吉大——离散数学
离散数学(吉大版)5-3
同余式
含有整数变量的合同式，称为合同方程 或同余式 。 axb(mod m)这种形式的合同式称为一次 同余式；类似地，a2x2+a1xb(mod m)称为 二次同余式。
同余式
求解一次同余式实际上是解 ax-b=my这样 的不定方程。我们这里讨论一次同余式在 什么条件下有解？什么条件下无解？什么 时候有唯一解（一个剩余类）？什么时候 有多解（多个剩余类）？
定理5.3.1
若a和m互质，b任意，则模m恰有一个数x使 axb(mod m) 。 证明： 存在性。因为a和m互质，故有s，t使 as+mt=1，于是asb+mtb=b，若取模m，则有 asbb(mod m)。取x=sb，则sb所在的剩余类中 的数皆是解。 唯一性。所谓模m只有一个这样的x，意思是说 在模m合同的意义下，解是唯一的。即若axb (mod m)，ayb(mod m)，则xy(mod m)。因为， 由axb(mod m)，ayb(mod m)得axay(mod m)， 消去和m互质的a乃得xy (mod m)。
165页 6．求证等差级数 7，11，15，…中有无穷多个质数。 证明：假设上面等差级数中只有有限个质数 p1，…，pm，显然p1=7，p2=11，p3=19，等 等。p1，…，pm中没有质数3。试看N=4p1 … pm+3。 若N为质数，则矛盾(因已设pm为形为4n+3的最 大质数)。 若N合数，显然3不是N的因子。下面我们证明N 的质因数分解式中必有4n+3形因子。这里n≥1。
定理5.3.3
下面证明(2)式是(1)的d个不同解。因为0 m/d， 故0 (2)中每一个式子 m，且互不相同，所以 它们之间关于模m互不同余，即(2)为(1)的d个不 同解。 再考虑(1)只有(2)这d个不同解。即若数+lm/d是 (1)的解，则关于模m， +lm/d必同余(2)中d个 数之一。 因为 0，1，…，d-1为关于模d的完全剩余系， 故存在i，0id-1，使得 li (mod d)。由m/d0 和性质9，两边和模同乘m/d 得，(l/d)m (i/d)m (mod m)，故+lm/d +im/d(mod m)。证毕。
吉林大学2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业参考答案
吉林大学网络教育学院2019-2020学年第一学期期末考试《离散数学》大作业学生姓名专业层次年级学号学习中心成绩年月日作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word 文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word 文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
一、简答题（每小题7分，共56分）1、什么是命题公式的演绎？答：首先定义了消解复杂性的两种范式:最简范式和文字范式,在此基础上采用演绎方法证明了L中的可判定性定理,并设计了命题公式的演绎判定算法P(F).P(F)的时间复杂度为O(n3),远远小于基于真值表法的O(2n)和基于策略方案HAL的O(n5)。
2、什么是子句？请给出一例。
答：子句是一组包含一个主词和一个动词的关连字。
子句与片语有明显的不同，后者为一组不含主词与动词关系的关连字，如"in the morning" 或"running down the street" 或"having grown used to this harassment."3、什么是短语？请给出一例。
答：短语是由句法、语义和语用三个层面上能够搭配的语言单位组合起来的没有句调的语言单位，又叫词组。
它是大于词而又不成句的语法单位。
简单的短语可以充当复杂短语的句法成分，短语加上句调可以成为句子。
由语法上能够搭配的词组合起来的没有句调的语言单位例如：粮食//丰收（名//动）（什么//怎么样）4、什么是命题逻辑中的文字？答：检测和消除命题逻辑公式中的冗余文字,是人工智能领域广泛研究的基本问题。
针对命题逻辑的子句集中子句的划分,结合冗余子句和冗余文字的概念,将命题逻辑的子句集中的文字分为必需文字、有用文字和无用文字3类。
5、什么是析取范式？请给出一例。
答：在离散数学中，仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式，而由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。
离散数学-第11章
图 论
主讲:熊焕亮
图论简介
