故答案为：．14．某车间12名工人一天生产某产品（单位：kg）的数量分别是13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，则所给数据的第75百分位数是15.3 ．【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，然后由百分位数的定义求解即可．解：将12个数据按照从小到大的顺序排列为：13，13.5，13.6，13.8，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，15.7，15.8，因为12×75%＝9，所以所给数据的第75百分位数为第9个数据与第10个数据的平均数，即．故答案为：15.3．15．已知动点P在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的表面上运动，且，记点P的轨迹长度为f（r），则＝3π．【分析】求出当r＝1和r＝时，点P在正方体表面上的轨迹，然后利用互斥公式求解即可．解：如图，当r＝1时，点P在正方体表面上的轨迹是以A为圆心，1为半径的三个面上的三段弧，分别为，则＝，当r＝时，点P在正方体表面上的轨迹分别为在平面A1B1C1D1上以A1为圆心，1为半径为，在平面B1BCC1上以B为圆心，1为半径为，在屏幕DCC1D1上以D为圆心，1为半径的，则＝，所以f（1）+＝+＝3π．故答案为：3π．16．在锐角△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，，则b2+c2+3bc 的取值范围是（11，15] ．【分析】由余弦定理可得bc＝b²+c²﹣3，则b²+c²+3bc＝4（b²+c²）﹣9，由正弦定理可得b＝2sin B，c＝2sin C，所以b²+c²＝4（sin²B+sin²C）＝4+2cos（2B﹣），然后由△ABC为锐角三角形，求得＜B＜，从而可求得b2+c2+3bc范围．解：因为，，所以由余弦定理可得3＝b²+c²﹣bc，即bc＝b²+c²﹣3，所以b²+c²+3bc＝b²+c²+3（b²+c²﹣3）＝4（b²+c²）﹣9，由正弦定理可得＝＝2，所以b＝2sin B，c＝2sin C，则b²+c²＝4（sin²B+sin²C）＝2（1﹣cos2B+1﹣cos2C）＝4﹣2cos2B﹣2cos2C＝4﹣2cos[（B+C）+（B﹣C）]﹣2cos[（B+C）﹣（B﹣C）]＝4﹣4cos（B+C）cos（B﹣C）＝4+2cos（2B﹣），因为△ABC为锐角三角形，所以B、C∈（0，），则，解得＜B＜，所以﹣＜2B＜所以＜cos（2B）≤1，则5＜4+2cos（2B﹣）≤6，即5＜b²+c²≤6，所以11＜4（b²+c²）﹣9≤15，故b²+c²+3bc的取值范围是（11，15]，故答案为：（11，15]．四、解答题（共6小题，满分56分）17．已知＝（1，0），＝（2，1），（1）当k为何值时，k﹣与+2共线．（2）若＝2+3，＝+m，且A、B、C三点共线，求m的值．【分析】（1）利用向量的运算法则、共线定理即可得出；（2）利用向量共线定理、平面向量基本定理即可得出．解：（1）k﹣＝k（1，0）﹣（2，1）＝（k﹣2，﹣1）．+2＝（1，0）+2（2，1）＝（5，2）．∵k﹣与+2共线∴2（k﹣2）﹣（﹣1）×5＝0，即2k﹣4+5＝0，得k＝﹣．（2）∵A、B、C三点共线，∴．∴存在实数λ，使得＝，又与不共线，∴，解得．18．2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A、B、C、D、E共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如表：等级A B C D E等级排名占比15% 35% 35% 13% 2%赋分区间[86，100] [71，85] [56，70] [41，55] [30，40]现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：分组[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100] 频率0.10 0.15 0.15 a0.25 0.05 （1）求表中a的值；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）？（结果保留整数）（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[40，50）与[50，60）内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率．【分析】（1）利用频率分布表列出方程，能求出a．（2）求出等级达到C级及以上所占排名等级占比为85%，设原始分数不少于x分可达到赋分后的C级及以上，由题意知50＜x＜60，列方程能估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）．（3）设A＝“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[50，60）内”，原始得分在[40，50）和（50，60]内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[40，50）内的有2人，得分在[50，60）内的有3人．记得分在[40，50）内2位同学为a，b，得分在[50，60）的三位同学位B，C，D．则从5人中任取2人，利用列举法能求出这2个人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率．解：（1）∵0.10+0.15+0.15+a+0.25+0.05＝1，∴a＝0.30．（2）由已知等级达到C级及以上所占排名等级占比为15%+35%+35%＝85%，设原始分数不少于x分可达到赋分后的C级及以上，由题意知50＜x＜60，所以，．所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C等级以上（含C等级）．（3）设A＝“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[50，60）内”由题设可知，原始得分在[40，50）和（50，60]内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[40，50）内的有2人，得分在[50，60）内的有3人．记得分在[40，50）内2位同学为a，b，得分在[50，60）的三位同学位B，C，D．则从5人中任取2人，样本空间为：Ω＝{（a，b），（a，B），（a，C），（a，D），（b，B），（b，C），（b，D），（B，C），（B，D），（C，D）}，共包含10个样本点M＝{（a，B），（a，C），（a，D），（b，B），（b，C），（b，D）}，共包含6个样本点．所以，，故这2个人中恰好有1人原始成绩在[40，50）内的概率为．19．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，若PA＝PD＝，cos∠PAB＝．（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD；（2）求二面角B﹣PD﹣A的正切值．【分析】（1）取AD中点O，连接PO，BO，利用等腰三角形的性质证明PO⊥AD，在三角形和菱形中，求解线段的长度，然后利用勾股定理证明PO⊥BO，由线面垂直的判定定理证明PO⊥平面ABCD，再利用面面垂直的判定定理证明即可；（2）利用（1）中的结论，证明BO⊥平面ABCD，作OE⊥PD于E，由三垂线定理，得BE ⊥PD，利用二面角的平面角的定义可得，∠BEO就是二面角B﹣PD﹣A的平面角，在三角形中，由边角关系求解即可．