2019-2020学年北京市海淀区清华附中创新班八年级(下)期末数学试卷

2019-2020学年北京市海淀区清华附中创新班八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）
A．打开电视机，它正在播广告
B．买一张电影票，座位号是偶数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上
D．若a是实数，则|a|≥0
2．（3分）下面四组图形中，必是相似三角形的为（）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
3．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于（）
A．3B．4C．5D．6
4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3
5．（3分）某班50人一周内在线学习数学的时间如图所示，则以下叙述正确的是（）
A．全班同学在线学习数学的平均时间为2.5h
B．全班同学在线学习数学时间的中位数为2h
C．全班同学在线学习数学时间的众数为20h
D．全班超过半数学生每周在线学习数学的时间超过3h
6．（3分）在居家学习期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：℃）分别写在5张完全相同的卡片正面上，这五个数据分别是：36，36.1，35.9，35.5，m．把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知抽到写有“36”的卡片的概率是，则这5张卡片上数据的方差为（）
A．35.9B．0.22C．0.044D．0
7．（3分）已知点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的横坐标为（）A．1B．C．1或﹣1D．或﹣
8．（3分）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s ﹣t，（s为常数）则w的值（）
A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD
和
的比
例中项．
10．（3分）如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．
抛掷次数n50100150200250300350400450500“正面向上”次数
m
225268101116147160187214238“正面向上”频率0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48
下面有三个推断：
①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是
0.5；
②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向
上”的概率是0.48；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每
一次试验中都发生；
其中合理的是（填写序号）．
11．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的．那么点B′的坐标是．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G 有公共点，写出一个满足条件的实数m的值．
13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a的取值范围是．
14．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为．
15．（3分）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．
16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为．
三、解答题（本题共72分，第17-22题每题5分，第23、24每题6分，第25、26每题7
分，第27，28题每题8分）
17．（5分）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．
18．（5分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD ∽△BAC．
19．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．（1）请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求DP的长．
20．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是．
21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…
y…5212n…
（1）表中n的值为；
（2）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？
（3）若A（m，y1），B（m+1，y2）两点都在该函数的图象上，且m＞2，试比较y1与y2的大小．
22．（5分）为了解某区初二年级数学学科期末质量监控情况，进行了抽样调查，过程如下：收集数据：随机抽取甲乙两所学校的各20名学生的数学成绩进行分析：
甲91 89 77 86 71 31 97 93 72 91 81 92 85 85
95 88 88 90 44 91
乙84 93 66 69 76 87 77 82 85 88 90 88 67 88
91 96 68 97 59 88
整理、描述数据：按如下数据段整理、描述这两组数据
分析数据：两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表：
经统计，表格中m的值是．
得出结论：
a若甲学校有500名初二学生，估计这次考试成绩80分以下的人数为．
b可以推断出学校初二学生的数学水平较高，理由为：．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）
