数学分析期末考试试卷

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数学分析_I_试题(1)doc - 扬州大学

姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
《数学分析 1》期末考试试卷（试卷编号： 01）
（闭卷 120 分钟）
题号一二三四五六七八总分复核
应得分 20 20 20 20 5
5
5
5
实得分
阅卷人
一.判断题（每小题 2 分,共 20 分）
1．设 A，B 为非空数集， S = A ∪ B ，则 sup S = max{sup A,sup B}
F(x) = f (x) 在 (0, +∞) 递增.（5 分）
x
八．若函数 f 在闭区间[a,b]上连续，则 f 在[a,b] 上有最大最小值.（5 分）
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姓名
线
学号
班
扬州大学 20 —20 学年度第学期
5．若
f(x)无界，则存在 { xn }
⊂
D(
f
) ，使得
lim
n→+∞
f
(xn )
=
∞
1
6． lim (1+ x)x = e x→+∞
7．若
lim(
n→∞
xn
−
yn
)
=
0
，
则
lim
n→∞
xn
=
lim
n→∞
yn
8．若
f
′
+
(
x0
),
f−′(x0 )
均存在，则
f
′( x0 )
存在
9． f (x) = x −[x] 是周期为 1 的周期函数

数学分析试题及答案

数学分析试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1在x=1处的导数是（）。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B2. 极限lim(x→0) (sin x)/x的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 1C. 4D. 8答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是（）。

A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+6的导数是________。

答案：3x^2+4x-52. 函数f(x)=ln(x)的原函数是________。

答案：xln(x)-x3. 函数f(x)=e^x的不定积分是________。

答案：e^x+C4. 函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的值是________。

答案：-1三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。

然后检查二阶导数f''(x)=6x-12，发现f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点；f''(11/3)=2>0，所以x=11/3是极小值点。

2. 求极限lim(x→∞) (x^2+3x+2)/(x^3-4x+1)。

答案：分子和分母同时除以x^3，得到lim(x→∞)(1+3/x+2/x^2)/(1-4/x^2+1/x^3)，当x趋向于无穷大时，极限为1。

3. 求定积分∫(0,2) (2x-1) dx。

答案：首先求不定积分∫(2x-1) dx = x^2 - x + C，然后计算定积分∫(0,2) (2x-1) dx = (2^2 - 2) - (0^2 - 0) = 4 - 2 = 2。