【解答】（1）证明：取AD中点O，连接PO，BO，在△PAD中，，AD＝2，则PO⊥AD，所以，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，所以AB＝AD＝BD＝2，故BO⊥AD，且，在△PAB中，，则，在△POB中，OB2+PO2＝3+4＝7＝PB2，故PO⊥BO，且AD∩BO＝O，所以PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAD，故平面PAD⊥平面ABCD；（2）解：由（1）知平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，且BO⊥AD，所以BO⊥平面ABCD，作OE⊥PD于E，由三垂线定理，得BE⊥PD，故∠BEO就是二面角B﹣PD﹣A的平面角，在Rt△POD中，OE⊥PD，则PD⋅OE＝PO⋅OD，所以，所以，在Rt△BOE中，，故二面角B﹣PD﹣A的正切值是．20．树人中学为了了解A，B两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从A，B两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]分组，绘制成成绩频率分布直方图如图：（1）从A校区全体高一学生中随机抽取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率；（2）如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）根据频率分布直方图，用样本估计总体的方法，试比较A，B两个校区的物理成绩，写出两条统计结论，并说明理由．【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求解；（2）分别利用图得到A、B两校区随机取一名学生成绩不低于80分的概率，进而可求得三名学生物理成绩都低于80分的概率，即可求出三名学生至少有一名学生的成绩不低于80分的概率；（3）分别可从众数、中位数、平均数、方差进行分析．解：（1）从A校区抽取的100名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于60分的频率为（0.024+0.010）×20＝0.68，则这名学生的成绩不低于60分的概率为0.68；（2）由概率分布图可得A校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为0.010×20＝0.20，B校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为0.005×20＝0.10，则这三名学生物理成绩都低于80分的概率约为0.80×0.90×0.90＝0.648，这三名学生中至少有一名学生成绩都不低于80分的概率为1﹣0.648＝0.352．（3）①从众数看，A，B两个校区的众数都是70，所以A，B两个校区的众数相等．②从中位数看，A校区物理成绩的中位数高于B校区物理成绩的中位数：因为A校区的中位数是，B校区的中位数是，因为67.5＞61.0，所以A校区物理成绩的中位数高于B校区物理成绩的中位数．③从平均数看，A校区物理成绩的平均数高于B校区物理成绩的平均数：A校区成绩平均数为μ1＝10×0.001×20+30×0.003×20+50×0.012×20+70×0.024×20+90×0.010×20＝65.6，B校区成绩平均数为μ2＝10×0.001×20+30×0.004×20+50×0.019×20+70×0.021×20+90×0.005×20＝60.0，u1＞u2，所以A校区物理成绩的平均数高于B校区物理成绩的平均数．④从方差看，B校区物理成绩比A校区物理成绩更集中：A校区成绩方差为：（70﹣65.6）2×0.48+（90﹣65.6）2×0.20＝324.64，B校区成绩方差为：，因为，所以B校区物理成绩比A校区物理成绩更集中．21．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为2，高为，过AB的截面与上底面交于PQ，且点P是棱A1C1的中点，点Q在棱B1C1上．（1）试在棱AC上找一点D，使得QD∥平面ABB1A1，并加以证明；（2）求四棱锥C﹣ABQP的体积．【分析】（1）点D为棱AC的中点时，QD∥平面ABB1A1，取AB的中点M，连接DM，B1M，可证A1B1∥平面ABQP，得到PQ∥A1B1．结合三角形中位线定理可得QB1∥BC，QB1＝BC，再由已知得DM∥BC，DM＝BC，可得QB1∥DM且QB1＝DM，即可得到四边形DMB1Q是平行四边形，则QD∥B1M，由此可得QD∥平面ABB1A1；（2）连接BP，四棱锥C﹣ABQP可视为三棱锥C﹣BPQ和C﹣ABP组合而成，分别求出两个三棱锥的体积，作和即可求得四棱锥C﹣ABQP的体积．解：（1）点D为棱AC的中点时，QD∥平面ABB1A1，证明如下：取AB的中点M，连接DM，B1M．∵AB∥A1B1，AB⊂平面ABQP，A1B1⊄平面ABQP，∴A1B1∥平面ABQP，∵A1B1⊂平面A1B1C1，平面ABQP∩平面A1B1C1＝PQ，∴PQ∥A1B1．又P是棱A1C1的中点，∴Q是棱B1C1的中点，∴QB1∥BC，QB1＝BC，∵D，M分别为棱AC，AB的中点，∴DM∥BC，DM＝BC，可得QB1∥DM且QB1＝DM，∴四边形DMB1Q是平行四边形，则QD∥B1M，∵B1M⊂平面ABB1A1，OD⊄平面ABB1A1，∴QD∥平面ABB1A1；（2）连接BP，四棱锥C﹣ABQP可视为三棱锥C﹣BPQ和C﹣ABP组合而成，三棱锥C﹣ABP可视为P﹣ABC，底面积，高为，设V C﹣BAP＝V1，体积为．三棱锥C﹣BPQ与C﹣ABP等高，体积比为底面积之比，设V C﹣BPQ＝V2，则V2：V1＝S△BPQ：S△BAP＝PQ：AB＝1：2，故，因此，．22．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求cos A的最小值；（2）记△ABC的面积为S，点P是△ABC内一点，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝θ，证明：①；②tan A＝2tanθ．【分析】（1）利用同角三角函数以及正余弦定理整理条件可得，即可得到3a2＝b2+c2，则即得到答案；（2）①由余弦定理得2bc cos A＝b2+c2﹣a2，结合三角形面积公式，得到，得证；②结合（1）中所得3a2＝b2+c2，表示出，设PA＝x，PB＝y，PC ＝z，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，则有，，，消去x，y，z得到tanθ＝，即可得证．解：（1）因为，所以，所以，由正弦定理可得，而由余弦定理得，所以3a2＝b2+c2．因为，当且仅当b＝c时，等号成立，所以cos A的最小值为．证明：（2）设PA＝x，PB＝y，PC＝z，△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，①因为，所以2bc cos A＝b2+c2﹣a2，而，所以．②由（1）中可得3a2＝b2+c2，所以，在△PAB，△PBC，△PCA中，同理可得：，所以，，，所以，即，所以tan A＝2tanθ．。
吉林大学2014年6月高等数学(理专)A闭卷考试试卷(后附答案)
(15) 求微分方程 x ydx 1 y x x y
2 2 2 2
2
dy 的通解.