23．（6分）某商场销售某种型号防护面罩，进货价为40元/个．经市场销售发现：售价为50元/个时，每周可以售出100个，若每涨价1元，就会少售出4个．供货厂家规定市场售价不得低于50元/个，且商场每周销售数量不得少于80个．
（1）确定商场每周销售这种型号防护面罩所得的利润w（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式．
（2）当售价x（元/个）定为多少时，商场每周销售这种防护面罩所得的利润w（元）最大？最大利润是多少？
24．（6分）在平面直角坐标系xOy内，以端点在x轴上的长度为1的线段为底边（端点横坐标都为整数），画出数个矩形．现已知其中几个矩形的位置如图所示．其相关信息如表：底边位
置
…﹣3～﹣
2
﹣2～﹣
1
﹣1～00～11～22～33～4…
矩形的
高
…1…… 3.5……15…
若所有矩形的左上方的顶点都在我们已学的某类函数图象上．
（1）求这个函数解析式；
（2）对于所有满足条件的矩形，直接写出面积最小的矩形的面积．
25．（7分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E是DB 延长线上的一点，且EA＝EC，分别延长AD、EC交于点F．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）如果∠AEC＝2∠BAC，求证：EC•CF＝AF•AD．
26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，C1的顶点为D．点B的坐标为（﹣5，0），将直线y＝kx沿y轴向上平移5个单位长度后，恰好经过B、C两点．
（I）求k的值和点C的坐标；
（2）已知点E是点D关于原点的对称点，若抛物线C2：y＝ax2﹣2（a≠0）与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．
27．（8分）如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BE，DF相交于点P．
（1）若AB＝AD，将△AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF 的数量关系是；
（2）若AD＝nAB（n≠1），将△AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．（3）若AB＝8，BC＝10，将△AEF旋转至AE⊥BE时，请直接写出DP的长．
28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3m），P（0，2m），Q（0，m）（m≠0），将点A绕点P顺时针旋转90°，得到点M，将点O绕点Q顺时针旋转90°，得到点N，连接MN，称线段MN为点A的伴随线段．
（1）如图1，若m＝1，则点M，N的坐标分别为，；
（2）已知二次函数的图象经过点B（﹣1，t），C（1，t），D（0，t+1），将此图象在B，C之间的部分与线段BC所组成的封闭图形记作图形G（包含B，C两点）．
①当t＝2时，是否存在m，使得点M在图形G内部（包括边界）？若存在，求出m的
值；若不存在，请说明理由；
②若存在点A，使得其伴随线段MN上的所有点都在图形G内（包括边界），请直接写出
t的取值范围．
2019-2020学年北京市海淀区清华附中创新班八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本题共24分，每小题3分）
1．（3分）下列事件中，属于必然事件的是（）
A．打开电视机，它正在播广告
B．买一张电影票，座位号是偶数
C．抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上
D．若a是实数，则|a|≥0
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
【解答】解：A、打开电视机，它正在播广告，是随机事件；
B、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；
C、抛掷一枚质地均匀的骰子，6点朝上，是随机事件；
D、若a是实数，则|a|≥0，是必然事件；
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．（3分）下面四组图形中，必是相似三角形的为（）
A．两个直角三角形
B．两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形
C．有一个角为40°的两个等腰三角形
D．有一个角为100°的两个等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定方法得出A、B、C不一定相似，D 一定相似；即可得出结果．
【解答】解：两个直角三角形不一定相似；
因为只有一个直角相等，
∴A不一定相似；
两条边对应成比例，一个对应角相等的两个三角形不一定相似；
因为这个对应角不一定是夹角；
∴B不一定相似；
有一个角为40°的两个等腰三角形不一定相似；
因为40°的角可能是顶角，也可能是底角，
∴C不一定相似；
有一个角为100°的两个等腰三角形一定相似；
因为100°的角只能是顶角，
所以两个等腰三角形的顶角和底角分别相等，
∴D一定相似；
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定方法、等腰三角形的性质；熟练掌握相似三角形的判定方法和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
3．（3分）如图，点D，E分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥BC，若AD＝2，DB＝3，AC＝10，则AE等于（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后利用比例计算计算AE的长．【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，即＝，解得AE＝4．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（3分）将抛物线y＝（x﹣3）（x﹣5）先绕原点O旋转180°，再向右平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为（）
