数学分析(2)期末试题
2020-2021某大学《数学分析(二)》期末课程考试试卷B(含答案)

第1页 共2页2020-2021《数学分析(二)》期末课程考试试卷B适用专业: 考试日期:试卷所需时间120分钟 闭卷 试卷总分100分一、判断题:(对的打√,错的打×,每小题2分,共10分)1、平面上两曲线22y x =与4y x =-所围成图形的面积为18。
( )2、若()f x 在[,]a b 上连续,2()0bafx dx =⎰,则[,]x a b ∀∈,()0f x =。
( ) 3、级数11!n e n ∞==∑。
( ) 4、函数列{}nx 在(0,1)上收敛且一致收敛于0。
( )5、幂级数2(!)(2)!nn x n ∑的收敛区域为[4,4]-。
( ) 二、选择题:(共5小题,每小题2分,共10分)1、设()f t 在[1,1]-连续,则sin cos1()xdf t dt dx ⎰等于 ( ) (A) (sin )(cos1)f x f -;(B) (sin )cos f x x ; (C) (sin )f x ;(D) ()cos f x x 。
2、设1n n u ∞=∑是正项级数,那么下列命题正确的是: ( )(A) 若11n n u u +< ,则1n n u ∞=∑收敛; (B) 若lim 0n n u →∞=,则1n n u ∞=∑收敛; (C) 若21nn u∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛;(D) 若1nn u∞=∑的某一重排1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛。
3、二元函数222(,)yf x y x y=+在点(0,0)的重极限和累次极限分别为( ) (A) 均存在; (B) 存在,不存在; (C) 不存在,存在; (D) 均不存在。
4、下列等式中,正确的是 ( )(A); (B) ;(C) ; (D) 。
5、下列关于反常积分1sin p xdx x+∞⎰是条件收敛时正确的是( ) (A)2p ≤; (B)01p <≤;(C)1p >; (D) p 为任何实数均条件收敛。
《数学分析下册》期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案一、填空题(第1题每空2分,第2,3,4,5题每题5分,共26分)1、已知u =则u x∂=∂ ,u y ∂=∂ ,du = 。
2、设22L y a +=2:x ,则Lxdy ydx -=⎰ 。
3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ,:y=3sint.(02t π≤≤),则曲线积分ds ⎰22L(x +y )= 。
4、改变累次积分32dy f dx ⎰⎰3y (x ,y )的次序为 。
5、设1D x y +≤:,则1)Ddxdy ⎰⎰= 。
二、判断题(正确的打“O ”;错误的打“×”;每题3分,共15分) 1、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )连续,则函数f (x ,y )点p 00(x ,y )必存在一阶偏导数。
( )2、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y ) 可微,则函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )连续。
( )3、若函数f (x ,y )在点p 00(x ,y )存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ,则必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。
( ) 4、(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。
( ) 5、若函数f (x ,y )在有界闭区域D 上连续,则函数f (x ,y )在D 上可积。
( ) 三、计算题 ( 每小题9分,共45分)1、用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AOI e y y dx e y dy =-+-⎰ ,其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。
、计算三重积分22()Vx y dxdydz +⎰⎰⎰,是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。
、计算第一型曲面积分 SI dS =⎰⎰ ,其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部(z a ≥)。
西华师范大学数学分析大二期末试题(含答案)

西华师范大学数学分析(2)期末试题课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)1、下列级数中条件收敛的是().A .1(1)nn ∞=−∑B .nn ∞=C .21(1)nn n∞=−∑D .11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)−∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数,则f 的傅里叶(Fourier )级数在它的间断点x 处().A .收敛于()f xB .收敛于1((0)(0))2f x f x −++C .发散D .可能收敛也可能发散3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是().A .有界B .连续C .单调D .