(9) 定积分 A.1；
sinxdx 等于（
π 2
π
A
）. C.2； D.3. ）.
B.0；
1 y2 x2 d y dx ， 解 分离变量得 y 1 x2
1 1 两端积分得 y dy 1 2 1 x y dx ，
(7) 正弦曲线 y sin x 在点 (0,0) 处的切线方程的为（ D A. x 0 ； B. y 0 ； C. x y 0 ； C ）.
D. x y 0 .
a
(8)下列不定积分不正确的是（ A. cos 3 xdx
1 sin 3x C ； 3
3x x C. e dx e C ；
1 3 x C； 3 1 1 dx arctan 3x C . D. 2 1 9x 3
B. x dx
2
(14) (3x2 2 x 1)dx .
0
解
a
0
a (3x 2 2 x 1)dx ( x3 x2 x) 0 a3 a 2 a .
三.解答题(共 5 道小题，每小题 10 分，满分 50 分)
x3 (11) 求极限 lim . x x 2 1 1 x3 lim = lim1 = lim1 =e x x 2 x x x 2 x 2
(10) 下列所给微分方程 y y 0 的解中，是通解的是（ D A. y 2e x ； C. y 2e 3e ；
《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷
吉林大学《数值分析》2017-2018学年第一学期期末试卷一、 单项选择题（每小题3分，共15分）1. 以下误差限公式不正确的是（ ） A ．()()(1212)x x x εεε−=−x B. ()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εε=+ε D. ()()22x x x εε=2. 步长为的等距节点的插值型求积公式，当h 2n =时的牛顿－科茨求积公式为（ ） A ．()()()2bahf x dx f a f b ≈+⎡⎤⎣⎦∫B ．()()()432bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ C ．()()()32bah a b f x dx f a f f b ⎡+⎛⎞≈++⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦∫⎤ D ．()()3442bah b a a b f x dx f a f a f f a ⎡−+⎛⎞⎛⎞⎛≈+++++⎜⎟⎜⎟⎜⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎝⎣⎦∫4b a −⎤⎞⎟⎠3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ．＝0， B ． ()00l x ()110l x =()00l x ＝0，()111l x = C ．＝1，()00l x ()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =4. 用二分法求方程在区间()0f x =[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是（ ） n ≥ A ．ln()ln 1ln 2b a ε−++ B.ln()ln 1ln 2b a ε−+− C. ln()ln 1ln 2b a ε−−+ D.ln()ln 1ln 2b a ε−−− 5. 若用列主元消去法求解下列线性方程组，其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ ）A ． B.123123123104025261x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩123123123315226x x x x x x x x x −+=⎧⎪01−−+=⎨⎪++=−⎩ C. D.12312312322526x x x x x x x x x −+=⎧⎪−−+=⎨⎪++=⎩01012312312310402501x x x x x x x x x −+=⎧⎪−+=⎨⎪−+=−⎩二、 填空题（每小题3分，共15分）6. 数x ∗＝2.1972246···的六位有效数字的近似数的绝对误差限是 。
吉林省长春市吉大中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析
吉林省长春市吉大中学2020年高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝()A．2 B．3C．4 D．5参考答案：B2. 不等式的解集为，则的值为（）A． B． C． D．参考答案：B3. 设F1、F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段参考答案：D略4. ．用反证法证明：“至少有一个为0”，应假设A．没有一个为0 B．只有一个为0C．至多有一个为0 D．两个都为0参考答案：A略5.参考答案：C6. 已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（A）（B）2 （C）（D）3参考答案：B略7. 某单位有15名成员，其中男性10人，女性5人，现需要从中选出6名成员组成考察团外出参观学习，如果按性别分层，并在各层按比例随机抽样，则此考察团的组成方法种数是()A． B． C． D．参考答案：A略8. 已知实数，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于87的概率为（）A. B. C. D.参考答案：A略9. 个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）A． B． C． D．参考答案：A10. 过点（1，2）总可以作两条直线与圆相切，则的取值范围是( )A．或B．或C．或D．或参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在（1+x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5系数最大，则n= ．参考答案：10考点：二项式定理．专题：计算题．分析：求出x5的系数，据展开式中中间项的二项式系数最大，求出n的值解答：解：∵（1+x）n（n∈N*）的展开式通项为T r+1=C n r x r当r=5时，C n5值最大所以C n5是展开式中最大的二项式系数所以n=10故答案为10点评：解决二项式系数的最值问题常利用结论：二项展开式中中间项的二项式系数最大．12. 若直线l经过点A（2，5）、B（4，3），则直线l倾斜角为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线l倾斜角为θ，利用斜率计算公式可得tanθ，即可得出．【解答】解：设直线l倾斜角为θ，则tanθ==﹣1，θ∈[0，π），∴θ=．故选：D．13. 已知a，b是两条异面直线，直线c∥a，那么c与b的位置关系是．参考答案：相交或异面【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c∥a∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．故答案为：相交或异面．14. 甲、乙、丙三人将独立参加某项体育达标活动，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为、、，则三人中有人达标但没有完全达标的概率为．参考答案：【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】相互独立事件同时发生的概率1减三人都达标与三人都未达标之和；【解答】解：三人中由一人或两人达标，其概率为1﹣﹣=，故答案为：．15. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为．外接球半径为．参考答案：；。
2021-2022学年数学分析II期末试题参考答案
