数学分析下册》期末考试卷及参考答案

数学分析下册期末模拟试卷及参考答案

一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分）

1、已

知u =则u x

∂=∂ ，u y ∂=∂ ，du = 。

2、设22L y a +=2：x ，则L

xdy ydx -=⎰ 。

3、设L ⎧⎨⎩x=3cost ，：y=3sint.（02t π≤≤），则曲线积分ds ⎰22L

（x +y ）= 。 4、改变累次积分3

2dy f dx ⎰⎰3

y （x ，y ）的次序为 。 5、设1D x y +≤：

，则1)D

dxdy ⎰⎰= 。

二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分）

1、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ）连续，则函数f （x ，y ）点p 00（x ，y ）必存在一阶偏导数。 ( )

2、若函数f （x ，y ）在点p 00（x ，y ） 可微，则函数f （x ，y ）

在点p 00（x ，y ）连续。 ( )

3、若函数f （x ，y ）

在点p 00（x ，y ）存在二阶偏导数00(,)xy f x y 和00(,)yx f x y ，则 必有 0000(,)(,)xy yx f x y f x y =。

( ) 4、

(,)(,)(,)(,)L A B L B A f x y dx f x y dx =⎰⎰。

( ) 5、若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则函数f （x ，y ）

在D 上可积。( ) 三、计算题 （ 每小题9分，共45分）

1、用格林公式计算曲线积分 (sin 3)(cos 3)x x AO

I e y y dx e y dy =-+-⎰ ，

其中AO 为由(,0)A a 到(0,0)O 经过圆22x y ax +=上半部分的路线。

、计算三重积分

22()V x y dxdydz +⎰⎰⎰， 是由抛物面22z x y =+与平面4z =围成的立体。 、计算第一型曲面积分

S I dS =⎰⎰ ， 其中S 是球面2222x y z R ++=上被平面(0)z a a R =<<所截下的顶部（z a ≥）。 4、计算第二型曲面积分 22()()S I y x z dydz x dzdx y xz dxdy =-+++⎰⎰， 其中S 是立方体[][][]0,0,0,V b b b =⨯⨯的外表面。 5、设{}222(,)D x y x y R =+≤. 求以圆域D 为底，以曲面22()x y z e -+=为顶的曲顶柱体的体积。 四、证明题(每小题7分，共14分) 1、验证曲线积分 222(2)(2)(2)L x yz dx y xz dy z xy dz -+-+-⎰， 与路线无关，并求被积表达式的一个原函数(,,)u x y z 。 2、证明：若函数f （x ，y ）在有界闭区域D 上连续，则存在(,),D ξη∈ 使得 (,)(,)D D f x y d f S σξη=⋅⎰⎰ ，这里D S 是区域D 的面积。 参考答案 一、填空题（第1题每空2分，第2，3，4，5题每题5分，共26分） 1、22x x y +；22y x y +；2222x y dx dy x y x y +++。 2、22a π； 3、54π ； 4、322(,)X dx f x y dy ⎰⎰ ；5

、1)。 二、判断题（正确的打“O ”;错误的打“×”；每题3分，共15分） 1、×； 2、○； 3、×； 4、× ； 5、○ . 三、计算题 （ 每小题9分，共45分） 1、解：补上线段:0,0OA y x a =≤≤ 与弧22:(0)AO x y ax y +=≥构成封闭曲线，由格林公式，有 ----------------------------------------------------------------------------------------------6分 =220:(0)cos (cos 3)0a x x D x y ax y e y e y dxdy dx +≤≥⎡⎤---⎣⎦⎰⎰⎰-----------------------------8分 =2338D dxdy a π=⎰⎰--------------------------------------------------------------------9分

2、解：作柱面坐标变换：cos ,sin ,x r y r z z θθ===，

则(,,)J r z r θ= 且

2:4,02,02V V r z r θπ'⇒≤≤≤≤≤≤---------------------------------------------4分

3

、解：22S Z R a =∈≤-22：x ，y ）D ：x +y .

S D I dS ∴==⎰⎰--------------------------4分

作极坐标变换：cos x r θθ=，y=rsin ， 则 J θ（r ，）=r ，

且0D D r θπ'⇒≤≤≤≤：：02

=200d π⎰-----------------------------------7分

2R π=（R-a ）

----------------------------------------------9分 4、解：用高斯公式，得

I dxdydz

=⎰⎰⎰V

（y+0+x ）------------------------------------6分 =dx dy dz ⎰⎰⎰b b b 000

（x+y ）----------------------------------8分 =4b --------------------------------------------------9分

5、解：曲顶柱体的体积22x y D V e

dxdy -+=⎰⎰（）-----------------4分

作极坐标变换：cos sin x r y r θθ==，，则 J θ（r ，）=r ， 且 002D D r R θπ'⇒≤≤≤≤：， ，于是，有

=2

200R

r d e rdr πθ-⎰⎰--------------------------------------8分

=π2

-R （1-e ）-----------------------------------------------9分 四、证明题(每小题7分，共14分)

1、证明：222222P x yz Q y xz R z xy =-=-=-，，

222P Q R Q P R z x y y x y z z x

∂∂∂∂∂∂==-=-==-∂∂∂∂∂∂，，，∈3（x ，y ，z ）R .