• 图论（graph theory）是研究节点和边组成的图 形的数学理论和方法，为离散数学的一个重要分 支。图论的基本元素是节点和边（也称线、弧、 枝），用节点表示所研究的对象，用边表示研究 对象之间的某种特定关系。因此，图论可用节点 和边组成的图形及其有关的理论和方法来描述、 分析和解决各种实际问题，已广泛地应用于物理、 化学、运筹学、计算机科学、电子学、信息论、 控制论、网络理论、管理科学、社会科学等几乎 所有学科领域的有关问题。图论与组合数学、线 性规划、群论、矩阵论、概率论、数值分析等数 学分支有密切的关系。
均为偶数，所以 d (v)为偶数，但因中顶点度数为奇数，
vV1
vV1
d (v ) d (v )
vV2
所以 | V1 |必为偶数。
14
11.1.2 简单图、多重图和同构图
V {v1 , v2 ,., vn } 设 G V , E 为一个阶无向图， 称 d (v1 ), d (v2 )d (vn ),为 G 的度数列。对于顶点标定的无向图，它的度数列是唯一的。反之， 对于给定的非负整数列d (d1 , d 2 ,d n )，若存在以 V (v1 , v2 ,, vn ) 为顶点 集的n阶无向图G,使得 d (vi ) d i ，则称d是可图化的。特别地，若所得 的图是简单图,则称d是可简单图化的。 例11.1.2 （1）（3，5，1，4），（1，2，3，4，5）能成为图的度 数列吗？为什么？ （2）已知图G 中有15条边，2个度数为4的结点，4个度数为3的结点， 其余结点度数均小于等于2，问G 中至少有多少个结点？为什么？ 解 （1）由于给定的两个度数列中奇度顶点个数均为奇数，由上述 推论可知，他们都不能成为图的度数列。 （2）图中边数为15，由握手定理可知，G 中所有结点度数和为30。 除去2个度数为4的结点和4个度数为3的结点，还剩下10度。其余结 点度数小于等于2，假设均为2，则至少要5个结点，所以总共至少要1 1个结点。
吉大网院 离散数学 大作业及答案 201903
一、简要回答下列问题（每小题5分，共30分）1、请给出集合的吸收率。
2、设A={1，2}，请给出A上的所有关系。
答：集合A上的全部关系有2^(2^2)=16种：空关系{}，全关系{<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>}{<1,1>}{<2,2>}{<1,2>}{<2,1>}{<1,1>,<1,2>}{<1,1>,<2,1>}{<1,1> ,<2,2>}{<1,2>,<2,1>}{<1,2>,<2,2>}{<2,1>,<2,2>}{<1,1>,<1,2>,<2,1>}{<1,1>,<1,2>,<2,2>}{< 1,1>,<2,1>,<2,2>}{<1,2>,<2,1>,<2,2>}3、什么是子句？请给出一例。
答：子句集S称为是可满足的，如果存在一个个体域和一种解释，使S中的每一个子句均为真，或者使得S的每一个子句中至少有一个文字为真。
否则, 称子句集S是不可满足的4、什么是前束范式？答：前束范式亦称前束式，一种谓词演算公式。
指其一切量词都未被否定地处于公式的最前端且其辖域都延伸至公式的末端的谓词演算公式。
设Q∈{∃，ᗄ}，一个公式α是前束范式，当且仅当存在一个不含量词的公式β，使得α=(Q₁x₁)(Q₂x₂)…(Qₑxₑ)β.5、什么是谓词逻辑中的项？答：谓词逻辑中的项指变项和常项，变项又分为自由变项和约束变项。
6、什么是命题公式的演绎？答：用A'表示非A,则(A+B)'=A'B',(AB)'=A'+B'.二、设A是m元集合，B是n元集合。
离散数学精品汇报3
教育部教学指导委员会讨论： 教育部教学指导委员会讨论：
增加离散数学实践教学内容与课时。 增加离散数学实践教学内容与课时。
我们的规划： 我们的规划：
离散数学课堂讲授与实验课的时数比为2比1，设计实验教学内容与课题，配 离散数学课堂讲授与实验课的时数比为 比 ， 设计实验教学内容与课题， 备实验教学教师。 备实验教学教师。
离散数学精品课程 汇报
孙吉贵 吉林大学计算机科学与技术学院 ２００４.７.22 ２００４ ７
汇
报
内
容
一、教学队伍 二、教学内容 三、教学条件 四、教学方法与手段 五、教学效果 六、特色与课程建设规划
一、教学队伍
课题负责人：孙吉贵，教授，博士导师 孙吉贵，教授，
“符号计算与知识工程”教育部重点实验室主任； 符号计算与知识工程”教育部重点实验室主任； 吉林大学计算机科学与技术学院副院长。 吉林大学计算机科学与技术学院副院长。 中国计算机学会理事（ 中国计算机学会理事（吉林省 2 名）； 教育部计算机专业教学指导委员会委员（ 教育部计算机专业教学指导委员会委员（吉林省 1 名）； 吉林省计算机学会副理事长。 吉林省计算机学会副理事长。