课程编号：100171019 北京理工大学2021-2022学年第二学期2021级数学分析（II ）期终考试试题A 卷解答1.(23分)求下列函数的偏导数或全微分 (1)设cos xyz e=，求dz .(2)设(,)z z x y =由方程zx y z e ++=所确定的隐函数，求z x ∂∂和22zx∂∂.(3)设1()()z f xy yg x y x=++，其中f 和g 在R 上有连续的二阶导数，求z x ∂∂，z y ∂∂和2zy x∂∂∂ 解：(1)cos (cos )xy dz e d xy =cos (sin )()xy e xy d xy =−cos sin ()xy xye ydx xdy =−+.(2)方程关于x 求导，y 是常数，z 是x 的函数，1z x x z e z +=，11x zz e =−. 23(1)(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. 方法二. zzxx x x xx z e z z e z =+，221(1)z zx xx z ze z e z e e =−=−−−. (3)//211()()()z f xy f xy y yg x y x x x∂=−+⋅++∂ //21()()()yf xy f xy yg x y x x =−+++，//1()()()z f xy x g x y yg x y y x∂=⋅++++∂ //()()()f xy g x y yg x y =++++，2/////()()()zf xy yg x y yg x y y x∂=⋅++++∂∂ /////()()()yf xy g x y yg x y =++++.2.(15分)(1)求二重积分22Dy I dxdy x=⎰⎰，其中D 为由1,2,y y y x x ===所围的区域. (2)求三重积分I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰，其中Ω由0,0,0,21x y z x y z ===++=所围成.(3)求第一型曲面积分()MI x y z dS =++⎰⎰，其中M为上半球面：z =222x y R +≤(0)R >. 解：(1)2221221y y Dy y I dxdy dy dx x x==⎰⎰⎰⎰22111()yyy dy x =−⎰2223111()()y y dy y y dy y=−=−⎰⎰ 94=. 方法二. 22212221122212x x Dy y y I dxdy dx dy dx dy x xx ==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2)设D 为xy −平面上由0,0,21x y x y ==+=所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰120x yDdxdy xdz −−=⎰⎰⎰(12)Dx x y dxdy =−−⎰⎰[]11(1)20(1)2x dx x x xy dy −=−−⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰. 方法二. 对任意的[0,1]x ∈，x D 为yz −平面上由0,0,21y z y z x ==+=−所围成区域.I x dxdydz Ω=⎰⎰⎰1xD dx xdydz =⎰⎰⎰12011(1)448x x dx =−=⎰(3) x z =y z =，()MI x y z dS =++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221(x y x y +≤=++⎰⎰221x y Rdxdy +≤=⎰⎰3R π=.3.(8分)设(,)z z x y =在2R 有连续偏导数，并且322cos(2)3cos(2)dz axy x y dx x y b x y dy ⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦其中,a b 是常数，求,a b 的值和(,)z z x y =的表达式. 解：由条件3cos(2)x z axy x y =++，223cos(2)y z x y b x y =++， 则232sin(2)xy z axy x y =−+，26sin(2)yx z xy b x y =−+. 因为xy z 和yx z 都连续，所以xy yx z z =, 232sin(2)axy x y −+26sin(2)xy b x y =−+, 取,02x y π==，解得2b =，进而得出2a =.再由32cos(2)x z xy x y =++，23(,)sin(2)()z x y x y x y y ϕ=+++， 22/32cos(2)()y z x y x y y ϕ=+++， 于是/()0y ϕ=，()y C ϕ=.故23(,)sin(2)z x y x y x y C =+++.4.(10分)求幂级数211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域及和函数的表达式.解：记21(1)()(21)!n n n n u x x n −−=+. 对任意的0x ≠，21()0,()2(23)n n u x xn u x n n +=→→+∞+， 则211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑收敛. 即得211(1)(21)!n n n n x n +∞−=−+∑的收敛域为(,)−∞+∞. 记211(1)()(21)!n n n n S x x n +∞−=−=+∑，定义域为(,)−∞+∞.容易求得(0)0S =. 对任意的0x ≠，利用幂级数的性质，2/11(1)()()2(21)!nn n S x x n +∞=−=+∑/211(1)2(21)!n n n x n +∞=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/21111(1)2(21)!n n n x x n +∞+=⎛⎫−= ⎪+⎝⎭∑/11(sin )2x x x⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 2cos sin 2x x xx−=.5.(10分)设()f x 是以2π为周期的函数，它在区间(,]ππ−上的表达式为00()20x f x x ππ−<≤⎧=⎨<≤⎩. (1)求()f x 的Fourier 级数；(2)求()f x 的Fourier 级数的和函数在区间[0,2]π上的表达式；(3)求11(1)21n n n −+∞=−−∑.解：(1)先计算()f x 的Fourier 系数， 01()a f x dx πππ−=⎰122dx ππ==⎰，1()cos n a f x nxdx πππ−=⎰12cos 0nxdx ππ==⎰，1,2,n =，1()sin n b f x nxdx πππ−=⎰ ()0122sin 1(1)n nxdx n πππ==−−⎰2421(21)n k n k k π=⎧⎪=⎨=−⎪−⎩，1,2,k =.()f x 的Fourier 级数为()01cos sin 2n n n a a nx b nx +∞=++∑ 14sin(21)121k k xk π+∞=−=+−∑. (2) 12(0,)4sin(21)10(,2)2110,,2k x k x x k x ππππππ+∞=∈⎧−⎪+=∈⎨−⎪=⎩∑. (3)令2x π=，1411sin (21)2212k k k ππ+∞=⎛⎫+−= ⎪−⎝⎭∑，解得11(1)214n n n π−+∞=−=−∑.6.(12分)(1)判别下列广义积分的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(a) 30411dx +∞−⎰ (b) 20sin x dx +∞⎰ (2)设()af x dx +∞⎰收敛，并且lim ()x f x L →+∞=.证明：0L =.解：(1)(a) 0,1x x ==为瑕点， 考虑30411dx +∞−⎰1122133330122444411111111dx dx dx dx +∞=+++−−−−⎰⎰⎰⎰.因为330004411lim lim111x x x →+→+==−−，3431141lim 111x x x →→−⋅==−，31342433441lim lim111x x xxx +→+∞→+∞⋅==−−，而其中1351244+=>，所以112213333012244441111,,,1111dx dx dx dx +∞−−−−⎰⎰⎰⎰都收敛，于是30411dx +∞−⎰收敛，又被积函数非负，故是绝对收敛.(b)0x =不是瑕点，20sin x dx +∞⎰与21sin x dx +∞⎰具有相同的收敛性，只讨论21sin x dx +∞⎰即可.令2t x =，则2111sin 2x dx +∞+∞=⎰⎰, 1+∞⎰条件收敛. 