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2020考研数一真题答案及详细解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
2020考研数学(一)答案解析
π
1
2
π
E ( XY ) E ( X sin X )2π
x sin x
dx
02x sin xdx
π
π
2
2
π
2
π
π
02xd cos x
x cos x|0202cos xdx
π
π
2
sin x|
π
2
.
02
π
π
9
故 cov( X , Y )2π0π2.
三、解答题
（15）（本题满分10分）
f ( x) 0.
x
x
综上，
f ( x )d x
f ( x ) af ( x)
lim
f
( x ) af ( x )
f (0) af (0)
am n.
0
0
x
2f
12.f(x,y)0xyext2dt，则
．
x y
(1,1)
（12）【答案】4e.
【解析】因为
2f
2f
，又
f
ex xy2xxex3y2,
x y
y x
x , y0,0x2y2
x , y0,0
x2y2
（4） 设R为幂级数anxn的收敛半径，r是实数，则
（
）
n1
（A）anrn发散时，
r
R.
n 1
（B）anrn发散时，
r
R.
n 1
（C）
r
R时，anrn发散.
n 1
（D）
r
R时，anrn发散.
n 1
（4）【答案】（A）.
【解析】若anrn发散，则
北京大学2020年数学分析试题及解答
注 这里的结论为裴礼文的《数学分析中的典型问题与方法》第二版第 168 页定理 4, 若想更为熟悉这方面的内 容, 可以翻阅该书. 解决这题的方法是想下连续函数的情形怎么证明, 做一个类比即可.
2. 记
∆(f, n, m)
=
f
(( n
+
)) 1
π 2
−
f
(( n
+
) 1
π 2
+
) 1 m
= =
( n
)
⩽
F
( ∑∑ni=ni=1 1x∫i x∫xixi− xii1−1ff(t()t)ddt t )
⩽
∑n
i=1
F (xi) F (1)
∫ xi
xi−1
f (t)
dt.
又因为 F (x) 在 [0, 1] 上一致连续, 故 ∀ ε > 0, ∃N > 0, 当 n > N 时, |F (xi) − F (xi−1)| < ε, 此时
,
记
M
= maxx0⩽x⩽2x0 |f (x)| ,
则
( ([ ] { })) ( ({ } )) ( ([ ] ))
x
x
f (x) = f x0
+
x0
x0
⩽f
x
x0 ([
x]0
+1 )
+ f x0
x −1
x0
⩽M+
x x0
−1
f
(x0)
⩽
M
+
x
− x0 x0
f
(x0),
再结合
limx→+∞
M x
2020考研高数(一)真题及答案解析
2020全国硕士研究生入学统一考试数学一试题详解一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）当0x +→时，下列无穷小量中最高阶是（ ）（A ）()21xt e dt -⎰（B ）(0ln 1xdt +⎰（C ）sin 20sin xt dt ⎰（D ）1cos 0-⎰【答案】（D ）【解析】由于选项都是变限积分，所以导数的无穷小量的阶数比较与函数的比较是相同的。
（A ）()()222011x t x e dt e x '-=-~⎰（B ）(()(0ln 1ln 1x dt x'+=⎰（C ）()()sin 2220sin sin sin xt dt x x '=⎰（D ）()1cos 3012xx x-'=⎰经比较，选（D ）（2）设函数()f x 在区间()1,1-内有定义，且()0lim 0,x f x →=则（ ）（A ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。
（B ）当0x →=时，()f x 在0x =处可导。
（C ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=。
（D ）当()f x 在0x =处可导时，0x →=【答案】（C ）【解析】当()f x 在0x =处可导，且()0lim 0x f x →=，则有()00f =，0()lim 0x f x x→=（()f x为x 的高阶无穷小量），所以00x →=，选（C ）。