A．y＝﹣x2﹣4x﹣3B．y＝﹣x2﹣12x﹣35
C．y＝x2+12x+35D．y＝x2+4x+3
【分析】先求出抛物线的解析式，先根据旋转的性质求出旋转后的顶点坐标，然后根据
平移的性质求得平移后抛物线的顶点坐标；最后根据平移、旋转只改变图形的位置不改变图形的大小和形状利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝（x﹣3）（x﹣5）＝（x﹣4）2﹣1．此时，该抛物线顶点坐标是（4，﹣1）．将该抛物线绕坐标原点O旋转180°后的顶点坐标是（﹣4，1）．再向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣2，1）．
所以此时抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+1＝﹣x2﹣4x﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
5．（3分）某班50人一周内在线学习数学的时间如图所示，则以下叙述正确的是（）
A．全班同学在线学习数学的平均时间为2.5h
B．全班同学在线学习数学时间的中位数为2h
C．全班同学在线学习数学时间的众数为20h
D．全班超过半数学生每周在线学习数学的时间超过3h
【分析】根据平均数、众数和中位数的定义分别对每一项进行分析即可得出答案．
【解答】解：A、全班同学在线学习数学的平均时间为：（12×1+20×2+10×3+5×4+3×5）＝2.34h，故本选项错误；
B、把这些数从小到大排列，则中位数是＝2h，故本选项正确；
C、全班同学在线学习数学时间的众数为2h，故本选项错误；
D、本班同学有8名学生每周在线学习数学的时间超过3h，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了众数、中位数以及平均数．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，
计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6．（3分）在居家学习期间，小静坚持每天测量自己的体温，并把5次的体温（单位：℃）分别写在5张完全相同的卡片正面上，这五个数据分别是：36，36.1，35.9，35.5，m．把这5张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，已知抽到写有“36”的卡片的概率是，则这5张卡片上数据的方差为（）
A．35.9B．0.22C．0.044D．0
【分析】先根据抽到写有“36”的卡片的概率是得出数据36的个数，再根据方差的定义计算可得．
【解答】解：∵抽到写有“36”的卡片的概率是，
∴卡片中36的个数为5×＝2，
则这组数据为36，36.1，35.9，35.5，36，
∵＝＝35.9，
∴方差为×[2×（36﹣35.9）2+（36.1﹣35.9）2+（35.9﹣35.9）2+（35.5﹣35.9）2]＝0.044，故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握方差的定义和随机事件A的概率P （A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
7．（3分）已知点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应．则点D的横坐标为（）A．1B．C．1或﹣1D．或﹣
【分析】直接利用位似图形的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，进而得出答案．【解答】解：∵点A（0，4），B（3，4），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，点D与点B对应，
∴点D的横坐标为：3×＝1或3×（﹣）＝﹣1．
故选：C．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
8．（3分）二次函数y＝x2+px+q，当0≤x≤1时，设此函数最大值为8，最小值为t，w＝s ﹣t，（s为常数）则w的值（）
A．与p、q的值都有关B．与p无关，但与q有关
C．与p、q的值都无关D．与p有关，但与q无关
【分析】先根据二次函数的已知条件，得出二次函数的图象开口向上，再分别进行讨论，即可得出函数y的最大值与最小值即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+px+q＝（x+）2+，
∴该抛物线的对称轴为x＝﹣，且a＝1＞0，
当x＝﹣＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为：1+p+q＝8，即p+q＝7，
∴当x＝0时，二次函数有最小值为：q＝t，即t＝7﹣p，
当x＝﹣＞1，
∴当x＝0时，二次函数有最大值为：q＝8，
∴当x＝1时，二次函数有最小值为：1+p+q＝t，即t＝9+p，
当0≤﹣＜
此时当x＝1时，函数有最大值1+p+q＝8，
当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝7﹣p﹣，
＜﹣≤1，当x＝0时，函数有最大值q＝8，当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣，
x＝﹣＝，当x＝0或1时．函数有最大值q＝8，
当x＝﹣时，函数有最小值q﹣＝t，即t＝8﹣
∵w＝s﹣t，
∴w的值与p有关，但与q无关，
故选：D．
【点评】本题考查了考查了二次函数的最值问题，在本题中分类讨论思想运用是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）如图，△ABC中∠C＝90°，如果CD⊥AB于D，那么AC是AD
和
AB的比
例中项．
【分析】根据射影定理得到AC2＝AD•AB，得到答案．
【解答】解：∵∠C＝90°，CD⊥AB，
∴AC2＝AD•AB，
∴AC是AD和AB的比例中项，
故答案为：AB．
【点评】本题考查的是射影定理，射影定理：①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．
10．（3分）如表是某班同学随机投掷一枚硬币的试验结果．
抛掷次数n50100150200250300350400450500“正面向上”次数