那么20sin x dx +∞⎰条件收敛.(2)假设0L ≠，不妨设0L >.由lim ()x f x L →+∞=，根据极限性质，存在0X >，使得当x X >时，()2Lf x >.则A X ∀>，()()()A X AaaXf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰()()2X aLf x dx A X >+−⎰， 由此推出lim()A aA f x dx →+∞=+∞⎰，与()af x dx +∞⎰收敛矛盾.假设不成立，即0L =.7.(12分)(1)证明：函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，但在(0,)+∞不一致收敛.(2)证明：1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续且可导.证：(1)对任意的[,)x δ∈+∞和任意的正整数n ，0nx n ne ne δ−−<<， 而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明1nn neδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.记()nx n u x ne −=，对任意的正整数n ，取1(0,)n x n=∈+∞， 1()0,n n u x ne n −=→+∞，则()nxn u x ne−=在(0,)+∞不一致收敛于0.故函数项级数1nx n ne +∞−=∑在(0,)+∞不一致收敛. (2) (0,)x ∀∈+∞，存在0δ>，使得(,)x δ∈+∞.因为()nxn u x ne−=在(0,)+∞连续(1,2,)n =，利用(1)，函数项级数1nx n ne +∞−=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛，所以和函数1()nx n f x ne +∞−==∑在[,)δ+∞上连续，于是它在x 连续.由x 的任意性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上连续.对任意的0δ>，/22()nx n n u x n e n e δ−−=−≤，[,),1,2,x n δ∀∈+∞=，而1,e n δδ−−=→<→+∞，说明21nn n eδ+∞−=∑收敛，根据M 判别法，函数项级数/1()n n u x +∞=∑在[,)(0)δδ+∞>一致收敛.根据一致收敛的函数项级数的逐项可导性，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间[,)(0)δδ+∞>可导. 同理可得，1()nx n f x ne +∞−==∑在区间(0,)+∞上可导.8.(10分)设1α>，10n n a a +<≤，0,1,2,n =.证明：111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛. 证：由条件，{}n a 单调递增，则要么{}n a 有上界要么{}n a 趋于+∞. (1)设{}n a 有上界. 则{}n a 收敛，记lim n n A a →+∞=，显然0A >.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时， 2n Aa >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么1111120()()()22n n n n n n n n a a a a a a A A a a A ααα+−−−−−−≤<=−. 由于1001(),nk k n k a a a a A a n −=−=−→−→+∞∑，说明11()n n n a a +∞−=−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.(2) 设{}n a 无上界，即lim n n a →+∞=+∞.利用极限性质，存在0N ，当0n N >时，1n a >. 则当01n N >+时，由条件1α>，那么11111110n n n n n n n n n na a a a a a a a a a α−−−−−−−≤≤=−. 由于 110011111(),nk k k n n a a a a a =−−=−→→+∞∑， 说明1111()n n n a a +∞=−−∑收敛. 利用比较判别法，111n n n n n a a a a α+∞−=−−∑收敛.。
2021年吉林省长春市吉大中学高一数学理期末试卷含解析
2020-2021学年吉林省长春市吉大中学高一数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，则实数a的取值范围是（）A．0＜a＜4 B．1＜a＜2 C．﹣2＜a＜2 D．a＜﹣3或a＞1参考答案：B【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用；不等式．【分析】令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，由已知可得，即，解得答案．【解答】解：令f（x）=x2﹣2ax+a2﹣4，∵方程x2﹣2ax+a2﹣4=0的一个实根在区间（﹣1，0）内，另一个实根大于2，∴，即，解得：1＜a＜2，故选：B．【点评】本题考查的知识点是一元二次方程的根的分布与系数的关系，难度中档．2. 函数的部分图象如图示,则将的图象向右平移个单位后,得到的图象解析式为（）A．B．C．D．参考答案：C3. 函数y＝2x－x2的图象大致是 ( )参考答案：A略4. 已知集合M={y|y=2x，x＞0}，N={x|2x﹣x2≥0}，则M∩N为（）A．（1，2] B．（1，2）C．[2，+∞） D．[1，+∞）参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】利用交集的定义和指数函数，二次函数的性质求解．【解答】解：∵M={y|y=2x，x＞0}={y|y＞1}=（1，+∞）N={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}=[0，2]∴M∩N=（1，2]．故选：A5. 点（2，1）到直线3x 4y + 5=0的距离是（）A． B． C． D．参考答案：A6. （5分）若直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则（a﹣2）2+（b﹣2）2的最小值为（）A．B． 5 C．2D．10参考答案：B考点：圆方程的综合应用．专题：计算题．分析：本题考查的是直线与圆性质及其综合应用，由已知条件我们可以判定直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心，则不难求出（a，b）表示的点在平面直线直角坐标系中的位置，分析表达式（a﹣2）2+（b﹣2）2的几何意义，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．解答：解：∵直线l：ax+by+1=0始终平分圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的周长∴直线必过圆M：x2+y2+4x+2y+1=0的圆心即圆心（﹣2，﹣1）点在直线l：ax+by+1=0上则2a+b﹣1=0则（a﹣2）2+（b﹣2）2表示点（2，2）至直线2a+b﹣1=0点的距离的平方则其最小值d2==5故选B点评：直线的性质与圆的方程都是高考必须要考的知识点，此题巧妙地将直线与圆性质融合在一起进行考查，题目有一定的思维含量但计算量不大，所以题型设置为选择题，该试题立足基础考查了学生思维能力与运算能力以及灵活运用所学数学知识处理相关问题的能力，有一定的选拔作用同时对中学数学教学具有产生较好地导向作用．7. 在空间直角坐标系中，已知三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），则三角形ABC 是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形参考答案：A【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由空间两点间距离公式分别求出三边长，再由勾股定理能判断三角形的形状．