（3）设函数(),f x y 在点()0,0处可微，()0,00,00,,,1f f f n x y （）⎛⎫∂∂==- ⎪∂∂⎝⎭，非零向量n与α垂直，则（ ） （A ）()(,0,0lim0x y →存在（B ）()(,0,0lim0x y →=存在（C ）()(,0,0lim0x y →存在（D ）()(,0,0lim0x y →存在【答案】（A ） 【解析】由题意可知，(,)(,)limlimx y x y →→(,)limx y →=由于函数(),f x y 在点()0,0处可微，所以(,)lim0x y →，选（A ）。
考研高等代数真题答案
考研高等代数真题答案一、选择题1. 根据线性空间的定义，下列哪个选项不是线性空间的子空间？- A. 所有零向量组成的集合- B. 线性空间中的非零向量集合- C. 线性空间中的任意向量集合- D. 线性空间中满足特定线性组合的向量集合答案：B2. 矩阵A的特征值是λ1, λ2, ..., λn，矩阵B的特征值是μ1,μ2, ..., μn。
若AB=BA，那么矩阵A+B的特征值是什么？- A. λ1+μ1, λ2+μ2, ..., λn+μn- B. λ1*μ1, λ2*μ2, ..., λn*μn- C. λ1+μ1, λ1+μ2, ..., λn+μn（无规律）- D. 不能确定答案：A二、填空题1. 若线性变换T: V → W，其中V和W是有限维向量空间，且dim(V) = n，dim(T(V)) = r，则T的核的维数是_________。
答案：n-r2. 设A是一个3×3的矩阵，且|A| = 2，矩阵A的特征多项式为f(λ)= (λ-1)^2(λ-3)，则矩阵A的迹是_________。
答案：4三、解答题1. 证明：若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A*的行列式等于|A|^(n-1)，其中n是A的阶数。
证明：设矩阵A是一个n×n的可逆矩阵，其伴随矩阵记为A*。
根据伴随矩阵的定义，我们有：A * A* = |A| * I，其中I是单位矩阵。
两边同时乘以A的逆矩阵A^(-1)，得到：A^(-1) * A * A* = |A| * A^(-1) * I，即 A* = |A|^(n-1) * A^(-1)。
由此可知，A*的行列式是|A|^(n-1)。
2. 解线性方程组：x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z = 27x + 8y + 9z = 3解：首先写出增广矩阵：[1 2 3 | 1][4 5 6 | 2][7 8 9 | 3]通过初等行变换，将增广矩阵化为行最简形式：[1 0 -1 | -1][0 1 3 | 4][0 0 0 | 0]根据行最简形式，我们可以得到y = 4 - 3z，x = 1 + z。
2020考研数一真题答案及详细解析
一、选择题(1)【答案】D【解析】（方法一）利用结论：若f(x)和g(x)在x=O某邻域内连续，且当x-o时，f位）～g(x)'则J勹(t)dt �r g(t)dt.(A)『(/-l)dt� 『t 2dt =气3(B)『ln(l +万）dt �rt 令dt=气5(C) f"工s int 2dt �厂r t 2dt�f c 2d t =丘。
3(D)J :-co sx /忒臣了d t -I -c os rt i d t �I :''l令d t=岊（占）寺x故应选CD).（方法二）设J(x)和<p (x)在x =O某邻域内连续，且当x-0时，f(x)和<p (x)分别是x 的m阶和n阶无穷小，则『(,-)J(t)dt 是x -0时的n(m+ 1)阶无穷小．。
CA)r C / -1) d t , m = 2 , n = 1 , 则n(m+ 1) = 3. 。
ln(l + #)dt,m =立，n= 1, 则n(m+l)=立。
2 2.CC)厂sint 2dt, m =2, n =1 , 则n(m+ 1)=3.。
1一cos,·3叫产t,m=一，n= 2, 则n(m+l)=5.。
2故应选(D).(2)【答案】C【解析】（方法一）直接法若f(x)在x=O处可导，则f(x)在x=O处连续，且f(O)=lim f(x) = 0.工-o故应选(C).f(x) -f(O) = limf(x)j'(O) = Jim;-0X—r•OXf(x)f(x) lim=lim ——•X =j'(0)• 0 = 0工-o,/了.,·-oX�（方法二）排除法取f (x)= {X3, X # 0，则l im f位）=o ,且1,X= 0J-0 x 3f(x ) x 3lim·f(x)=lim _。