存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x ′=()A .1xB .ln x xC .21x −D .xe5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+∫收敛于1,则k =()A .2πB .22πC .2D .24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n nx x x x −−+−+−+⋯⋯收敛,则()A .x e<B .x e>C .x 为任意实数D .1e x e−<<二、填空题(每小题3分,3×6=18分)1、已知幂级数1nn n a x∞=∑在2x =处条件收敛,则它的收敛半径为.2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+,则其通项n u =,和S =.3、曲线1y x=与直线1x =,2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为.4、已知由定积分的换元积分法可得,10()()bxxaef e dx f x dx =∫∫,则a =,b =.5、数集(1)1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫−=⎨⎬+⎩⎭⋯的聚点为.6、函数2()x f x e =的麦克劳林(Maclaurin )展开式为.65三、计算题(每小题6分,6×5=30分)1、(1)dxx x +∫.2、2ln x x dx ∫.3、 0(0)dx a >∫.4、 2 0cos limsin xx t dt x→∫.5、dx ∫.四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上的一致收敛性.2、求幂级数1nn x n ∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数.3、设()f x x =,将f 在(,)ππ−上展为傅里叶(Fourier )级数.五、证明题(每小题6分,6×2=12分)1、已知级数1nn a∞=∑与1nn c∞=∑都收敛,且, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=⋯,证明:级数1nn b∞=∑也收敛.2、证明:22 00sin cos nn x dx x dx ππ=∫∫.66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析(Ⅱ)适用时间试卷类别1适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)⒈B⒉B⒊A⒋C⒌D⒍D二、填空题(每小题3分,3×6=18分)⒈2⒉2, =2(1)n u S n n =+⒊ln 2⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈−∞+∞∑三、计算题(每小题6分,6×5=30分)1.解111(1)1x x x x=−++∵1(1)dxx x ∴+∫(3分)11(1dxx x=−+∫ ln ln 1.x x C =−++(3分)2.解由分部积分公式得231ln ln 3x xdx xdx =∫∫3311ln ln 33x x x d x =−∫(3分)33111ln 33x x x dx x =−⋅∫3211ln 33x x x dx =−∫3311ln 39x x x C =−+(3分)3.解令sin , [0, ]2x a t t π=∈由定积分的换元积分公式,得0∫2220cos atdtπ=∫(3分)6768220(1cos 2)2a t dtπ=+∫221(sin 2)22a t t π=+2.4a π=(3分)4.解由洛必达(L 'Hospital)法则得200cos limsin xx tdtx →∫20cos x x →=4分)lim cos x x→=1=(2分)5.解=(2分)20 sin cos x x dxπ=−∫4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=−+−∫∫(2分)244(sin cos )(sin cos )x x x x πππ=+−+2.=−(2分)四、解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)1.解(, ), x n ∀∈−∞∞∀+(正整数)22sin nx n n ≤(3分)而级数211n n ∞=∑收敛,故由M 判别法知,21sin n nxn ∞=∑在区间(,)−∞+∞上一致收敛.(3分)2.解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径111lim nn R n→∞==,收敛区间为(1,1)−.(2分)易知1nn x n ∞=∑在1x =−处收敛,而在1x =发散,故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)−.(2分)01, (1, 1)1n n x x x ∞==∈−−∑(2分)逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈−−∑∫∫.即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==−−==∈−+∑∑(2分)3.解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的,故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
北京交通大学第二学期工科数学分析Ⅱ期末考试试卷及其答案

解此方程组,得
10.设函数 f ( x ) =
∫
0
x
sin t dt .⑴ 试将 f ( x ) 展成 x 的幂级数,并指出其收敛域.⑵ 若在上式中 t
令 x = 1 ,并利用其展开式的前三项近似计算积分 解: ⑴ 由于
∫
1
sin x dx ,试判断其误差是否超过 0.0001 ? x 0
( t 2 t 4 t 6 t 8 t 10 − 1) t 2 n −2 = 1− + − + − +"+ +" (2n − 1)! 3! 5! 7! 9! 11! 所以,在区间 [0, x ]上逐项积分,得
y x+ y ∫∫ e dxdy ,其中积分区域 D 是由直线 x = 0 , y = 0 及 x + y = 1 所围成的闭区 D
6.计算二重积分 域.