数学分析期末考试题真题含答案

数学分析期末考试题真题含答案一、填空题（每小题2分，共10分）.________dx x)lnx (f ,)(.12=+=⎰⎰则若c x dx x f .________)x (F ,)(.21cos 2='=⎰-则若dt ex F x t=+-⎰-dx x x x )cos 21(.3112 . .______.41013时收敛满足条件当广义积分p xdxp ⎰-._______u lim )u 12u 1.51nn=+-∞→∞=∑n n n 收敛，则（若二、单选题（每小题2分，共10分）的一个原函数是则的导函数是若)(,cos )(.1x f x x f （）（A ）x sin 1+; （B ）x sin 1-; （C ）x cos 1+; （D ）x cos 1-. 2.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是)(x f 在],[b a 上（）（A ）连续 ; （B ）有界; （C ）无间断点; (D)有原函数.3.下列反常积分收敛的是( ) (A)⎰∞+321dx x ; (B) ⎰∞+3ln dx x x ; (C) ⎰∞+3sin dx xx ; (D) ⎰∞+3ln 1dx x . 4.下列级数收敛的是( )(A)∑∞=11n ne ; (B))11ln(1∑∞=+n n ; (C) ∑∞=2ln 1n n ; (D) )1)1((21n n n n --∑∞=.5.)1ln()(x x f +=的幂级数展开式为（）（A ）]1,1(3232-∈•••+++x x x x ; （B ）]1,1(3232-∈•••-+-x x x x ; （C ）)1,1[3232-∈•••----x x x x ; （D ）)1,1[3232-∈•••+-+-x x x x . 三、计算题（每小题8分，共48分）;cos 1sin .1dx xx x ⎰++N);n (xdx tan I .2n n ∈=⎰的递推表达式求不定积分0);(,31x .3a >=-⎰∞+a x x d 求设π4.求函数项级数∑∞=1n xnx 的收敛域;5.求幂级数∑∞=+0)12(n n x n 的和函数；.x 9)(.62的幂级数展开成将函数x xx f +=四、讨论与应用题（每小题8分，共16分）1.求由轴y x y ,12-=与23x y =所围成的平面图形的面积,并求此图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积..)1cos1()1(.211的敛散性讨论级数pn n n ∑∞=--- 五、证明题（每小题8分，共16分）（从以下三题可任选两道题做）1.设)(x f 在[0,1] 连续,试证⎰⎰=πππ00)(sin )2/()(sin dx x f dx x xf .2.设函数序列)}({x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)(x f ,且)(x g 在区间],[b a 上有界,证明: 函数序列)}()({x g x f n 在区间],[b a 上一致收敛于)()(x g x f .3.证明若∑∞=12n nx收敛,则∑∞=-11n n nx 发散. 答案一．1.c x +2ln ; 2. x e x sin cos 2-; 3. 1sin 4; 4.32<p ; 5. 1.二．１．D ２．B ３．A ４．D ５．B. 三．１．解：原式dx xdx x x⎰⎰+=2tan 2cos 22 (2分)dx xdx x xd ⎰⎰+=2tan )2(tan （5分）Cx x dx x dx x x x +=+-=⎰⎰2tan 2tan 2tan 2tan . （8分）2．解：dx x x I n n )1(sec tan 22-=⎰- (2分)⎰---=21)(tan tan n n I x xd （4分）),4,3,2(tan 1121 =--=--n I x n n n . （6分）其中.cos ln ,10C x I C x I+-=+= （8分）3．解：令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=，当+∞→a x :时，+∞→-1:a t (2分)故原式⎰∞+-+=1212a dt t （4分）31arctan 2arctan 21ππ=--==∞+-a t a . （6分）从而，4=a （8分）４．解：由∑∑∞=∞==111n x n x n x n x. （2分）知，当1>x时, ∑∞=11n x n收敛,因此∑∞=1n xnx 也收敛；（4分）当1≤x时,∑∞=11n x n 发散,因此∑∞=1n xnx 也发散(0≠x )；（6分）当0=x 时,原级数收敛；故原幂级数的收敛域为0=x 及),1(+∞. （8分）5．解：.)12(lim x x n n n n =+∞→;,1x 级数收敛时当<;)12n (,1x 0n 发散原级数化为时当∑∞=+=;)12n ()1(,1x 0n n 发散原级数化为时当∑∞=+--=故原幂级数的收敛域为)1,1(+-. （4分）)1x 1()x 1(x 1x 11)x 1(2x x 11)x 1x (2x x 11)x 2x(x 11)dx nx (2x x 2nx x )12n ()x (s 221n n 1n x 01-n 0n nn n 0n n <<--+=-+-=-+'-=-+'=-+'=+=+=∑∑⎰∑∑∑∞=∞=∞=∞=∞=令 . （8分）6．解：nn n x x x x x f 202)3()1(91)3(191)(∑∞=-=+= （4分）)1(21203)1(++∞=∑-=n n n nx （6分）).3,3(,9)1(121--=-∞=∑nn n nx （8分）五．１．解：1>联立可解得与由223x y x 1y =-= 1/2x =故所求图形的面积为31)34(]3)1[(2/1032/1022=-=--=⎰x x dx x x S （4分）2>所求旋转体的体积为dx x dx x V 222/102/1022)3()1(⎰⎰--=ππ （5分）ππ12031)5832(2/1053=--=x x x . （8分）２．解．2pp n n 121~n 1cos1u -=由于.,n 121,21p 2p1n 故原级数绝对收敛收敛时当∑∞=> （4分） .,n 121)1(,n 121,21p 2p1n 1n 2p 1n 故条件收敛莱布尼茨交错级数条件满足而级数发散时当∑∑∞=-∞=-≤ 故原级数在21p ≤时条件收敛. （8分）六．１．证明：则令,x t -=π （2分）⎰⎰-=πππ00)sin ()t ()sin (x dt t f dx x f （4分）⎰⎰-=πππ00xf(sinx)dx )sin (dx x f （6分） ⎰⎰=πππ00)sin ()2/()sin (x dx x f dx x f 故. （8分）２．证明：因为)(x g 在闭区间],[b a 上有界.不放设],[,)(b a x M x g ∈∀≤ （2分）又函数序列)}({x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛，故对0)(,0>∃>∀εεN 当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有Mx f x f n ε<-)()( （6分）于是当N n >时，对],[b a x ∈∀，都有ε<-)()()()(x g x f x g x f n 函数序列)}()({x g x f n 在闭区间],[b a 上一致收敛)()(x g x f . （8分）3．证明：由于)1(2122n x n x n n +≤ （4分），又因为∑∑∑∞=∞=∞=+=+12122121)1(n n n n n nx n x 收敛，故∑∞=12n nn x 收敛，从而，∑∞=1n n n x 绝对收敛. （6分）.,11故原级数发散发散而∑∞=n n（8分）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知)(x f 为x 2sin 的原函数，且21)0(=f ，则⎰=dx x f )( 。

