广东省实验中学2013-2014学年高一下学期期中数学试题 含答案

广东实验中学2013-2014学年（下）高一级模块考试
数 学
本试卷分基础检测与能力检测两部分,共4页．满分为150分。

考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生
号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答
案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答
题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
第一部分 基础检测（共100分）
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分,在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.
已知1
cos ,(370,520),2
ααα=∈︒︒则等于 ( ） A ．390︒ B ．420︒ C ．450︒ D ．480︒
2.
直线xtan 05
7=-y π的倾斜角是 ( )
A ．5
2π B ．－5
2π C ．5
7π D ．5
3π
3.
在平行四边形ABCD 中，BC CD BA -+等于 （ ) A ．BC B ．DA C ．AB D ．AC
4.
已知向量(1,3)a =,(1,0)b =-,则|2|a b +=
( ） A ．
1
B C ．2
D ．4
5.
cos15︒的值是（ )
A B C D 6.
已知||5,||3,12,a b a b ==⋅=-且则向量a 在向量b 上的投影等于（ ） A ．4- B ．4 C ．125
- D ．125
7.
把函数()sin(2)3
f x x π=-+的图像向右平移3
π个单位可以得到函数()g x 的
图像，则()4
g π等于（ ）
A ．
B
C ．1-
D ．1
8. 在四边形 ABCD 中，错误!=错误!，且错误!·错误! = 0，则四边形 ABCD 是（ ）
9. A 矩形 B 菱形 C 直角梯形 D 等腰梯形 10.
已知函数()
()212f x x x cos cos =-⋅，x ∈R ，则()f x 是（
）
A ．最小正周期为2π的奇函数
B ．最小正周期为π的奇函数
C ．最小正周期为2
π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数
11.
已知函数14sin()9
2
9
y A x x x ππωφ=+==在同一个周期内当时取最大值，当时取最小值
1
2
-
，则该函数的解析式为（） A ．2sin()36x y π=- B ．1sin(3)26
y x π=+
C ．1sin(3)26y x π=-
D ．1sin()236x y π=--
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
12.
已知一个扇形周长为4，面积为1，则其中心角等于 （弧度）
13.
已知向量a ，b 夹角为60°，且||a ＝1，|2|a b -
＝,则||b ＝
__________.
14. 已知sin cos sin()2sin(),2
sin cos πααπαααα
+-=-+=-则
15. 已知向量,a b 满足||1,||2a b ==,()a b a -⊥，
向量a 与b 的夹角为________.
三、解答题：本大题共3小题,共30分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
16.
(本小题满分10分）
已知函数()2sin f x =63x ππ⎛⎫+
⎪⎝⎭(05)x ≤≤，点A 、B 分别是函数()y f x =图像
上的最高点和最低点．
(1）求点A 、B 的坐标以及OA ·OB 的值;
（2）没点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-）的值．
17.
（本小题满分10分）
已知点),0,0(O (2,3),(5,4),(7,10),()A B C AP AB AC R λλ=+∈若
1)
是否存在λ,使得点P 在第一、三象限的角平分线上？
······
2)
是否存在λ，使得四边形OBPA 为平行四边形?
（若存在，则求出λ的值,若不存在，请说明理由。

）
18.
（本小题满分10分)
已知sin()sin 0,3
52
ππ
αααα++=--
<<求cos 的值.
第二部分 能力检测（共50分）
四、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分．
19. 已知平行四边形ABCD ,则AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅= 20. 已知2
sin 2sin 1,sin cos
0,R x y y x m x y +=+-≥∈且对任意的恒成立，则m 的取值范围是
五、解答题：本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤．
21. （本小题满分13分）
22.
已知(5
3cos ,cos ),(sin ,2cos )a x x b x x ==,函数2()||f x a b b =⋅+。

(1)求函数()y f x =
的周期和对称轴方程；
（2）求函数()y f x =
的单调递减区间．
23. （本小题满分13分）
24. 已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=(0)k >上一动点，,PA PB 是
25.
圆C ：2
220x
y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最
小面积是2,则k 的值为？
26.
(本小题满分14分）
已知奇函数 f （x ） 在 （－,0)∪（0,+） 上有意义,且在 (0，
+) 上是增函数,f （1） = 0，又函数 g （) = sin 2 + m cos
－2m ，若集合M = ｛m ｜ g （
） 〈 0}，集合 N = ｛m | f ［g
（
)] < 0｝，求M ∩N .
广东实验中学2013—2014学年（下）高一级模块四考试
数学参考答案
第一部分 基础检测（共100分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题
给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
B A A
C C A
D B C B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分． 11.2 12.4 13。