主要成员的教学经历： 主要成员的教学经历：
教学队伍主要成员孙吉贵、欧阳丹彤、杨凤杰、李占山等都有5 教学队伍主要成员孙吉贵、欧阳丹彤、杨凤杰、李占山等都有5年以上的教学 经历，年终教学考核均为优秀。 经历，年终教学考核均为优秀。
青年教师培养： 青年教师培养：
任教后必需经过2至 次离散数学助课才可能被允许主讲离散数学课程 次离散数学助课才可能被允许主讲离散数学课程； 任教后必需经过 至3次离散数学助课才可能被允许主讲离散数学课程； 定期组织青年开展启发式教学内容设计和教学方法的研究、讨论， 定期组织青年开展启发式教学内容设计和教学方法的研究、讨பைடு நூலகம்，交流启发 式教学和因材施教的经验。 式教学和因材施教的经验。
吉大离散数学试题及答案
吉大离散数学试题及答案一、选择题1. 以下哪个选项不是离散数学中的基本概念？A. 集合B. 函数C. 微积分D. 关系答案：C2. 在集合论中，以下哪个操作不是基本的集合运算？A. 并集B. 交集C. 差集D. 微分答案：D3. 逻辑运算中的“与”操作，其结果为真当且仅当两个操作数都为真。
这个操作的符号是：A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：A二、填空题1. 一个集合的幂集包含该集合的所有_________。
答案：子集2. 如果函数f: A → B 是单射的，那么对于 A 中的任意两个不同的元素 a1 和 a2，f(a1) 和 f(a2) 在 B 中是_________的。
答案：不同的三、简答题1. 简述什么是图论中的“图”？答案：图是由顶点（或称为节点）和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以是有向的或无向的，边可以是有权重的或无权重的。
2. 什么是逻辑中的“真值表”？答案：真值表是一种列出逻辑表达式中所有可能的真值组合及其结果的表格。
它用于展示逻辑表达式在不同输入值下的结果。
四、计算题1. 给定集合 A = {1, 2, 3} 和 B = {2, 3, 4}，请找出 A 和 B 的交集。
答案：A ∩ B = {2, 3}2. 假设有一个函数 f(x) = x^2，计算 f(-3) 和 f(3) 的值。
答案：f(-3) = 9，f(3) = 9五、论述题1. 论述离散数学在计算机科学中的应用。
答案：离散数学是计算机科学的基础，它提供了处理计算机科学问题所需的数学工具和理论。
例如，集合论是数据库理论的基础；图论在网络和算法设计中有着广泛应用；逻辑和布尔代数是计算机硬件设计和编程语言的基础。
2. 讨论命题逻辑和谓词逻辑的区别。
答案：命题逻辑关注简单命题及其逻辑关系，而谓词逻辑则引入了量词和变量，允许表达更复杂的逻辑关系。
命题逻辑使用逻辑连接词（如与、或、非等）来构建表达式，而谓词逻辑则使用量词（如全称量词∀和存在量词∃）来描述涉及个体的命题。
吉林大学2015离散2习题解答资料
—习题
判断题
• 对于有理数集合Q以及有理数乘法 ·，（Q,·）可 以做成一个群。（×）
• 置换的乘积满足交换律。（×） • 3次交代群是3次对称群的一个真子群。（ √） • 循环群的生成元未必唯一。（ √） • 若N是群G的正规子群，则N在G中的所有陪集关
于陪集乘法做成一个群。（√ ）
（a + b）×（a + b）=a+b 所以，a+(a×b)+(b×a)+b=a+b，即，
(a×b)+(b×a) = 0 ……(*)。 在（*）式中取a=b，则(a×a)+(a×a) = 0，故 a+a=0。
证明题
证明：若环（R，×，+）对×运算满足等幂律，即 对R中任意元素a，都有a×a=a，证明： （1）对R中任意元素a，有a + a = 0。 （2）R是交换环。
f(a+b)=1=(-1)×(-1)=f(a)×f(b)； ③若a、b一奇一偶，不妨设a为奇数、b为偶数， 则a+b为奇数，
f(a+b)=-1=(-1)×1=f(a)×f(b)。 可见，f为G1到G2内的同态映射。
简答题
• G1=（Z，+），G2=（R*，×），其中R*为非零实数
集合，+和×分别表示数的加法和乘法。f为G1到G2
<Z,*>为群。 （2）它是一个无限循环群，生成元是3和1，其中 3n=n+2，1n=2-n。
证明题
证明：设G是一个群，a,b,c∈G,证明 （1）a, a-1 和b-1ab的周期相同 （2）ab和ba的周期相同 （3）abc, bca和cab的周期相同.。
证明：（1）设 a的周期为 k1，a-1的周期为 k2，b-1ab 的周期为k3。
吉林大学奥鹏吉大20年9月课程考试《离散数学》学生试卷考核试题标准答案
