吴堡县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

吴堡县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0且f ′（x ）≤0”的函数是（ ） A ．f （x ）=﹣xe |x| B ．f （x ）=x+sinx
C ．f （x ）=
D ．f （x ）=x 2|x|
2． 某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据：
0.7，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）
A ． =0.7x+0.35
B ． =0.7x+1
C ． =0.7x+2.05
D ． =0.7x+0.45
3． 圆2
2
2
(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2
2
13
y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）
A B ．2 C D ．
【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 已知2,0
()2, 0
ax x x f x x x ⎧+>=⎨-≤⎩，若不等式(2)()f x f x -≥对一切x R ∈恒成立，则a 的最大值为（ ）
A ．716-
B ．916-
C ．12-
D ．14
-
5． 已知f （x ）=，则“f[f （a ）]=1“是“a=1”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．即不充分也不必要条件
6． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．14101
7． 已知f （x ）=4+a x ﹣1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（ ） A ．（1，5） B ．（1，4） C ．（0，4） D ．（4，0） 8． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）
A ．144,144ππ
B ．144,36ππ
C ．36,144ππ
D ．36,36ππ 9． 在正方体1111ABCD A B C D -中，M 是线段11A C 的中点，若四面体M ABD -的外接球体积为36p ， 则正方体棱长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【命题意图】本题考查以正方体为载体考查四面体的外接球半径问题，意在考查空间想象能力和基本运算能力．
10．若向量=（3，m ），=（2，﹣1），∥，则实数m 的值为（ ）
A ．﹣
B ．
C ．2
D ．6
11．已知 m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A ．若 m ∥α，n ∥α，则 m ∥n B ．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β
C ．若m ⊥α，n ⊥α，则 m ∥n
D ．若 m ∥α，m ∥β，则 α∥β
12．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜1
2x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
二、填空题
13．若x ，y 满足线性约束条件
，则z=2x+4y 的最大值为 ．
14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，c=2a 且•
=24，
则△ABC 的面积是 ．
15．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()f x '是奇函数()f x 的导函数，()10f -=，当0x >时，
()()0xf x f x -<'，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是__________．
16．若P （1，4）为抛物线C ：y 2=mx 上一点，则P 点到该抛物线的焦点F 的距离为|PF|= ． 17．给出下列命题：
①把函数y=sin （x ﹣
）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin （2x ﹣
）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cos α＞cos β；
③x=﹣
是函数y=cos （2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣
）相同；
⑤y=2sin （2x ﹣
）在是增函数；
则正确命题的序号 ．
18．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量
所对应
的复数为 ．
三、解答题
19．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】已知函数()()2ln 1.f x x mx m R =--∈ （1）当1m =时，求()f x 的单调区间；
（2）令()()g x xf x =，区间15
2
2,D e e -⎛⎫= ⎪⎝⎭
，e 为自然对数的底数。

（ⅰ）若函数()g x 在区间D 上有两个极值，求实数m 的取值范围；
（ⅱ）设函数()g x 在区间D 上的两个极值分别为()1g x 和()2g x ， 求证：12x x e ⋅>.
20．已知函数3
2
2
()1f x x ax a x =+--，0a >． （1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若关于的不等式()0f x ≤在[1,)+∞上有解，求实数的取值范围．
21．已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）求A ∪B ；
（2）求（∁U A ）∩B ； （3）求∁U （A ∩B ）．
22．（本小题满分12分）一直线被两直线12:460,:3560l x y l x y ++=--=截得线段的中点是P 点, 当P 点为()0,0时, 求此直线方程.
23．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且
AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．
24．（本题满分12分）有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”.其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励.如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收. （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；
（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议.