解: 作极坐标变换 x = r cos θ ,
y = r sin θ ,则有
rdr
∫∫ e
D
y x+ y
π
dxdy = ∫ dθ
0
2
1 cos θ + sin θ
Σ
(
)
(
)
= ∫∫∫ z + x + y dV
2 2 2
(
)
Ω
= ∫ dθ ∫ sin ϕdϕ ∫ ρ 4 dρ
0 0 0
−2
2π
π
2 a
2 = πa 5 5
8.求解微分方程 x y ′′ + xy ′ − 4 y = 2 x . 解:
2
这是 Euler 方程,令 x = e ,或 t = ln x ,原方程化为
华南理工大学数分(二)期末考卷

《数学分析(二)》试卷(A )一、 写出以下定义1、函数f(x)在[a,b]上可积;(5分)2、函数序列f n (x)在(0,1)上内闭一致收敛于f(x);(5分)二、求不定积分∫x 2+1x +1dx (5分)三、令I n =∫(sin x)n dx π0,求I n 与I n−2之间的递推公式。
(10分)四、 平面上的心脏线参数表达式为r (θ)=a (1+cos (θ)),(0≤θ≤2π),求该曲线所谓区域面积。
(10分)五、 旋轮线的参数表达式由x (t )=r (t −sin (t )),y (t )=r (1−cos (t )),(0≤t ≤2π)给出,把该曲线绕x 轴旋转一周,求所得旋转体体积。
(10分)六、 对不同的值a ,判断反常积分∫ln(1+x)x +∞0dx 的收敛性(条件收敛、绝对收敛)。
(10分)七、 令S =∑k 2+12∞k=11、判断该数项级数收敛性(条件收敛、绝对收敛);(10分)2、求幂级数∑n 2x n ∞k=1的收敛区域;(10分)3、求S 的值;(5分)八、周期函数f(x)={1,(x∈(2kπ,2kπ+π])−1,(x∈(2kπ−π,2kπ])1.求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)];(10分)2.求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x);(5分)3.判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x),并说明理由。
(5分)《数学分析(二)》试卷(B)一、写出以下定义1、函数序列f n(x)一致收敛于函数f(x);(5分)2、数列{a n}的上极限为A;(5分)二、求不定积分∫ln(x 2+1)xdx。
(10分)三、计算定积分∫x sin x1+(cos x)2dxπ。
(5分)四、求椭圆x 24+y2=1内部区域面积。
(10分)五、平面上的心脏线参数表达式为r(θ)=a(1+cos(θ)),(0≤θ≤2π),ba该曲线在x轴以上的部分绕x轴旋转一周,求所得旋转体的体积(5分)六、对反常积分∫[ln(x)]8x a dx+∞1,1、在a取不同的值时判断它的收敛性(条件收敛、绝对收敛);(10分)2、在a=2时计算该反常积分的值(5分)七、令S=1−12+13−14+⋯+(−1)n−11n+⋯=∑[∞n=1(−1)n−11n],1、判断该数项级数收敛性(条件收敛、绝对收敛);(10分)2、写出函数ln(1+x)及11+x在x=0处的幂级数展开,并判断收敛性;(10分)3、求S的值;(5分)八、定义在全部实数上的周期函数f(x)=x,x∈[2kπ−π,2kπ+π),1、求f(x)的傅里叶级数展开a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)];(10分)2、求部分和函数a02+∑[a k cos(kx)∞k=1+b k sin(kx)]的极限函数f̃(x);(5分)3、判断函数序列{f n(x)}是否一致收敛于f̃(x),并说明理由。
数学分析(2)期末试题集(填空题)

一、不定积分问题1.设x x ln 为()x f 的一个原函数,则积分()='⎰2e e dx x f x 1212--ee .解: 由原函数概念可得()2ln 1ln x x x x x f -='⎪⎭⎫ ⎝⎛=,因此()()221,0e e f e f -==,于是积分()()()121ln 122222--=--=-='⎰⎰e e xxdx x f x xf dx x f x e ee eee e e. 2. 已知()x f 的一个原函数为x x sin ,设0≠a ,则=⎪⎭⎫⎝⎛⎰dx a x f C a x x a +⎪⎭⎫ ⎝⎛sin 2 .解C a x x a C a x a x a a x d a x f a dx a x f +⎪⎭⎫⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰sin sin 2.3. 已知21x x f =⎪⎭⎫⎝⎛',则()=x f C x+-1. 4. 已知()x f '的一个原函数为2sin x ,常数0≠a ,则()=+'⎰dx b ax f ()()C b ax ab ax +++2cos 2. 5. 设()0,1ln >+='x x x f ,则()=x f C e x x++ .6.⎰=dx x arctan()C x x x +-+arctan 1(注:用分部积分法⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+--=x d x x x dx x 111arctan arctan ) 7.⎰=+-+dx x x x 13652()C x x x +-++-23arctan 4136ln 212(注: ()()⎰⎰⎰+-++-+-=+-+43826262113652222x dxx x x x d dx x x x ) 8.()=+⎰dx x e x 221tan C x e x+tan 2 (注: 原式()⎰+=dx x x e x tan 2sec 22) 9.=+⎰dx x x xln ln 1C x x x +++-+++1ln 11ln 1lnln 12 (注: 令t x =+ln 1,原式C t t t dt t t ++-=-=⎰11ln 21222)10.