数学分析期末考试试题

数学分析期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,3]上的最大值是：A. 0B. 2C. 4D. 62. 以下哪个选项不是闭区间[a, b]上连续函数的性质？A. 有界性B. 保号性C. 介值性D. 可微性3. 函数f(x)=sin(x)在x=0处的导数是：A. 0B. 1C. -1D. 24. 函数f(x)=x^3+2x^2-3x+1在x=-1处的泰勒展开式（展开到x^2项）是：A. -1+2x-x^2B. 1-2x+x^2C. -1+2x+x^2D. 1+2x-x^25. 以下哪个级数是发散的？A. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...B. 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ...C. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...D. 1 - 1/2^2 + 1/3^2 - 1/4^2 + ...6. 函数f(x)=x^2在x=1处的高阶导数f^(n)(x)（n≥2）是：A. 0B. 1C. 2D. 47. 函数f(x)=e^x的原函数是：A. e^x + CB. ln(x) + CC. sin(e^x) + CD. cos(e^x) + C8. 函数f(x)=x^2在[0,1]上的定积分是：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2/39. 函数f(x)=|x|在x=0处的导数是：A. 1B. -1C. 0D. 不存在10. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x)=x^2B. f(x)=e^xC. f(x)=sin(x)D. f(x)=ln(x)二、填空题（每题2分，共10分）11. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在x=2处取得极小值，则f'(2)=_________。

12. 若函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在x=-1处取得最大值，则b=_________。

13. 函数f(x)=ln(x)的原函数是_________。

《数学分析》(期末考试)试卷

浙江师范大学《数学分析》（期末考试）试卷（2004-2005学年第一学期）考试类别：考试使用学生：初阳学院数学专业03级考试时间：150分钟出卷时间2005年1月2日说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。

一、（15%）选择题（每小题3分，共15分）1、设32()3f x x x x =+，则()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0 (B)1 (C)2 (D)32、函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)03、设(0)0f =，则f()x 在0x =可导的充要条件为(A)201lim (1cos )h f h h →-存在. (B)01lim(1)h h f e h→-存在. (C)201lim (1sin )h f h h→-存在.(D)[]01lim (2)()h f h f h h→-存在4、设2()d f x x x C =+⎰，则2(1)d xf x x -=⎰（）.(A )222(1)x C --+(B)222(1)x C -+(C)221(1)2x C --+(D)221(1)2x C -+ 5、双纽线22222()x y x y +=-所围成的平面区域面积可用定积分表示为(A)π402cos 2d θθ⎰ (B )π404c o s 2d θθ⎰(C)2θ⎰(D )π2401(c o s 2)d2θθ⎰ 二、（24%）填空题（每小题3分，共24分）1、已知曲线的极坐标方程为e r θ=，若在直角坐标系中，yk x b =+是该曲线在参数为π2θ=的点处的切线方程，则k = ① ，b = ② .2、设 (ln )2f x x '=-，则 ()f x = ③ .3、设曲线()nf x x = 在点()1,1处的切线与y 轴的交点为n t ，则lim ()n n f t →∞= ④4、设1()1f x '=-，则011lim(2)()x xf x x f x x →=--- ⑤ .5、x =⎰⑥ .6、设21,0(),0xx x f x e x -⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则30(2)f x dx -=⎰ ⑦ .7、函数1()(2x f x u =-⎰（0x >）的单调下降区间为 ⑧ . 三、（21%）计算题（每小题7分，共21分）1、求10lim(sin 2cos )xx x x →+2、求12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、求d sin 22sin xx x +⎰四、（40%）证明题（每小题8分，共40分）1、设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)可导，且21()d (0)f x x f =⎰证明存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '=2、设f ()0x ''<，f(0)0=，证明对任何10x >，20x >，有1212()()()f x x f x f x +≤+3、设lim 5n n a →∞=，试用定义证明12lim5nn a a a n→∞+++=4、设()f x 在[0,π]上连续，π()d 0f x x =⎰，π0()cos d 0f x x x =⎰，则在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==5、设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1)内的任一点，证明()22bf c a '≤+。

