数学分析 期末考试试卷
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中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷(A 卷)
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一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分)
1、设 82lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→x
x a x a x , 则 =a 。
2、设函数)
2(1
)(--=x x e x f x ,则函数的第一类间断点是 ,第二类间断点
是 。
3、设)1ln(2
x x y ++=,则=dy 。
4、设)(x f 是连续函数,且dt t f x x f )(2)(1
0⎰+=,则=)(x f 。
5、xdx arctan 1
⎰= 。
二、单项选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分)
1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞
→n n n y x ,则下列断言正确的是( )。
(A )若n x 发散,则n y 必发散。 (B )若n x 无界,则n y 必无界。 (C )若n x 有界,则n y 必为无穷小。 (D )若n
x 1
为无穷小,则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(,则)0(f '为( )。
(A ) 1。 (B )不存在。 (C ) 0。 (D ) -1。 3、若),()
()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(,-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ,则
)(x f 在),0(+∞内有( )。
(A )0)(,0)(<''>'x f x f 。 (B )0)(,0)(>''>'x f x f 。 (C )0)(,0)(<''<'x f x f 。 (D )0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数,且⎰
-=dt t f x F x e x
)()(,则)(x F '等于( )
。 (A )()
)(x f e f e x x ----。 (B )()
)(x f e f e x x +---。
(C ) ()
)(x f e f e x x --- 。 (D )()
)(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+
=在3
π
=x 处取得极值,则( )
。 (A ))3(,1πf a =是极小值。 (B ))3
(,1π
f a =是极大值。
(C ))3(,2πf a =是极小值。 (D ))3
(,2π
f a =是极大值。
三、计算题(本题共7个小题,每小题6分,满分42分) 1、求 )
1ln(sin 1tan 1lim 3
x x
x x ++-+→
2、设4lim 221=-++→x
x b
ax x x ,求 b a 、。
3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=t
t y t x arctan )1ln(2 所确定,求 22dx y
d dx dy 、。
4、设)(x f 在0=x 处的导数连续,求dx
x df x )
(sin lim 20+→ 。
5、求不定积分 dx x
x
x ⎰3
cos sin 。
6、求定积分dx x ⎰cos 4
。
7、设⎩⎨⎧≥<=-0
sin )(2
2x xe
x x
x f x , 求 ⎰-dx x f )2(31 。
四、证明下列不等式(本题10分) 1、
)2,0(,
sin 2π
π
∈< ; 2、2sin 12 π π <<⎰dx x x 。 五、(本题10分) 设 0 0)()(=≠⎪⎩⎪ ⎨⎧-=-x x x e x g x f x ,其中)(x g 具有二阶连续导数,且1)0(,1)0(-='=g g 。 (1)求)(x f '; (2)讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。 六、(本题8分) 设函数)(x f 在[]b a ,上可导,证明:存在)(b a ,∈ξ,使得 [])()()()(22 2 ξξf a b a f b f '-=-。 (8分)