()=-⎰dx x x21ln C x xx x +-+-1ln 1ln (注: 原式()⎰---=x x dx x x 11ln ) 11.()=+⎰--dx e xe x x21()C e ex xx++-+-1ln 1 (注: 原式()()⎰⎰⎰++-+=+-+=+=-----x xx x x x ee d e x e dx e x exd 1111111) 12. =⎰dx x x2sin sin ln C x x x x +---cot sin ln cot (注: 原式()⎰-=x xd cot sin ln )13.()=-⎰dx x x xln 1ln 1C x +ln arcsin 214. ()=++⎰dx xe x x x11C xe xe x x ++1ln(注: 原式()()()()()⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+=++=du u u u u du xe x e xe d dx xe x e x e x x x x x x 1111111) 15*()=+⎰dx xx 1ln ()C x x x x +-++arctan 41ln 2(注: 原式()⎰⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+=+-+=+-+=+=x x d dx x x x x xd x x dx x x x x x d x 141ln 21221ln 2121ln 21ln 2 16. ()=+⎰46x x dxC x x ++4ln 24166 (注: 原式⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=dx x x x 414165) 17.=⎰dx xx cos tan C x+-cos 218.=+⎰dx x csc 1C x +sin arcsin 219. =-⎰xdx x x arcsin 12()C x x x x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---3arcsin 131323220. 设()34f x dx xx C '=-+⎰,则()f x = 22x x C -+ .21.32sin cos x xdx =⎰4611sin sin 46x x C -+ . 22. 设()ln 1f x x '=+,则()f x xx e C ++ .23. 设()31xf x e '-=,则()f x ()1133x eC ++ .24. 若()21x f x dx x C =+++⎰,则()f x 2l n 21x + .25. 设()()()()()()11,F x f x g x f x f x f x =-=+,若()()2F x g x '=⎡⎤⎣⎦,且14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭,则()f x tan x . 26.214dx x =+⎰ 1a r c t a n 22xC + . 27. 设0a ≠,则()100ax b dx +=⎰()1011101ax b C a++ . 28. 设()ln 1f x x '=+,则()f x xe x C ++ . 29. 设0b ≠,则2xdx a bx =+⎰ 21ln 2a bx C b++ . 30.2xxde -=⎰ 2212x x xe e C --++ . 31. ()f x 的一个原函数为1x ,则()f x '= 32x.32.(211x dx -=⎰8 .33. 若函数()f x 是(),-∞+∞上的连续函数,且()()210x x f t dt x +=⎰,则()2f =15. (注:()()210x x f t dt x +=⎰两边对x 求导,得()()221231f x x x x ⎡⎤+⋅+=⎣⎦,令1x =,得()251f ⋅=,所以()125f =)34.若()x f 的原函数为x ln ,则()='⎰dx x f x ln x C -+ 。
数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、选择题(每题2分,共20分)1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是:A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质?A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是:A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式(展开到x^2项)是:A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的?A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)(n≥2)是:A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是:A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是:A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是:A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数?A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题(每题2分,共10分)11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值,则f'(2)=_________。
12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值,则b=_________。
13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。