数学分析期末试题A答案doc

数学分析期末试题A答案doc2024年数学分析期末试题A及答案一、选择题1、以下哪个函数在 x = 0 处连续？ A. $f(x) = x^2$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = sin x$ D. $f(x) = e^x$ 答案：D解析：在 x = 0 处，只有选项 D 中的函数 e^x 是连续的。

因此，答案为 D。

2、设 $f(x) = x^2$，则 $f(3x - 2) =$ __________。

A. $x^2$ B. $(3x - 2)^2$ C. $(3x - 2)^3$ D. $(3x - 2)^2 + 1$ 答案：B解析：将 $x$ 替换为 $3x - 2$，得 $f(3x - 2) = (3x - 2)^2$。

因此，答案为 B。

3、下列等式中，错误的是： A. $\int_{0}^{1}x^2dx =\frac{1}{3}x^3|{0}^{1}$ B. $\int{0}^{\pi}\sin xdx = \cosx|{0}^{\pi}$ C. $\int{0}^{2\pi}\sin xdx = 0$ D.$\int_{0}^{1}(2x + 1)dx = (x^2 + x)|_{0}^{1}$ 答案：A解析：等式两边取极限，只有 A 选项等式两边不相等，因此 A 选项是错误的。

4、下列哪个导数是常数函数？ A. $y = x^3$ B. $y = \sin x$ C. $y = e^x$ D. $y = log_a(x)$ 答案：C解析：常数函数的导数为零。

在选项中，只有 C 中的函数 e^x 的导数为常数函数，其导数为 $e^x$。

因此，答案为 C。

高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试试题及答案doc高一生物期末考试是一次重要的学业水平测试，旨在考察学生在本学期学习生物课程的效果。

以下是本次考试的部分试题及其答案，供大家参考。

一、选择题1、下列哪一种生物不是由细胞构成的？ A. 细菌 B. 植物 C. 动物D. 病毒答案：D2、哪一个器官属于消化系统？ A. 口腔 B. 食道 C. 胃 D. 大肠答案：C3、在光合作用中，哪一个物质是植物从空气中吸收的？ A. 氧气 B. 二氧化碳 C. 葡萄糖 D. 水答案：B二、填空题1、病毒是一种生物，但它不能 _______ 和保持生命活动，必须_______ 在细胞内。