【解答】解：∵三点A（1，0，0），B（1，1，1），C（0，1，1），∴|AB|==，|AC|==，|BC|==1，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC是直角三角形．故选：A．8. 已知角的顶点是坐标原点，始边是x轴的非负半轴，其终边上有一点P的坐标是，则，的值分别是(A)，(B)，(C)，(D)，参考答案：D9. 若函数是奇函数，则m的值为（）A 0BC 1D 2参考答案：D10. 若直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，则实数b的取值范围是（）A．[1﹣2，3] B．[1﹣，3] C．[﹣1，1+2] D．[1﹣2，1+2]参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，即可得出结论．【解答】解：由题意，圆心到直线的距离d==2，b=1±2，（0，3）代入直线y=x+b，可得b=3，∵直线y=x+b与曲线（x﹣2）2+（y﹣3）2=4（0≤x≤4，1≤y≤3）有公共点，∴实数b的取值范围是[1﹣2，3]，故选A．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数的图象过点A（3，7），则此函数的最小值是.参考答案：612. （4分）一个公司共有240名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本．已知某部门有60名员工，那么从这一部门抽取的员工人数是．参考答案：5考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先求出每个个体被抽到的概率，用该层的个体数乘以每个个体被抽到的概率，就等于该层应抽取的个体数解答：每个个体被抽到的概率是=，那么从甲部门抽取的员工人数是60×=5，故答案为：5．点评：本题考查分层抽样的定义和方法，本题解题的关键是在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．13. 根据下列程序，当输入a的值为3，b的值为-5时，输出值：a=_____,b=_____,参考答案：0.5; -1.25略14. （5分）计算：= ．参考答案：3考点：对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．专题：计算题．分析：由1.10=1，，0.5﹣2=4，lg25+2lg=2（lg5+lg2），能求出的值．解答：=1+4﹣4+2（lg5+lg2）=3．故答案为：3．点评： 本题考查对数的运算性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，注意有理数指数幂的性质和应用．15. 函数y =Asin(ωx+φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如右图所示，则的值等于____________参考答案：16. 函数的定义域为,若且时总有,则称为单函数.例如,函数是单函数.下列命题:①函数是单函数;②函数是单函数;③若为单函数,且,则;④函数在定义域内某个区间上具有单调性,则一定是单函数.其中的真命题是_ _(写出所有真命题的编号).参考答案：③17. 不等式的整数解共有个．参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2024届吉林省吉大附中数学八上期末调研试题含解析
2024届吉林省吉大附中数学八上期末调研试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．若k ＜90＜k+1（k 是整数），则k=（ ）A ．6B ．7C ．8D ．92．在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标为（3，4），点P 与点Q 关于y 轴对称，则Q 点的坐标是（） A ．（3，4） B ．（-3，4） C ．（3，-4） D ．（-3，-4）3．函数2y x =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．下列篆字中，轴对称图形的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为A ．5B ．7C ．5或7D ．67．下列各式为分式的是（ ）A ．3bB ．1x -C ．3()4x y + D ．m nm n +-8．同一直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则满足y ≥0的x 取值范围是（ ）A ．x ≤－2B ．x ≥－2C ．x ＜－2D ．x ＞－2 9．若分式11x x -+有意义，则x 的取值范围为（ ） A ．1x = B ．0x ≠ C ．1x ≠ D ．1x ≠- 10．如图，已知∠DCE=90°，∠DAC=90°，BE ⊥AC 于B ，且DC=EC ．若BE=7，AB=3，则AD 的长为（ ）A ．3B ．5C ．4D ．不确定二、填空题(每小题3分,共24分)11．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__． 12．在平面直角坐标系中, 点B(1,2)是由点A(-1,2)向右平移a 个单位长度得到,则a 的值为______13．已知关于x ，y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则k 的值是_________．14．如图，利用图①和图②的阴影面积相等，写出一个正确的等式_____．15．已知函数|3|(2)m y m x+=+，当m =____________时，此函数为正比例函数． 16．方程233x x=-的解是 ． 17．对实数a 、b ，定义运算☆如下：a ☆b=(,0){(,0)b b a a b a a a b a ->≠≤≠，例如：2☆3=2﹣3=18，则计算：[2☆（﹣4）]☆1=_____． 18．如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，把ABC ∆沿DE 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处，且15EFC ∠=︒，那么ADE ∠的度数为________．三、解答题(共66分)19．（10分）阅读理解 （发现）如果记22()1x f x x =+，并且f （1）表示当x=1时的值，则f （1）=______； ()2f 表示当2x =时的值，则()2f =______；12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭表示当12x =时的值，则12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=______； ()3f 表示当3x =时的值，则()3f =______；13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭表示当13x =时的值，则13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______； （拓展）试计算111(2013)(2012)(2)(1)220122013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++++⋯++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值． 20．（6分）求证：有两个角和其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．21．（6分）在图中网格上按要求画出图形，并回答下列问题：（1）把△ABC 平移，使点A 平移到图中点D 的位置，点B 、C 的对应点分别是点E 、F ，请画出△DEF ； （2）画出△ABC 关于点D 成中心对称的△111A B C ；（3）△DEF 与△111A B C （填“是”或“否”）关于某个点成中心对称，如果是，请在图中画出对称中心，并记作点O ．22．（8分）列方程解应用题：某校八年级（一）班和（二）班的同学，在双休日参加修整花卉的实践活动．已知（一）班比（二）班每小时多修整2盆花，（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等．（一）班和（二）班的同学每小时各修整多少盆花？