上海财经大学 数学分析 测试题 (大一)

《数学分析》考试题
一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：
1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,∀ n>N 时有≤n a ≤n b n c ，
（ ）
A. {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛；
B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散；
C. {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界；
D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；
2、=)(x f ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>+=<,0 ,2.( ,0 ,0,
,sin x x k x k x x kx 为常数）
函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）
A.左连续；
B. 右连续
C. 连续
D. 不连续 3、''f （0x ）在点00=x 必 （ ）
A. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 02020 ；
B. '
000)()(lim ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; C. '000)()(lim ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆+→∆x x f x x f x ; D. x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。

则 （ ）
A. ∈∃ξ（b a ,），使0)('=ξf ；
B. ∈∃ξ（b a ,），使0)('≠ξf ;
C. ∈∀x （b a ,），使0)('≠x f ；
D.当)(b f >)(a f 时，对∈∀x （b a ,），有)('x f >0 ；
5、设在区间Ⅰ上有⎰+=c x F dx x f )()(， ⎰+=c x G dx x g )()(。

则在Ⅰ上有
（ ）
A. ⎰=)()()()(x G x F dx x g x f ；
B. c x G x F dx x g x f +=⎰)()()()( ；
C. ⎰+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ；
D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+⎰)()()]()()()([ ；
二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：
6、121323lim -+∞→⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+x x x x ＝ ； 7、)sgn(cos )(x x f =。

)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ；
8、)(x f ＝x 2sin , =)6()11(π
f ； 9、 函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减,)()(x xe f x F =，)(x F 的单调递减区间为 ；
10、=+⎰dx x f x f x f )
(1)()(2' ； 三、（满分36分，每小题6分）计算题：
11、⎪⎭⎫ ⎝
⎛-→x x x 220sin 11lim ; 12、把函数2
x
x e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ; 13、dx e arctg e x x ⎰-+11 ；
14、x e x f =)(2,计算积分dx x x f ⎰
)( ； 15、⎰+--dx x x x 2
332 ； 16、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;
四、（满分7分）验证题：
17、有“N -ε”定义验证数列极限3
225332lim 220=--+→n n n h ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题：
18、设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续；
19、设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'≠x f ，试证明：y ∆～0)(x x x df =，其中)()(00x f x x f y -∆+=∆ ；
20、设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：
)()(2)()(lim ''20a f h
a f h a f h a f h =--++→ ； 21、试证明：0<x <2
π时，有不等式 x sin >πx 2 .。