数学分析期末考试题.doc

数学分析期末考试题一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、函数)(x f 在 [a,b ] 上可积，那么（） A )(x f 在[a,b ]上有界 B )(x f 在[a,b ]上连续C )(x f 在[a,b ]上单调D )(x f 在[a,b ]上只有一个间断点 2、函数)(x f 在 [a,b ] 上连续，则在[a,b ]上有（）A )()(x f dx x f dx d b a =⎰B )()(x f dt t f dx d x a =⎰C )()(x f dt t f dx d b x -=⎰D )()(x f dt t f dxd b x =⎰ 3、在[a ，+∞]上恒有)()(x g x f ≥，则（） A ⎰+∞a dx x f )(收敛⎰+∞adx x g )(也收敛 B ⎰+∞adx x g )(发散⎰+∞adx x f )(也发散C⎰+∞adx x f )(和⎰+∞adx x g )(同敛散 D 无法判断4、级数∑∞=1n na收敛是（）对p =1,2…，0)(lim 21=++++++∞→p n n n n a a aA 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、若级数∑∞=+111n n α收敛，则必有（）A 0≤αB 0≥αC 0<αD 0>α 6、)()(1x ax f n n∑∞==在[a ，b ]一致收敛，且a n (x )可导（n =1,2…），那么（）A f （x ）在[a ，b ]可导，且∑∞==1'')()(n nx ax fB f （x ）在[a ，b ]可导，但)('x f 不一定等于∑∞=1')(n nx aC∑∞=1')(n nx a点点收敛，但不一定一致收敛D∑∞=1')(n nx a不一定点点收敛7、下列命题正确的是（） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛D 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛8、∑∞=--1)11()1(n n nx n 的收敛域为（） A (-1,1) B (-1,1] C [-1,1] D [-1,1） 9、下列命题正确的是（）A 重极限存在，累次极限也存在并相等B 累次极限存在，重极限也存在但不一定相等C 重极限不存在，累次极限也不存在D 重极限存在，累次极限也可能不存在10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（）A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在D 以上全不对二、计算题：（每小题6分，共30分）1、)0(21lim1>++++∞→p n n p pp p n 2、计算由曲线2x y =和2y x =围成的面积 3、求极限)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→4、已知),(yx x f z =，求yzx z ∂∂∂∂, 5、计算nn n n x n ∑∞=--112)1(的收敛半径和收敛域三、讨论判断题（每小题10分，共30分）1、讨论dx x x qp p⎰∞++--01|1|的敛散性 2、判断∑∞=--+122)11(n n n 的敛散性3、判断∑∞=+-121sin )1(n n n nx的一致收敛性四、证明题（每小题10分，共20分）1、设f (x )是以T 为周期的函数，且在[0，T ]上可积，证明⎰⎰=+TTa adx x f dx x f 0)()(2、设级数∑∞=10n n n x α收敛，则当0αα>时，级数∑∞=1n nn x α也收敛参考答案一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D 二、1、由于px 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分）=++++∞→121lim p p p p n n n 11)21(1lim 10+==++⎰∞→p dx x n n n n n pp p p p p p n （4分） 2、、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分）所求的面积为：31)(12=-⎰dx x x （4分） 3、解：由于x1sin 有界，01sin lim )0,0(),(=→x y y x （2分）)1sin 11(lim 2222)0,0(),(x y y x y x y x +-+++→=)11)(11()11)((lim22222222)0,0(),(+++-++++++→y x y x y x y x y x （3分）=111lim22)0,0(),(+++→y x y x =2（1分）4、解：xz∂∂=y f f 121+（3分）y z ∂∂=22y x f -（3分）5、解：212)1(lim 1=--∞→n nn n n ，r =2（3分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、因为被积函数可能在x =0和x =1处无界，所以将其分为dx x x q p p ⎰∞++--01|1|=dx x x p q p ⎰-+-101|1|1+dx x x q p p⎰∞++--11|1|（2分）考虑奇点x =0应要求p-1<1；奇点x =1应要求p+q<1；（4分）当+∞→x 时，由于1211~)1(1-++--q p q p p xx x ，知2p+q -1>1时积分收敛（2分）所以反常积分满足p <2且2(1-p)<q<1-p 收敛，其余发散（2分） 2、解：由于nn n n n 1~112112222-++=--+（6分），又∑∞=11n n 发散（2分）所以原级数发散（2分）3、解：2211sin )1(n n nx n ≤+-（6分），由weierstrass 判别法原级数一致收敛性（4分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：⎰⎰⎰⎰++++=Ta TT aTa adx x f dx x f dx x f dx x f )()()()(00（1）（4分）⎰⎰⎰=+++=+aaTa Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、证明：∑∑∞=-∞==11)1)((00n n n n n nx n x αααα（4分）01αα-n 单调下降有界（3分）由Abel 定理知原级数收敛（3分）。