23．（8分）某县教育行政部门为了了解八年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查了该县八年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图(如图)．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）求出参加抽样调查的八年级学生人数，并将频数直方图补充完整．（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少?（3）如果该县共有八年级学生6000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？24．（8分）化简：22[(2)()(3)5]2x y x y x y y x +-+--÷25．（10分）请阅读下列材料,并完成相应的任务．任务:（1）利用上述方法推导立方和公式()()3322a b a b a ab b +=+-+ (从左往右推导)；（2）已知 1 ,1,a b ab a b +==->,求2233,a b a b +-的值． 26．（10分）先化简，再求值：2221111a a a a a ⎛⎫++-÷ ⎪--⎝⎭，其中a ＝﹣1．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、D【分析】找到90.【题目详解】本题考查二次根式的估值．∵8190100<<，∴910<，∴9k =．一题多解：可将各个选项依次代入进行验证．如下表：【题目点拨】本题考查二次根式的估算，找到被开方数左右两边相邻的两个平方数是关键.2、B【解题分析】根据轴对称---平面直角坐标系中关于y 轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标变为相反数，可知Q 点的坐标为（-3，4）.故选B.点睛：此题主要考查了轴对称---平面直角坐标系，解题关键是明确坐标系中的轴对称特点是：关于哪个轴对称时，那个坐标不变，另一个变为相反数，直接可求解，比较简单.3、B【分析】根据k ＞0确定一次函数经过第一三象限，根据b ＜0确定与y 轴负半轴相交，从而判断得解．【题目详解】解：一次函数y=x ﹣2，∵k=1＞0，∴函数图象经过第一三象限，∵b=﹣2＜0，∴函数图象与y 轴负半轴相交，∴函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限．故选B ．4、C【分析】根据轴对称图形的概念求解．【题目详解】根据轴对称图形的定义，是轴对称图形的是图①③④，共有3个．【题目点拨】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5、C【分析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【题目详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C ．【题目点拨】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6、B【分析】因为已知长度为3和1两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论：【题目详解】①当3为底时，其它两边都为1，∵1+1＜3，∴不能构成三角形，故舍去．当3为腰时，其它两边为3和1，3、3、1可以构成三角形，周长为1．故选B ．【题目点拨】本题考查等腰三角形的性质，以及三边关系，分类讨论是关键.7、D【解题分析】根据分式的定义即可求解．【题目详解】A. 3b 是整式，故错误； B. 1x 是整式，故错误；C. 3()4x y +是整式，故错误； D.m n m n +-是分式，正确； 故选D ．【题目点拨】此题主要考查分式的识别，解题的关键是熟知分式的定义．8、A【分析】根据图象找到一次函数图象在x 轴上方时x 的取值范围．【题目详解】解：0y ≥表示一次函数在x 轴上方时，x 的取值范围，根据图象可得：2x -≤．故选：A ．【题目点拨】本题考查一次函数与不等式的关系，解题的关键是掌握利用函数图象解不等式的方法．9、D【分析】根据分式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x 的取值范围即可． 【题目详解】解：∵分式11x x -+有意义， ∴x+1≠0，解得x ≠-1．故选：D ．【题目点拨】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．10、C【解题分析】根据同角的余角相等求出∠ACD=∠E ，再利用“角角边”证明△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可得AD=BC ，AC=BE=7，然后求解BC=AC-AB=7-3=1．故选：C ．点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、-1或5或13-【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案.【题目详解】去分母得：()443x m x m ++-=+，可得：()151m x m +=-，当10m +=时，一元一次方程无解，此时1m =-，当10m +≠时， 则5141m x m -==±+， 解得：5m =或13-. 故答案为：1-或5或13-.【题目点拨】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键.12、1【分析】根据平面直角坐标系中，点坐标的平移规律即可得．【题目详解】点(1,2)A -向右平移a 个单位长度得到(1,2)B 11a ∴-+=解得2a =故答案为：1．【题目点拨】本题考查了平面直角坐标系中，点坐标的平移规律，掌握点坐标的平移规律是解题关键．设某点坐标为(,)x y ，则有：（1）其向右平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y +；（1）其向左平移a 个单位长度得到的点坐标为(,)x a y -；（3）其向上平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b +；（4）其向下平移b 个单位长度得到的点坐标为(,)x y b -，规律总结为“左减右加，上加下减”．13、－1【题目详解】∵关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，∴x=-y ③，把③代入②得：-y+2y=-1，解得y=-1，所以x=1，把x=1，y=-1代入①得2-3=k ，即k=-1.故答案为-114、 (a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣1【分析】根据图形分别写出图①与图②中阴影部分面积，由阴影部分面积相等得出等式．【题目详解】∵图①中阴影部分面积＝(a +2)(a ﹣2)，图②中阴影部分面积＝a 2﹣1，∵图①和图②的阴影面积相等，∴(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣1，故答案为：(a +2)(a ﹣2)＝a 2﹣1．【题目点拨】本题考查平方差公式的几何背景，结合图形得到阴影部分的面积是解题的关键．15、-1【分析】根据正比例函数的定义得到20m +≠且31+=m ，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m 的值．【题目详解】解：根据题意得20m +≠且31+=m ，解得m=-1，即m=-1时，此函数是正比例函数．故答案为：-1．【题目点拨】本考查了正比例函数的定义：一般地，形如y=kx （k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数．16、x=1．【分析】根据解分式方程的步骤解答即可.【题目详解】去分母得：2x=3x ﹣1，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故答案为x=1．【题目点拨】本题主要考查了解分式方程的步骤，牢牢掌握其步骤就解答此类问题的关键．17、1【解题分析】判断算式a ☆b 中，a 与b 的大小，转化为对应的幂运算即可求得答案.