数学分析(2)期末试题
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数学分析（2）期末试题
课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．
A ．1(1)n
n ∞
=-∑ B ． 1
n n ∞
= C ．
2
1(1)n
n n
∞
=-∑ D ． 1
1(1)n
n n ∞
=+∑
2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在
它的间断点x 处 （ ）．
A ．收敛于()f x
B ．收敛于1
((0)(0))2
f x f x -++
C ． 发散
D ．可能收敛也可能发散
3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．
A ．有界
B ．连续
C ．单调
D ．存在原
函数
4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）
A ． 1x
B ．ln x x
C ． 21
x
- D ． x e
5、已知反常积分2
0 (0)1dx
k kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（ ）
A ． 2
π
B ．22π
C ． 2
D ． 24π
6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛，则（ ）
A ． x e <
B ．x e >
C ． x 为任意实数
D ． 1e x e -<<
二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）
1、已知幂级数1n n n a x ∞
=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ．
2、若数项级数1
n n u ∞
=∑的第n 个部分和21
n n
S n =
+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1
y x
=
与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1
()()b
x
x
a
e f e dx f x dx =⎰⎰，则a = ，b = ．
5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n
n n n ⎧
⎫
-=⎨⎬+⎩
⎭
的聚点为 ． 6、函数2
()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．
65
三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1、 (1)dx
x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．
3、 0
(0)dx a >⎰
． 4、 2 0
cos lim
sin x
x t dt x
→⎰．
5、dx ⎰．
四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）
1、讨论函数项级数2
1
sin n nx
n ∞
=∑
在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．
3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．
五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）
1、已知级数1
n n a ∞
=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛，且
, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，
证明：级数1
n n b ∞
=∑也收敛．
2、证明：
22 0
sin cos n
n x dx x dx π
π
=⎰⎰．
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试题参考答案与评分标准
课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D
二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）
⒈ 2 ⒉ 2
, =2(1)
n u S n n =
+ ⒊ ln 2
⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍ 201, (,)!
n
n x x n ∞
=∈-∞+∞∑
三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）
1. 解
111
(1)1x x x x
=-++
1
(1)dx x x ∴+⎰ （3分）
11()1dx x x =-+⎰
ln ln 1.x x C =-++ （3分）
2. 解 由分部积分公式得
2
31
ln ln 3x xdx xdx =
⎰⎰ 3311
ln ln 33x x x d x =-⎰ （3分） 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211
ln 33x x x dx =-⎰ 3311
ln 39
x x x C =-+ （3分） 3. 解 令sin , [0, ]2
x a t t π
=∈ 由定积分的换元积分公式，得
⎰
2
220
cos a
tdt π
=⎰
（3分）
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