数学分析(二)期末试题

《数学分析(二)》期末试题一、选择题(共20分) 1、dxx dxd b a⎰2sin =( ) A 、22sin sinab - B 、22cos cos ab - C 、2sinxD 、02、下列积分中不是非正常积分的是( ) A 、 dx x⎰+∞+0211 B 、dxx⎰-1211 C 、dx x⎰-42211 D 、dxx ⎰-22)1(13、若任意的),(b a x ∈,有0)0(,0)(>''>'f x f 则)(x f 在),(b a 内是( ) A 、单调增加的凸函数 B 、单调减少的凹函数 C 、单调减少的凸函数 D 、单调增加的凹函数4、cx dx x f x+='⎰2ln2)(ln 1且1)0(=f ,则=)(x f ( )A 、122+xB 、x 2ln 2C 、22xD 、c x +2ln 25.下列级数中条件收敛的是() A 、∑!sin n x B 、1)1(+-∑n n nC 、∑+-]11)1[(nnnD 、nn2sin)1(∑-6、曲线1)1(3--=x y 的拐点是( )A 、)0,2(B 、)1,1(-C 、)2,0(-D 、无拐点 7、若级数∑∞=+0)1(n nu 收敛,则=∞→n n u lim ()。
A 、1B 、-1C 、0D 、不存在。
8、设)(x f 为连续函数,则dtt f dxd xx⎰2)(=( )A 、)()(22x f x xf-B 、)(22x xf C 、)(x f D 、)()21(x f x -9、若1n n μ∞=∑收敛,1nn k k S μ==∑,则下列命题中正确的是( )。
A 、lim 0nn S →∞=B 、lim n n S →∞存在C 、lim n n S →∞不存在 D 、}{n S 单调 10、13n nn xn ∞=⋅∑的收敛半径为( )A 、0B 、1C 、3D 、13二、填空题(共20分) 1、=⎰-xdx x arccos117( )2、23sin limxx t dt x→=⎰( )3、=--⎰dx x x)cos 312(2( )曲线)10(,2≤≤=x x y 绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积是( ) 5、dxxx p⎰+∞1sin 条件收敛,那么p 的取值范围为( )6、设13--=ax x y 在1=x 处存在极值,则=a ( )7、函数)1()1()(>-+=p x xx f pp在]1,0[上的最大值为( )8、曲线2y x=和2y x=所围城的平面图形的面积为( ) 9.级数()111n n n ∞=+∑的和为( )。
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数学分析(2)期末试题
课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1
适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、单项选择题(每小题3分,3×6=18分)
1、 下列级数中条件收敛的是( ).
A .1(1)n
n ∞
=-∑ B .1
n n ∞
=C .
2
1(1)n
n n
∞
=-∑ D .11(1)n
n n ∞
=+∑
2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶(Fourier )级数在
它的间断点x 处 ( ).
A .收敛于()f x
B .收敛于1
((0)(0))2
f x f x -++
C . 发散
D .可能收敛也可能发散
3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是( ).
A .有界
B .连续
C .单调
D .存在原
函数
4、设()f x 的一个原函数为ln x ,则()f x '=( )
A . 1x
B .ln x x
C . 21
x
- D . x e
5、已知反常积分2
0 (0)1dx
k kx +∞>+⎰收敛于1,则k =( )
A . 2
π
B .22π
C . 2
D . 24π
6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛,则( )
A . x e <
B .x e >
C . x 为任意实数
D . 1e x e -<<
二、填空题(每小题3分,3×6=18分)
1、已知幂级数1n n n a x ∞
=∑在2x =处条件收敛,则它的收敛半径为.
2、若数项级数1
n n u ∞=∑的第n 个部分和21
n n
S n =
+,则其通项n u =,和S =. 3、曲线1
y x
=
与直线1x =,2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为. 4、已知由定积分的换元积分法可得,1
()()b
x
x
a
e f e dx f x dx =⎰⎰,则a =,b =.
5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n
n n n ⎧
⎫
-=⎨⎬+⎩
⎭
的聚点为. 6、函数2
()x f x e =的麦克劳林(Maclaurin )展开式为.
65
三、计算题(每小题6分,6×5=30分)
1、 (1)dx
x x +⎰. 2、2ln x x dx ⎰.
3、 0
(0)dx a >⎰
. 4、 2 0
cos lim
sin x
x t dt x
→⎰.
5、dx ⎰.
四、解答题(第1小题6分,第2、3 小题各8分,共22分)
1、讨论函数项级数2
1
sin n nx
n ∞
=∑
在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性. 2、求幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数.
3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶(Fourier )级数.
