数学分析期末考试题

数学分析期末考试题
一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，
共20分）
1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数
2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a a
a dx x f dx x f 0
)(2)( B 0)(=⎰-a
a dx x f
C
⎰⎰
-=-a
a
a
dx x f dx x f 0
)(2)( D )(2)(a f dx x f a
a
=⎰-
3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A
⎰
1
1dx x
B
⎰
∞
+1
1dx x
C
⎰
+∞
sin xdx D
⎰-1
131dx x
4、级数
∑∞
=1
n n
a
收敛是
∑∞
=1
n n
a
部分和有界且0lim =∞
→n n a 的（ ）
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A
∑∞
=1n n
a
和
∑∞
=1
n n
b
收敛，
∑∞
=1
n n
n b
a 也收敛 B
∑∞
=1
n n
a
和
∑∞
=1
n n
b
发散，
∑∞
=+1
)(n n n
b a
发散
C
∑∞
=1n n
a
收敛和
∑∞
=1
n n
b
发散，
∑∞
=+1
)(n n n
b a
发散 D ∑∞=1
n n a 收敛和∑∞
=1
n n b 发散，
∑∞
=1
n n
n b
a 发散
6、
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）
A
)()('1'x a x a
n n
=∑∞
= B a （x ）可导
C
⎰∑⎰
=∞
=b
a
n b
a
n dx x a dx x a )()(1
D
∑∞
=1
)(n n
x a
一致收敛，则a （x ）必连续
7、下列命题正确的是（ ）
A
)(1x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛
B
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛
C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ]必绝对收敛
D
)(1
x a
n n
∑∞
=在[a ，b ] 条件收敛必收敛
8、
∑∞
=++-0
121
21
)1(n n n
x n 的和函数为 A x
e B x sin C )1ln(x + D x cos
9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}
0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导
二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、
⎰
=9
1
4)(dx x f ，求⎰+2
2)12(dx x xf
2、计算
⎰
∞
++0
2
221
dx x
x 3、计算∑∞
=1
1n n
x n 的和函数并求∑∞
=-1)1(n n n
4、设023
=+-y xz z ，求
)
1,1,1(x
z ∂∂
5、求2
220
lim y x y
x y x +→→
三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）
1、 讨论⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+-=)
0,0(),(0)0,0(),(),(2
222y x y x y x y x xy
y x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数
2、 讨论
∑∞
=+-2
21
sin 2)
1(n n n n n
x
的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）
1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，
),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f b
a
n n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0
2、设y
x e z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂y
z y x z x 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰
⎰=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，
并求⎰+π
2
cos 1sin dx x
x
x
参考答案
一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、
⎰⎰
++=
+202
22
2)12()12(2
1)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰
==
+9
1
2
22)(21)12(du u f dx x xf （3分） 2、
⎰
∞
++0
2221
dx x
x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞
=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111
，
)(x f =)1ln(11
0x dt t x
-=-⎰（2分）
，令1-=x ，得2ln )1(1
=-∑∞
=n n n 4、解：两边对x 求导02232
=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=
（2分）2
)
1,1,1(=∂∂x z
（1分）
5、解：x y
x y
x ≤+≤||0222（5分）0lim 22
20
0=+→→y x y x y x （1分） 由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）
三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=0
00)(4),(22222
222
224y x y x y x y y x x y
y x f x （2分）
⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠++--=0
00)(4),(22222
222
224y x y x y x y y x x x
y x f y (4分）
1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y z
x x y
1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆x
f x f y x z
y y x （6分）
2、解：由于x n
x n n n n n 221
sin 2|sin 2)
1(|lim =-+∞
→（3分）
，即1sin 22
<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）
所以原级数发散（2分）
四、证明题（每小题10分，共20分）
1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，
（3分）从而)(|)(|)(1
2a x M dt t f x f x
a
-≤≤⎰一般来说，
若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1
∞→--≤
-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）
⎰⎰⎰
=+++=+a
a T
a T
dt t f T t d T t f t T x dx x f 0
)()()()(（2）（4分）
将式（2）代入（1）得证（2分）
2、 y e x z y x 1=∂∂，2y
x e y z
y x -=∂∂，
（7分）则012=-=∂∂+∂∂y x ye y xe y z y x z x y x
y x （3分） 3、 证明：令t x -=π
⎰⎰⎰
⎰-=---=π
ππ
π
πππ0
)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7
分）
8cos 1sin 2cos 1sin 2
020
2ππππ
=+=+⎰⎰
dx x x dx x
x x （3分）。