2019-2020学年第二学期期末考试《离散数学》大作业
学生姓名专业
层次年级学号
学习中心成绩
年月日
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6. 设R是非空集合A上的关系，如果
1）对任意aA，都有a R a；
2）若aRb，aRc，则bRc；证明：R是等价关系。（10分）
7. 证明：映射的乘法满足结合律，举例说明：映射的乘法不满足交换律。 （10 分）
三 问答题 (共6题 ，总分值30分 )
8. 请给出集合的分配率。 （5 分）
9. 设A={，{}}，B={1}，求（A），（B）。 （5 分）
一 综合题 (共3题 ，总分值30分 )
1. 设A是m元集合，B是n元集合。问A到B共有多少个不同的二元关系？设A={a，b}，B={1， 2}，试写出A到B上的全部二元关系。 （10 分）
2. 指出下列表达式中的自由变量和约束变量，并指明量词的作用域：
（1）(xP(x)xQ(x))(xP(x)Q(y))
（2）xy((P(x)Q(y))zR(z))
（3）A(z)(xyB(x，y，a))
（4）x A(x)yB(x，y)
（5）(x)yG(x，y，z))zH(x，y，z)（10分）
3. 设下面所有谓词的定义域都是{a，b，c}。试将下面谓词公式中的量词消除，写成与之等价的命题公式。
(1)xR(x)xS(x)
(2)x(P(x)Q(x))
(3)xP(x)xP(x)（10分）
一些数学课程视频的链接
一些数学课程视频的链接1.1《数学分析》：复旦，陈纪修，214集，151小时/playlist_show/id_3559597_ascending_1_mode_pic_page_1.html /playlist_show/id_3657450.html1.2《数学分析》：中科大，史济怀，203集，149小时/playlist_show/id_3941515_ascending_1_mode_pic_page_1.html 1.3《微积分》：清华，58集，47小时/playlist_show/id_1543503_ascending_1_mode_pic_page_3.html 2.1《高等代数》：清华，18集，14小时/playlist_show/id_1602163.html2.2《高等代数》：厦大，杜妮，133集，93小时/playlist_show/id_4364793_ascending_1_mode_pic_page_1.html 2.3《线性代数》：中科大，李尚志，25集，35小时/playlist_show/id_3979326.html3.1《高等代数与解析几何》：南开，100集，67小时/playlist_show/id_5281512.html4.1《概率论与数理统计》：中科大，缪柏其，33集，35小时/playlist_show/id_5270389.html4.2《统计学》：加州伯克利分电视棒校，43集，35小时/playlist_show/id_3769636.html5.1《微分方程》：麻省理工，33集，网易公开课/special/opencourse/equations.html/playlist_show/id_4025396_ascending_1_mode_pic_page_1.html 5.3《常微分方程》：北师大，袁荣，61集，47小时/playlist_show/id_3950648_ascending_1_mode_pic_page_1.html 5.4《偏微分方程》：台湾国立交大，39集，48小时/playlist_show/id_3764702.html6.1《实变函数》：台湾国立交大，吴培元，35集，40小时/playlist_show/id_5609383.html7.1《复变函数》：台湾国立交大，吴培元，29集，33小时/playlist_show/id_4088706.html7.2《复变函数》钟玉泉三版：北师大，袁荣，61集，47小时/playlist_show/id_4253743_ascending_1_mode_pic_page_1.html 8.1《泛函分析》：台湾国立交大，吴培元，30集，30小时/playlist_show/id_15443160_ascending_1_mode_pic_page_1.html 9.1《抽象代数》：北大，石生明，61集，41小时/playlist_show/id_3250211_ascending_1_mode_pic_page_1.html 