m
225268101116147160187214238“正面向上”频率0.440.520.450.510.460.490.460.470.480.48
下面有三个推断：
①表中没有出现“正面向上”的频率是0.5的情况，所以不能估计“正面向上”的概率是
0.5；
②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向
上”的概率是0.48；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每
一次试验中都发生；
其中合理的是③（填写序号）．
【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．
【解答】解：①随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故错误；
②这些次试验投掷次数的最大值是500，此时“正面向上”的频率是0.48，所以“正面向
上”的概率是0.48，错误；
③投掷硬币“正面向上”的概率应该是确定的，但是大量重复试验反映的规律并非在每
一次试验中都发生，正确；
故答案为：③．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
11．（3分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，且OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，如果矩形OA′B′C′与矩形OABC 关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的．那么点B′的坐标是（﹣4，3）或（4，﹣3）．
【分析】根据矩形的性质得到点B的坐标，根据相似多边形的性质得到矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2，根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵OA＝8，OC＝6，点B在第二象限，
∴点B的坐标为（﹣8，6），
∵矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似，
∴矩形OA′B′C′∽OABC关于点O位似，
∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，
∴矩形OA′B′C′与矩形OABC的相似比为1：2，
∴点B′的坐标为（﹣8×，6×）或（8×，﹣6×），即（﹣4，3）或（4，﹣3），故答案为：（﹣4，3）或（4，﹣3）．
【点评】本题考查的是位似变换的概念和性质、矩形的性质，掌握在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k是解题的关键．
12．（3分）在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G 有公共点，写出一个满足条件的实数m的值答案不唯一，如：2（0≤m≤2）．【分析】求得两个函数的图象的交点，根据图象即可求得．
【解答】解：由解得或，
∴函数y1＝2x的图象与函数y2＝x2的图象的交点为（0，0）和（2，4），
∵函数y1＝2x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．
由图象可知，对于任意实数n，过点P（0，n）且与y轴垂直的直线总与图形G有公共点，则0≤m≤2，
故答案为：答案不唯一，如：2（0≤m≤2），
【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，求得交点坐标是解题的关键．13．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），且顶点在第四象限，则a的取值范围是0＜a＜4．
【分析】将点的坐标代入抛物线解析式得到关于a、b的等式和c的值并用a表示出b，再根据顶点坐标和第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列不等式组求解即可．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣4），
∴，
所以，a﹣b＝4，
b＝a﹣4，
∵顶点在第四象限，
∴，
即﹣＞0①，
＜0②，
解不等式①得，a＜4，
不等式②整理得，（a+4）2＞0，
所以，a≠﹣4，
所以，a的取值范围是0＜a＜4．
故答案为：0＜a＜4．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，得到用a表示b 的式子并列出关于a的不等式是解题的关键．
14．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，D为BC边的中点，BE⊥AD于点E，交AC于F．若AB＝4，BC＝8，则线段EF的长为．
【分析】根据D为BC的中点和BC＝8，可以得到BD的长，然后根据∠ABC＝90°，AB＝4和BD的长，利用勾股定理可以得到AD的长，再根据等积法可以求得BE的长，从而可以得到AE的长，作DG∥BF，再利用三角形相似，即可求得EF的长．
【解答】解：过点D作DG∥BF交AC于点G，如图所示，
∵D为BC边的中点，BC＝8，
∴BD＝4，
∵在Rt△ACB中，∠ABC＝90°，AB＝4，
∴AD＝＝＝8，
∵BE⊥AD于点E，交AC于F，
∴BE＝＝2，
∵AB＝4，BE＝2，∠AEB＝90°，
∴AE＝＝＝6，
设DG＝x，则BF＝2x，EF＝2x﹣2，
∵EF∥DG，
∴△AEF∽△ADG，
∴，
即，
解得，x＝，
∴EF＝2x﹣2＝2×﹣2＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为4．
【分析】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．
【解答】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），
当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
把A（﹣4，0），C（0，4）代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y＝x+4，
