专题1.3 根的判别式【十大题型】(举一反三)(苏科版)(原卷版)

专题1.3 根的判别式【十大题型】
【苏科版】
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 (1)
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 (2)
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 (2)
【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 (3)
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 (3)
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 (3)
【题型7 根的判别式与三角形的综合】 (4)
【题型8 根的判别式与四边形的综合】 (5)
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 (5)
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 (6)
【知识点一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1判断不含字母的一元二次方程的根的情况】
【例1】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2−2x+1=0B．x2+1=0C．x2−2x−3=0D．x2−2x=0
【变式1-1】（2023春·九年级课时练习）一元二次方程x2+2=0的实数根的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
【变式1-2】（2023春·江西·九年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0
【变式1-3】（2023春·上海长宁·九年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（）
A．x2+2x+3=0B=0
C．x
x−1=1
x−1
D．x3+8=0
【题型2判断含字母的一元二次方程的根的情况】
【例2】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（ ）
A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解
C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解
【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0(a≠0)根的情况（）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．有一根为5
【变式2-2】（2023·全国·九年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）A．没有实数根B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．一个实数根
【题型3由方程根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（2023春·浙江舟山·九年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c 与代数式x+2值相等，则c的取值范围是．
【变式3-1】（2023春·北京西城·九年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是．
【变式3-2】（2023春·广西梧州·九年级校考期中）关于x的方程x2+2(m−2)x+m2−3m+3=0．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．
【变式3-3】（2023春·北京平谷·九年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（）
A．若﹣1＜a＜0，则k
a >k
b
B．若k
a
>k
b
，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则k
a <k
b
D．若k
a
<k
b
，则-1＜a＜0
【题型4应用根的判别式证明方程根的情况】
【例4】（2023春·广东珠海·九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【变式4-1】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m 为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【变式4-2】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．
【变式4-3】（2023春·九年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【题型5应用根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（2023春·浙江温州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（ ）
A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（）
A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1
【题型6根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例6】（2023春·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组
3x8
2
≤x+6 3x+a>4x−5
的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是．
【变式6-1】（2023春·安徽安庆·九年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2
+2x +kb +1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y =kx +b 的大致图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）要使关于x 的一元二次方程ax 2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x 的分式方程x x−4+a 24−x =2的解为非负数的所有整数a 的个数为（ ）
A ．5个
B ．6个
C ．7个
D ．8个
【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a ，b 2
ab b =4
49，则a +b 的值为（ ）
A ．4
B ．10
C ．12
D ．16【题型7 根的判别式与三角形的综合】
【例7】（2023春·广东惠州·九年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程(a +c )x 2−2bx +(a−c )=0，其中分别a 、b 、c 是△ABC 的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状；
(2)若△ABC 是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
【变式7-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）已知关于x 的一元二次方程x 2−(2k +1)x +k 2+k =0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC 的两边AB,AC 的长是这个方程的两个实数根，第三边BC 的长为5，
①若k =3时，请判断△ABC 的形状并说明理由；
②若△ABC 是等腰三角形，求k 的值．
【变式7-2】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）已知关于x 的方程x 2−(m +1)x +2(m−1)=0．(1)当方程一个根为x =3时，求m 的值．
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．
【变式7-3】（2023春·福建厦门·九年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−(m+5) x+5m=0．
(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【题型8根的判别式与四边形的综合】
【例8】（2023春·四川成都·九年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m
2−1
=0的两个实数根．
4
(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
【变式8-1】（2023春·湖南益阳·九年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两
个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·九年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+(m−5) x−5m=0．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且a，b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
x2−mx+2m−1=0的两个根是【变式8-3】（2023春·广东佛山·九年级校考期中）关于x的一元二次方程1
4
平行四边形ABCD的两邻边长．
(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．
(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．
【题型9关于根的判别式的多结论问题】
【例9】（2023春·河北保定·九年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−(2k−3)
x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③k≤9
且k≠0
4
时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·九年级统考期末）已知a(a>1)是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；
④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2 +bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程(x+2)(x−3)=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是．
【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，
①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；
②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或−1．
以上说法中正确的序号是（）
A．①②B．③④C．①②③④D．①②④
【题型10关于根的判别式的新定义问题】
【例10】（2023春·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”；a∗b=
a2−ab(a≤b)
b2−ab(a>b)，关于x的方程(2x)∗(x−1)=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围
是．
【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例
的根的情况为（）
如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−1
2
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（）
A．a=b−c B．a=b C．b=c D．a=c
【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5
=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是．。