数学分析期末试题

数学分析2期末试题课程名称数学分析Ⅱ 适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题每小题3分;3×6＝18分1、下列级数中条件收敛的是．A ．1(1)nn ∞=-∑ B ． 1n n ∞= C ． 21(1)n n n∞=-∑ D ． 11(1)nn n ∞=+∑2、若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数; 则f 的傅里叶Fourier 级数在它的间断点x 处．A ．收敛于()f xB ．收敛于1((0)(0))2f x f x -++C ．发散D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是．A ．有界B ．连续C ．单调D ．存在原函数4、设()f x 的一个原函数为ln x ;则()f x '=A ． 1xB ．ln x xC ． 21x- D ． x e5、已知反常积分20 (0)1dxk kx +∞>+⎰收敛于1;则k =A ． 2πB ．22πC ． 2D ． 24π6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+收敛;则A ． x e <B ．x e >C ． x 为任意实数D ． 1e x e -<< 二、填空题每小题3分;3×6＝18分1、已知幂级数1n n n a x ∞=∑在2x =处条件收敛;则它的收敛半径为．2、若数项级数1n n u ∞=∑的第n 个部分和21n nS n =+;则其通项n u = ;和S = ． 3、曲线1y x=与直线1x =;2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为． 4、已知由定积分的换元积分法可得;1()()bx x ae f e dx f x dx =⎰⎰;则a = ;b = ．5、数集(1) 1, 2 , 3, 1nn n n ⎧⎫-=⎨⎬+⎩⎭的聚点为． 6、函数2()x f x e =的麦克劳林Maclaurin 展开式为．65三、计算题每小题6分;6×5＝30分1、 (1)dxx x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．3、 0(0)dx a >⎰． 4、 2 0cos limsin xx t dt x→⎰．5、dx ⎰．四、解答题第1小题6分;第2、3 小题各8分;共22分1、讨论函数项级数21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性．2、求幂级数1nn x n∞=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．3、设()f x x =; 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶Fourier 级数．五、证明题每小题6分;6×2＝12分1、已知级数1n n a ∞=∑与1n n c ∞=∑都收敛;且证明：级数1n n b ∞=∑也收敛．2、证明：22 0sin cos nn x dx x dx ππ=⎰⎰．66试题参考答案与评分标准课程名称数学分析Ⅱ 适用时间试卷类别 1 适用专业、年级、班应用、信息专业一、单项选择题每小题3分;3×6＝18分⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D 二、填空题每小题3分;3×6＝18分⒈ 2 ⒉ 2, =2(1)n u S n n =+ ⒊ ln 2⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍201, (,)!nn x x n ∞=∈-∞+∞∑ 三、计算题每小题6分;6×5＝30分1. 解1(1)dx x x ∴+⎰3分ln ln 1.x x C =-++3分2. 解由分部积分公式得3311ln ln 33x x x d x =-⎰ 3分 3311ln 39x x x C =-+ 3分 3. 解令sin , [0, ]2x a t t π=∈ 由定积分的换元积分公式;得2220cos atdt π=⎰3分67682.4a π=3分4. 解由洛必达L ＇Hospital 法则得20cos lim cos x x x→= 4分 1= 2分5. 解= 2分4204(cos sin ) (sin cos )x x dx x x dx πππ=-+-⎰⎰ 2分2.= 2分四、解答题第1小题6分;第2、3小题各8分;共22分1. 解 (, ), x n ∀∈-∞∞∀+正整数22sin 1nx n n ≤ 3分而级数211n n ∞=∑收敛;故由M 判别法知;21sin n nxn ∞=∑在区间(,)-∞+∞上一致收敛． 3分2. 解幂级数1nn x n∞=∑的收敛半径1R ==;收敛区间为(1,1)-． 2分易知1nn x n ∞=∑在1x =-处收敛;而在1x =发散;故1nn x n∞=∑的收敛域为[1,1)-． 2分1, (1, 1)1n n x x x ∞==∈--∑ 2分逐项求积分可得0001, (1,1)1xx nn dt t dt x t ∞==∈--∑⎰⎰．即101ln(1), (1,1).1n nn n x x x x n n+∞∞==--==∈-+∑∑ 2分 3. 解函数f 及其周期延拓后的图形如下函数f 显然是按段光滑的;故由收敛性定理知它可以展开为Fourier 级数.. 2分由于()f x 在(,)ππ-为奇函数; 故 0, 0, 1, 2, n a n ==…，而1(1)2n n+-⋅= 4分所以在区间(,)ππ-上;11sin ()2(1).n n nxf x x n ∞+===-∑ 2分6970五、证明题每小题5分;5×2＝10分1. 证明由1n n a ∞=∑与1n n c ∞=∑都收敛知;级数1()nn n ca ∞=-∑也收敛.. 1分又由 , 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=，可知; 0, 1,2,3,n n n n b a c a n ≤-≤-=从而由正项级数的比较判别法知1()nn n ba ∞=-∑收敛; 2分于是由 (), 1,2,3,n n n n b b a a n =-+=知级数1nn b∞=∑收敛． 2分2. 证明令2x t π=-;则2t x π=-. 1分由定积分的换元积分公式;得202sin sin ()2n n xdx t dt πππ=-⎰⎰－ 2分 20cos n xdx π=⎰ 2分。