五、证明题(每小题6分,6×2=12分)
1、已知级数1
n n a ∞
=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛,且
, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=,
证明:级数1
n n b ∞
=∑也收敛.
2、证明:
22 0
sin cos n
n x dx x dx π
π
=⎰⎰.
66
试题参考答案与评分标准
课程名称 数学分析(Ⅱ)
适 用 时 间
试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业
一、 单项选择题(每小题3分,3×6=18分)
⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D
二、 填空题(每小题3分,3×6=18分)
⒈2⒉2
, =2(1)
n u S n n =
+⒊ln 2
⒋1, a b e ==⒌1±⒍201, (,)!
n
n x x n ∞
=∈-∞+∞∑
三、 计算题(每小题6分,6×5=30分)
1. 解
111
(1)1x x x x
=-++
1
(1)dx x x ∴+⎰(3分)
11()1dx x x =-+⎰
ln ln 1.x x C =-++(3分)
2. 解 由分部积分公式得
2
31
ln ln 3x xdx xdx =
⎰⎰ 3311
ln ln 33x x x d x =-⎰(3分) 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211
ln 33x x x dx =-⎰ 3311
ln 39
x x x C =-+(3分) 3. 解 令sin , [0, ]2
x a t t π
=∈ 由定积分的换元积分公式,得
⎰
2
220
cos a
tdt π
=⎰
(3分)
67
68
220
(1cos 2)2
a t dt π
=+⎰
2
20
1
(sin 2)22
a t t π=+
2
.4
a π=
(3分)
4. 解 由洛必达(L 'Hospital)法则得
20
cos lim
sin x
x tdt
x
→⎰
20cos lim cos x x x →=(4分) 0
limcos x x →=
1=(2分)
5. 解
=(2分)
20
sin cos x xdx π
=-⎰
420
4
(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx π
π
π=-+-⎰⎰(2分)
2
40
4
(sin cos )
(sin cos )
x x x x ππ
π=+-+
2.=(2分)
四、 解答题(第1小题6分,第2、3小题各8分,共22分)
1. 解 (, ), x n ∀∈-∞∞∀+(正整数)
22
sin 1
nx n n ≤(3分) 而级数211
n n ∞
=∑收敛,故由M 判别法知,
2
1
sin n nx
n ∞
=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛.(3分)
2. 解 幂级数1n
n x n
∞
=∑的收敛半径1R =
=,
收敛区间为(1,1)-.(2分)
易知1n n x n ∞
=∑在1x =-处收敛,而在1x =发散,
故1n
n x n
∞
=∑的收敛域为[1,1)-.(2分) 0
1
, (1, 1)1n n x x x ∞
==∈--∑(2分) 逐项求积分可得
0001, (1,1)1x
x n
n dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰. 即101ln(1), (1,1).1n n
n n x x x x n n
+∞
∞
==--==∈-+∑∑(2分) 3. 解 函数f 及其周期延拓后的图形如下
函数f 显然是按段光滑的,
故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数。
(2分)
由于()f x 在(,)ππ-为奇函数, 故 0, 0, 1, 2, n a n ==…, 而
1
sin 11
cos cos n b x nxdx
x nx nxdx
n n π
ππ
ππ
πππ
π-
-
=
=-+
-⎰⎰
1(1)2
n n
+-⋅=(4分)
所以在区间(,)ππ-上,
11
sin ()2(1).n n nx
f x x n ∞
+===-∑(2分)
69
70
五、 证明题(每小题5分,5×2=10分)
1. 证明 由1
n n a ∞
=∑与1
n n c ∞
=∑都收敛知,
级数
1
()n
n n c
a ∞
=-∑也收敛。
(1分)
又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=,
可知, 0, 1,2,3,
n n n n b a c a n ≤-≤-=
从而由正项级数的比较判别法知
1
()n
n n b
a ∞
=-∑收敛,(2分)
于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+=
知级数1
n
n b
∞
=∑收敛.(2分)
2. 证明 令2
x t π
=
-,则2
t x π
=
-.(1分)
由定积分的换元积分公式,得
202
sin sin ()2n n xdx t dt π
ππ
=-⎰⎰-(2分) 2200sin ()cos 2
n
n t dt tdt π
π
π
=-=⎰⎰ 20
cos n xdx π
=⎰(2分)。