9.2《近世代数》张禾瑞：北师大，袁荣，60集，44小时/playlist_show/id_4102229.html10.1《点集拓扑》：河北师大，王彦英，28集，22小时/playlist_show/id_3250377.html11.1《微分几何与广义相对论教程》：北师大，梁灿彬，118集，107小时/playlist_show/id_3250546.html12.1《初等数论》：北师大，袁荣，51集/playlist/index_1958524.html/playlist_show/id_3250322.html14.1《数理逻辑》：中科院，陆钟万，29集，28小时/playlist_show/id_2901699.html15.1《图论》：北师大，袁荣，60集，42小时/playlist_show/id_4236391_ascending_1_mode_pic_page_1.html 16.1《离散数学》：吉大，69集，50小时/playlist_show/id_2026088.html16.2《离散数学》：中南，24集，17小时/playlist_show/id_2741559.html16.3《离散数学》：上交，35集，38小时/playlist_show/id_1593746_ascending_1_mode_pic_page_1.html 17.1《MATLAB基础视频》：14集，6小时/playlist_show/id_4993577.html17.2《MATLAB论坛视频》：67集，26小时/playlist_show/id_1710770_ascending_1_mode_pic_page_1.html 18.1《小波分析》：28集，29小时/playlist_show/id_5475022.html19.1《最优化-凸分析》：斯坦福大学，38集，47小时/playlist_show/id_5434039.html。
吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑§2.2 主要解题方法2.2.1 证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一.真值表方法。
即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0，这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。
真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。
例2.2.1 说明 G= (P Q R)(P Q)(P R)是恒真、恒假还是可满足。
解：该公式的真值表如下：P Q R P QR PQ(P QR)(P Q)P R G0 0 0 1 1 1 1 10 0 1 1 1 1 1 10 1 0 1 1 1 1 10 1 1 1 1 1 1 11 0 0 1 0 0 1 11 0 1 1 0 0 1 11 1 0 0 1 0 0 11 1 1 1 1 1 1 1表2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1，故G恒真。
方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2 说明 G= ((P R) R) ( (Q P) P)是恒真、恒假还是可满足。
解：由(P R) R=P R R=1，以及(Q P) P= （Q P） P = Q PP=0知，((P R) R) ( (Q P) P)=0，故G恒假。
方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析取范式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合取范式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。
方法四. 对任给要判定的命题公式G，设其中有原子P1，P2，…，P n，令P1取1值，求G的真值，或为1，或为0，或成为新公式G1且其中只有原子P2，…，P n，再令P1取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1，则公式G恒真，若最终结果全为0，则公式G恒假，若最终结果有1，有0，则是可满足的。
1.1-集合概念
康托尔的朴素集合论
外延原理
– 任意两个集合相等，当且仅当的它们
中的各个元素都是相同的。
概括原理
悖论 – 任给一个性质，都有一个满足该性质 的对象所组成的集合。
– 每个集合都有一个选择函数。
选择原理
罗素悖论(Russell’s paradox)
1.