吴堡县第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：满足“∀x ∈R ，f （x ）+f （﹣x ）=0，且f ′（x ）≤0”的函数为奇函数，且在R 上为减函数， A 中函数f （x ）=﹣xe |x|，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数为奇函数，
且f ′（x ）=
≤0恒成立，故在R 上为减函数，
B 中函数f （x ）=x+sinx ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），即函数为奇函数，但f ′（x ）=1+cosx ≥0，在R 上是增函数，
C 中函数f （x ）=
，满足f （﹣x ）=f （x ），故函数为偶函数；
D 中函数f （x ）=x 2|x|，满足f （﹣x ）=f （x ），故函数为偶函数，
故选：A ．
2． 【答案】A
【解析】解：设回归直线方程=0.7x+a ，由样本数据可得， =4.5， =3.5．
因为回归直线经过点（，），所以3.5=0.7×4.5+a ，解得a=0.35．
故选A ．
【点评】本题考查数据的回归直线方程，利用回归直线方程恒过样本中心点是关键．
3． 【答案】C
4． 【答案】C
【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．
当0a >（如图1）、0a =（如图2）时，不等式不可能恒成立；当0a <时，如图3，直线2(2)y x =--与函数2
y ax x =+图象相切时，916
a =-，切点横坐标为83，函数2
y ax x =+图象经过点(2,0)时，12a =-，
观察图象可得1
2
a ≤-，选C ． 5． 【答案】B
【解析】解：当a=1，则f（a）=f（1）=0，则f（0）=0+1=1，则必要性成立，
若x≤0，若f（x）=1，则2x+1=1，则x=0，
若x＞0，若f（x）=1，则x2﹣1=1，则x=，
即若f[f（a）]=1，则f（a）=0或，
若a＞0，则由f（a）=0或1得a2﹣1=0或a2﹣1=，
即a2
=1或a2=+1，解得a=1或a=，
若a≤0，则由f（a）=0或1得2a+1=0或2a+1=，
即a=﹣，此时充分性不成立，
即“f[f（a）]=1“是“a=1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据分段函数的表达式解方程即可．
6．【答案】B
【解析】解：∵a n+1a n+2=2a n+1+2a n（n∈N+），∴（a n+1﹣2）（a n﹣2）=2，当n≥2时，（a n﹣2）（a n﹣1﹣2）=2，
∴，可得a n+1=a n﹣1，
因此数列{a n}是周期为2的周期数列．
a1=3，∴3a2+2=2a2+2×3，解得a2=4，
∴S2015=1007（3+4）+3=7052．
【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．
7．【答案】A
【解析】解：令x﹣1=0，解得x=1，代入f（x）=4+a x﹣1得，f（1）=5，
则函数f（x）过定点（1，5）．
故选A．
8．【答案】D
【解析】
考点：球的表面积和体积．
9．【答案】C
10．【答案】A
【解析】解：因为向量=（3，m），=（2，﹣1），∥，
所以﹣3=2m，
解得m=﹣．
故选：A．
【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，基本知识的考查．
11．【答案】C
【解析】解：对于A，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或者异面；故A错误；对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能相交，如墙角；故B错误；
对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到m∥n；故C正确；
对于D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；
故选C．
【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．
12．【答案】
【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9.
即log2（a＋6）＝3，
∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.
二、填空题
13．【答案】38．
【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+4y得y=﹣x+，
平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，
直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，
由，解得，
即A （3，8），
此时z=2×3+4×8=6+32=32， 故答案为：38
14．【答案】 4 ．
【解析】解：∵sinA ，sinB ，sinC 依次成等比数列，
∴sin 2B=sinAsinC ，由正弦定理可得：b 2
=ac ，
∵c=2a ，可得：b=a ，
∴cosB==
=，可得：sinB=
=
，
∵
•
=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，
∴S
△ABC =acsinB==4
．
故答案为：4．
15．【答案】()(),10,1-∞-⋃
【解析】
16．【答案】 5 ．
【解析】解：P （1，4）为抛物线C ：y 2
=mx 上一点， 即有42
=m ，即m=16， 抛物线的方程为y 2
=16x ，
焦点为（4，0），
即有|PF|==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，考查两点的距离公式，及运算能力，属于基础题．
17．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin （x ﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin （2x ﹣
），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cos α=cos β=，故②错
误．
对于③，当x=﹣时，2x+
π=π，函数y=cos （2x+
π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣
是函
数y=cos （2x+
π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin （2x+）=4cos[