13
14。

4
π
三、解答题:本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分10分)
已知函数()2sin f x =6
3x ππ⎛⎫
+
⎪⎝⎭
(05)x ≤≤，点A 、B 分别是函数()y f x =图像
上的最高点和最低点．
（1）求点A 、B 的坐标以及OA ·OB 的值;
(2）没点A 、B 分别在角α、β的终边上,求tan(2αβ-）的值．
解：(1)50≤≤x , ππ7π3
6
3
6
x π∴≤+≤, (1)
分
∴1ππ
sin()1263
x -≤+≤． …………………………………………………
…………2分
当πππ632x +=，即1=x 时，ππsin()163
x +=,)(x f 取得最大值2； 当ππ7π636x +=,即5=x 时，ππ1sin()632
x +=-,)(x f 取得最小值1-．
因此，点
A
、
B
的坐标分别是(1,2)
A 、
(5,1)B -．
……………………………4分
152(1)3
OA OB ∴⋅=⨯+⨯-=． ……………………………………………
………5分
(2）点)2,1(A 、)1,5(-B 分别在角α、β的终边上,
tan 2α∴=,5
1
tan -
=β, ……………………………………
……7分
212()
55tan 21121()5
β⨯-=
=---, …………………………………………
……8分
∴52()
2912tan(2)5212()12
αβ--
-=
=+⋅-． ……………………………………………
…10分
16.(本小题满分10分）
已知点(2,3),(5,4),(7,10),()A B C AP AB AC R λλ=+∈若
1) 是否存在λ,使得点P 在第一、三象限的角平分线上？ 2)
是否存在λ，使得四边形OBPA 为平行四边形？
解：1）存在。

设(,)P x y ，则(2,3)AP x y =--，
(3,1),(5,7),AB AC == (3)
分
AP AB AC λ=+由得23555,31747x x y y λλ
λλ
-=+=+⎧⎧⇒⎨⎨
-=+=+⎩⎩ …………………
…………………5分
若点P 在第一、三象限的角平分线上，则x y =,即5547λλ+=+,12
λ=。

…………………
…………………6分 2)不存在。

若
四
边
形
OBPA
为平行四边形，则
OP OA OB =+ (8)
分
(7,7)OA OB +=，所以557
477
x y λλ=+=⎧⎨
=+=⎩，无解。

(10)
分
17.（本小题满分10分）
已知sin()sin 0,3
2
ππ
αααα++=-
<<求cos 的值。

解：sin()sin 3παα++=
得1sin cos sin 2a αα⋅++=
3sin cos 225αα⋅+⋅=-
……………………………………2分
3144sin cos sin cos sin()22522565
a παααα⋅+⋅=-⇒⋅+⋅=-⇒+=-
……………………………………5分
3
6
6
a π
π
π
-
<+
<
,
……………………………………6分
3
cos()65
a π∴+== (7)
分
cos cos[()]cos()cos sin()sin
666666
a a a a ππππππ
∴=+-=++
+…………9分
=341()552-⋅
=
……………………………………10分
另解：sin()sin 3
5πα
α++=-
得1sin cos sin 225a αα
⋅+⋅+=-
38
sin cos sin cos 2255
αααα⋅+⋅=-⇒
=- (2)
分
228sin cos 5sin cos 1a a αα⎧=-⎪
⎨
⎪+=⎩
………………………
4分
由8sin cos 5αα=-
得8
cos sin a
a --=
代入得228
cos cos 1a
a --⇒+= (6)
分
2100cos 80cos 110a a ⇒+-=
(7)
分 解
得
：
cos a =
， ………………………9分
cos [1,1]a ∈-
，4
cos 10
a ∴= ………………………10分
第二部分 能力检测(共50分)
四、填空题:本大题共2小题，每小题5分，共10分． 18。

0 19.0m ≤
20．（本小题满分13分） 已知(5
3cos ,cos ),(sin ,2cos )a x x b x x ==,函数2()||f x a b b =⋅+.
(1）求函数()y f x =的周期和对称轴方程； (2）求函数()y f x =的单调递减区间．
解：1）22225
3cos sin 2cos ,||sin 4cos a
b x x x b
x x ⋅=+=+……………………2分
22222()sin 2cos sin 4cos sin 6cos sin f x x x x x x x x x x =+++=++
…………………
…………………3分
1cos 25cos 27
251222222
x x x x +=
++=++ ……………………5分
177
5(sin 2cos 2)5sin(2)2262
x x x π=+⋅+=++ ……………………6分
所以,22T π
π
==； …………………………………
………7分
由26
2
x k πππ+=+，得,2
6
k x k Z ππ=+∈，为对称轴方程； (9)
分
2）由32222
6
2
k x k πππππ+≤+≤+，得:2,6
3
k x k k Z ππππ+≤≤+∈………12分
所
以
函
数的单调递减区间为
2[,],63
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ ……………………13分
21.（本小题满分13分）
已知点(,)P x y 是直线40kx y ++=(0)k >上一动点,,PA PB 是 圆C:2
220x
y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面
积是2，则k 的值为？ 解:C ：2
22220(1)1x y y x y +-=⇒+-=，圆心C （0，1），半径为1； (2)
分 如图,
,PA PB =2,PACD S PA ≥∴≥222PC PA CA =+即点C 所以d =
解得：2
k=±（负舍）……………………12分
所以2
k=……………………13分
22。

（本小题满分14分）
已知奇函数f (x）在（－,0）∪(0，+）上有意义，且在（0，+）上是增函数,f (1) = 0，又函数g(）= sin 2+ m cos－2m，若集合M = ｛m | g（) < 0｝，集合N = ｛m | f [g（）］〈0},求M∩N。