【题目详解】由题意可得：[2☆（﹣4）]☆1=2﹣4☆1=116☆1 =（116）﹣1 =1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查了新定义运算、负整数指数幂，弄清题意，理解新定义运算的规则是解决此类题目的关键.18、60︒【解题分析】根据等腰三角形的性质，求得∠C ，然后利用三角形内角和求得∠FEC ，再根据邻补角的定义求得∠AEF ，根据折叠的性质可得∠AED=∠FED=12∠AEF ，在△ADE 中利用三角形内角和定理即可求解． 【题目详解】解：∵ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，∴∠B=∠C=45°又∵15EFC ∠=︒∴∠FEC=180°-∠EFC-∠C=180°-15°-45°=120°，∴∠AEF=180°-∠FEC =60°又∵∠AED=∠FED=12∠AEF=30°，∠A=90°， ∴∠ADE=180°-∠AED-∠A=180°-30°-90°=60°．故答案为：60°．【题目点拨】本题考查了等腰三角形等边对等角，三角形内角和的应用，折叠的性质，找出图形中相等的角和相等的线段是关键．三、解答题(共66分)19、12，45，15，910，110；2012.5 【分析】（1）【发现】分别把x=1、2、12 、3、13 代入22()1x f x x =+即可得出答案 （2）【拓展】根据f 的变化规律得到1()()1,f x f x+=然后求解即可． 【题目详解】解：【发现】2211(1)=211=+f ；2224(2)=512=+f ；221112()=25112⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭f ； 2239(3)=1013=+f ；221113()=310113⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭f 【拓展】 ∵22()1x f x x=+ ∴2221()11(),111()x f x xx∴1()()1,f x f x+= ∴111(2013)(2012)(2)(1)220122013f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++++⋯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()111=2012+=201222=2012+f 【题目点拨】本题考查了函数值，数字变化规律，读懂题目信息，理解变化规律f 的方法并确定出1()()1f x f x +=是解题的关键．20、见解析【分析】将原命题写出已知和求证，然后进行证明，根据角平分线定义可得∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC ，然后证明△ABD ≌△A′B′D′可得AB=A′B′，再证明△ABC ≌△A′B′C′即可．【题目详解】已知：△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A'，∠ABC=∠A'B′C′，∠ABC 、∠A'B′C′的角平分线BD=B′D′，求证：△ABC ≌△A′B′C′．证明：∵∠ABC=∠A'B′C′且∠ABC 、∠A'B′C′的角平分线分别为BD 和B′D′，∴∠ABD=∠A′B′D′=12∠ABC ，∵在△ABD和△A′B′D′中''''''A AABD A B DBD B D∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△A′B′D′（AAS），∴AB=A′B′，在△ABC和△A′B′C′中''''''A AAB A BABC A B C∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）．【题目点拨】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．21、（1）见解析；（2）见解析；（3）是，见解析【分析】（1）由题意得出，需将点B与点C先向左平移3个单位，再向下平移1个单位，据此可得；（2）分别作出三顶点分别关于点D的对称点，再首尾顺次连接可得；（3）连接两组对应点即可得．【题目详解】（1）如图所示，△DEF即为所求．（2）如图所示，△A1B1C1即为所求；（3）如图所示，△DEF与△A1B1C1是关于点O成中心对称，故答案为：是．【题目点拨】本题主要考查了作图-旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．22、（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花．【分析】根据等量关系：工作时间=工作总量÷工作效率，根据关键句“（一）班修整66盆花所用的时间与（二）班修整60盆花所用时间相等”可列出方程；【题目详解】解：设（一）班每小时修整x 盆花， 则（二）班每小时修整x -2盆花，根据题意得： 66602x x =- 解得：x =22经检验：x =22是原分式方程的解.∴x -2=20答：（一）班同学每小时修整22盆花，（二）班同学每小时修整20盆花.【题目点拨】此题主要考查了分式方程的应用，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．23、（1）调查的初一学生人数200人；补图见解析；（2）中位数是4（天），众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有2700人．【分析】（1）由参加实践活动为2天的人数除以所占的百分比即可求出八年级学生总数，根据单位1减去其他的百分比求出a 的值，由学生总数乘以活动实践是5天与7天的百分比求出各自的人数，补全统计图即可；（2）出现次数最多的天数为4天，故众数为4；将实践活动的天数按照从小到大顺心排列，找出最中间的两个天数，求出平均数即可得到中位数；（3）求出活动时间不少于4天的百分比之和，乘以6000即可得到结果．【题目详解】解：（1）调查的初一学生人数：20÷10%＝200（人），“活动时间不少于5天”的人数为：200×（1-15%-10%-5%-15%-30%）=50（人），“活动时间不少于7天”的人数为：200×5%=10（人），补全统计图如下：（2）根据中位数的概念，中位数应是第100人的天数和101人的天数的平均数，即中位数是4（天），根据众数的概念，则众数是人数最多的天数，即众数是4（天）；（3）估计“活动时间不少于5天”的大约有：（200﹣20﹣30﹣60）÷200×6000＝2700（人）．【题目点拨】本题考查了频率分布直方图和扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．24、-x+y【分析】根据整式的混合运算法则计算即可．【题目详解】解：原式()22222[44335]2x xy y x xy xy y y x =++--+--÷ ()22222443352x xy y x xy xy y y x +=++--+-÷()22=22x x x y +-÷ x y =-+．【题目点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及乘法公式是解题关键．25、（1）推导见解析；（2）22a b +3=，33a b -=．【分析】（1）应用添项办法进行因式分解可得:33+a b 3223a a b a b b =+-+;（2）根据配方法和立方差公式可得.【题目详解】()1解:33+a b3223a a b a b b =+-+()()222a a b b a b =+--()()()2a a b b a b a b =+-+-()()22=+-+a b a ab b()2解：22a b +()22a b ab =+-()2121=-⨯-3= ()()22223215a b a ab b -=-+=-⨯-=a b >a b ∴-=33a b -()()22a b a ab b =-++()31=-=【题目点拨】考核知识点：因式分解应用.灵活运用因式分解方法转化问题是关键.26、11a +；12【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求出值． 【题目详解】解：原式＝21(1)(1)11(1)1a a a a a a a -++-⋅=-++， 当a ＝﹣1时，原式＝﹣12． 【题目点拨】 本题主要考查了分式的混合运算，灵活的利用通分、约分进行分式的化简是解题的关键.。