数学系第三学期数学分析期末考试题

第三学期《数学分析》期末考试题一、叙述题（每小题10分，共20分） 1．叙述第一类曲面积分的概念。

2．叙述Stokes 公式的内容。

二、讨论题（每小题15分，共30分） 1．讨论函数在任意有界闭区域D 上的可积性。

2．试确定函数的连续范围。

三、计算题（每小题10分，共30分）1．设四边形各边长为定值（分别为d c b a ,,,），求其最大面积，并且指出此时四边形的几何特性。

2．求球面2222R z y x =++在圆柱Rx y x ±=+22外那部分曲面S 的面积。

3、求曲面积分)0,(,:,22>=+=++=⎰⎰R h R y z h z S xydzdx zxdydz yzdxdy I S由及三个坐标面所围的第一卦限部分的外侧. 四、证明题（每小题10分，共20分） 1．若1）积分⎰+∞adx x f )(收敛，2）函数),(y x ϕ有界，并且关于x 是单调的，则积分⎰+∞adx y x x f ),()(ϕ一致收敛。

2．设有半径为R 的球面，其球冠的高为h ，证明球冠的面积Rh S π2=球冠.数学分析试题答案一叙述题（每小题10分，共30分）1．设曲面Ω为有界光滑（或分片光滑）曲面，函数),,(z y x f z =在Ω上有界。

将曲面Ω用一个光滑曲线网分成n 片小曲面n ∆Ω∆Ω∆Ω,...,,21，并记i σ∆为i ∆Ω的面积。

在每片i ∆Ω上任取一点),,(i i i ζηξ，作和式i ni iiif σζηξ∆∑=1),,(。

如果当所有的小曲面i ∆Ω的最大直径为λ趋于零时，这个和式的极限存在，且与小曲面的分法和点),,(i i i ζηξ的取法无关，则称此极限值为),,(z y x f z =在曲面Ω上的第一类曲面积分，记为 i ni iiif dS z y x f I σζηξλ∆==∑⎰⎰=Ω→1),,(lim ),,(。

2．设∑是光滑曲面，其边界∑∂为分段光滑闭曲线。

《数学分析》Ⅰ期末考试试题

《数学分析》Ⅰ期末考试试题
学号姓名
一、叙述题
1、叙述数列{}n x 的Cauchy 准则；
2、写出函数)(x f 在点0x 带 Lagrange 型余项的Taglor 公式；
3、叙述函数)(x f y =的一阶微分形式的不变性；
二、计算题
4、求函数[]1 . 0 2 1
)(∈==x n x x f n ）、、（Λ的上确界[]
)(sup 1.0x f x ∈ ； 5、求极限4202cos lim x e
x x x -→- ；
6、求不定积分⎰+dx x )1ln(2 ；
7、设=)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≤0 ,
010 , x 1cos x 2-1sin 222x x x x π 求)(x f 在[]1,0上的一个原函数；
三、讨论举例题
8、举出最大、最小值均不存在，但上、下确界均存在的数集的例子；
9、指出函数[]x
x x f 1sin )(=的不连续点，并确定其不连续点的类型；
四、证明题
10、用“N -ε”定义验证3
22312lim 22=+-∞→n n n ； 11、设0)(0'φx f +，0)(0'πx f -，证明0x 是)(x f 的极小值点；
12、证明2)(x x f =在[) , 0∞+上内闭一致连续（即在[) , 0∞+中的任何
闭子区间上一致连续）。