J了工-o�= O ,lim 一=lim —=22 工-oXr--0 X但f(x)在x=O处不可导，因为f(x)在X = 0处不连续，则排除选项(A),CB).若取f(x)= x , 则lim f(x)= 0, 且f(x)在x =O处可导，但J-0• 5 •叫排除CD )'故应选CC).(3)【答案】A2 ,·-·OX.r-0 X.r -•O X【解析】利用函数z = .I 一位，y)在(x 。
2020年考研(数学二)真题试卷(题后含答案及解析)
2020年考研（数学二）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．当x→0+时，下列无穷小量中最高阶是A．(et2-1)dt．B．ln(1+)dt．C．sin t2dt．D．正确答案：D解析：x→0+时，A ∴(et2-1)dt是x的3阶无穷小．B∴是x的5/2导阶无穷小，C=sin(sin2x)·cos x～x2∴sint2dt是x的3阶无穷小．D∴是x的5阶无穷小．故应选D．2．函数f(x)=的第二类间断点的个数为A．1．B．2．C．3．D．4．正确答案：C解析：间断点为：x=-1，x=0，x=1，x=2因此x=0是f(x)的第一类可去间断点；所以x=1是f(x)的第二类间断点；同理由知x=2也是f(x)的第二类间断点．故应选C．3．dx=A．π2/4．B．π2/8．C．π/4．D．π/8．正确答案：A解析：所以x=0是可去间断点；x=1是无穷间断点．故是广义积分今：t=，则x=t2，dx=2t·dt故选A．4．已知函数f(x)=x2ln(1-x)．当n≥3时，f（n）(0)=A．-n!/(n-2)．B．n!/(n-2)．C．-(n-2)!/n．D．(n-2)!/n．正确答案：A解析：5．关于函数f(x，y)=给出以下结论正确的个数是A．4．B．3．C．2．D．1．正确答案：B解析：6．设函数f(x)在区间[-2，2]上可导，且f’(x)>f(x)>0，则A．f(-2)/f(-1)>1．B．f(0)/f(-1)>e．C．f(1)/f(-1)＜e2．D．f(2)/f(-1)=0可知，A11a1+A12a2+A13a3+A14a4=0，因为A12≠0，因此a2可由a1，a3，a4线性表示，故a1，a3，a4线性无关．因为r(A)一r(a1，a2，a3，a4)=3，因此a1，a3，a4为基础解系，故应选C．又因为A*A=|A|E=O，A的每一列a1，a2，a3，a4是A*x=0的解向量．只要找到是A*x=0的3个无关解就构成基础解系．8．设A为3阶矩阵，a1，a2为A的属于特征值为1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值-1的特征向量，则满足P-1AP=的可逆矩阵P为A．(a1+a3,a2,-a3)．B．(a1+a2，a2，-a3)．C．(a1+a3,-a3,a2)．D．(a1+a2，-a3，a2)．正确答案：D解析：因为a1，a2为属于特征值1的线性无关的特征向量，所以a1+a2，a2仍为属于特征值1的线性无关的特征向量，a3为A的属于特征值-1的特征向量，故-a3为A的属于特征值-1的特征向量矩阵，因为特征向量与特征值的排序一一对应，故只需P=(a1+a2，-a3，a2)就有P-1AP=，故应选D．填空题9．=_______正确答案：一√2解析：10．=________正确答案：2/9(2√2-1)解析：11．设z=arctan[xy+sin(x+y)]，则dz|(0，π)=_________正确答案：(π-1)dx-dy解析：12．斜边长为2a等腰直角三角形平板铅直地沉没在水中，且斜边与水面相齐，设重力加速度为g，水密度为ρ，则该平板一侧所受的水压力为_________正确答案：(ρga3)/3解析：13．设y=y(x)满足y”+2y’+y=0，且y(0)=0，y’(0)=l，则y(x)dx=_________正确答案：1解析：由条件知，特征方程为：r2+2r+1=0，特征值r1=r2=-1齐次方程通解为：y=(C1+C2x)e-x，由y(0)=0，y’(0)=1得C1=0，C2=1即y(x)=xe-x，从而知：14．行列式=________正确答案：a2(a2-4)解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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