解：依题意，f (－1）= －f（1) = 0，又f（x) 在(0，+）上是增函数，
∴f(x) 在（－，0）上也是增函数，…………………………………………1分
∴由f（x）< 0得x〈－1或0 < x< 1 …………………………………………2分
∴N = ｛m｜f [g()］< 0｝= ｛m｜g(）< －1或0 < g() < 1},……………………3分
M∩N= {m| g（) < －1｝……………………4分
由g(）〈－1得sin2+ m cos－2m< －1 ……………………5分
即m(2－cos) 〉2－cos 2……………………6分
∴m〉错误!= 4－（2－cos + 错误!） (7)
分
设t= 2－cos，h(t）= 2－cos+
2
2－cos
= t+
错误!……………………9分
∵cos∈［－1，1] t∈[1，3]，……………………10分
∴h（t)－2错误!= t + 错误!－2错误!= t－错误!+ 错误!= 错误!≥0 (11)
分
且h（错误!）－2错误!= 错误!+ 错误!－2错误!= 0 ……………………12分
∴h(t)min= 2错误!4－h(t) 的最大值为4－2
错误!……………………13分
∴m〉4－2错误!M∩N= {m| m〉4－2
错误!｝……………………14分
另解：本题也可用下面解法：
1。

用单调性定义证明单调性
∵对任意1 < t1 < t2≤错误!,t1－t2〈0，t1 t2－2 〈0
∴h（t1)－h(t2) = t1 + 错误!－（t2 + 错误!）= 错误!> 0 h（t1）〉h （t2）
即h（t) 在[1,错误!] 上为减函数
同理h(t) 在［错误!,3］上为增函数，得h(t）min= h(错误!) = 2
错误!……………………5分
∴m > 4－h(t)min = 4－2 2 M∩N = {m｜m〉4－2 2 ｝2. 二次函数最值讨论
解：依题意,f (－1) = －f（1）= 0，又f（x) 在（0,+) 上是增函数，
∴f（x）在（－,0）上也是增函数，
∴由f（x) < 0得x < －1或0 〈x〈1
∴N = {m｜f [g（)］〈0｝= {m | g() 〈－1或0 < g() < 1}，
M∩N= {m| g（）< －1} ……………………4分
由g（) < －1得sin 2+ m cos－2m < －1 cos 2－m cos
+ 2m－2 > 0 恒成立
(cos2－m cos+ 2m－2）min> 0 …………………5分
设t = cos，h（t）= cos 2－m cos + 2m－2 = t 2－mt + 2m－2 = (t－错误!) 2－错误!+ 2m－2
……………………6分
∵cos∈[－1,1] t∈［－1,1]，h（t) 的对称轴为t= m
……………………7分
2
1当错误!〉1，即m > 2 时，h（t) 在［－1，1] 为减函数
∴h（t)min= h(1）= m－1 > 0 m> 1 m> 2 ……………………9分
2当－1≤错误!≤1，即－2≤m≤2 时,
∴h（t)min = h( 错误!) = －错误!+ 2m－2 > 0 4－2错误!〈m < 4 + 2错误! 4－2错误!〈m≤2
……………………11分
3当错误!< －1，即m < －2 时，h（t) 在[－1，1］为增函数
∴h(t）min= h(－1）= 3m－1 〉0 m〉1
3
无
解……………………13分
综上，m〉4－2错误!M∩N= ｛m| m> 4－2
错误!｝……………………14分
3. 二次方程根的分布
解：依题意,f (－1) = －f（1) = 0，又f (x) 在(0，+) 上是增函数,∴f（x）在（－,0）上也是增函数，
∴由f (x) 〈0得x〈－1或0 〈x〈1
∴N = ｛m | f［g(）] < 0} = {m｜g(）〈－1或0 < g() < 1}，
M∩N = ｛m｜g(）< －1}
由g(）〈－1得sin 2+ m cos－2m < －1 cos 2－m cos + 2m－2 〉0 恒成立
（cos 2－m cos + 2m－2)min > 0
设t = cos，h（t) = cos 2－m cos + 2m－2 = t 2－mt + 2m－2 = （t－错误!）2－错误!+ 2m－2
∵cos∈［－1，1］t∈［－1,1］，h（t）的对称轴为t = 错误!，
△= m 2－8m + 8
……………………7分
1当△< 0，即4－2错误!〈m< 4 + 2错误!时，h（t) > 0 恒成立。

………………9分
2当△≥0，即m≤4－2错误!或m≥4 + 2错误!时，
由h(t）> 0 在[－1,1］上恒成立
∴错误!m≥2 m≥4 + 2错误!……………………13分
综上，m> 4－2错误!M∩N= ｛m｜m〉4－2
错误!｝……………………14分
4.用均值不等式(下学段不等式内容）
∵cos∈［－1，1］t∈［1,3],
∴h(t) = t + 错误!≥2错误!= 2错误!
且t = 2
t，即t = 错误!时等号成立。

∴h（t）min = 2错误! 4－h（t）的最大值为4－2错误!
∴m〉4－2错误!M∩N = {m | m〉4－2错误!} (5)
分。