设集合S={A|A是集合，且AA}
无序性
集合与其中的元素的顺序无关
例如： {a,b,c,d,e}、{d,c,e,a,b}、 {e,c,d,b,a} 表示同一个集合。
多样性
集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} B={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车},地球}
证明：集合A和B，AB(A)(B)
证明：（充分性）任意取x A， {x}(A),又(A)(B)，故{x}(B)， 则xB， AB成立。
（必要性）任意取x (A)，即x A， 又AB，则x B，那么x (B)， (A)(B)成立。
【定义4】集合族、标志集
法国数学家庞加莱（H.Poincare，1854－1912）： 我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于， 切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东 西。集合论是一个有趣的“病理学的情形”，后一 代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已 经从中恢复过来了。
德国数学家魏尔（C.H.Hermann Weyl，1885－1955） 认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾。 菲利克斯.克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞 成集合论的思想。 数学家H．A．施瓦兹，康托尔的好友，由于反对集 合论而同康托尔断交。 ...... 从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度 沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住 到精神病院的疗养所去。变得很自卑，甚至怀疑自 己的工作是否可靠。他请求哈勒大学当局把他的数 学教授职位改为哲学教授职位。健康状况逐渐恶化， 1918年，他在哈勒大学附属精神病院去世。
离散数学(屈婉玲版)第三章部分答案
3.6从1到300的整数中（1）同时能被3、5、和7这3个数整除的数有A个。
（2）不能被3、5，也不能被7整除的数有B个。
（3）可以被3整除，但不能被5和7整除的数有C个。
（4）可被3或5整除，但不能被7整除的数有D个。
（5）只能被3、5和7之中的一个数整除的数有E个。
供选择的答案A、B、C、D、E：①2；②6；③56；④68；⑤80；⑥102；⑦120；⑧124；⑨138；⑩162。
解：设1到300之间的整数构成全集E，A、B、C分别表示其中可被3、5或7整除的数的集合。
文氏图如下图：在A∩B∩C中的数一定可以被3、5和7的最小公倍数105整除，即∣A∩B∩C∣=⎣300/105⎦=2，同样可得∣A∩B∣=⎣300/15⎦=20，∣A∩C∣=⎣300/21⎦=14，∣B∩C∣=⎣300/35⎦=8.然后将20-2=18，14-2=12，8-2=6分别填入邻近的3块区域.再计算∣A∣=⎣300/3⎦=100，∣B∣=⎣300/5⎦=60，∣C∣=⎣300/7⎦=42.所以∣A∪B∪C∣=162.所以本题的答案是：A=①2；B=⑨138；C=④68；D=⑦120；E=⑧124.3.10列元素法表示下列集合。
（1）A={ x | x ∈N ∧x2 ≤7}.（2）A={ x | x ∈N ∧|3-x|<3}.（3）A={ x | x ∈R ∧(x+1)2≤0}.（4）A={<x,y> |x,y∈N∧x+y≤4}.解：(1) A={0，1，2}.(2) A={1,2,3,4,5}.(3) A={-1}.(4) A={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<0,4>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<4,0>,<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<3,1>,<2,2>}.3.11求使得以下集合等式成立时，a,b,c,d应满足的条件。
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6、什么是关于P1，P2，，Pn的极小项？请给出一例。
答：关于P1,P2,…,Pn的极小项（0≤k1 < k2 <…<ks≤2n-1）则称mk1∨mk2∨…∨mks为关于P1,P2,…,Pn的主析取范式，并简记为∑k1，k2，…，ks *定理
7、什么是谓词逻辑中的项？
8、什么是Skolem范式？
答;Skolem标准型是Skolem于1920年提出的一个使一阶公式标准化的方法，其定义如下：Skolem标准型是如下任意一种形式的一阶命题：(1)∀x1∀x2...∀xm∃y1∃y2...∃ynUx1x2...xmy1y2...yn(∏Σ型)；(2)∀x1∀x2...∀xmUx1x2...xm(∏型)；(3)∃x1∃x2...∃xmUx1x2...xm(Σ型)。其中，U是不包含量词且连接0学年第一学期期末考试《离散数学》大作业
学生姓名专业
层次年级学号
学习中心成绩
年月日
作业完成要求：大作业要求学生手写，提供手写文档的清晰扫描图片，并将图片添加到word文档内，最终wod文档上传平台，不允许学生提交其他格式文件（如JPG，RAR等非word文档格式），如有雷同、抄袭成绩按不及格处理。
1、简答题（每小题7分，共56分）
1、什么是命题公式的演绎？
答：首先定义了消解复杂性的两种范式:最简范式和文字范式,在此基础上采用演绎方法证明了L中的可判定性定理,并设计了命题公式的演绎判定算法P(F).P(F)的时间复杂度为O(n3),远远小于基于真值表法的O(2n)和基于策略方案HAL的O(n5).