设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），
∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）
＝﹣t2﹣4t
＝﹣（t+2）2+4，
∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．
故答案为4．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
16．（3分）如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝6，∠EDF的顶点D是AB的中点，
且∠EDF＝45°，现将∠EDF绕点D旋转一周，在旋转过程中，当∠EDF的两边DE、DF分别交直线AC于点G、H，把△DGH沿DH折叠，点G落在点M处，连接AM，若＝，则AH的长为或或3．
【分析】分三种情形：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM ＝4k．首先证明AM⊥AC，利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程解决问题即可．【解答】解：①如图1中，当点H在线段AC上，点G在AC的延长线上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，AD＝DB，
∴CD⊥AB，CD＝DA＝DB，
∴∠ACD＝∠DCB＝45°，∠DCG＝135°，
∵∠EDF＝∠EDM＝45°，DG＝DM，
∴∠ADC＝∠MDG，
∴∠ADM＝∠CDG，
∴△ADM≌△CDG（SAS），
∴∠DAM＝∠DCG＝135°，
∵∠CAB＝45°，
∴∠CAM＝90°，
∴MH＝GH＝＝＝5k，
∵∠GDH＝∠GAD＝45°，∠DGH＝∠AGD，
∴△DGH∽△AGD，
∴＝，
∴DG2＝GH•GA＝40k2，
∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，
∴AB＝AC＝12，
∴AD＝CD＝6，
∵DJ⊥AC，
∴AJ＝JC＝3，DJ＝AJ＝IC＝3，
∴GJ＝8K﹣3，
在Rt△DJG中，∵DG2＝DJ2+GJ2，
∴40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，
解得k＝或（舍弃），
∴AH＝3k＝．
②如图2中，当点H在线段AC上，点G在上时，连接CD，作DJ⊥AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：40k2＝（8k﹣3）2+（3）2，
解得k＝（舍弃）或，
∴AH＝3k＝．
③如图3中，当点H在线段CA的延长线上，点G在线段AC上时，连接CD，作DJ⊥
AC于J，设AH＝3k，AM＝4k．
同法可得：10k2＝（3﹣2k）2+（3）2，
解得k＝或﹣3（舍弃），
∴AH＝3k＝3，
综上所述，满足条件的AH的值为或或3．
故答案为或或3．
【点评】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（本题共72分，第17-22题每题5分，第23、24每题6分，第25、26每题7分，第27，28题每题8分）
17．（5分）两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，它们的周长之和为40cm，面积之差为15cm2，求较小多边形的周长与面积．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方列方程，解方程得到答案．
【解答】解：设较小多边形的周长为xcm，面积为ycm2，则较大多边形的周长为（40﹣x）cm，面积为（y+15）cm2，
∵两个相似多边形的最长边分别为4cm和6cm，
∴两个相似多边形的相似比为2：3，
∴两个相似多边形的周长比为2：3，面积比为4：9，
∴＝，＝，
解得，x＝16，y＝12，
经检验，x＝16，y＝12都是原方程的解，
答：较小多边形的周长为16cm，面积为12cm2．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键．
18．（5分）如图，D是△ABC的边AB上的一点，BD＝2，AB＝，BC＝3．求证：△BCD ∽△BAC．
【分析】利用已知线段的长得到＝＝，加上公共角，则根据相似三角形的判定方法可得到结论．
【解答】解：∵BD＝2，AB＝，BC＝3．
∴＝，＝＝，
∴＝，
而∠CBD＝∠ABC，
∴△BCD∽△BAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
19．（5分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边的中点，连接AM．（1）请用尺规作图，在线段AM上求作一点P，使得△DP A∽△ABM；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求DP的长．
【分析】（1）过点D作DP⊥AM于P，△APD即为所求．
（2）利用相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：（1）如图，△APD即为所求．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AB＝BC＝AD＝2，
∵BM＝MC＝1，
∴AM＝＝＝，
∵△DP A∽△ABM，
∴，
∴，
∴PD＝．
【点评】本题考查作图﹣相似变换，正方形的性质，勾股定理的应用以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（5分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．
故答案为（2a，﹣2b）．
【点评】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；
再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
21．（5分）已知二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…。