《数学分析1》期末考试试卷1

《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、设A B ，为非空数集，{}S A B inf min infA infB =，则S=，.2、若0lim ()x x f x →存在，0lim ()x x g x →不存在，则0lim[()()]x x f x g x →±不存在3、若()f x 无上界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=+∞4、lim ()x af x A →=⇔存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n n x a f x A →∞→=且5、若lim n n x A →∞=，lim n n y →∞不存在，lim n n n x y →∞存在，则0A =6、11(1)1)(12)n n e n n n ⎧⎫++<=⎨⎬⎩⎭递增，且（， 7、()()f x g x ，在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =也不可导 8、00()()f x f x +-''，均存在，则()f x 在0x x →连续9、若0()0f x '<，则存在0δ>，使得()f x 在00()x x δδ-+，内递减 10、()f x 在0x x =不可导，则0x 不是()f x 的极值点二.求极限（每题5分，共20分）1、4tan()4lim cot 2x x x ππ→- 2、101lim()1x x x x →+- 3、1ln lim (arctan )2xx x π→+∞-4、tan 24lim(tan )xx x π→三. 计算（每题5分，共20分）1、用导数定义求1(ln )x x e x ='2、2(arcsin )y x dy =，求3、ln((0)y x a =>，，求'y 4、求2()(sin )n x四. 证明（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x x f x a →=>.证明：n =2、lim n n x a →∞=，lim()0n n n y x →∞-=，证明lim n n y a →∞=.3、证明：()f x =[)1∞，+内一致收敛4、求证: 3tan 23x x x x π∈>-（0，）时，. 五.确定[)()0f x x =∈∞，+的单调区间. （5分）六. ()()f x g x ，在[,]a b 上连续，()()f a g a <,()()f b g b >.求证:存在(,)a b ξ∈，使 ()()f g ξξ= （5分）七. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,求证：(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)f f f f ξξξξ''-=- （5分）八. 求证:23()xf x x e -=在区间(,)-∞+∞内有界. （5分）。

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中央财经大学2014—2015学年数学分析期末模拟考试试卷（A 卷）
姓名：学号：学院专业：联系方式：
一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）
1、设 82lim =⎪⎭
⎫
⎝⎛-+∞→x
x a x a x ，则 =a 。

2、设函数)
2(1
)(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是，第二类间断点
是。

3、设)1ln(2
x x y ++=，则=dy 。

4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1
0⎰+=，则=)(x f 。

5、xdx arctan 1
⎰= 。

二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分）
1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞
→n n n y x ，则下列断言正确的是（）。

（A ）若n x 发散，则n y 必发散。

（B ）若n x 无界，则n y 必无界。

（C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。

（D ）若n
x 1
为无穷小，则n y 必为无穷小。

2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（）。

（A ） 1。

（B ）不存在。

（C ） 0。

（D ） -1。

3、若),()
()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则
)(x f 在),0(+∞内有（）。

（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。

（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。

（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。

（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。

4、设)(x f 是连续函数，且⎰
-=dt t f x F x e x
)()(，则)(x F '等于（）。

（A ）()
)(x f e f e x x ----。

（B ）()
)(x f e f e x x +---。

（C ） ()
)(x f e f e x x --- 。

（D ）()
)(x f e f e x x +--。

5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+
=在3
π
=x 处取得极值，则（）。

（A ）)3(,1πf a =是极小值。

（B ）)3
(,1π
f a =是极大值。

（C ）)3(,2πf a =是极小值。

（D ）)3
(,2π
f a =是极大值。

三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 )
1ln(sin 1tan 1lim 3
x x
x x ++-+→
2、设4lim 221=-++→x
x b
ax x x ，求 b a 、。

3、设)(x y y =由参数方程 ⎩⎨⎧+=+=t
t y t x arctan )1ln(2 所确定，求 22dx y
d dx dy 、。

4、设)(x f 在0=x 处的导数连续，求dx
x df x )
(sin lim 20+→ 。

5、求不定积分 dx x
x
x ⎰3
cos sin 。

6、求定积分dx x ⎰cos 4。

7、设⎩⎨⎧≥<=-0
sin )(2
2x xe
x x
x f x ，求 ⎰-dx x f )2(31 。

四、证明下列不等式（本题10分） 1、
)2,0(,
sin 2π
π
∈<<x x x x
； 2、2sin 12
π
π
<<⎰dx x x 。

五、（本题10分）
设 0
0)()(=≠⎪⎩⎪
⎨⎧-=-x x x
e x g x
f x
，其中)(x g 具有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g 。

（1）求)(x f '；（2）讨论)(x f '在),(+∞-∞上的连续性。

六、（本题8分）
设函数)(x f 在[]b a ，上可导，证明：存在)(b a ，∈ξ，使得 [])()()()(22
2
ξξf a b a f b f '-=-。

(8分)。