法运算下是封闭的。显然该集合在乘法运算下满足结合律。该集合内有单位元素σ，容易1-1验证σ =σ在该集合中。
5、求证任意无零因子的有限环必是一个体。假定环中不只有一个元素。（10分）
证明:因若ax=ay,则a(x-y)=0，无零因子故，若a,0必x-y=0，x=y，由此不难推知，无零因子的有限环中消去律成立。又有限元，所以环中非零元做成乘法群因而是体。
3、什么是短语？请给出一例。
答：短语是由句法、语义和语用三个层面上能够搭配的语言单位组合起来的没有句调的语言单位，又叫词组。它是大于词而又不成句的语法单位。简单的短语可以充当复杂短语的句法成分，短语加上句调可以成为句子。由语法上能够搭配的词组合起来的没有句调的语言单位
例如：粮食//丰收（名//动）（什么//怎么样）
2、什么是子句？请给出一例。
答：子句是一组包含一个主词和一个动词的关连字。子句与片语有明显的不同，后者为一组不含主词与动词关系的关连字，如"in the morning"或"running down the street"或"having grown used to this harassment."
(1)a,a(a,a有关系,，不妨设为如此)则成为链，因此与(I，,)同构。 23234
(2)a,a没有,关系，则此格与(S，D)同构.
4、试证明群G的所有内自同构映射在映射的乘法下作成群。（10分）
证明:同一变换可表示成σ，故此集合非空。对任意属于该集合的σ，σ，因为对任1xy,-1-11 -1意的g,G，有σ(σ(g))= σ(xgx)=y(xgx)y=(yx) g(yx)= σ (g)，所以此集合在乘yxyyx
4、什么是命题逻辑中的文字？
答：检测和消除命题逻辑公式中的冗余文字,是人工智能领域广泛研究的基本问题。针对命题逻辑的子句集中子句的划分,结合冗余子句和冗余文字的概念,将命题逻辑的子句集中的文字分为必需文字、有用文字和无用文字3类,
5、什么是析取范式？请给出一例。
答：在离散数学中，仅由有限个文字构成的合取式称为简单合取式，而由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。范式存在定理说明了它的存在性：任一命题公式都存在着与之等值的析取范式与合取范式。但它并不是惟一的。主析取范式是惟一的。
二、综合题（共44分）
1、求证若G的元数是一个质数，则G必是循环群。(7分）
2、令S={所有正偶数集合}。证明：(I+，D)与(S，D)同构。（7分）
证明:对任意n,I，规定I到S的映射:g:n,2n ++
显然此映射是一对一的。与这两个格等价的代数格的*，?运算都是求最大公因和最小
公倍。
对任n,n,I,n*n为其最大公因，记为d.而2n,2n,S,2n*2n为2n和2n的最大公因。12+12121212为2d 。故g(n*n)=g(d)=2d=2n*2n=g(n)*g(n). 121212
同理可证g(nn)=g(n)g(n) 1212
即g是同态映射，故(I，D)和(S，D)同构。
3、证明：4个元素的格(L，*，⊕)必同构于格(I4，)或者格(S6，D)。（10分）
证明:设4个元素的格L={a,a,a,a}，L有限，故必有最大，最小元素，不妨设为1234
a,a,则a,a,a,a其中，a,a有两种可能: 。41123423