﹣（2x+
）]=4cos （
﹣2）=4cos （2x ﹣
），
故函数y=4sin （2x+）与函数y=4cos （2x ﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x ﹣
∈，函数y=2sin （2x ﹣
）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
18．【答案】 2i ．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（
+i ）（cos60°+isin60°）=（
+i ）（
）=2i
，故答案为 2i ．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i ）
（cos60°+isin60°），是解题的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）增区间()0,2，减区间()2,+∞，（2）详见解析
【解析】试题分析：（1）求导写出单调区间；（2）（ⅰ）函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于
()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，令()0g x '=，得2ln 12x m x +=
，通过求导分析 得m 的范围为512231,e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；（ⅱ）2ln 1
2x m x +=，得12122ln 12ln 12x x m x x ++==，由分式恒等变换得
12121212
212ln 12ln 12ln 1
lnx x x x x x x x ++++--=+-，得1
1212112112222
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ++++=
⋅=⋅--，要证明 12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2
112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令3
1
21x e
t x -<
=<，()()21ln 1
t p t t t -=-+，通过求导得到()0p t <恒成立，得证。

试题解析：
（2）（ⅰ）因为()2
2ln g x x x mx x =--，
所以()2ln 2212ln 21g x x mx x mx =+--=-+'，15
22
,x e e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，
若函数()g x 在区间D 上有两个极值，等价于()2ln 21g x x mx -'=+在15
22,e e -⎛⎫
⎪⎝⎭
上有两个不同的零点，
令()0g x '=，得2ln 1
2x m x
+=，
设()()2
2ln 112ln ,x x
t x t x x x '+-==
，令(
)0,t x x ='=
所以m 的范围为51
2231
,e e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
（ⅱ）由（ⅰ）知，若函数()g x 在区间D 上有两个极值分别为()1g x 和()2g x ，不妨设12x x <，则
1212
2ln 12ln 1
2x x m x x ++=
=， 所以12121212
212ln 12ln 12ln 1
lnx x x x x x x x ++++--=+-
即1
1
21211211222
2
1
ln ln 1ln ln 1x x x x x x
x x x x x x x x ++++=⋅=⋅--， 要证12x x e >，只需证12ln ln 12x x ++>，即证1
2112
2
1ln 21x x x
x x x +⋅>-， 令3
121x e t x -<=<，即证1ln 21t t t +⋅>-，即证1ln 21
t t t -<⋅
+， 令()()
21ln 1t p t t t -=-+，因为()()()()
2
22
114
011t p t t t t t -=-=+'>+， 所以()p t 在()
3,1e -上单调增，()10p =，所以()0p t <，
即()21ln 0,1
t t t --
<+所以1
ln 2
1
t t t -<+，得证。

20．【答案】（１）()f x 的单调递增区间是(),2-∞-和2,3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，单调递减区间为2(2,)3-；（２）[1,)+∞． 【解析】
试题分析：（１） 2a =时，利用导数与单调性的关系，对函数求导，并与零作比较可得函数的单调区间；
（２） 对函数求导，对参数分类讨论，利用函数的单调性求函数的最小值，使最小值小于或等于零，可得的取值范围．
试题解析：（1）当2a =时，3
2
()241f x x x x =+--，
所以2
'()344(32)(2)f x x x x x =+-=-+， 由'()0f x >，得2
3
x >
或2x <-， 所以函数()f x 的单调递减区间为2(2,)3
-．
（2）要使()0f x ≤在[1,)+∞上有解，只要()f x 在区间[1,)+∞上的最小值小于等于0． 因为2
2
'()32(3)()f x x ax a x a x a =+-=-+， 令'()0f x =，得103
a
x =
>，20x a =-<．1
考点：导数与函数的单调性；分类讨论思想． 21．【答案】
【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，4，5}，B={1，3，5，7}．
（1）A ∪B={1，2，3，4，5，7} （2）（∁U A ）={1，3，6，7} ∴（∁U A ）∩B={1，3，7}
（3）∵A ∩B={5}
∁U （A ∩B ）={1，2，3，4，6，7}．
【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．
22．【答案】16
y x =-． 【解析】
试题分析：设所求直线与两直线12,l l 分别交于()()1122,,,A x y B x y ,根据因为()()1122,,,A x y B x y 分别在直线
12,l l 上，列出方程组，求解11,x y 的值，即可求解直线的方程. 1
考点：直线方程的求解. 23．【答案】证明见解析． 【解析】
考点：直线与平面平行的判定与证明．
24．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了独立重复试验中概率的求法，对立事件的基本性质；对化归能力及对实际问题的抽象能力要求较高，属于中档难度.。